1. 4年真題考點分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分
【備考策略】1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件
2能夠利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值以及在給定閉區(qū)間上的最大值、最小值
3體會導(dǎo)數(shù)與極大(小)值、最大(小)值的關(guān)系
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，會結(jié)合導(dǎo)數(shù)來判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極值或給定區(qū)間上的最值，熱點內(nèi)容，需綜合復(fù)習(xí)
知識講解
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
(1)函數(shù)的極小值與極小值點
若函數(shù)f(x)在點x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，，而且在點x＝a附近的左側(cè)，右側(cè)，則點a叫做函數(shù)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)的極小值．
(2)函數(shù)的極大值與極大值點
若函數(shù)f(x)在點x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，，而且在點x＝b 附近的左側(cè)，右側(cè)，則點b叫做函數(shù)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)的極大值．
（3）極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
是極值點
是極值點，即：是為極值點的必要非充分條件
函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)
(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件
如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟
①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；
②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
考點一、求函數(shù)的極值或極值點
1．（天津·高考真題）已知函數(shù)在上滿足，當(dāng)時取得極值.
（1）求的單調(diào)區(qū)間和極大值；
（2）證明：對任意、，不等式恒成立.
2．（全國·高考真題）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；
（2）求函數(shù)的極值；
（3）當(dāng)時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值.
3．（天津·高考真題）已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明當(dāng)時，
（Ⅲ）如果，且，證明
4．（山東·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.
（Ⅰ）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范圍.
1．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)設(shè)較小的零點為，證明：.
2．（2023·河北滄州·校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值點個數(shù)；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整數(shù)值.
3．（2023·江蘇無錫·輔仁高中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，．
(1)求函數(shù)的極值點；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
4．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).
(1)求的極值；
(2)已知，有最小值，求的取值范圍.
5．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，.
(1)討論極值點的個數(shù)；
(2)若恰有三個零點和兩個極值點.
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）若，且，證明：.
6．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）己知函數(shù)有三個極值點，其中.
(1)求的取值范圍；
(2)求證：；
(3)求證：.
考點二、根據(jù)函數(shù)極值或極值點求參數(shù)值或范圍
1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（ ）．
A．B．C．D．
1．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)在處取得極小值，則的取值范圍為 .
2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)有兩個極值點，，且，則實數(shù)m的取值范圍是 .
3．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是 .
4．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)存在兩個極值點，，則以下結(jié)論正確的為（ ）
A．B．
C．若，則D．
考點三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
1．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
(2)判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并證明.
2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中a為實數(shù).
(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
(2)若函數(shù)在上存在兩個極值點，，且.求證：.
3．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）設(shè)，已知函數(shù)有個不同零點.
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值：
(2)求實數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)函數(shù)的三個零點分別為、、，且，證明：存在唯一的實數(shù)，使得、、成等差數(shù)列.
4．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在上的最小值；
(2)證明：當(dāng)時，.
5．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，，.
(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的最大值；
(2)確定k的所有可能取值，使得存在，對任意的，恒有.
6．（2023·江蘇·二模）已知函數(shù) ．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間
(2)若函數(shù)在的最小值為，求的最大值．
考點四、由函數(shù)最值求參數(shù)值或范圍
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（ ）
A．B．C．D．1
1．（2023·山東·山東省實驗中學(xué)?？家荒＃┤艉瘮?shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)的取值可以是 ．
2．（2023·廣東廣州·廣州六中?？既＃┮阎c有相同的最小值.
(1)求實數(shù)的值；
(2)已知，函數(shù)有兩個零點，求證：.
【基礎(chǔ)過關(guān)】
一、多選題
1．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)的定義域為是的極大值點，以下結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．是的極大值點
C．是的極小值點D．是的極大值點
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．是奇函數(shù)
B．當(dāng)時，有最小值2
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．有兩個極值點
二、填空題
3．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知實數(shù)成等比數(shù)列，且函數(shù)，當(dāng)時取到極大值，則等于 .
三、解答題
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)在處取得極值-14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲線在點處的切線方程；
(3)求函數(shù)在上的最值.
5．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，.
（1）若在處的切線與也相切，求的值；
（2）若，求函數(shù)的最大值.
6．（2023·江蘇常州·常州市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；
（2）當(dāng)，，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值．
7．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
8．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）已知為函數(shù)的極值點．
(1)求；
(2)證明：當(dāng)時，．
9．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若有零點，求的最小值．
10．（2023·山東淄博·山東省淄博實驗中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù).
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求在區(qū)間上的最大值；
(3)設(shè)實數(shù)使得對恒成立，寫出的最大整數(shù)值，并說明理由.
