【高考數(shù)學(xué)】二輪優(yōu)化提優(yōu)專題訓(xùn)練：專題20 數(shù)列中常見的求和問題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______.
【答案】 (1). 5 (2).
【解析】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；
故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；
（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，
設(shè)，
則，
兩式作差得：
，
因此，.
故答案為：；.
2、（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標Ⅰ））設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．
（1）求的公比；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
【解析】1）設(shè)的公比為，為的等差中項，
，
；
（2）設(shè)的前項和為，，
，①
，②
①②得，
，
.
3、（2023年全國甲卷數(shù)學(xué)（理））已知數(shù)列中，，設(shè)為前n項和，．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，
當(dāng)時，，即；
當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，所以，
化簡得：，當(dāng)時，，即，
當(dāng)時都滿足上式，所以．
（2）因為，所以，
，
兩式相減得，
，
，即，
4、【2021年新高考1卷】已知數(shù)列滿足，
（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；
（2）求的前20項和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）[方法一]【最優(yōu)解】：
顯然為偶數(shù)，則，
所以，即，且，
所以是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，
于是．
[方法二]：奇偶分類討論
由題意知，所以．
由（為奇數(shù)）及（為偶數(shù)）可知，
數(shù)列從第一項起，
若為奇數(shù)，則其后一項減去該項的差為1，
若為偶數(shù)，則其后一項減去該項的差為2．
所以，則．
[方法三]：累加法
由題意知數(shù)列滿足．
所以，
，
則．
所以，數(shù)列的通項公式．
（2）[方法一]：奇偶分類討論
．
[方法二]：分組求和
由題意知數(shù)列滿足，
所以．
所以數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列；
同理，由知數(shù)列的偶數(shù)項是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列．
從而數(shù)列的前20項和為：
題組一、利用周期性（規(guī)律性求和）
1-1、（2022·江蘇宿遷·高三期末）記表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，記，則的值為（）
A．5479B．5485C．5475D．5482
【答案】B
【解析】由題意可知，當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
所以.
故選：B
1-2、（2022·湖南郴州·高三期末）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號.設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).已知數(shù)列滿足，且，若數(shù)列的前n項和為，則（）
A．4950B．4953C．4956D．4959
【答案】C
【解析】由，可得，
根據(jù)累加法可得
所以，
故，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，
因此.
故選：C.
題組二、裂項相消求和
2-1、（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列的前n項和______.
【答案】
【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出數(shù)列的通項，再利用裂項相消法求解作答.
【詳解】數(shù)列的前n項和為，，，當(dāng)時，，
兩式相減得：，即，而，解得，
因此數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，
，
所以.
故答案為：.
2-2、（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）在①成等比數(shù)列，②，③這三個條件中任選兩個，補充在下面問題中，并完成解答.
已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其前項和為，且滿足__________，__________.
(1)求的通項公式；
(2)求.
注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案計分.
【答案】(1)選①②，①③或②③均可得(2)
【分析】（1）選出兩個條件，根據(jù)等差數(shù)列通項公式和求和公式基本量計算出首項和公差，得到通項公式；
（2）在第一問的基礎(chǔ)上，得到，利用裂項相消法求和.
【詳解】（1）若選①②，設(shè)公差為，
則，
解得：，
；
選①③，設(shè)公差為，
，
解得：，
；
選②③，設(shè)公差為，
，
解得：，
；
（2），
.
2-3、（2022·河北張家口·高三期末）已知是數(shù)列的前項和，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)當(dāng)時，由，得，
則.
當(dāng)時，有，符合上式.
綜上，.
(2)由（1）得，，
則
.
題組三、分組求和
3-1、（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)校考模擬預(yù)測）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.
已知等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為.設(shè)分別是數(shù)列的前項和，且，，
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；（2）
【分析】方案一：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式列方程組，求出和，從而寫出數(shù)列的通項公式；
（2）由第（1）題的結(jié)論，寫出數(shù)列的通項，采用分組求和、等比求和公式以及裂項相消法，求出數(shù)列的前項和.
其余兩個方案與方案一的解法相近似.
【詳解】解：方案一：
（1）∵數(shù)列都是等差數(shù)列，且，
，解得
，
綜上
（2）由（1）得：
方案二：
（1）∵數(shù)列都是等差數(shù)列，且，
解得
，
.
綜上，
（2）同方案一
方案三：
（1）∵數(shù)列都是等差數(shù)列，且.
，解得，
，
.
綜上，
（2）同方案一
3-2、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)校考一模）已知數(shù)列，前n項和為，且滿足，，，，，等比數(shù)列中，，且，成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)記為區(qū)間中的整數(shù)個數(shù)，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）根據(jù)，，得到為等差數(shù)列，根據(jù)通項公式和求和公式基本量計算出首項和公差，得到的通項公式，再利用等比數(shù)列通項公式基本量計算出和公比，求出的通項公式；
（2）在第一問的基礎(chǔ)上得到，分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式求出答案.
【詳解】（1），，，
即，，，
故為等差數(shù)列，設(shè)公差為，
故，，
解得：，，
所以，
設(shè)等比數(shù)列的公比為，，
因為，成等差數(shù)列，所以，
即，與聯(lián)立得：或0（舍去），
且，故，
（2）由題意得：為中的整數(shù)個數(shù)，
故，
所以
.
3-3、（2022·山東萊西·高三期末）已知數(shù)列的前n項和為，且，，為等差數(shù)列；數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的前n項和；
【解析】(1)
解：因為，，為等差數(shù)列，所以，所以，兩式相減得，
即，所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，
又，，所以，解得，所以，，
所以，
所以
，
所以；
題組四、錯位相減
4-1、（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)校考模擬預(yù)測）數(shù)列滿足，，則__________
【答案】
【分析】由已知整理得，先利用累乘法求數(shù)列的通項，再利用錯位相減法求其前2021項的和，從而得到結(jié)果.
【詳解】由得：，
；
設(shè)，
則，
，
，
，即，
，，
.
故答案為：.
4-2、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1）．（2）．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式和等比中項定義，求得首項和公差，進而求得的通項公式．
（2）數(shù)列可以看成等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，因而前n項和可用錯位相減法求解．
【詳解】
（1）由題意得，，故，
所以的通項公式為．
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，則
，
，兩式相減得
，
所以．
4-3、（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標Ⅰ））設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．
（1）求的公比；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
【解析】1）設(shè)的公比為，為的等差中項，
，
；
（2）設(shè)的前項和為，，
，①
，②
①②得，
，
題組五、奇偶項
5-1、（2022·山東煙臺·高三期末）已知數(shù)列滿足，．
(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前2n項和．
【解析】(1)
依題意，，
而，
所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，，.
(2)由(1)知，，則有，
又，則，
于是有，
因此，，
所以.
5-2、(2022·江蘇新高考基地學(xué)校第一次大聯(lián)考期中)
(10分)已知等差數(shù)列eq {a\s\d(n)}滿足eq a\s\d(n)＋a\s\d(n＋1)＝4n，n∈N*．
(1)求eq {a\s\d(n)}的通項公式；
(2)設(shè)eq b\s\d(1)＝1，b\s\d(n＋1)＝\B\lc\{(\a\al(a\s\d(n)，n為奇數(shù)，,－b\s\d(n)＋2\s\up6(n)，n為偶數(shù)，))求數(shù)列eq {b\s\d(n)}的前2n項和eq S\s\d(2n)．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知可得與已知條件兩式相減可得求得的值，再由求得的值，利用等差數(shù)列的通項公式可得的通項公式；
（2）當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，再利用分組并項求和以及等比數(shù)列求和公式即可求解.
【小問1詳解】
因為，所以，所以，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，可得，
當(dāng)時，，可得，所以.
【小問2詳解】
當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，
所以

