2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義考點(diǎn)歸納與方法總結(jié) 第01講集合（精講）（含解析）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

一、必備知識(shí)整合
一、集合的有關(guān)概念
1．集合元素的三個(gè)特性：確定性、無序性、互異性．
2．集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．
3．元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為∈；不屬于，記為?．
4．五個(gè)特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集．
二、集合間的基本關(guān)系
(1)子集：一般地，對于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素，都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集.記作A?B(或B?A).
(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且xA，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB.
(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.
(4)空集的性質(zhì)：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
三、集合的基本運(yùn)算
（1）若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
二、考點(diǎn)分類精講
【題型一集合的含義及其表示】
解決與集合中的元素有關(guān)問題的一般思路
【典例1】（單選題）若集合中有5個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【典例2】（單選題）已知集合下列關(guān)系正確的是（）
A．B．C．D．
【典例3】（單選題）已知集合，，則（）
A．B．C．或D．
一、單選題
1．（23-24高三下·江西撫州·階段練習(xí)）若集合，則中的元素個(gè)數(shù)為（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】
計(jì)算出集合后可求其含有的元素的個(gè)數(shù).
【詳解】
依題意可得，則中的元素個(gè)數(shù)為5.
故選：B.
2．（23-24高三下·四川雅安·階段練習(xí)）若集合，，則B中元素的最小值為（）
A．B．C．D．32
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，由集合的概念，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得，，
所以B中元素的最小值為.
故選：A
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則下列表示正確的是（）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令分別為選項(xiàng)中不同值，求出的值進(jìn)行判定.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)或時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，所以，故D錯(cuò)誤.
故選：A
4．（2024·陜西榆林·二模）若集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)集合知識(shí)逐項(xiàng)求解，從而可判斷求解.
【詳解】對A：依題意可得，故A錯(cuò)誤；
對B：即為與的交點(diǎn)，即，解得或，即，故B錯(cuò)誤；
對C：，故C正確.
對D：，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
5．（2023·新疆·一模）已知集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為（）
A．3B．2C．4D．5
【答案】A
【分析】將的所有可能取值逐個(gè)代入計(jì)算即可得出集合，即可得集合的元素個(gè)數(shù).
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故，共三個(gè)元素.
故選：A.
二、填空題
6．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）已知集合，且，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，列出方程，求得的值，結(jié)合集合元素的互異性，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以或，解得或?br>當(dāng)時(shí)，，，集合不滿足元素的互異性，所以舍去；
當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以．
故答案為：．
7．（23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）已知集合，，則的取值范圍是．
【答案】
【分析】由題意可得，解之即可得解.
【詳解】因?yàn)榧?，?br>所以，解得.
故答案為：.
【題型二集合間的基本關(guān)系】
判斷集合關(guān)系的三種方法
【典例1】（單選題）已知集合，，若，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【典例2】（單選題）集合的真子集的個(gè)數(shù)為（）
A．3B．4C．7D．8
一、單選題
1．（2024·陜西西安·三模）設(shè)集合，，若，則（）
A．2B．3C．1D．1或2
【答案】C
【分析】依題意可得，則或，求出的值，再檢驗(yàn)是否滿足集合元素的互異性.
【詳解】因?yàn)椋遥?br>所以，則或，
解得或，
當(dāng)時(shí)，不滿足集合元素的互異性，故舍去；
當(dāng)時(shí)，符合題意.
綜上可得.
故選：C
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）若集合，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】先求集合A，確定即可求解.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為.
故選:D.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，．若，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合A，由題意可知，即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可得，
因?yàn)?，則，所以．
故選：D．
4．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知集合，則集合的子集有（）個(gè)
A．3B．4C．7D．8
【答案】D
【分析】
先求解集合中元素的個(gè)數(shù)，再求解子集個(gè)數(shù)即可.
【詳解】，
故集合的子集有個(gè).
故選：D
5．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）設(shè)集合，，則、的關(guān)系是（）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】用列舉法表示出集合、，即可判斷、的關(guān)系.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
所以，.
故選：D
二、填空題
6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）滿足?的集合的個(gè)數(shù)是．
【答案】3
【分析】
借助真子集與集合包含關(guān)系的性質(zhì)計(jì)算即可得.
【詳解】
由題知，則，
故集合的個(gè)數(shù)為.