【能力提升】
1．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的極值；
(2)當(dāng)時，關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
2．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若在區(qū)間上有極小值，求實數(shù)的取值范圍；
(2)求證：.
3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．
(1)討論函數(shù)的最值；
(2)若函數(shù)有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍．
4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，其中.
(1)若時，有極值，求的值；
(2)設(shè)，討論的零點個數(shù).
5．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)若的極大值為3，求實數(shù)的值；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
6．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中.
(1)討論函數(shù)極值點的個數(shù)；
(2)對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.
7．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校考二模）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；
(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
8．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.
(1)若，證明：；
(2)若函數(shù)最大值為，求實數(shù)a的值.
9．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)在上的極值；
(2)用表示中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．
10．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)和在同一處取得相同的最大值．
(1)求實數(shù)a；
(2)設(shè)直線與兩條曲線和共有四個不同的交點，其橫坐標(biāo)分別為（），證明：．
【真題感知】
一、單選題
1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（ ）
A．有兩個極值點B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線
三、填空題
3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的最小值為 .
四、解答題
4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（1）證明：當(dāng)時，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．
5．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．
6．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點
（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．
第03講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值
（核心考點精講精練）
1. 4年真題考點分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分
【備考策略】1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件
2能夠利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值以及在給定閉區(qū)間上的最大值、最小值
3體會導(dǎo)數(shù)與極大(小)值、最大(小)值的關(guān)系
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，會結(jié)合導(dǎo)數(shù)來判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極值或給定區(qū)間上的最值，熱點內(nèi)容，需綜合復(fù)習(xí)
知識講解
函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)
(1)函數(shù)的極小值與極小值點
若函數(shù)f(x)在點x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，，而且在點x＝a附近的左側(cè)，右側(cè)，則點a叫做函數(shù)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)的極小值．
(2)函數(shù)的極大值與極大值點
若函數(shù)f(x)在點x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，，而且在點x＝b 附近的左側(cè)，右側(cè)，則點b叫做函數(shù)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)的極大值．
（3）極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
是極值點
是極值點，即：是為極值點的必要非充分條件
函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)
(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件
如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟
①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；
②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
考點一、求函數(shù)的極值或極值點
1．（天津·高考真題）已知函數(shù)在上滿足，當(dāng)時取得極值.
（1）求的單調(diào)區(qū)間和極大值；
（2）證明：對任意、，不等式恒成立.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為；（2）證明見解析.
【分析】（1）由可求得，由題意得出可解出、的值，可得出函數(shù)的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值；
（2）求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，最小值，由此可得出，進而可證得結(jié)論.
【詳解】（1），由，得，可得.
，，
由于函數(shù)在處取得極值，則，解得，
，
，從而.
當(dāng)時，，則函數(shù)在上是增函數(shù)；
在時，，則函數(shù)在上是減函數(shù)；
當(dāng)時，，則函數(shù)在上是增函數(shù).
所以，函數(shù)在處取得極大值，即；
（2）由（1）知，函數(shù)在上是減函數(shù)，
當(dāng)時，，.
所以，對任意、，不等式.
【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.
2．（全國·高考真題）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若曲線在點處的切線平行于軸，求的值；
（2）求函數(shù)的極值；
（3）當(dāng)時，若直線與曲線沒有公共點，求的最大值.