1、（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為，則數(shù)列的前項和為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】，則，
所以，
所以.
故選：C.
2、（2023·江蘇南京·校考一模）（多選題）提丟斯·波得定律是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個簡單的幾何學(xué)規(guī)則，它是在1766年由德國的一位中學(xué)老師戴維斯·提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，即數(shù)列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太陽系第顆行星與太陽的平均距離(以天文單位為單位).現(xiàn)將數(shù)列的各項乘以10后再減，得到數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列從第3項起，每項是前一項的2倍，則下列說法正確的是（）
A．?dāng)?shù)列的通項公式為
B．?dāng)?shù)列的第2021項為
C．?dāng)?shù)列的前項和
D．?dāng)?shù)列的前項和
【答案】CD
【分析】由題意可得數(shù)列由此可得數(shù)列從第2項起構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，從而可求出其通項公式，判斷選項A，由于，所以可求出數(shù)列的通項公式，從而可判斷B，對于C，利用分組求和可求出數(shù)列的前項和，對于D，利用錯位相減法可求出數(shù)列的前項和
【詳解】數(shù)列各項乘以10再減4得到數(shù)列
故該數(shù)列從第2項起構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，所以故A錯誤；
從而所以故B錯誤
當(dāng)時；
當(dāng)時
0.3.
當(dāng)時也符合上式，所以故C正確
因為所以當(dāng)時
當(dāng)2時，
所以
所以
又當(dāng)時也滿足上式，所以，故D正確.
故選：CD.
3、（2023·江蘇南京·校考一模）已知等比數(shù)列的前項和為,,.
(1)求數(shù)列的通項公式.
(2)令,求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為，從而得到，進而求出公比，由此得解；
（2）利用（1）結(jié)論，結(jié)合裂項相消求和法即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時,
即,又是等比數(shù)列,;
數(shù)列的通項公式為:.
（2）由（1）知,,
,
即.
4、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎缺葦?shù)列的前n項和為（b為常數(shù)）．
(1)求b的值和數(shù)列的通項公式；
(2)記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)；；(2)
【分析】（1）依題意等比數(shù)列的公比不為1，再根據(jù)等比數(shù)列前項和公式得到，即可得到且，從而求出、，即可得解；
（2）首先令，，即可求出的取值范圍，從而求出，即可得到，再利用錯位相減法求和即可；
【詳解】（1）解：由題設(shè)，顯然等比數(shù)列的公比不為1，
若的首項、公比分別為、，則，
∴且，所以，
故的通項公式為．
當(dāng)時，；
（2）解：令，，解得，所以
數(shù)列在中的項的個數(shù)為，則，所以，
∵，①
∵②
兩式相減得∴．
∴
5、（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，，．正項等比數(shù)列中，，．
(1)求與的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式即可求的通項公式.
（2）利用錯位相減法整理化簡即可求得前項和．
【詳解】（1）等差數(shù)列的前項和為，，，設(shè)公差為
所以，解得
所以
正項等比數(shù)列中，，，設(shè)公比為
所以，所以
解得，或（舍去）
所以
（2）由（1）知：
所以
兩式相減得：

6、（2023·安徽·統(tǒng)考一模）已知在遞增數(shù)列中，為函數(shù)的兩個零點，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.
【答案】(1)；(2)見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的零點，并求出數(shù)列的通項，再利用累加法求出的通項；
（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項相消法求和作答.
【詳解】（1）函數(shù)的零點為3，8，而數(shù)列遞增，則，，
因此數(shù)列是以5為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，
當(dāng)時，
，而也滿足上式，
所以數(shù)列的通項公式是.
（2）證明：由（1）得，
因此
，而，
所以.

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