故答案為：.
7．（2024·廣西·二模）已知集合，，若，則實(shí)數(shù) ．
【答案】
【分析】根據(jù)子集關(guān)系求出可能解，再利用集合中元素的互異性求出不能取的值即可得出m的值.
【詳解】因?yàn)?，所以或，或?br>又由集合中元素的互異性可知且且，且，
綜上.
故答案為：.
8．（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）設(shè)，若關(guān)于的不等式的解集是區(qū)間的真子集，則的取值范圍是．
【答案】
【分析】
解一元二次不等式結(jié)合真子集的概念即可得解.
【詳解】
因?yàn)椋裕?br>又不等式的解集是區(qū)間的真子集，則.
故答案為：.
9．（2024·山東濟(jì)寧·一模）設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【答案】
【分析】求解一元二次不等式解得集合，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，列出不等式求解即可.
【詳解】集合，
又，且，
故可得，即，解得.
故答案為：.
【題型三集合的交并補(bǔ)運(yùn)算】
集合運(yùn)算三步驟
【典例1】（單選題）已知集合，，則（）
A．B．C．D．
【典例2】（單選題）設(shè)集合，，則（）
A．B．C．D．
【典例3】（單選題）已知集合，，則（）
A．B．C．D．
一、單選題
1．（2024高三下·北京·專題練習(xí)）已知集合，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算可得答案．
【詳解】因?yàn)?，?br>所以.
故選：D
2．（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）設(shè)集合，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)補(bǔ)集和交集求出答案.
【詳解】或，故.
故選：B.
3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）設(shè)全集，集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分別求出集合A和B，利用交集的定義求出.
【詳解】因?yàn)?，?
故選：C.
4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡或，即可由交集求解.
【詳解】由可得或，
又，所以，
故選：A
5．（2024·四川德陽·二模）已知集合，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】將集合化簡，再由集合的運(yùn)算即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榛颍?br>則，又，
所以.
故選：B
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，則滿足的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)集合運(yùn)算得集合關(guān)系，結(jié)合集合元素的性質(zhì)分類討論求解即可.
【詳解】依題意，，若，解得（時(shí)不滿足集合的互異性，舍去），
若，解得（時(shí)不滿足集合的互異性，舍去），
綜上所述，或.
故選：B
7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求解不等式和求函數(shù)的值域得到集合的范圍，再根據(jù)交并補(bǔ)和集合間的關(guān)系的定義分別判斷各選項(xiàng)即得.
【詳解】，，
因故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
由，知B項(xiàng)錯(cuò)誤；
由知C項(xiàng)錯(cuò)誤；
因，故D項(xiàng)正確.
故選：D.
8．（2024·全國·模擬預(yù)測）若集合，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式求解集合A，解指數(shù)函數(shù)不等式求解集合B，再利用交集運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
所以.
故選：A
9．（2024·遼寧·三模）已知集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)對數(shù)式有意義、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)值域的解法，結(jié)合并集的定義即可求解.
【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得，
顯然函數(shù)在區(qū)間上上單調(diào)遞增，且，
所以，只需，解得
另函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則，
所以，
所以.
故選：B.
10．（2024·廣東佛山·二模）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先計(jì)算出集合后，借助并集定義計(jì)算即可得.
【詳解】由，可得或，即或，
由，，則.
故選：D.
11．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，集合，則的子集個(gè)數(shù)為（）
A．8B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】集合都是點(diǎn)集，根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系得到直線與圓相切，所以有一個(gè)交點(diǎn)，有個(gè)子集.
【詳解】集合A表示直線上的所有點(diǎn)的集合，集合B表示圓上所有點(diǎn)的集合，
因?yàn)閳A心到直線的距離為，等于圓的半徑，故直線與圓相切，
故中只有一個(gè)元素，故的子集個(gè)數(shù)為．
故選：C.
二、多選題
12．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知集合則（）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】先求解不等式得集合，利用集合的交集、并集、補(bǔ)集定義運(yùn)算和集合間的包含關(guān)系即可一一判斷正誤.
【詳解】由可得或，即或.
對于A項(xiàng)，或，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于B項(xiàng)，或,故B項(xiàng)正確；
對于C項(xiàng)，因或，故，故C項(xiàng)正確；
對于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確.
