新高考數(shù)學二輪復習解答題提分訓練專題03 數(shù)列之錯位相減求和（2份，原卷版+解析版）

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1．已知數(shù)列的前n項和為，，.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)令，求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】(1)將原式化簡后兩邊同除可得等差關系；
(2)利用數(shù)列的通項解出，再用錯位相減法求解；
【詳解】（1）,兩邊同除，
得，
又，
所以數(shù)列是首項為5，公差為1的等差數(shù)列.
（2）由（1）可知，所以.
當時，.
又也符合上式，所以（），
所以，
所以，①
，②
所以②①得
.
2．已知數(shù)列，其前n項和.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關系作差即可求解；（2）根據(jù)乘公比錯位相減法即可求解.
【詳解】（1）由題意可知，，
兩式作差，可得，當時，，
所以.
（2）由題意可知，，，
那么，
可知：，
兩邊乘以2，
可得：，
兩式作差可得：
所以，
即：.
而當時，
所以.
3．已知數(shù)列的首項，且滿足．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)設，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）將條件兩邊同時倒，然后兩邊同時加3，可證明等比數(shù)列.
（2）利用錯位相減法求和即可.
【詳解】（1）由得，即，
，又，
數(shù)列為以2為首相，3為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）得，
，
4．已知數(shù)列的前n項和為，且，___________．請在①；②成等比數(shù)列；③，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．.
【答案】(1)，
(2)，
【分析】首先由，可得為首項為，公差為1的等差數(shù)列.
對于（1），當選①②時，代入，可得數(shù)列的通項公式，若選③，
由可得數(shù)列的通項公式；
對于（2），由（1）可知，則，后利用錯位相減法可得答案.
【詳解】（1），所以，即，
所以數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列．
若選①：由，得，即，
解得．所以，即數(shù)列的通項公式為，．
若選②：由成等比數(shù)列，得，
解得，所以，．
若選③：因為，解得，
所以，．
（2），則，
則，，
兩式相減得：，
故，．
5．已知數(shù)列滿足
(1)求證：為等差數(shù)列；
(2)令，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】(1)將題中遞推公式整理變形可得：，進而證明；
(2)結合（1）的結論得出：，利用錯位相減法即可求解.
【詳解】（1）由，可得
因此為等差數(shù)列，且公差為.
（2）又因為，所以 ，所以
所以
得
6．已知為等差數(shù)列，為公比大于的等比數(shù)列，且，，，.
(1)求的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由題設求得等差數(shù)列的公差與等比數(shù)列的公比，即可求得和.
(2)先由(1)求得，再利用錯位相減法求得其前項和即可.
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，
等比數(shù)列的公比為()，由題設可得：
，即
，解得，
所以，.
（2）由(1)可得：，
，
又，
兩式相減得：
，
整理得：.
7．已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，，．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量法求得公差和公比后可得通項公式；
（2）用錯位相減法求數(shù)列的和．
【詳解】（1）解：設的公差為，的公比為，，，
聯(lián)立，整理可得，解得，
所以，.
（2）解：由（1）知，
則，①
，②
①-②，得
.
所以.
8．已知數(shù)列中，，數(shù)列的前項和為滿足.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用與的關系可得當時，，驗證知成立，由此可得結論；
（2）根據(jù)等比數(shù)列通項公式可推導得到，采用錯位相減法可求得.
【詳解】（1）當時，，；
當時，，
則，
又滿足，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）得：，則，；
，
則，
，
.
9．設等差數(shù)列的前n項和為，已知，各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列與的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式與等比數(shù)列性質計算得， ，，，進而求解通項公式即可；
（2）由題知，進而根據(jù)錯位相減法求解即可；
【詳解】（1）解：設等差數(shù)列的公差為，因為
所以，解得，
所以
因為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，
所以，即，故，
所以，等比數(shù)列的公比為，解得，
所以
所以，.
（2）解：由題知，
所以；
，
所以，
所以
10．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，當時，.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）當時，在等式兩邊同時除以，結合等差數(shù)列的定義可證得結論成立；
（2）由（1）可求得數(shù)列的通項公式，可得出數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法可求得數(shù)列的前項和.
【詳解】（1）證明：數(shù)列滿足：，當時，，
整理得，
數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.
（2）解：，，
對任意的，，故，所以，，
①，
則②，
①－②得：，
.
