專題1.6 勾股定理章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇） 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc6731" 【題型1 勾股數(shù)的運(yùn)用】  PAGEREF _Toc6731 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc9474" 【題型2 勾股樹(shù)的探究】  PAGEREF _Toc9474 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc14186" 【題型3 由勾股定理在坐標(biāo)系中求距離】  PAGEREF _Toc14186 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc1653" 【題型4 由勾股定理探究圖形面積】  PAGEREF _Toc1653 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc27833" 【題型5 由勾股定理求線段長(zhǎng)度】  PAGEREF _Toc27833 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc19760" 【題型6 由勾股定理證明線段之間的關(guān)系】  PAGEREF _Toc19760 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc2484" 【題型7 勾股定理中的規(guī)律探究】  PAGEREF _Toc2484 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc13147" 【題型8 由勾股定理求最值】  PAGEREF _Toc13147 \h 11  【題型1 勾股數(shù)的運(yùn)用】 【例1】（2023春·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理最早出現(xiàn)在《周解算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，弦隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)如下：勾為奇數(shù)，弦與股相差1，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含m的式子表示）（????） A．m2?1 B．2m+2 C．m2+1 D．2m+3 【變式1-1】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各組a，b，c是勾股數(shù)的是（　　） A．a(chǎn)=30，b=40，c=50 B． a=1，b=1，c= 2 C．a(chǎn)=3，b=4，c＝5 D．a(chǎn)=7，b=14，c=15 【變式1-2】（2023春·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期末）當(dāng)直角三角形的三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)時(shí)，我們稱這三個(gè)數(shù)為勾股數(shù)，如：3，4，5都是正整數(shù)，且32+42=52，所以3，4，5是勾股數(shù)．觀察下列各勾股數(shù)有哪些規(guī)律； (1)當(dāng)a=11時(shí)，求b，c的值 (2)判斷10，24，26是否為一組勾股數(shù)？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【變式1-3】（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們知道，如果直角三角形的三邊的長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的三個(gè)正整數(shù)就叫做一組勾股數(shù)．如果一個(gè)正整數(shù)c能表示為兩個(gè)正整數(shù)a，b的平方和，即c=a2+b2，那么稱a，b，c為一組廣義勾股數(shù)，c為廣義斜邊數(shù)，則下面的結(jié)論：①m為正整數(shù)，則3m，4m，5m為一組勾股數(shù)；②1，2，3是一組廣義勾股數(shù)；③13是廣義斜邊數(shù)；④兩個(gè)廣義斜邊數(shù)的和是廣義斜邊數(shù)；⑤若a=2k2+2k,b=1+2k,c=2k2+2k+1，其中k為正整數(shù)，則a，b，c為一組勾股數(shù)；⑥兩個(gè)廣義斜邊數(shù)的積是廣義斜邊數(shù)．依次正確的是（????） A．①②③ B．①②④⑤ C．③④⑤ D．①③⑤ 【題型2 勾股樹(shù)的探究】 【例2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）“勾股樹(shù)”是以正方形－邊為斜邊向外作直角三角形 ，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這－過(guò)程所畫出來(lái)的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似－－棵樹(shù)而得名．假設(shè)下圖分別是第一代勾股樹(shù)、第二代勾股樹(shù)、第三代勾股樹(shù)，按照勾股樹(shù)的作圖原理作圖，則第五代勾股樹(shù)中正方形的個(gè)數(shù)為（???????） A．31 B．63 C．65 D．67 【變式2-1】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其作法為：從正方形①開(kāi)始，以它的一邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作兩個(gè)正方形，計(jì)為②．依此類推…若正方形①的面積為16，則正方形③的面積是 ． 【變式2-2】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)長(zhǎng)郡中學(xué)校考期末）勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，其中蘊(yùn)含著豐富的科學(xué)知識(shí)和人文價(jià)值．如圖所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定規(guī)律長(zhǎng)成的勾股樹(shù)，樹(shù)的主干自下而上第一個(gè)正方形和第一個(gè)直角三角形的面積之和為S1，第二個(gè)正方形和第二個(gè)直角三角形的面積之和為S2，…，第n個(gè)正方形和第n個(gè)直角三角形的面積之和為Sn． 設(shè)第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1． 請(qǐng)解答下列問(wèn)題： （1）S1= ． （2）通過(guò)探究，用含n的代數(shù)式表示Sn，則Sn= ． 【變式2-3】（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形（如圖1），三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，生出了4個(gè)正方形（如圖2），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉茂”．在“生長(zhǎng)”了2022次后形成的圖形中所有正方形的面積和是 ． 【題型3 由勾股定理在坐標(biāo)系中求距離】 【例3】（2023春·安徽安慶·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)P是平面坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離是（????） ?? A．3 B．2 C．22 D．7 【變式3-1】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直面坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A3,0和B0,4，則這兩點(diǎn)之間的距離是（　?。?A．3 B．4 C．5 D．7 【變式3-2】（2023春·湖北鄂州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【復(fù)習(xí)舊知】結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是3：而|4?1|=3；表示－3和2兩點(diǎn)之間的距離是5：而|?3?2|=5；表示?4和?7兩點(diǎn)之間的距離是3，而|?4?(?7)|=3，一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離公式為|m?n|． （1）數(shù)軸上表示數(shù)?5的點(diǎn)與表示?2的點(diǎn)之間的距離為_(kāi)__； 【探索新知】如圖1，我們?cè)凇案顸c(diǎn)”直角坐標(biāo)系上可以清楚看到：要找AB或DE的長(zhǎng)度，顯然是化為求Rt△ABC或Rt△DEF的斜邊長(zhǎng)．下面我們以求DE為例來(lái)說(shuō)明如何解決： 從坐標(biāo)系中發(fā)現(xiàn)：D(?7,5)，E(4,?3)，所以DF=5??3=8，EF=4??7=11，所以由勾殿定理可得：DE=82+112=185． （2）在圖2中：設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，試用x1,y1,x2,y2表示AB的長(zhǎng)：AB=___． 得出的結(jié)論被稱為“平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式”； 【學(xué)以致用】請(qǐng)用此公式解決如下問(wèn)題： （3）如圖3，已知：A(2,1)，B(4,3)，C為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，且使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形．請(qǐng)求出C點(diǎn)的坐標(biāo)． 【變式3-3】（2023春·湖南·八年級(jí)期末）閱讀材料，在平面直角坐標(biāo)系中，已知x軸上兩點(diǎn)Ax1,0、Bx2,0的距離記作AB=x1?x2，如果Ax1,y1、Bx2,y2是平面上任意兩點(diǎn)，我們可以通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)求AB間的距離．