故選：BCD.
13．（2023·山東濰坊·一模）若非空集合滿足：，則（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)題意可得：，然后根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求解.
【詳解】由可得：，由，可得，則推不出，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由可得，故選項(xiàng)正確；
因?yàn)榍?，所以，則，故選項(xiàng)正確；
由可得：不一定為空集，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：.
三、填空題
14．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，若中有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
【答案】
【分析】根據(jù)交集的運(yùn)算及集合中的元素的個(gè)數(shù)，列不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)?，，若中?個(gè)元素，
所以，所以，解得，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
15．（2024·遼寧·二模）已知集合，，若．則m的取值范圍是．
【答案】
【分析】由題意可得，再列出不等式組，解之即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?，故?br>所以且，
所以，解得.
故答案為：.
16．（2024·吉林白山·二模）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】
根據(jù)題意求集合，根據(jù)分析求解.
【詳解】由題意可知：，
因?yàn)?，則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
【題型四圖的應(yīng)用】
【典例1】（單選題）如圖，已知集合，則陰影部分表示的集合為（）
A．B．C．D．
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題圖可知圖中陰影部分表示的集合為，再根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義即可得解.
【詳解】由題圖可知圖中陰影部分表示的集合為，
因?yàn)椋?，?br>所以，則.
故選：A．
2．（2023·廣東·模擬預(yù)測）已知全集，集合或，或，則圖中陰影部分表示的集合為（）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
利用集合的交并補(bǔ)的定義，結(jié)合圖即可求解.
【詳解】因?yàn)榛颍颍?br>所以或或或，
或或或.
由題意可知陰影部分對于的集合為，
所以，
或.
故選：D.
3．（2024·廣西柳州·三模）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有90%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，80%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）
A．70%B．60%C．50%D．40%
【答案】C
【分析】根據(jù)韋恩圖中集合的關(guān)系運(yùn)算即可．
【詳解】由題意可得如下所示韋恩圖：
所求比例為：．
故選：C．
4．（2024·山東煙臺(tái)·一模）已知集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式化簡集合A，再結(jié)合韋恩圖，利用交集的定義求解即得.
【詳解】解不等式，得，即，
由，得，
所以圖中陰影部分表示的集合為.
故選：A
5．（23-24高三上·山東聊城·期末）已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分別求出集合A和B，然后根據(jù)圖中陰影部分是由在B中不在A中的元素構(gòu)成的集合即可得出答案.
【詳解】，所以，
，所以，所以，
圖中陰影部分是由在B中不在A中的元素構(gòu)成的集合，即，
故選：D.
6．（2023·湖南邵陽·模擬預(yù)測）如圖，集合均為的子集，表示的區(qū)域?yàn)椋? ）

A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ
【答案】B
【分析】根據(jù)集合間的運(yùn)算分析判斷.
【詳解】因?yàn)楸硎境螧以外的所有部分，即為Ⅰ和Ⅱ，
所以表示與集合A的公共部分，即為Ⅱ.
故選：B.
7．（23-24高三上·湖北·期末）某校高一年級(jí)有1200人，現(xiàn)有兩種課外實(shí)踐活動(dòng)供學(xué)生選擇，要求每個(gè)同學(xué)至少選擇一種參加.統(tǒng)計(jì)調(diào)查得知，選擇其中一項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)占總數(shù)的60%到65%，選擇另一項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)占50%到55%，則下列說法正確的是（）
A．同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有100人
B．同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有180人
C．同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有260人
D．同時(shí)選擇兩項(xiàng)參加的人數(shù)可能有320人
【答案】B
【分析】根據(jù)換算關(guān)系可得同時(shí)選兩項(xiàng)的人數(shù)的范圍，故可得正確的選項(xiàng).
【詳解】根據(jù)題意，，，
則同時(shí)選A，B的人數(shù)在到之間，換算成人數(shù)為，即120到240之間，
因此符合題意的選項(xiàng)只有B．
故選：B.
