【研究對(duì)象】一般地,證明兩數(shù)x1,x2之和(之積)的不等式問(wèn)題,常涉及函數(shù)的極值點(diǎn)偏移.解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的關(guān)鍵是消元,有時(shí)待證的結(jié)論需要利用不等式轉(zhuǎn)化變形.
【極值點(diǎn)偏移的定義】
一般地,若連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)x0,對(duì)于任意的x1,x2∈[a,b],當(dāng)f(x1)=f(x2)時(shí)有x1+x22≠x0,則稱函數(shù)f(x)極值點(diǎn)偏移.
(1)左偏移:當(dāng)x1+x22>x0時(shí),極值點(diǎn)x0在[a,b]內(nèi)向左偏移.(如圖1,2)
(2)右偏移:當(dāng)x1+x220),a為常數(shù),若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1≠x2).
證明:x1x2>e2.
【證明】不妨設(shè)x1>x2>0,
因?yàn)閘n x1-ax1=0,ln x2-ax2=0,
所以ln x1+ln x2=a(x1+x2),ln x1-ln x2=a(x1-x2),所以ln x1-ln x2x1-x2=a,
欲證x1x2>e2,即證ln x1+ln x2>2.
因?yàn)閘n x1+ln x2=a(x1+x2),所以即證a>2x1+x2,所以原問(wèn)題等價(jià)于證明ln x1-ln x2x1-x2>2x1+x2,即ln x1x2>2(x1-x2)x1+x2,
令c=x1x2(c>1),則不等式變?yōu)閘n c>2(c-1)c+1.
令h(c)=ln c-2(c-1)c+1,c>1,
所以h'(c)=1c-4(c+1)2=(c-1)2c(c+1)2>0,
所以h(c)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
所以h(c)>h(1)=ln 1-0=0,
即ln c-2(c-1)c+1>0(c>1),
因此原不等式x1x2>e2得證.
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比值換元法的解題策略
(1)聯(lián)立消參:利用方程f(x1)=f(x2)消掉解析式中的參數(shù)a.
(2)抓商構(gòu)元:令t=x1x2,消掉變量x1,x2,構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)h(t).
(3)用導(dǎo)求解:利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)h(t)的最值,從而可證得結(jié)論.
視角二 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題之消參減元、差值代換
[例2]若函數(shù)f(x)=x-aex+b(a>0,b∈R)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,證明:x1+x2x2,根據(jù)h(x1)=h(x2)可知x1>1,x21時(shí),F(x)>F(1)=0,
即當(dāng)x>1時(shí),h(x)>h(2-x),
則h(x1)>h(2-x1),
又h(x1)=h(x2),所以h(x2)>h(2-x1),
因?yàn)閤1>1,所以2-x12-x1,所以x1+x2>2得證.
思維升華
對(duì)稱構(gòu)造法,主要用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和(積)相關(guān)的不等式問(wèn)題.其解題要點(diǎn)如下:
(1)定函數(shù)極值點(diǎn):利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)x0;
(2)構(gòu)造函數(shù):根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)F(x)=f(x)-f(2x0-x);
(3)判斷單調(diào)性:利用導(dǎo)數(shù)討論F(x)的單調(diào)性;
(4)比較大小:判斷函數(shù)F(x)在某段區(qū)間上的正負(fù),并得出f(x)與f(2x0-x)的大小關(guān)系;
(5)轉(zhuǎn)化:利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性,將f(x)與f(2x0-x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與2x0-x之間的關(guān)系,進(jìn)而得到所證或所求.
遷移應(yīng)用
已知函數(shù)f(x)=ln (x+a)-x-1x+a,函數(shù)g(x)滿足ln [g(x)+x2]=ln x+x-a.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
【解析】(1)由已知得,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-a,+∞),
則f'(x)=1x+a-x+a-(x-1)(x+a)2=x-1(x+a)2,
所以當(dāng)-a≥1,即a≤-1時(shí),f'(x)>0,f(x)在(-a,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)-a-1時(shí),若-a0,
所以f(x)在(-a,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
綜上所述,當(dāng)a≤-1時(shí),f(x)在(-a,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>-1時(shí),f(x)在(-a,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)若g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,證明:x1x20),
所以h'(x)=1-1x=x-1x,
令h'(x)>0,則x>1,令h'(x)

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