如下左圖，過(guò)A、B分別向x軸、y軸作垂線AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分別是M1、N1、M2、N2，直線AN1交BM2于點(diǎn)Q，在Rt△ABQ中，AQ=x1?x2，BQ=y1?y2，∴AB2=AQ2+BQ2=x1?x22+y1?y22=x1?x22+y1?y22． (1)由此得到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)Ax1,y1、Bx2,y2間的距離公式為：AB= ______． (2)直接應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算點(diǎn)A(1,?3)，B(?2,1)之間的距離為_(kāi)_____． 利用上面公式解決下列問(wèn)題： (3)在平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)A(0,3)，B(4,1)，P為x軸上任一點(diǎn)，求PA+PB的最小值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)； (4)應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，求代數(shù)式x2+y?22+x?32+y?12的最小值（直接寫出答案）． 【題型4 由勾股定理探究圖形面積】 【例4】（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)河南師大附中?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，若以AC邊和BC邊向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCD．記△ACE的面積是S1，△BCD的面積是S2，則S1+S2=（????） ?? A．16 B．32 C．48 D．64 【變式4-1】（2023春·吉林四平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果一個(gè)三角形，三條邊的長(zhǎng)度之比為3:4:5，且周長(zhǎng)為48cm，那么這個(gè)三角形的面積是（????） A．48cm2 B．96cm2 C．192cm2 D．220cm2 【變式4-2】（2023春·廣西南寧·八年級(jí)校聯(lián)考期中）現(xiàn)有如圖1的8張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長(zhǎng)分別是a、b、c．用其中4張紙片拼成如圖2的大正方形（空白部分是邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形）；用另外4張紙片拼成如圖3的大正方形（中間的空白部分是邊長(zhǎng)為c的正方形）． ???? (1)觀察：從整體看，整個(gè)圖形的面積等于各部分面積的和．所以圖2和圖3的大正方形的面積都可以表示為a+b2，結(jié)論①；圖2中的大正方形的面積又可以用含字母a、b的代數(shù)式表示為：　 　，結(jié)論②；圖3中的大正方形的面積又可以用含字母a、b、c的代數(shù)式表示為：　 　，結(jié)論③； (2)思考：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到一個(gè)等式　 ?。唤Y(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到一個(gè)等式　 ??； (3)應(yīng)用：若分別以直角三角形三邊為直徑，向外作半圓（如圖4），三個(gè)半圓的面積分別記作S1、S2、S3，且S1+S2+S3=20，求S2的值． (4)延伸：若分別以直角三角形三邊為直徑，向上作三個(gè)半圓（如圖5），直角邊a=5，b=12，斜邊c=13，求圖中陰影部分面積和． 【變式4-3】（2023春·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）在△ABC中，AB=10，BC= 27，∠A=30°，則△ABC的面積是 ． 【題型5 由勾股定理求線段長(zhǎng)度】 【例5】（2023春·廣東佛山·八年級(jí)佛山市華英學(xué)校?？计谥校┤鐖D，△ABC的周長(zhǎng)為4+25，其中AB=4，BC=5?3． ?? (1)AC=______； (2)判斷△ABC是否為直角三角形，并說(shuō)明理由． (3)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB，AE=22，在AB上取一點(diǎn)D，使得DB=DE，求AD的長(zhǎng)度． 【變式5-1】（2023春·山西太原·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，∠ACB=∠BDC=90°，且AB=13，AC=12，BD=4，則DC的長(zhǎng)度為（　　） ?? A．3 B．8 C．4 D．9 【變式5-2】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，線段AB，AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，則OA的長(zhǎng)度為 ． ?? 【變式5-3】（2023春·重慶合川·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等腰三角形ABC中，底邊BC=29，D是AC上一點(diǎn)，連接BD，BD＝5，CD＝2． ?? (1)求證：ΔBDC是直角三角形； (2)求AB邊的長(zhǎng)度． 【題型6 由勾股定理證明線段之間的關(guān)系】 【例6】（2023春·四川成都·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知△ABC是等邊三角形． ?? (1)如圖1，△BDE也是等邊三角形．點(diǎn)A、B、E三點(diǎn)不共線，求證：AD=CE； (2)如圖2，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，且∠BDC=30°，請(qǐng)證明結(jié)論DA2=DC2+DB2； (3)如圖3，點(diǎn)D是等邊三角形△ABC外一點(diǎn)，若DA=13，DB=52，DC=7．試求∠BDC的度數(shù)． 【變式6-1】（2023春·湖北十堰·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，且A4,0，點(diǎn)B在y軸上，且B0,4． ?? (1)求線段AB的長(zhǎng)； (2)若點(diǎn)E在線段AB上，OE⊥OF，且OE=OF，求AE+AF的值； (3)在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥EF，交AB于點(diǎn)M，試證明：AM2+BE2=EM2 【變式6-2】（2023春·河南鶴壁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）親愛(ài)的同學(xué)們，在全等三角形中，我們見(jiàn)識(shí)了很多線段關(guān)系的論證題，下面請(qǐng)你用本階段所學(xué)知識(shí)，分別完成下列題目． (1)如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD+CE； (2)如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．容易證明△ACD≌△BCE，則： ①∠AEB的度數(shù)為_(kāi)_____； ②直接寫出AE、BE、CM之間的數(shù)量關(guān)系． (3)如圖3，△ABC中，若∠A=90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥DF交AB、AC于E、F，求證：BE2+CF2=EF2． 【變式6-3】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)C為x軸正半軸上一點(diǎn)，AO=a，BO=b，CO=c,且a、b、c滿足a=a?b+b?a+c有意義． ?? (1)若c=3，求AB=__________________； (2)如圖1，點(diǎn)P在x軸上（點(diǎn)P在點(diǎn)A左邊），以PB為直角邊在PB的上方作等腰直角三角形PDB，求證：PA2+PC2=PD2； (3)如圖2，點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E為射線OA上一點(diǎn)，點(diǎn)F為射線BO上一點(diǎn)，且∠EMF=90°，設(shè)AE=m，BF=n，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)度（用含m、n的代數(shù)式表示）． 【題型7 勾股定理中的規(guī)律探究】 【例7】（2023春·四川眉山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△OA1A2為等腰直角三角形，OA1=1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規(guī)律作下去，則OAn的長(zhǎng)度為 ． 【變式7-1】（2023春·云南昆明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果正整數(shù)a、b、c滿足等式a2+b2=c2，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù)．某同學(xué)將自探究勾股數(shù)的過(guò)程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知x+y的值為（????） A．67 B．34 C．98 D．73 【變式7-2】（2023春·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案，它是由一串有公共頂點(diǎn)O的直角三角形組成的，圖中的OA1=A1A2=A2A3=?=A7A8=1，按此規(guī)律，在線段OA1，OA2，OA3，?，OA10中，長(zhǎng)度為整數(shù)的線段有 條． 【變式7-3】（2023春·江西南昌·八年級(jí)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，將若干個(gè)邊長(zhǎng)為2個(gè)單位長(zhǎng)度的等邊三角形按如圖所示的規(guī)律擺放，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著等邊三角形的邊OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…的路線運(yùn)動(dòng)，設(shè)第n秒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Pn（n為正整數(shù)），則點(diǎn)P2023的坐標(biāo)是（????????） A．