11．已知數(shù)列的前n項和為，且．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由與的關系可得遞推公式，即可由遞推公式求通項公式；
（2）由錯位相減法求和.
【詳解】（1）由題意得，，則，即，
∵，，，∴，，則不恒為0，∴，即.
∵，∴當，；當，.
故的通項公式為.
（2），
①，
②，
①-②得，
則數(shù)列的前n項和.
12．在等比數(shù)列中，，數(shù)列的前項和.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)數(shù)列的前項和，求證：
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)求出公比，再代入求出，即可求出的通項公式，再根據(jù)作差即可求出的通項公式；
（2）由（1）可得，利用錯位相減法求和即可得證.
【詳解】（1）解：在等比數(shù)列中，，，
所以，
所以，所以，所以，
又數(shù)列的前項和，
當時，
當時，
經(jīng)檢驗當時也成立，所以.
（2）解：因為，所以，
所以，
，
兩式相減得，
即，
也即
，
所以.
13．已知數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，記為數(shù)列的前n項和，求，并證明：當時，．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用遞推式相減得出，并驗證首項符合通項，最后得出答案；
(2)錯位相減法求前n項和
【詳解】（1），①
則，②
①-②得 ，則，
當n=1時，由①得 ，
∴，
∴.
（2）易得，
，①
，②
②-①得
，
故，
當時，
14．數(shù)列（）的前項和滿足.
(1)求；
(2)設（）的前項和為，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)當時，時，代入化簡求出；
（2）由（1）和條件求出，對進行分類討論后，利用錯位相減法求出前項和為．
【詳解】（1）①當時，；
②當且時，.
當，故首項不符合以上公式.
.
（2）由（1）得，，
①當時，；當時，；
②當且時，
用下式減上式得：
即
得.
綜上所述，
15．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的首項，前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）變換得到，確定數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，計算得到答案.
（2）確定，再利用錯位相減法計算得到答案.
【詳解】（1）由兩式相減得，
，故，
當時，且，故，得（舍去），
，數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以.
（2），
，
16．已知等比數(shù)列的前n項和為，．為等差數(shù)列，．
(1)求，的通項公式；
(2)設，數(shù)列的前n項和為，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）運用公式求的通項，由已知求的公差，再求通項公式；
（2）利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和.
【詳解】（1）當時,，，
當時，，即，
所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.
又，，解得，所以等差數(shù)列公差，從而.
（2）因為，
所以，①
，②
由①-②得，
所以.
17．已知為等差數(shù)列，前n項和為，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，．
(1)求和的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．通過，求出q，得到，然后求出公差d，推出．
（2）設數(shù)列的前n項和為，利用錯位相減法，轉化求解數(shù)列的前n項和即可．
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．
由已知，得，
而，所以．
又因為，解得．
所以，．
由，可得①，
由，可得②，
聯(lián)立①②，解得，，
由此可得．
所以，的通項公式為，的通項公式為．
（2）設數(shù)列的前n項和為，
由，有，
，
上述兩式相減，得
．
得．
所以，數(shù)列的前n項和為．
18．已知數(shù)列的前項和為，，且.
(1)求數(shù)列的通項公式，
(2)設數(shù)列滿足（），求數(shù)列的前項和為
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用與的關系，分和討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可求解；
(2)結合（1）的結論，利用錯位相減法即可求出數(shù)列的前項和為.
【詳解】（1）因為，
當時，，解得：，
當時，則有，
兩式相減可得：，所以，
因為，所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
所以數(shù)列的通項公式為.
（2）由可得：，
所以
兩式相減可得：
所以.
19．已知數(shù)列
(1)令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)遞推公式證明為定值即可；
（2）利用錯位相減法求解即可.
【詳解】（1）證明：因為，所以，即，
又，
所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）得，
，
則，
，
兩式相減得，
所以．
20．已知數(shù)列的前n項和為且成等差數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)遞推關系可得，然后根據(jù)等差中項及等比數(shù)列的定義即得；
（2）由題可得，然后利用錯位相減法即得.
【詳解】（1）因為，，
當時，，
當時，，
所以，即，
又因為，且，則
所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，，又成等差數(shù)列，
所以，即，
所以，；
（2）因為，
所以，即，
所以，
，
所以，
所以.
21．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，且數(shù)列的前n項和為，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意可得①，當時，②.由①減②，即可證明數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項公式；
（2）求出，再由錯位相減法求出數(shù)列的前n項和為，即可證明.