8．（2023高三·全國·專題練習(xí)）“四書五經(jīng)”是中國傳統(tǒng)文化瑰寶，是儒家思想的核心載體，其中“四書”指《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》．某大學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀“四書”的情況，隨機(jī)調(diào)查了200位學(xué)生，其中閱讀過《大學(xué)》的有60位，閱讀過《論語》的有160位，閱讀過《大學(xué)》或《論語》的有180位，閱讀過《大學(xué)》且閱讀過《論語》及《中庸》的有20位．則該校閱讀過《大學(xué)》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值是（）
A．0.1B．0.2
C．0.3D．0.4
【答案】A
【分析】根據(jù)描述，應(yīng)用容斥原理畫韋恩圖，求出該校閱讀過《大學(xué)》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學(xué)生人數(shù)，即可得結(jié)果.
【詳解】如下圖，閱讀過《大學(xué)》且閱讀過《論語》的人數(shù)是160＋60－180＝40，
閱讀過《大學(xué)》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學(xué)生人數(shù)是40－20＝20，
由樣本估計(jì)總體，得所求比值為.
故選：A
【題型五集合新定義問題】
解決與集合的新定義有關(guān)問題的一般思路
解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：
(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；
(2)用好集合的性質(zhì)．解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運(yùn)算與性質(zhì)．
【典例1】對于正整數(shù)集合（），如果任意去掉其中一個(gè)元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱集合A為“可分集合”；
(1)判斷集合和是否是“可分集合”（不必寫過程）；
(2)求證：四個(gè)元素的集合一定不是“可分集合”；
(3)若集合是“可分集合”，證明：為奇數(shù).
一、單選題
1．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖所示的Venn圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由集合的運(yùn)算結(jié)合的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
則,，
由集合的運(yùn)算可知，表示中去掉的部分，
所以.
故選：D
2．（23-24高三下·湖南長沙·開學(xué)考試）若集合滿足：，若，則，則稱集合是一個(gè)“偶集合”.已知集合，，那么下列集合中為“偶集合”的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分別求出，，，，再利用“偶集合”的定義判斷即得.
【詳解】集合，，則，
顯然，而，A不是；
，顯然，而，B不是；
，則，不符合題意，C不是；
，則，
對，有，即是一個(gè)“偶集合”，D是.
故選：D
3．（23-24高三下·甘肅·階段練習(xí)）如果集合U存在一組兩兩不交（兩個(gè)集合交集為空集時(shí)，稱為不交）的非空子集，且滿足，那么稱子集組構(gòu)成集合U的一個(gè)k劃分．若集合I中含有4個(gè)元素，則集合I的所有劃分的個(gè)數(shù)為（）
A．7個(gè)B．9個(gè)C．10個(gè)D．14個(gè)
【答案】D
【分析】分別計(jì)算2劃分，3劃分和4劃分的個(gè)數(shù)，再相加即可.
【詳解】不妨設(shè)，則：
的2劃分有，，，，，，；
的3劃分有，，，，，；
的4劃分只有.
綜上，的劃分共有個(gè)，D正確.
故選：D.
4．（2024·上海靜安·二模）如果一個(gè)非空集合上定義了一個(gè)運(yùn)算，滿足如下性質(zhì)，則稱關(guān)于運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群.
（1）封閉性，即對于任意的，有；
（2）結(jié)合律，即對于任意的，有；
（3）對于任意的，方程與在中都有解．
例如，整數(shù)集關(guān)于整數(shù)的加法（）構(gòu)成群，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)整數(shù)的和還是整數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，對于任意的，方程與都有整數(shù)解；而實(shí)數(shù)集關(guān)于實(shí)數(shù)的乘法（）不構(gòu)成群，因?yàn)榉匠虥]有實(shí)數(shù)解.
以下關(guān)于“群”的真命題有（）
①自然數(shù)集關(guān)于自然數(shù)的加法（）構(gòu)成群；
②有理數(shù)集關(guān)于有理數(shù)的乘法（）構(gòu)成群；
③平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積（）構(gòu)成群；
④復(fù)數(shù)集關(guān)于復(fù)數(shù)的加法（）構(gòu)成群.
A．0個(gè)；B．1個(gè)；C．2個(gè)；D．3個(gè).
【答案】B
【分析】根據(jù)群的定義需滿足的三個(gè)條件逐一判斷即可.