2022,0 B．2022,?3 C．2023,3 D．2023,?3 【題型8 由勾股定理求最值】 【例8】（2023春·安徽六安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知∠MON=60°，點(diǎn)P,Q為∠MON內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠POQ=30°，OP=3，OQ=4，點(diǎn)A,B分別是OM,ON上的動(dòng)點(diǎn)，則PA+AB+BQ的最小值是（????） ?? A．5 B．7 C．8 D．10 【變式8-1】（2023春·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰長(zhǎng)分別為4和2，其中∠BAC=∠DAE=90°，M為邊DE的中點(diǎn)．若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)B到點(diǎn)M的距離的最大值為 ． 【變式8-2】（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，線段EF在邊BC上左右滑動(dòng)，若EF=1，則AE+DF的最小值為 ． ?? 【變式8-3】（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=22，點(diǎn)D在AC上，將△ABD沿BD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，A1B與AC相交于點(diǎn)E，則A1E的最大值為 ． 專題1.6 勾股定理章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇） 【北師大版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc6731" 【題型1 勾股數(shù)的運(yùn)用】  PAGEREF _Toc6731 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc9474" 【題型2 勾股樹(shù)的探究】  PAGEREF _Toc9474 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc14186" 【題型3 由勾股定理在坐標(biāo)系中求距離】  PAGEREF _Toc14186 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc1653" 【題型4 由勾股定理探究圖形面積】  PAGEREF _Toc1653 \h 12  HYPERLINK \l "_Toc27833" 【題型5 由勾股定理求線段長(zhǎng)度】  PAGEREF _Toc27833 \h 16  HYPERLINK \l "_Toc19760" 【題型6 由勾股定理證明線段之間的關(guān)系】  PAGEREF _Toc19760 \h 20  HYPERLINK \l "_Toc2484" 【題型7 勾股定理中的規(guī)律探究】  PAGEREF _Toc2484 \h 29  HYPERLINK \l "_Toc13147" 【題型8 由勾股定理求最值】  PAGEREF _Toc13147 \h 33  【題型1 勾股數(shù)的運(yùn)用】 【例1】（2023春·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理最早出現(xiàn)在《周解算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，弦隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)如下：勾為奇數(shù)，弦與股相差1，柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含m的式子表示）（????） A．m2?1 B．2m+2 C．m2+1 D．2m+3 【答案】C 【分析】根據(jù)題意得2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論． 【詳解】解：∵m為正整數(shù)， ∴2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a，則弦為a+2， 根據(jù)勾股定理得，(2m)2+a2=(a+2)2， 解得a=m2?1， ∴弦是a+2=m2?1+2=m2+1， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理． 【變式1-1】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各組a，b，c是勾股數(shù)的是（　?。?A．a(chǎn)=30，b=40，c=50 B． a=1，b=1，c= 2 C．a(chǎn)=3，b=4，c＝5 D．a(chǎn)=7，b=14，c=15 【答案】A 【分析】根據(jù)勾股數(shù)的概念對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可． 【詳解】解：A、∵302+402=502， ∴能構(gòu)成勾股數(shù)，符合題意； B、∵2不是整數(shù)， ∴不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意； C、∵3,5不是整數(shù)， ∴不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意； D、∵72+142≠152， ∴不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意． 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股數(shù)，熟知“滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)為勾股數(shù)”是解題的關(guān)鍵． 【變式1-2】（2023春·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期末）當(dāng)直角三角形的三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)時(shí)，我們稱這三個(gè)數(shù)為勾股數(shù)，如：3，4，5都是正整數(shù)，且32+42=52，所以3，4，5是勾股數(shù)．觀察下列各勾股數(shù)有哪些規(guī)律； (1)當(dāng)a=11時(shí)，求b，c的值 (2)判斷10，24，26是否為一組勾股數(shù)？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】(1)b=60，c=61 (2)10，24，26是勾股數(shù)，見(jiàn)解析 【分析】（1）先觀察已有的勾股數(shù)，得到c=b+1，再利用勾股定理進(jìn)行求解即可； （2）利用勾股數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可． 【詳解】（1）解：觀察已有的勾股數(shù)可得c=b+1， ∴a2+b2=b+12， 把a(bǔ)=11代入a2+b2=b+12， 解得b=60（負(fù)值已舍掉）， ∴c=60+1=61； （2）10，24，26是勾股數(shù)． ∵102+242=676=262． 又∵10，24，26都是正整數(shù) 根據(jù)勾股數(shù)的定義，可知10，24，26是勾股數(shù)． 【點(diǎn)睛】本題考查勾股數(shù)．熟練掌握勾股數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵． 【變式1-3】（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們知道，如果直角三角形的三邊的長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的三個(gè)正整數(shù)就叫做一組勾股數(shù)．如果一個(gè)正整數(shù)c能表示為兩個(gè)正整數(shù)a，b的平方和，即c=a2+b2，那么稱a，b，c為一組廣義勾股數(shù)，c為廣義斜邊數(shù)，則下面的結(jié)論：①m為正整數(shù)，則3m，4m，5m為一組勾股數(shù)；②1，2，3是一組廣義勾股數(shù)；③13是廣義斜邊數(shù)；④兩個(gè)廣義斜邊數(shù)的和是廣義斜邊數(shù)；⑤若a=2k2+2k,b=1+2k,c=2k2+2k+1，其中k為正整數(shù)，則a，b，c為一組勾股數(shù)；⑥兩個(gè)廣義斜邊數(shù)的積是廣義斜邊數(shù)．依次正確的是（????） A．①②③ B．①②④⑤ C．③④⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)．廣義勾股數(shù)，廣義斜邊數(shù)的定義，分析選項(xiàng)找出結(jié)論正確的即可． 【詳解】解：由題意可知： ①m為正整數(shù)，則3m，4m，5m為一組勾股數(shù)；結(jié)論正確； ②1，2，3是一組廣義勾股數(shù)；∵3≠12+22，∴不滿足c=a2+b2，不能成為廣義勾股數(shù)，故結(jié)論不正確； ③13是廣義斜邊數(shù)；∵13=22+32，∴結(jié)論正確； ④兩個(gè)廣義斜邊數(shù)的和是廣義斜邊數(shù)；例如2=12+12，5=12+22，但是7不是廣義斜邊數(shù)，故結(jié)論不正確； ⑤若a=2k2+2k,b=1+2k,c=2k2+2k+1，其中k為正整數(shù)，則a，b，c為一組勾股數(shù)；∵a2+b2=2k2+2k2+1+2k2=4k4+8k3+8k2+4k+1，c2=2k2+2k+12=4k4+8k3+8k2+4k+1，滿足：c2=a2+b2，故結(jié)論正確； ⑥兩個(gè)廣義斜邊數(shù)的積是廣義斜邊數(shù)．例如2=12+12，但是4不是廣義斜邊數(shù)，故結(jié)論不正確； 故正確的結(jié)論為：①③⑤． 故選：D 【點(diǎn)睛】本題考查勾股數(shù)．廣義勾股數(shù)，廣義斜邊數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題干中的定義解答． 【題型2 勾股樹(shù)的探究】 【例2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中）“勾股樹(shù)”是以正方形－邊為斜邊向外作直角三角形 ，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這－過(guò)程所畫出來(lái)的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似－－棵樹(shù)而得名．