新高考數學一輪復習講義第3章 §3.8　隱零點與極值點偏移問題　培優(yōu)課（含解析）-學案下載-教習網

題型一隱零點問題
導函數的零點在很多時候是無法直接解出來的，我們稱之為“隱零點”，即能確定其存在，但又無法用顯性的代數進行表達．這類問題的解題思路是對函數的零點設而不求，通過整體代換和過渡，再結合題目條件解決問題．
例1 (2022·揚州模擬)已知函數f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)討論函數f(x)的單調性；
(2)證明不等式ex－2－ax>f(x)恒成立．
(1)解 f′(x)＝eq \f(1,x)－a＝eq \f(1－ax,x)(x>0)，
當a≤0時，f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；
當a>0時，令f′(x)＝0，得x＝eq \f(1,a)，
所以當x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；
當x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))時，f′(x)0時，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,a)))上單調遞增，
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))上單調遞減．
(2)證明設函數φ(x)＝ex－2－ln x(x>0)，
則φ′(x)＝ex－2－eq \f(1,x)，
可知φ′(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
又由φ′(1)0知，φ′(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一實數根x0，且10，
即不等式ex－2－ax>f(x)恒成立．
思維升華零點問題求解三步曲
(1)用函數零點存在定理判定導函數零點的存在性，列出零點方程f′(x0)＝0，并結合f′(x)的單調性得到零點的取值范圍．
(2)以零點為分界點，說明導函數f′(x)的正負，進而得到f(x)的最值表達式．
(3)將零點方程適當變形，整體代入最值式子進行化簡證明，有時(1)中的零點范圍還可以適當縮小．
跟蹤訓練1 (2022·淄博模擬)已知函數f(x)＝eq \f(1,a)x2＋ln x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,a)))x(a≠0)．
(1)當a＝eq \f(1,2)時，求函數f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；
(2)令F(x)＝af(x)－x2，若F(x)g(1)＝0，
所以ln t－eq \f(2?t－1?,t＋1)>0，
故x1＋x2>2.
課時精練
1．(2022·長沙模擬)已知函數f(x)＝eq \f(ln x,x)＋eq \f(1,x)＋1.
(1)求函數f(x)的單調區(qū)間；
(2)若對任意x∈(0，＋∞)都有aex≥f(x)，求實數a的取值范圍．
解 (1)函數f(x)的定義域是(0，＋∞)，
由已知f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)－eq \f(1,x2)＝－eq \f(ln x,x2)，
當01時，f′(x)0，g′(x)0，
所以h(t)在(1，＋∞)上單調遞增．又h(1)＝0，
因此h(t)>h(1)＝0.
于是當t>1時，有l(wèi)n t>eq \f(2?t－1?,t＋1).
所以ln x1＋ln x2>2成立，即x1x2>e2得證．