【詳解】對于①，，在自然數(shù)集中無解，錯(cuò)誤；
對于②，，在有理數(shù)集中無解，錯(cuò)誤；
對于③，是一個(gè)數(shù)量，不屬于平面向量集，錯(cuò)誤；
對于④，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)復(fù)數(shù)的和還是復(fù)數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，
且對任意的，方程與有復(fù)數(shù)解，正確.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，用新定義解題.解題方法是根據(jù)新定義的3個(gè)條件進(jìn)行驗(yàn)證，注意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律與新定義中運(yùn)算的聯(lián)系可以很快得出結(jié)論.
5．（23-24高一上·上?！て谀┮阎鲜怯赡承┱麛?shù)組成的集合，且滿足：若，則當(dāng)且僅當(dāng)（其中正整數(shù)、且）或（其中正整數(shù)、且）．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①；②集合．則下列判斷正確的是（）
A．①對②對B．①對②錯(cuò)C．①錯(cuò)②對D．①錯(cuò)②錯(cuò)
【答案】A
【分析】根據(jù)集合的定義即可判斷①是假命題，根據(jù)集合的定義先判斷，，再由，有，，且，所以，可判斷 ②是真命題.
【詳解】因?yàn)槿?，則當(dāng)且僅當(dāng)其中且，或其中且，
且集合是由某些正整數(shù)組成的集合，
所以，，
因?yàn)?，滿足其中且，所以，
因?yàn)椋?，，所以?br>因?yàn)?，，，所以，故①對?br>下面討論元素與集合的關(guān)系，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，，所以；
當(dāng)時(shí)，，，，所以；
當(dāng)時(shí)，，，，所以；依次類推，
當(dāng)時(shí)，，，，
所以，則，故②對.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于判斷，，，，再根據(jù)集合的定義求解.
二、解答題
6．（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）設(shè)k是正整數(shù)，A是的非空子集（至少有兩個(gè)元素），如果對于A中的任意兩個(gè)元素x，y，都有，則稱A具有性質(zhì)．
(1)試判斷集合和是否具有性質(zhì)？并說明理由．
(2)若．證明：A不可能具有性質(zhì)．
(3)若且A具有性質(zhì)和．求A中元素個(gè)數(shù)的最大值．
【答案】(1)不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，理由見解析
(2)證明見解析
(3)920
【分析】（1）根據(jù)定義判斷是否具有性質(zhì)即可；
（2）將分為個(gè)子集，結(jié)合抽屜原理證明結(jié)論；
（3）先證明連續(xù)個(gè)自然數(shù)中至多有個(gè)元素屬于，由此可得集合A中元素個(gè)數(shù)不超過個(gè)，再舉例說明存在含有個(gè)元素的滿足要求的集合.
【詳解】（1）因?yàn)?，又?br>但，所以集合不具有性質(zhì)，
因?yàn)?，又?br>但，
所以集合具有性質(zhì).
（2）將集合中的元素分為如下個(gè)集合，
，
所以從集合中取個(gè)元素，則前個(gè)集合至少要選10個(gè)元素，
所以必有個(gè)元素取自前個(gè)集合中的同一集合，即存在兩個(gè)元素其差為，
所以A不可能具有性質(zhì).
（3）先說明連續(xù)11項(xiàng)中集合中最多選取5項(xiàng)，
以為例.
構(gòu)造抽屜，，，，，，.
①同時(shí)選，因?yàn)榫哂行再|(zhì)和，
所以選5則不選；選6則不選；選7則不選；
則只剩. 故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè).
②選2個(gè)，
若只選，則不可選，又只能選一個(gè)元素，
可以選，故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè).
若選，則只能從中選，但不能同時(shí)選，
故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè).
若選，則不可選，又只能選一個(gè)元素，
可以選，故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè).
③中只選1個(gè)，
又四個(gè)集合，，，每個(gè)集合至多選1個(gè)元素，
故中屬于集合的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè).
由上述①②③可知，連續(xù)11項(xiàng)自然數(shù)中屬于集合的元素至多只有5個(gè)，
如取.
因?yàn)?023=183×11+10，則把每11個(gè)連續(xù)自然數(shù)分組，前183組每組至多選取5項(xiàng)；
從2014開始，最后10個(gè)數(shù)至多選取5項(xiàng)，故集合的元素最多有個(gè).
給出如下選取方法：從中選?。?br>然后在這5個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上每次累加11，構(gòu)造183次.
此時(shí)集合的元素為：；；；；
，共個(gè)元素.