假設(shè)下圖分別是第一代勾股樹(shù)、第二代勾股樹(shù)、第三代勾股樹(shù)，按照勾股樹(shù)的作圖原理作圖，則第五代勾股樹(shù)中正方形的個(gè)數(shù)為（???????） A．31 B．63 C．65 D．67 【答案】B 【分析】由已知圖形觀察規(guī)律，即可得到第五代勾股樹(shù)中正方形的個(gè)數(shù)． 【詳解】解：由題意可知第一代勾股樹(shù)中正方形有1+2=3（個(gè)）， 第二代勾股樹(shù)中正方形有1+2+22=7（個(gè)）， 第三代勾股樹(shù)中正方形有1+2+22+23=15（個(gè)）， 由此推出第五代勾股樹(shù)中正方形有1+2+22+23+24+25=63（個(gè)） 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律探索的相關(guān)問(wèn)題，仔細(xì)觀察從圖中找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 【變式2-1】（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其作法為：從正方形①開(kāi)始，以它的一邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作兩個(gè)正方形，計(jì)為②．依此類推…若正方形①的面積為16，則正方形③的面積是 ． 【答案】4． 【分析】根據(jù)勾股定理可得兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即第①個(gè)正方形的面積＝第②個(gè)正方形面積的兩倍；同理，第③個(gè)正方形面積是第②個(gè)正方形面積的一半，依此類推即可解答． 【詳解】解：第①個(gè)正方形的面積為16， 由分析可知：第②個(gè)正方形的面積為8， 第③個(gè)正方形的面積為4， 故答案為：4． 【點(diǎn)睛】本題是圖形類的變化規(guī)律題，考查了勾股定理與面積的關(guān)系及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵． 【變式2-2】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)長(zhǎng)郡中學(xué)?？计谀┕垂啥ɡ斫沂玖酥苯侨切稳呏g的關(guān)系，其中蘊(yùn)含著豐富的科學(xué)知識(shí)和人文價(jià)值．如圖所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定規(guī)律長(zhǎng)成的勾股樹(shù)，樹(shù)的主干自下而上第一個(gè)正方形和第一個(gè)直角三角形的面積之和為S1，第二個(gè)正方形和第二個(gè)直角三角形的面積之和為S2，…，第n個(gè)正方形和第n個(gè)直角三角形的面積之和為Sn． 設(shè)第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1． 請(qǐng)解答下列問(wèn)題： （1）S1= ． （2）通過(guò)探究，用含n的代數(shù)式表示Sn，則Sn= ． 【答案】 1+38 1+38?34n?1（n為整數(shù)） 【分析】根據(jù)正方形的面積公式求出面積，再根據(jù)直角三角形三條邊的關(guān)系運(yùn)用勾股定理求出三角形的直角邊，求出S1，然后利用正方形與三角形面積擴(kuò)大與縮小的規(guī)律推導(dǎo)出公式． 【詳解】解：（1）∵第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1， ∴正方形的面積為1， 又∵直角三角形一個(gè)角為30°， ∴三角形的一條直角邊為12，另一條直角邊就是12?122=32， ∴三角形的面積為12×12×32=38， ∴S1=1+38； （2）∵第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為32，它的面積就是34，也就是第一個(gè)正方形面積的34， 同理，第二個(gè)三角形的面積也是第一個(gè)三角形的面積的34， ∴S2=（1+38）?34， 依此類推，S3=（1+38）?34?34， 即S3=（1+38）?342， Sn=1+38?34n?1（n為整數(shù)）． 故答案為：（1）1+38 ；（2）1+38?34n?1（n為整數(shù)） 【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．能夠發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形和直角三角形的面積與原正方形和直角三角形的面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 【變式2-3】（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形（如圖1），三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，生出了4個(gè)正方形（如圖2），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉茂”．在“生長(zhǎng)”了2022次后形成的圖形中所有正方形的面積和是 ． 【答案】2023 【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式，知“生長(zhǎng)”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積，即所有正方形的面積和是2×1=2；“生長(zhǎng)”2次后，所有的正方形的面積和是3×1=3，推而廣之即可求出“生長(zhǎng)”2022次后形成圖形中所有正方形的面積之和． 【詳解】設(shè)第一個(gè)直角三角形的是三條邊分別是a，b，c． 根據(jù)勾股定理，得a2+b2=c2=1， 由圖1可知，“生長(zhǎng)”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積，即所有正方形的面積和是2×1=2； 由圖2可知，“生長(zhǎng)”2次后，所有的正方形的面積和是3×1=3， ··· “生長(zhǎng)”了2022次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是2023×1=2023． 故答案為：2023. 【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，以及勾股定理，其中能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵． 【題型3 由勾股定理在坐標(biāo)系中求距離】 【例3】（2023春·安徽安慶·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)P是平面坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離是（????） ?? A．3 B．2 C．22 D．7 【答案】A 【分析】連接OP，在直角坐標(biāo)系中，根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)是2,7，得OA=2，PA=7，然后利用勾股定理即可求解． 【詳解】解：連接PO， ?? ∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是2,7， ∴OA=2，PA=7， ∴點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離=OA2+PA2=22+72=3， 故選：A． 【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的理解，掌握用勾股定理求點(diǎn)P到坐標(biāo)軸的距離是解題的關(guān)鍵． 【變式3-1】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直面坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A3,0和B0,4，則這兩點(diǎn)之間的距離是（　?。?A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)之間的距離公式，代值求解即可得到答案． 【詳解】解：連接AB，如圖所示： ∵A3,0，B0,4， ∴AB=0?32+4?02=5， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)之間的距離，熟練掌握兩點(diǎn)之間距離公式的運(yùn)用是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 【變式3-2】（2023春·湖北鄂州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【復(fù)習(xí)舊知】結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是3：而|4?1|=3；表示－3和2兩點(diǎn)之間的距離是5：而|?3?2|=5；表示?4和?7兩點(diǎn)之間的距離是3，而|?4?(?7)|=3，一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離公式為|m?n|． （1）數(shù)軸上表示數(shù)?5的點(diǎn)與表示?2的點(diǎn)之間的距離為_(kāi)__； 【探索新知】如圖1，我們?cè)凇案顸c(diǎn)”直角坐標(biāo)系上可以清楚看到：要找AB或DE的長(zhǎng)度，顯然是化為求Rt△ABC或Rt△DEF的斜邊長(zhǎng)．下面我們以求DE為例來(lái)說(shuō)明如何解決： 從坐標(biāo)系中發(fā)現(xiàn)：D(?7,5)，E(4,?3)，所以DF=5??3=8，EF=4??7=11，所以由勾殿定理可得：DE=82+112=185． （2）在圖2中：設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，試用x1,y1,x2,y2表示AB的長(zhǎng)：AB=___． 得出的結(jié)論被稱為“平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式”； 【學(xué)以致用】請(qǐng)用此公式解決如下問(wèn)題： （3）如圖3，已知：A(2,1)，B(4,3)，C為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，且使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形．