甘肅省張掖市某校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)檢測(cè) 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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【答案】A
【解析】
【分析】寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再得其準(zhǔn)線方程，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解之即可.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€，即，
則其準(zhǔn)線方程為，
因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程是，
所以，解得.
故選：A.
2. 從7人中選派5人到10個(gè)不同崗位中的5個(gè)參加工作，則不同的選派方法有（ ）
A. 種B. 種
C. 種D. 種
【答案】D
【解析】
【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列組合求解即可.
【詳解】第一步，選出5人，共有種不同選法；
第二步，選出5個(gè)崗位，共有種不同選法；
第三步，將5人分配到5個(gè)崗位，共有種不同選法.
由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知不同的選派方法有（種）.
故選：D.
3. 已知直線 是雙曲線的一條漸近線，則 的離心率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)漸近線方程可得，即可根據(jù)離心率根式求解.
【詳解】的漸近線方程為，故，故，
故離心率為，
故選：B
4.
【5題答案】
【答案】B
6．C
【分析】不妨取為左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，連接，，則為平行四邊形，的周長(zhǎng)大于等于，計(jì)算得到答案.
【詳解】如圖所示：不妨取為左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，連接，，
則為平行四邊形，
的周長(zhǎng)為，
當(dāng)，為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.
故選：C
8．A
【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用拋物線的定義及相似三角形的性質(zhì)即可求解.
【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),交軸于點(diǎn)，如圖所示，
由，得，解得，
所以，.
設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以,
又,
故，解得，
所以.
故選：A.
9．BC
【分析】對(duì)于A，利用高線所在直線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程，可得答案；對(duì)于B，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，根據(jù)斜率公式以及點(diǎn)斜式方程，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)斜率公式以及點(diǎn)斜式方程，可得答案；對(duì)于D，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，可得答案.
【詳解】對(duì)于A，在直線上，，故A不正確；
對(duì)于B，的中點(diǎn)為，，∴斜率為，
則直線方程為，即，故B正確；
對(duì)于C，直線方程為，
整理可得，故C正確；
對(duì)于D，，，
直線的傾斜角大于直線的傾斜角，故D不正確，
故選：BC．
10.AB
【分析】根據(jù)條件，利用圓、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，曲線為，此時(shí)曲線表示圓，所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，曲線為，此時(shí)曲線為橢圓且橢圓的焦距為，所以選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：AB.
11.AC
【分析】根據(jù)題意，利用分步計(jì)數(shù)原理分析選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)， 第1個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，第2個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，后面的2個(gè)同學(xué)也有3種報(bào)法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種結(jié)果，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則第1個(gè)社團(tuán)有4種選擇，第2個(gè)社團(tuán)有3種選擇，第3個(gè)社團(tuán)有2種選擇，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種結(jié)果，C正確，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
12.112 13. 14.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式即可得解；
（2）利用分組求和差，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得解.
【詳解】（1）（1）設(shè)數(shù)列等差數(shù)列的公差為d，
因?yàn)?，所以，則，
因?yàn)?，即，所以?br>所以，，
所以，即 .
（2）因?yàn)?，所以?br>所以
．
16. 已知直線，橢圓.
（1）求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)時(shí)，求直線被橢圓截得的弦長(zhǎng).
【答案】（1）證明見解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）整理直線方程，建立方程組，可得答案；
（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式，可得答案.
【小問1詳解】
因?yàn)?，整理可得?br>由，解得，
此時(shí)，不管取何值，必成立.
所以直線必過定點(diǎn).
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，
設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，
由，消去得：，
，，
.
17．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理證明即可；
（2）由線面垂直判定定理和性質(zhì)定理證明即可.
【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑吻遥?br>所以是正三角形，因?yàn)镚為的中點(diǎn)，所以，
又平面⊥平面，且平面∩平面，平面，
所以平面，
（2）因?yàn)閭?cè)面為正三角形，為邊的中點(diǎn)，
所以，又由（1）可知，
又，BG，平面，
所以平面，又平面，所以，
18.
19. 已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，右焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線距離為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點(diǎn)作直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交雙曲線左支于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的面積的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)可求，根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離可求，故可得雙曲線方程；
（2）設(shè)：，，，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程消去后結(jié)合韋達(dá)定理可得面積的解析式（用表示），再結(jié)合換元法可求其面積的最大值.
【小問1詳解】
因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，故，
而雙曲線的漸近線為，
故右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
故雙曲線的方程為：.
【小問2詳解】
顯然直線與軸不垂直，設(shè)：，，，
由雙曲線的對(duì)稱性知的中點(diǎn)為，故，
聯(lián)立
故，，
由于A，均在雙曲線右支，故，故，
而，
代入韋達(dá)定理得，
令，則，
易知在上為減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，
綜上：的面積的最小值為12.