一、選擇題
1．設,若,則( )
A.B.1C.D.2
2．設集合,,則( )
A.B.C.D.
3．設,,,則( )
A.B.C.D.
4．設為的導函數(shù),若,則曲線在點處的切線方程為( )
A.B.C.D.
5．設,若,則( )
A.B.C.D.
6．在平行四邊形ABCD中,E是BC的中點,是CD的中點,DE與BF相交于點G,則( )
A.B.C.D.
7．記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,若的面積為,則( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點之和為( )
A.2B.3C.0D.1
二、多項選擇題
9．已知,為平面上的單位向量,且,則( )
A.向量與的夾角的余弦值為
B.
C.
D.向量在向量上的投影向量為
10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則( )
A.的最小正周期為
B.
C.將曲線向右平移個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱
D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增,則
11．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且,則( )
A.的一個周期為3B.的圖象關于直線對稱
C.D.
12．已知,設函數(shù),則下列說法正確的是( )
A.當時,在定義域上單調(diào)遞增
B.當時,有兩個極值點
C.若,為的極值點,則
D.若,為的極值點,則
三、填空題
13．在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,,,則_________.
14．寫出同時滿足如下三個條件的一個函數(shù)解析式______.
①為偶函數(shù);
②的定義域為R;
③的值域為
15．已知正實數(shù)a,b滿足,則的最小值為__________.
16．設,若,則a的取值范圍是___________.
四、解答題
17．記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,,
求;
若,求的外接圓的面積．
18．設命題 “對任意,恒成立”．且命題p為真命題．
(1)求實數(shù)a的取值集合A;
(2)在(1)的條件下,設非空集合,若“”是“”的充分條件,求實數(shù)m的取值范圍．
19．已知函數(shù),其中.
(1)討論的單調(diào)性;
當時,設,分別為的極大值點和極小值點,且點,,若直線AB在y軸上的截距大于,求a的取值范圍.
20．記函數(shù),的最小正周期為T.
(1)若,且直線為的圖像的一條對稱軸,求;
(2)若為的一個零點,且在區(qū)間上至多有兩個零點,求T.
21．已知函數(shù),
(1)求的最小值;
(2)設不等式的解集為集合A,若對任意,存在,使得,求實數(shù)a的值．
22．(1)證明：當時,;
(2)已知函數(shù),,,為的導函數(shù)．
①當時,證明：在區(qū)間上存在唯一的極大值點;
②若有且僅有兩個零點,求a的取值范圍．
參考答案
1．答案：A
解析：依題,所以,,.
2．答案：B
解析：因為集合,,
則
3．答案：C
解析：由于,
且,故,
4．答案：D
解析：因為,,
所以,所以,
由,在點處的切線方程為,
所以在處的切線方程為,
5．答案：B
解析：因為,
所以,即,
所以,又,當時,,
所以
故選：B.
6．答案：A
解析：設,
由題意可知:G為的重心,且O為AC的中點,
可知A,O,G,C四點共線,且,
所以.
故選:A.
7．答案：C
解析：依題意,有,有,所以,
設面積為S,所以,有,有,解得或舍去,故
故選：C.
8．答案：D
解析：設,由得
當時,,解得：;當時,,解得：
當時,,則或,
解得或或,即的解為-1,1,3;
當時,,則或
解得,即的解為
所以的所有零點之和為,
9．答案：ABD
解析：由題意知,且,
故,即,,
故,A正確;
,故,B正確;
,
故,不垂直,C錯誤;
向量在向量上的投影向量為,D正確,
10．答案：AD
解析：因為,所以,,故A正確;
由,,可得,故B錯誤;
由A,B選項可知,,向右平移個單位,
所得函數(shù)的圖象關于原點對稱,C選項錯誤;
在上單調(diào)遞增,故,D選項正確.
故選AD.