請(qǐng)求出C點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】（1）3；（2）x1?x22+y1?y22；（3）5,0或0,5 【分析】（1）由?2?(?5)計(jì)算即可求出數(shù)軸上表示數(shù)?5的點(diǎn)與表示?2的點(diǎn)之間的距離為； （2）結(jié)合坐標(biāo)系及各點(diǎn)坐標(biāo)即可得出各線段的長(zhǎng)度． （3）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,0)或(y,0)，依次求出即可得出答案． 【詳解】解：解：（1）數(shù)軸上表示數(shù)?5的點(diǎn)與表示?2的點(diǎn)之間的距離=?2?(?5)=3， 故答案為：3； （2）結(jié)合圖形可得：AC=y1?y2，BC=x1?x2，AB=(x1?x2)2+(y1?y2)2． 故答案為：(x1?x2)2+(y1?y2)2； （3）若點(diǎn)C在x軸上，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,0)， 則AC=BC，即(2?x)2+(1?0)2=(4?x)2+(3?0)2， 解得：x=5， 即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,0)； 若點(diǎn)C在y軸上，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,y)， 則AC=BC，即(2?0)2+(1?y)2=(4?0)2+(3?y)2， 解得：y=5， 即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,5)． 綜上可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,0)或(0,5)． 【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及兩點(diǎn)間的距離公式，看似難度較大，其實(shí)不然，注意仔細(xì)審題，領(lǐng)悟題意是解題的關(guān)鍵． 【變式3-3】（2023春·湖南·八年級(jí)期末）閱讀材料，在平面直角坐標(biāo)系中，已知x軸上兩點(diǎn)Ax1,0、Bx2,0的距離記作AB=x1?x2，如果Ax1,y1、Bx2,y2是平面上任意兩點(diǎn)，我們可以通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)求AB間的距離．如下左圖，過(guò)A、B分別向x軸、y軸作垂線AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分別是M1、N1、M2、N2，直線AN1交BM2于點(diǎn)Q，在Rt△ABQ中，AQ=x1?x2，BQ=y1?y2，∴AB2=AQ2+BQ2=x1?x22+y1?y22=x1?x22+y1?y22． (1)由此得到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)Ax1,y1、Bx2,y2間的距離公式為：AB= ______． (2)直接應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算點(diǎn)A(1,?3)，B(?2,1)之間的距離為_(kāi)_____． 利用上面公式解決下列問(wèn)題： (3)在平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)A(0,3)，B(4,1)，P為x軸上任一點(diǎn)，求PA+PB的最小值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)； (4)應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，求代數(shù)式x2+y?22+x?32+y?12的最小值（直接寫出答案）． 【答案】(1)(x1?x2)2+(y1?y2)2 (2)5 (3)42，P(3,0) (4)10 【分析】（1）根據(jù)題干內(nèi)容回答即可； （2）直接利用兩點(diǎn)之間距離公式直接求出即可； （3）利用軸對(duì)稱求最短路線方法得出P點(diǎn)位置，進(jìn)而求出PA+PB的最小值； （4）根據(jù)原式表示的幾何意義是點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)(?2,?4)和(3,1)的距離之和，當(dāng)點(diǎn)(x,y)在以(?2,?4)和(3,1)為端點(diǎn)的線段上時(shí)其距離之和最小，進(jìn)而求出即可． 【詳解】（1）解：閱讀材料可得：AB=(x1?x2)2+(y1?y2)2； （2）∵平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離公式為：AB=(x1?x2)2+(y1?y2)2， ∴點(diǎn)A(1,?3)，B(?2,1)之間的距離為：AB=?2?12+?3?12=5； 故答案為：5； （3）作點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B′，連接AB′，直線AB′于x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，PA+PB的最小值就是線段AB′的長(zhǎng)度，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到結(jié)論． ∵B(4,1)， ∴B′(4,?1)， ∵A(0,3)， ∴設(shè)直線AB′的一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+3， 把B′(4,?1)代入?1=4k+3　解得　k=?1， 當(dāng)y=0時(shí)，解得x=3，即P(3,0)， ∴PA+PB=PA+PB′=AB′=(0?4)2+(3+1)2=42， 即為PA+PB的最小值為42． 故答案為：42； （4）原式=x2+(y?2)2+(x?3)2+(y?1)2， 故原式表示點(diǎn)(x,y)到(0,2)和(3,1)的距離之和． 由兩點(diǎn)之間線段最短，點(diǎn)(x,y)在以(0,2)和(3,1)為端點(diǎn)的線段上時(shí)，原式值最?。?利用公式可得，原式=10． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最值問(wèn)題以及兩點(diǎn)之間距離公式，正確轉(zhuǎn)化代數(shù)式為兩點(diǎn)之間距離問(wèn)題是解題關(guān)鍵． 【題型4 由勾股定理探究圖形面積】 【例4】（2023春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)河南師大附中校考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，若以AC邊和BC邊向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCD．記△ACE的面積是S1，△BCD的面積是S2，則S1+S2=（????） ?? A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】B 【分析】由勾股定理求出BC2+AC2=AB2=82=64，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AE=AC，BD=BC，S1+S2=12AC2+12BC2=12AB2=32，即可得出結(jié)果． 【詳解】解：∵∠ACB=90°，AB=8， ∴BC2+AC2=AB2=82=64 ∵△ACE和△BCD為等腰直角三角形， ∴AE=AC，BD=BC， ∴S1+S2=12AC2+12BC2=12AC2+BC2=12AB2=12×64=32， 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算方法，熟練掌握勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 【變式4-1】（2023春·吉林四平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果一個(gè)三角形，三條邊的長(zhǎng)度之比為3:4:5，且周長(zhǎng)為48cm，那么這個(gè)三角形的面積是（????） A．48cm2 B．96cm2 C．192cm2 D．220cm2 【答案】B 【分析】設(shè)這個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)度分別為3xcm，4xcm，5xcm，根據(jù)周長(zhǎng)為48cm列出方程并求得三邊長(zhǎng)度；然后由勾股定理逆定理判定該三角形為直角三角形，由三角形的面積公式作答即可． 【詳解】解：設(shè)這個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)度分別為3xcm，4xcm，5xcm， ∵三角形的周長(zhǎng)為48cm， 則3x+4x+5x=48， 解得x=4， 則該三角形的三條邊的長(zhǎng)度分別為12cm，16cm，20cm， ∵122+162=202， 則該三角形為直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為12cm、16cm， ∴面積為: 12×12×16=96cm2， 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程求得三角形的三條邊的長(zhǎng)度． 【變式4-2】（2023春·廣西南寧·八年級(jí)校聯(lián)考期中）現(xiàn)有如圖1的8張大小形狀相同的直角三角形紙片，三邊長(zhǎng)分別是a、b、c．用其中4張紙片拼成如圖2的大正方形（空白部分是邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形）；用另外4張紙片拼成如圖3的大正方形（中間的空白部分是邊長(zhǎng)為c的正方形）． ???? (1)觀察：從整體看，整個(gè)圖形的面積等于各部分面積的和．所以圖2和圖3的大正方形的面積都可以表示為a+b2，結(jié)論①；圖2中的大正方形的面積又可以用含字母a、b的代數(shù)式表示為：　 　，結(jié)論②；圖3中的大正方形的面積又可以用含字母a、b、c的代數(shù)式表示為：　 　，結(jié)論③； (2)思考：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到一個(gè)等式　 　；結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到一個(gè)等式　 ?。?(3)應(yīng)用：若分別以直角三角形三邊為直徑，向外作半圓（如圖4），三個(gè)半圓的面積分別記作S1、S2、S3，且S1+S2+S3=20，求S2的值． (4)延伸：若分別以直角三角形三邊為直徑，向上作三個(gè)半圓（如圖5），直角邊a=5，b=12，斜邊c=13，求圖中陰影部分面積和． 