【詳解】（1）由，得①，
所以當時，②.
由①減②，得.
因為數(shù)列為各項均為正數(shù)的數(shù)列，所以，
又由，，得.
所以，所以.
故數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.
（2）由（1），得，
所以數(shù)列的前項和.
所以.
兩式作差可得：，
所以.
因為，所以，故.
22．已知數(shù)列 ?的前?項和為?， 且?， __________．請在?成等比數(shù)列;?， 這三個條件中任選一個補充在上面題干中， 并解答下面問題．
(1)求數(shù)列 ?的通項公式;
(2)設數(shù)列 ?的前?項和?， 求證：?．
【答案】(1)任選一條件，都有?；
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)得到數(shù)列?是首項為?， 公差為 1 的等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的通項公式或前項和公式列方程求解即可；
（2）利用錯位相減法得到，即可得到，然后根據(jù)得到數(shù)列是遞增數(shù)列，即可得到.
【詳解】（1）因為， 所以?， 即?，
所以數(shù)列?是首項為?， 公差為 1 的等差數(shù)列， 其公差?．
若選，
由， 得?， 即，
所以， 解得?，
所以， 即數(shù)列?的通項公式為；
若選，，成等比數(shù)列，
由，，成等比數(shù)列， 得?，
則， 所以?， 所以；
若選，
因為，所以?， 所以?，
所以.
（2）由題可知，所以，
，
兩式相減得
，
所以，
所以，又，
所以數(shù)列是遞增數(shù)列，，故.
23．已知數(shù)列滿足，且，.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入數(shù)據(jù)計算得到，確定是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，計算得到答案.
（2），令，數(shù)列的前n項和為，利用錯位相減法得到，再利用分組求和得到答案.
【詳解】（1），，，解得.
可得，即，，
所以是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，故，.
（2），令，數(shù)列的前n項和為，
則，，
，
所以.
.
24．數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，，
(1)求數(shù)列的通項公式，并證明數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)令，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)；證明見解析
(2)
【分析】（1）首先求等比數(shù)列的通項公式，代入對數(shù)運算，求數(shù)列的通項公式，并根據(jù)等差數(shù)列的定義證明；
（2）由（1）可知，，利用錯位相減法求和.
【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，
，，所以，
所以，
，
（常數(shù)），，
所以數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列；
（2），


兩式相減得

，
所以.
25．已知數(shù)列的前n項和為，且，．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(3)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)．
【分析】（1）首先利用，消元后再構造數(shù)列的遞推形式，證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）根據(jù)（1）的結果可知，再根據(jù)等差數(shù)列的定義，即可證明；
（3）由（2）可得，再利用錯位相減法求和.
【詳解】（1）證明：因為，時，，得
所以當時，，
兩式作差得，
所以，
又，所以，
即，
所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列．
（2）證明：由（1）可知，即，
所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．
（3）由（2）可知，即，
根據(jù)題意得，
則，
所以，
兩式相減得，
即，
所以．
26．已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，2，，4成等差數(shù)列，且滿足=4，數(shù)列{bn}的前n項和Sn=bn，n∈N*，且b1=1.
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（2）設，n∈N*，數(shù)列{cn}的前n項和為An，求證：；
（3）設dn=(1)n[+()]，求{dn}的前n項和Tn.
【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）答案見解析.
【分析】
（1）由題設，應用等差中項的性質及等比數(shù)列通項公式列方程求等比數(shù)列基本量，寫出{an}通項公式，再由bn與Sn的關系可得，結合已知可得{bn}的通項公式；
（2）由（1）得，由裂項相消可得An=，根據(jù)An的單調性即可證結論.
（3）由（1）得dn= (1)n(n+1)2+(n+1)×，應用分組及錯位相減法、奇偶討論分別求{(1)n(n+1)2}的前n項和Bn、{(n+1)×}的前n項和為Hn，進而寫出{dn}的前n項和Tn.
【詳解】
（1）設等比數(shù)列{an}的公比為q>0，
∵2，4成等差數(shù)列，且滿足=4，
∴2a4=2a4q+4a4q2，，解得：q=，a1=.
∴an=.
數(shù)列{bn}的前n項和Sn=bn，n∈N*且b1=1.
∴n≥2時，bn=SnSn-1=bnbn-1，化為：，可得bn=n.
（2）證明：==，
∴數(shù)列{cn}的前n項和為An=++…+=，
∵An單調遞增，即A1≤An