經(jīng)檢驗(yàn)可得該集合符合要求，故集合的元素最多有個(gè).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.
7．（2024·北京·模擬預(yù)測）已知集合，其中都是的子集且互不相同，記的元素個(gè)數(shù)，的元素個(gè)數(shù).
(1)若，直接寫出所有滿足條件的集合；
(2)若，且對任意，都有，求的最大值；
(3)若且對任意，都有，求的最大值.
【答案】(1)或或或
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)新定義對交集情況分類討論即可；
（2）將集合的子集進(jìn)行兩兩配對得到16組，寫出選擇的16個(gè)含有元素1的子集即可得到；
（3）分中有一元集合和沒有一元集合但有二元集合，以及均為三元集合討論即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t和的元素個(gè)數(shù)均為1，
又因?yàn)?，則，
若，，則或；
若，，則或；
綜上或或或.
（2）集合共有32個(gè)不同的子集，
將其兩兩配對成16組，
使得，則不能同時(shí)被選中為子集，故.
選擇的16個(gè)含有元素1的子集:，符合題意.
綜上，.
（3）結(jié)論:，令，集合符合題意.
證明如下：
①若中有一元集合，不妨設(shè)，則其它子集中都有元素1，且元素都至多屬于1個(gè)子集，
所以除外的子集至多有個(gè)，故.
②若中沒有一元集合，但有二元集合，不妨設(shè).其它子集分兩類:
或，和或，
其中互不相同，互不相同且均不為1，2.
若，則，有
若，則由得每個(gè)集合中都恰包含中的1個(gè)元素（不是2)，且互不相同，
因?yàn)橹谐?外至多還有2個(gè)元素，所以.
所以.
③若均為三元集合，不妨設(shè).將其它子集分為三類：
，其中.
若，則(除1，2，3外，其它元素兩個(gè)一組與1構(gòu)成集合)，
所以.
若，不妨設(shè)，則由得每個(gè)集合中都或者有4、或者有5，
又中除1外無其它公共元素，所以.
所以.
綜上，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是充分理解集合新定義，然后對中集合元素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論；當(dāng)均為三元集合時(shí)，不妨設(shè)，再將其它子集分為三類討論.
8．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A與B，存在對應(yīng)關(guān)系f，使A中的每一個(gè)元素a，B中總有唯一的元素b與它對應(yīng)，則稱這種對應(yīng)為從A到B的映射，記作f：A→B．
設(shè)集合，（，），且．設(shè)有序四元數(shù)集合且，．對于給定的集合B，定義映射f：P→Q，記為，按映射f，若（），則；若（），則．記．
(1)若，，寫出Y，并求；
(2)若，，求所有的總和；
(3)對于給定的，記，求所有的總和（用含m的式子表示）．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意中的新定義，直接計(jì)算即可求解；
（2）對1，，5是否屬于B進(jìn)行分類討論，求出對應(yīng)所有Y中的總個(gè)數(shù)，進(jìn)而求解；
（3）由題意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解.
【詳解】（1）由題意知，，
所以．
（2）對1，，5是否屬于B進(jìn)行討論：
①含1的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；
不含1的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；
所以所有Y中2的總個(gè)數(shù)和1的總個(gè)數(shù)均為10；
②含5的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；
不含5的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；
所以所有Y中6的總個(gè)數(shù)和5的總個(gè)數(shù)均為10；
②含的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，，；
不含的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，，；
所以所有y中的總個(gè)數(shù)和的總個(gè)數(shù)均為20．
綜上，所有的總和為．
（3）對于給定的，考慮在映射f下的變化．
由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共個(gè)，
所以在映射f下變?yōu)椋?br>不含的子集B共個(gè)，在映射f下變?yōu)椋?br>所以在映射f下得到的所有的和為．
同理，在映射f下得到的所有（）的和．
所以所有的總和為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過推理、運(yùn)算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，落腳點(diǎn)仍然是集合的有關(guān)知識(shí)點(diǎn).
①集合的含義及其表示
②集合間的基本關(guān)系
③集合的交并補(bǔ)運(yùn)算
④圖的應(yīng)用
⑤集合新定義問題
集合的并集
集合的交集
集合的補(bǔ)集
符號(hào)表示
A∪B
A∩B
若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為CUA
圖形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x ?A}

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