【答案】(1)a2+b2+2ab；c2+2ab (2)a+b2＝a2+b2+2ab；a2+b2＝c2 (3)10 (4)30 【分析】（1）圖2的大正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的面積加上兩個(gè)正方形的面積，圖3的大正方形的面積等于四個(gè)直角三角形的面積加上中間空白正方形的面積； （2）根據(jù)兩種方法表示的大正方形的面積相等整理即可得解； （3）根據(jù)結(jié)論②求出S1+S3=S2，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解； （4）根據(jù)結(jié)論③求出陰影部分的面積等于直角三角形的面積，然后列式計(jì)算即可得解． 【詳解】（1）解：圖2：a2+b2+4×12ab=a2+b2+2ab； 圖3：c2+4×12ab=c2+2ab； （2）解：結(jié)合結(jié)論①和結(jié)論②，可以得到一個(gè)等式：(a+b)2=a2+b2+2ab； 結(jié)合結(jié)論②和結(jié)論③，可以得到一個(gè)等式：(a+b)2=c2+2ab， 即，a2+b2=c2； （3）解：S1=12π(b2)2=πb28，S2=12π(c2)2=πc28，S3=12π(a2)2=πa28， ∵a2+b2=c2， ∴S1+S3=πb28+πa28=π(a2+b2)8=πc28=S2， ∵S1+S2+S3=20， ∴2S2=20， 解得S2=10； （4）解：由“應(yīng)用”的解答過(guò)程可知：S1+S3=S2 ∴陰影部分面積和=S1+S3+12ab?S2=12ab， ∵a=5，b=12， ∴陰影部分面積和=12×5×12=30． 【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，完全平方公式的幾何背景，讀懂題目材料的信息并用兩種方法準(zhǔn)確表示出同一個(gè)圖形的面積是解題的關(guān)鍵． 【變式4-3】（2023春·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┰凇鰽BC中，AB=10，BC= 27，∠A=30°，則△ABC的面積是 ． 【答案】153或103 【分析】作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D，設(shè)DB=x，用勾股定理得出CD2，再由30°可得AD是CD的3倍列出方程可得x的值，再根據(jù)三角形的面積公式可得答案． 【詳解】解：作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D， ?? 設(shè)DB=x，則AD=10?x． 在Rt△CDB中， CD2=CB2?DB2=272?x2=28?x2． ∵Rt△ADC中，∠A=30°， ∴AD =3 CD，即AD2=3CD2， ∴10?x2=328?x2， 解得x=1或4． ∴DC =28?12= 3 3或28?42= 2 3， ∴△ABC的面積S =12× 10×3 3= 15 3或S =12× 10×2 3= 10 3． 故答案為：15 3或10 3． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理以及30度直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理． 【題型5 由勾股定理求線段長(zhǎng)度】 【例5】（2023春·廣東佛山·八年級(jí)佛山市華英學(xué)校?？计谥校┤鐖D，△ABC的周長(zhǎng)為4+25，其中AB=4，BC=5?3． ?? (1)AC=______； (2)判斷△ABC是否為直角三角形，并說(shuō)明理由． (3)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB，AE=22，在AB上取一點(diǎn)D，使得DB=DE，求AD的長(zhǎng)度． 【答案】(1)5+3； (2)△ABC是直角三角形，理由見(jiàn)解析； (3)1 【分析】（1）由三角形周長(zhǎng)公式可求解； （2）由勾股定理的逆定理可證△ABC是直角三角形； （3）利用勾股定理可求解． 【詳解】（1）解：∵△ABC的周長(zhǎng)為4+25，AB=4，BC=5?3， ∴AC=4+25?4?5?3=5+3， 故答案：5+3； （2）解：△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AB2=16，BC2+AC2=16， ∴AB2=BC2+AC2， ∴△ABC是直角三角形； （3）解：∵DE2=AE2+AD2， ∴4?AD2=8+AD2， ∴AD=1． 【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用，勾股定理，掌握勾股定理的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式5-1】（2023春·山西太原·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，∠ACB=∠BDC=90°，且AB=13，AC=12，BD=4，則DC的長(zhǎng)度為（　?。??? A．3 B．8 C．4 D．9 【答案】A 【分析】在Rt△ABC中先根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再在Rt△BCD中根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論． 【詳解】∵∠ACB=90°，AB=13，AC=12， ∴BC=AB2?AC2=132?122=5． 在Rt△BCD中， ∵∠BDC=90°，BC=5，BD=4， ∴CD=BC2?BD2=52?42=3． 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵． 【變式5-2】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，線段AB，AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，則OA的長(zhǎng)度為 ． ?? 【答案】258 【分析】連接OB，延長(zhǎng)AO交BC于H，根據(jù)HL得Rt△AOE≌Rt△AOF，可得∠OAE=∠OAF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AH⊥BC，BH=HC=3，根據(jù)勾股定理得到AH=AB2?BH2=4，在Rt△BOH中，根據(jù)勾股定理求解即可． 【詳解】解：如圖：連接OB，延長(zhǎng)AO交BC于H， ?? ∵線段AB，AC的垂直平分線交于點(diǎn)O， ∴∠AEO=∠AFO=90°,OA=OB,AE=BE=12AB,AF=CF=12AC, ∵AB=AC， ∴AE=AF, 在Rt△AOE和Rt△AOF中，AO=AO,AE=AF， ∴Rt△AOE≌Rt△AOF， ∴∠OAE=∠OAF， ∴AO平分∠BAC， ∵AB=AC, ∴AH⊥BC，BH=HC=3， ∴AH=AB2?BH2=4，OH=AH?OA=4?OA 在Rt△BOH中，OB2=OH2+BH2, ∴OA2=4?OA2+32,解得：OA=258． 故答案為258． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 【變式5-3】（2023春·重慶合川·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等腰三角形ABC中，底邊BC=29，D是AC上一點(diǎn)，連接BD，BD＝5，CD＝2． ?? (1)求證：ΔBDC是直角三角形； (2)求AB邊的長(zhǎng)度． 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)294 【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理直接得出結(jié)論； （2）設(shè)腰長(zhǎng)為x，在ΔADB中，利用勾股定理列出x的方程，求出x的值，進(jìn)而利用三角形的面積公式求出答案． 【詳解】（1）解：∵BC=29，BD=5，CD=2， ∴CD2+BD2=4+25=29=BC2， ∴ΔBDC是直角三角形； （2）解：設(shè)腰長(zhǎng)AB=AC=x． ∵在RtΔADB中，AB2=AD2+BD2， ∴x2=x?22+52， 解得x=294， 即：AB=x=294． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出腰長(zhǎng)，此題難度不大． 【題型6 由勾股定理證明線段之間的關(guān)系】 【例6】（2023春·四川成都·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知△ABC是等邊三角形． ?? (1)如圖1，△BDE也是等邊三角形．點(diǎn)A、B、E三點(diǎn)不共線，求證：AD=CE； (2)如圖2，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，且∠BDC=30°，請(qǐng)證明結(jié)論DA2=DC2+DB2； (3)如圖3，點(diǎn)D是等邊三角形△ABC外一點(diǎn)，若DA=13，DB=52，DC=7．試求∠BDC的度數(shù)． 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)見(jiàn)解析 (3)75° 【分析】（1）連接AD．根據(jù)SAS證明△ABD≌△CBE即可解決問(wèn)題； （2）以BD為邊向下作等邊△BDE，連接EC．證明△ABD≌△CBE(SAS)，推出AD=CE，再證明∠CDE=90°，即可解決問(wèn)題； （3）以BD為邊向下作等邊△BDE，連接EC，作EH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H．同法可證：△ABD≌△CBE(SAS)，可得AD=CE=13，設(shè)EH=x，DH=y，利用勾股定理構(gòu)建方程組，求出x，y即可解決問(wèn)題． 【詳解】（1）解：證明：如圖1中，連接AD． ?? ∵△ABC，△BDE都是等邊三角形， ∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°， ∴∠ABD=∠CBE， ∴△ABD≌△CBE(SAS)， ∴AD=CE． （2）如圖2中，以BD為邊向下作等邊△BDE，連接EC． ?? ∵△ABC，△BDE都是等邊三角形， ∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°， ∴∠ABD=∠CBE， ∴△ABD≌△CBE(SAS)， ∴AD=CE， ∵∠CDB=30°，∠BDE=60°， ∴∠CDE=90°， ∴CE2=CD2+DE2， ∵DB=DE，DA=EC， ∴DA2=DC2+DB2． （3）如圖3中，以BD為邊向下作等邊△BDE，連接EC，作EH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H． ?? 