11．答案：AD
解析：由題意可知,
所以,即的一個周期為3,故A正確;
因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),
故有,
即的圖象關于對稱,故B錯誤;
由上,但不能確定、的大小,
故C錯誤;
由上有,故D正確;
12．答案：ACD
解析：的定義域為,
當時,,單調(diào)遞增,A選項正確;
當時,令,設,即,
,
所以,無極值點,B選項錯誤;
由B選項可知,時,存在兩個正實數(shù)根,
存在兩個極值點,所以,即,C選項正確;
,D選項正確,
13．答案：3
解析：在中,由余弦定理得,,
因為,,,
所以,化簡得,,
所以或負值舍去
14．答案：答案不唯一
解析：由于的定義域為R,值域為,故可聯(lián)想到三角函數(shù),
又因為為偶函數(shù),結合三角函數(shù)性質(zhì)得：
函數(shù)可以為、等,
15．答案：12
解析：由條件可得,將展開并變形為,
利用基本不等式即可求得答案.
因為正實數(shù)a,b滿足,
故,當且僅當時等號成立,
故
,
當且僅當,即時取等號,符合題意,
故的最小值為12,
16．答案：
解析：由題意得,,,
則,即,
令,則,
當時,,單調(diào)遞減,
當時,,單調(diào)遞增,
所以,
由,即,令,則恒成立,
則在單調(diào)遞減,所以,所以.
17．答案：(1)2
(2)
解析：(1)由正弦定理,有,
即,解得
(2),
因為,所以,
由可知,所以,所以,
解得,所以的外接圓的面積為
18．答案：(1)
(2)或
解析：(1)恒成立,
即,因為,所以,
所以對任意恒成立,,
因為,當且僅當時取“=”,所以,
綜上,a的取值集合為.
(2)依題意,,解得或,
因為“”是“”的充分條件,所以,
所以,解得,
所以m的取值范圍為或.
19．答案：(1)當時,在R上單調(diào)遞增,當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
(2)
解析：(1)
當時,,在R上單調(diào)遞增;
當時,令,解得或,
所以當時,,單調(diào)遞增,
當時,,單調(diào)遞減,
當時,,單調(diào)遞增,
綜上,當時,在R上單調(diào)遞增,
當時,在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
(2)由(1)知,當時,,,且,
則直線
令,則,
依題意,,由可化為,解得,
所以a的取值范圍是
20．答案：(1)
(2),
解析：(1)因為,且,
所以,則,因為為圖象的一條對稱軸,
所以,所以,所以;
(2)由為的一個零點,可知,
因為,所以,
又在內(nèi)至多有兩個零點,所以,
由,有,可得,
又由,可得或2,
①當時,,又由,
由,有,可得,有,
在區(qū)間內(nèi)有一個零點,符合題意;
②當時,,又由,
由,沒有滿足條件的,
由上知,.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)時,,所以,
當且僅當,即時,等號成立,所以的最小值為.
(2),即,
解得,即,故,
設,則當,即時,
由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知,
而,
設,則由題意得為當時,的值域的子集.
當,即時,易知在上單調(diào)遞增,
故得
當,即時,在上的最大值即和中的較大值,
令得,
令得,而,故不合題意;
當,即時,易知在上單調(diào)遞減,
故不等式組無解.
綜上所述：實數(shù)a的值為
22．答案：(1)成立
(2)見解析
解析：(1)設,則恒成立,
所以在上單調(diào)遞增,故,即成立;
(2)①當時,,,
令,則,
因為當時,令,單調(diào)遞增,且,
所以,故也單調(diào)遞增,
故當時,單調(diào)遞減,單調(diào)遞減,單調(diào)遞減,所以單調(diào)遞減,
又,,所以存在,使得,
所以當時,,單調(diào)遞增,
當時,,單調(diào)遞減,
所以在區(qū)間上存在唯一的極大值點;
②當時,又,由(1)知,,所以,
當且僅當時,等號成立,所以只有一個零點0,不符合題意;
當時,且時,,,
所以,故在上單調(diào)遞減,
結合①可知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
又,,
所以存在,使得,
所以當時,,即,則單調(diào)遞增,
當時,,即,則單調(diào)遞減,
則,,所以存在,使得,
所以在有且僅有兩個零點,即與,滿足題意;
綜上,a的取值范圍是.

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