同法可證：△ABD≌△CBE(SAS)， ∴AD=CE=13，設(shè)EH=x，DH=y， 則有x2+y2=50(7+y)2+x2=132， 解得x=5y=5， ∴DH=HE=5， ∵∠H=90°， ∴∠EDH=45°， ∴∠CDE=135°， ∵∠BDE=60°， ∴∠BDC=135°?60°=75°． 【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題． 【變式6-1】（2023春·湖北十堰·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，且A4,0，點(diǎn)B在y軸上，且B0,4． ?? (1)求線段AB的長(zhǎng)； (2)若點(diǎn)E在線段AB上，OE⊥OF，且OE=OF，求AE+AF的值； (3)在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥EF，交AB于點(diǎn)M，試證明：AM2+BE2=EM2 【答案】(1)42 (2)42 (3)見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)AB=OA2+OB2即可解決． （2）先證明△BOE≌△AOF得AF=BE，所以AE+AF=AE+BE=AB即可解決． （3）結(jié)論：FM2=AM2+AF2．只要證明ME=MF，AF=BE，在Rt△AMF中利用勾股定理即可證明． 【詳解】（1）在Rt△ABO中， ∵AO=OB=4， ∴AB=AO2+OB2=42+42=42． （2）∵∠BOA=∠EOF=90°， ∴∠BOE=∠AOF， 在△BOE和△AOF中， OB=OA∠BOE=∠AOFOE=OF， ∴△BOE≌△AOFSAS， ∴AF=BE， ∴AE+AF=AE+EB=AB=42． （3）結(jié)論：FM2=AM2+AF2，理由如下： 連接FM．∵OE=OF，OM⊥EF， ?? ∴OM垂直平分EF， ∴ME=MF， ∵OA=OB，∠AOB=90°， ∴∠OBA=∠OAB=45°， 由（1）可知△BOE≌△AOF， ∴BE=AF，∠OBE=∠OAF=45°， ∴∠MAF=∠OAF+∠OAB=90°， ∴FM2=AM2+AF2， ∴EM2=BE2+AM2． 【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是尋找全等三角形，屬于中考常考題型． 【變式6-2】（2023春·河南鶴壁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）親愛(ài)的同學(xué)們，在全等三角形中，我們見(jiàn)識(shí)了很多線段關(guān)系的論證題，下面請(qǐng)你用本階段所學(xué)知識(shí)，分別完成下列題目． (1)如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD+CE； (2)如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．容易證明△ACD≌△BCE，則： ①∠AEB的度數(shù)為_(kāi)_____； ②直接寫出AE、BE、CM之間的數(shù)量關(guān)系． (3)如圖3，△ABC中，若∠A=90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥DF交AB、AC于E、F，求證：BE2+CF2=EF2． 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)①90°；②AE=BE+2CM (3)見(jiàn)解析 【分析】（1）利用AAS證明△ABD≌△CAE，得到BD=AE，AD=CE，即可得到結(jié)論成立； （2）①由等腰直角三角形的性質(zhì)，得∠CDE=∠CED=45°，則∠ADC=135°，由全等三角形的性質(zhì)，∠BEC=135°，即可求出∠AEB的度數(shù)；②由全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，得到AD=BE，CM=DM=EM，即可得到AE=BE+2CM； （3）延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G，使DG=ED，連接GF，GC，證明△DBE≌△DCG，得到BE=CG，再根據(jù)勾股定理解答即可． 【詳解】（1）證明：如圖1， ∵∠BAC=90°，BD⊥直線m，CE⊥直線m， ∴∠ADB=∠AEC=90°， ∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE=90°， ∴∠ABD=∠CAE， ∵AB=AC， ∴△ABD≌△CAEAAS， ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AE+AD=BD+CE； （2）解：①∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠CDE=∠CED=45°， ∴∠ADC=180°?45°=135°， ∵△ACD≌△BCE， ∴AD=BE，∠ADC=∠BEC=135°， ∴∠AEB=∠BEC?∠CED=135°?45°=90°， 故答案為：90°； ②AE=BE+2CM，理由如下： ∵△DCE為等腰直角三角形，CM為△DCE中DE邊上的高， ∴CM=DM=EM， ∵AD=BE， ∴AE=AD+DM+EM=BE+2CM； （3）證明：如圖，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G，使DG=ED，連接GF，GC， ∵D是BC的中點(diǎn)， ∴BD=CD， 在△BDE和△CDG中， ED=DG∠BDE=∠CDGBD=CD， ∴△BDE≌△CDGSAS， ∴BE=CG，∠B=∠GCD， ∵∠A=90°， ∴∠B+∠ACB=90°， ∴∠GCD+∠ACB=90°，即∠GCF=90°， Rt△CFG中，CF2+CG2=GF2， ∵ED⊥DF，DG=ED， ∴EF=GF， ∴BE2+CF2=EF2． 【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 【變式6-3】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B為y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)C為x軸正半軸上一點(diǎn)，AO=a，BO=b，CO=c,且a、b、c滿足a=a?b+b?a+c有意義． ?? (1)若c=3，求AB=__________________； (2)如圖1，點(diǎn)P在x軸上（點(diǎn)P在點(diǎn)A左邊），以PB為直角邊在PB的上方作等腰直角三角形PDB，求證：PA2+PC2=PD2； (3)如圖2，點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E為射線OA上一點(diǎn)，點(diǎn)F為射線BO上一點(diǎn)，且∠EMF=90°，設(shè)AE=m，BF=n，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)度（用含m、n的代數(shù)式表示）． 【答案】(1)AB=32 (2)證明見(jiàn)解析； (3)EF=m2+n2 【分析】（1） 根據(jù)二次根式的非負(fù)性可求得a=b=c=3，再結(jié)合勾股定理可求得AB的值； （2）連接BC，證明△PBC≌△DBASAS，再由全等三角形的性質(zhì)及勾股定理即可證明；（3）分情況討論，當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E在線段OA延長(zhǎng)線上時(shí)，分別畫出圖形，作出輔助線，利用三角形全等和勾股定理得出結(jié)論即可． 【詳解】（1）解：∵a、b滿足a=a?b+b?a+c有意義， ∴a?b≥0且b?a≥0， ∴a=b=c=3，即AO=3，BO=3， AB=AO2+BO2=32； （2）證明：連接BC，由（1）可得OA=OB=OC， ∵兩個(gè)坐標(biāo)軸垂直， ∴∠OAB=∠ABO=∠OBC=∠OCB=45°， ∴AB=BC,∠ABC=90°， 又∵△PDB為等腰直角三角形， ∴BP=BD,∠DBP=90°， ∴∠ABD=∠DBP+∠ABP=∠ABC+∠ABP=∠BPC， 在△PBC和△DBA中， BD=BP∠ABD=∠BPCAB=BC ， ∴△PBC≌△DBASAS， ∴AD=PC．∠DPB=∠BDA，∠PCD=∠BAC， ∵∠DBP=90°， ∴∠BPC+∠BCP=90°， ∴∠BAC+∠BAD=90°， 即∠DAP=90°， ∴PA2+AD2=PD2即PA2+PC2=PD2； （3）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，連接OM，如圖所示： ∵OA=OB，∠AOB=90°，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)， ∴AM=OM=BM，OM⊥AB，∠MAE=∠MOF=45°， ∵∠EMF=∠AMO=90°， ∴∠AME=∠OMF， ∴△AME≌△OMF， ∴AE=OF=m， ∵OA=OB， ∴OE=BF=n， 根據(jù)勾股定理得：EF=OE2+OF2=m2+n2； 當(dāng)點(diǎn)E在線段OA延長(zhǎng)線上時(shí)，連接OM，如圖所示： 同理可得：△AME≌△OMF， ∴AE=OF=m， ∵OA=OB， ∴OE=BF=n， 根據(jù)勾股定理得：EF=OE2+OF2=m2+n2； 綜上分析可知，EF=m2+n2． 【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，坐標(biāo)與圖形，二次根式的非負(fù)性等．（1）中能根據(jù)二次根式的非負(fù)性得出a=b=c是解題關(guān)鍵；（2）中正確構(gòu)造輔助線，作出全等三角形是解題關(guān)鍵；（3）能借助全等三角形和線段的和差正確表示線段的長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵． 【題型7 勾股定理中的規(guī)律探究】 【例7】（2023春·四川眉山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△OA1A2為等腰直角三角形，OA1=1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，再以O(shè)A3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規(guī)律作下去，則OAn的長(zhǎng)度為 ． 【答案】2n?1 【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求出各邊長(zhǎng)，依據(jù)規(guī)律即可得出答案． 【詳解】解：∵△OA1A2為等腰直角三角形，OA1=1， ∴OA2=2， ∵△OA2A3為等腰直角三角形， ∴OA3=2=22． ∵△OA3A4為等腰直角三角形， ∴OA4=22=23． ∵△OA4A5為等腰直角三角形， ∴OA5=4=24． …… ∴OAn的長(zhǎng)度為2n?1． 故答案為：2n?1． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練應(yīng)用勾股定理得出斜邊是解題關(guān)鍵． 【變式7-1】（2023春·云南昆明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如果正整數(shù)a、b、c滿足等式a2+b2=c2，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù)．某同學(xué)將自探究勾股數(shù)的過(guò)程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知x+y的值為（????） A．67 B．34 C．98 D．73 【答案】C 【分析】依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到b=2n，a=n2?1，c=n2+1，進(jìn)而得出x+y的值． 【詳解】解：由題可得，3=22?1，4=2×2，5=22+1，…… ∴b=2n，a=n2?1，c=n2+1，（n≥2且n為正整數(shù)） ∴當(dāng)b=14=2n時(shí)， 解得：n=7， ∴x=72?1=48，y=72+1=50， ∴x+y=48+50=98， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股數(shù)，滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)． 【變式7-2】（2023春·湖北咸寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的會(huì)徽?qǐng)D案，它是由一串有公共頂點(diǎn)O的直角三角形組成的，圖中的OA1=A1A2=A2A3=?=A7A8=1，按此規(guī)律，在線段OA1，OA2，OA3，?，OA10中，長(zhǎng)度為整數(shù)的線段有 條． 【答案】3 【分析】OA1=1，根據(jù)勾股定理可得OA2=2，OA3=3，找到OAn=n的規(guī)律，即可得到結(jié)論． 【詳解】解：∵如圖是由一串有公共頂點(diǎn)O的直角三角形組成的， 圖中的OA1=A1A2=A2A3=?=A7A8=1， ∴由勾股定理可得： OA2=OA12+A1A22=12+12=2， OA3=OA22+A2A32=22+12=3， …… ∴OAn=n， ∴在線段OA1，OA2，OA3，?，OA10中，完全平方數(shù)有1，4，9． ∴故長(zhǎng)度為整數(shù)的線段有3條． 故答案為：3． 【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的靈活運(yùn)用．本題中找到OAn=n的規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 【變式7-3】（2023春·江西南昌·八年級(jí)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，將若干個(gè)邊長(zhǎng)為2個(gè)單位長(zhǎng)度的等邊三角形按如圖所示的規(guī)律擺放，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著等邊三角形的邊OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…的路線運(yùn)動(dòng)，設(shè)第n秒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Pn（n為正整數(shù)），則點(diǎn)P2023的坐標(biāo)是（????????） A．2022,0 B．2022,?3 C．2023,3 D．2023,?3 【答案】C 【分析】通過(guò)觀察可得，An每6個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)規(guī)律：3，0，3，0，?3，0，點(diǎn)An的橫坐標(biāo)規(guī)律：1，2，3，4，5，6，…，n，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著等邊三角形的邊“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路線運(yùn)動(dòng)，1秒鐘走一段，P運(yùn)動(dòng)每6秒循環(huán)一次，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)n秒的橫坐標(biāo)規(guī)律：1，2，3，4，5，6，…，n，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)規(guī)律：3，0，3，0，?3，0，…，確定P2023循環(huán)的點(diǎn)即可． 【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A1作A1B⊥x軸于B， ∵圖中是邊長(zhǎng)為2個(gè)單位長(zhǎng)度的等邊三角形， ∴OB=BA2=1， ∴A1B=OA12?OB2=3， ∴A11，3，A22，0， 同理A33，3，A44，0， A55，?3，A66，0， A77，3， … ∴An中每6個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)規(guī)律：3，0，3，0，?3，0， 點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著等邊三角形的邊“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…” 的路線運(yùn)動(dòng)，1秒鐘走一段， ∴P運(yùn)動(dòng)每6秒循環(huán)一次， ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)規(guī)律：3，0，3，0，?3，0，…， 點(diǎn)P的橫坐標(biāo)規(guī)律： 1，2，3，4，5，6，…，n， ∵2023÷6=337…1， ∴點(diǎn)P2023的縱坐標(biāo)為3， ∴點(diǎn)P2023的橫坐標(biāo)為2023， ∴點(diǎn)P2023的坐標(biāo)2023，3， 故選C． 【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的特點(diǎn)及等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 【題型8 由勾股定理求最值】 【例8】（2023春·安徽六安·八年級(jí)校考期中）如圖，已知∠MON=60°，點(diǎn)P,Q為∠MON內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠POQ=30°，OP=3，OQ=4，點(diǎn)A,B分別是OM,ON上的動(dòng)點(diǎn)，則PA+AB+BQ的最小值是（????） ?? A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【分析】作點(diǎn)P關(guān)于直線OM的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接OP′，作點(diǎn)Q關(guān)于直線ON的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接OQ′，連接P′Q′，可知PA+AB+BQ=P′A+AB+BQ′，當(dāng)P′，A，B，Q′在同一條直線上時(shí)，P′A+AB+BQ′可以取得最小值，最小值等于P′Q′的長(zhǎng)度，即PA+AB+BQ的最小值等于P′Q′的長(zhǎng)度，利用勾股定理即可求得P′Q′的長(zhǎng)度． 【詳解】如圖所示，作點(diǎn)P關(guān)于直線OM的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接OP′，作點(diǎn)Q關(guān)于直線ON的對(duì)稱點(diǎn)Q′，連接OQ′，連接P′Q′． ?? 根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知PA=P′A，BQ=BQ′， ∴PA+AB+BQ=P′A+AB+BQ′． 根據(jù)題意可知，當(dāng)P′，A，B，Q′在同一條直線上時(shí)，P′A+AB+BQ′可以取得最小值，最小值等于P′Q′的長(zhǎng)度，即PA+AB+BQ的最小值等于P′Q′的長(zhǎng)度． 根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知∠POA=∠P′OA，∠BOQ=∠BOQ′， ∴∠P′OA+∠BOQ′=∠POA+∠BOQ=∠MON?∠POQ=60°?30°=30°． ∴∠P′OQ′=∠P′OA+∠BOQ′+∠MON=30°+60°=90°． 根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知OP=OP′=3，OQ=OQ′=4， ∴P′Q′=OP′2+OQ′2=32+42=5． ∴PA+AB+BQ的最小值等于5． 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和勾股定理，根據(jù)題目要求構(gòu)建軸對(duì)稱圖形是解題的關(guān)鍵． 【變式8-1】（2023春·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰長(zhǎng)分別為4和2，其中∠BAC=∠DAE=90°，M為邊DE的中點(diǎn)．若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)B到點(diǎn)M的距離的最大值為 ． 【答案】4+2 【分析】連接AM．由三線合一得AM=12DE=DM，利用勾股定理求出AM=2，然后利用三角形三條邊的關(guān)系求解即可. 【詳解】如圖，連接AM． ∵M(jìn)為邊DE的中點(diǎn)，且△ADE為等腰直角三角形， ∴AM⊥DE，AM=12DE=DM． 在Rt△ADE中，AD=2， 由勾股定理可知AD2=AM2+DM2，即AM=DM=2． 當(dāng)A，B，M三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形的三邊關(guān)系可知， 此時(shí)一定有BM

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