【答案】（1）（2）當(dāng)時，函數(shù)無極小值；當(dāng)，在處取得極小值，無極大值（3）的最大值為
【分析】（1）求出，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解方程即可；（2）解方程，注意分類討論，以確定的符號，從而確定的單調(diào)性，得極大值或極小值（極值點多時，最好列表表示）；（3）題意就是方程無實數(shù)解，即關(guān)于的方程在上沒有實數(shù)解．一般是分類討論，時，無實數(shù)解，時，方程變?yōu)?，因此可通過求函數(shù)的值域來求得的范圍．
【詳解】（1）由,得．
又曲線在點處的切線平行于軸,
得,即,解得．
（2）,
①當(dāng)時,,為上的增函數(shù),
所以函數(shù)無極值．
②當(dāng)時,令,得,．
,;,．
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
故在處取得極小值,且極小值為,無極大值．
綜上,當(dāng)時,函數(shù)無極小值
當(dāng),在處取得極小值,無極大值．
（3）當(dāng)時,
令,
則直線:與曲線沒有公共點,
等價于方程在上沒有實數(shù)解．
假設(shè),此時,,
又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,由零點存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實數(shù)解”矛盾,故．
又時,,知方程在上沒有實數(shù)解．
所以的最大值為．
解法二:
（1）（2）同解法一．
（3）當(dāng)時,．
直線:與曲線沒有公共點,
等價于關(guān)于的方程在上沒有實數(shù)解,即關(guān)于的方程:
（*）
在上沒有實數(shù)解．
①當(dāng)時,方程（*）可化為,在上沒有實數(shù)解．
②當(dāng)時,方程（*）化為．
令,則有．
令,得,
當(dāng)變化時,的變化情況如下表:
當(dāng)時,,同時當(dāng)趨于時,趨于,
從而的取值范圍為．
所以當(dāng)時,方程（*）無實數(shù)解, 解得的取值范圍是．
綜上,得的最大值為．
考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，極值，導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、值域，方程根的分布．
3．（天津·高考真題）已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明當(dāng)時，
（Ⅲ）如果，且，證明
【答案】（Ⅰ）f(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù)．函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析
【詳解】（Ⅰ）解：f’
令f’(x)=0,解得x=1
當(dāng)x變化時，f’(x)，f(x)的變化情況如下表
所以f(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù)．
函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
當(dāng)x>1時，2x-2>0,從而’(x)>0,從而函數(shù)F（x）在[1,+∞)是增函數(shù)．
又F(1)=0，所以x>1時，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
（Ⅲ）證明：（1）
若
（2）若
根據(jù)（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,則=，所以>,從而>.因為，所以，又由（Ⅰ）可知函數(shù)f(x)在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)事增函數(shù)，所以>,即>2.
4．（山東·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中.
（Ⅰ）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）的取值范圍是.
【詳解】試題分析：（Ⅰ）先求，令
通過對 的取值的討論，結(jié)合二次函數(shù)的知識，由導(dǎo)數(shù)的符號得到函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）根據(jù)（1）的結(jié)果這一特殊性，通過對參數(shù)的討論確定的取值范圍.
試題解析：函數(shù)的定義域為
令，
（1）當(dāng) 時， ， 在上恒成立
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增無極值；
（2）當(dāng) 時，
①當(dāng)時， ，
所以，，函數(shù)在上單調(diào)遞增無極值；
②當(dāng) 時，
設(shè)方程的兩根為
因為
所以，
由可得：
所以，當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞增；
因此函數(shù)有兩個極值點．
（3）當(dāng) 時，
由可得：
當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞減；
因此函數(shù)有一個極值點．
綜上：
當(dāng) 時，函數(shù)在上有唯一極值點；
當(dāng)時，函數(shù)在上無極值點；
當(dāng)時，函數(shù)在上有兩個極值點；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（1）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因為
所以，時， ，符合題意；
（2）當(dāng) 時，由 ，得
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，所以，時， ，符合題意；
（3）當(dāng) 時，由 ，可得
所以 時，函數(shù) 單調(diào)遞減；
又
所以，當(dāng)時， 不符合題意；
（4）當(dāng)時，設(shè)
因為時，
所以 在 上單調(diào)遞增，
因此當(dāng)時，
即：
可得：
當(dāng) 時，
此時， 不合題意.
綜上所述，的取值范圍是
考點：1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；2、分類討論的思想.
1．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)設(shè)較小的零點為，證明：.
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；極小值，無極大值
(2)證明見解析
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)法求極值及單調(diào)區(qū)間即可；
（2）先由零點存在定理說明存在兩個零點，
法一：由導(dǎo)數(shù)法證，，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可證明；
法二：由導(dǎo)數(shù)法證明證明當(dāng)時，，再令代入不等式化簡得證.
【詳解】（1）因為，，所以，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
故有極小值，無極大值；
（2）因為當(dāng)時，，所以，
所以，
又時，；時，，
所以有兩個零點 ；
法1：下面證明，，
設(shè)，
則，所以在上遞增，
又時，，所以對成立，
所以得證 ，
，
令，則，，，∴.
設(shè)，，
則，所以在上遞減，
所以，所以，
所以得證 ，
因為函數(shù)區(qū)間單調(diào)遞減，
又，，，、、，
所以 ；
法2：下面證明當(dāng)時，，
設(shè)，，
，
所以在上遞增，
所以，所以，
再設(shè)，，
，
所以在上遞增，
所以，所以，
綜上，當(dāng)時， ，
現(xiàn)有，所以，
故得，
故得，
所以 .
【點睛】證明零點所在區(qū)間問題：
（1）可結(jié)合零點存在定理說明在區(qū)間端點處異號及函數(shù)單調(diào)性證明；
（2）通過將結(jié)論不等式變形，構(gòu)造成題設(shè)函數(shù)的形式，從而將問題轉(zhuǎn)化為證明不等式成立. 如本題變形成，變形成，則可轉(zhuǎn)化為證；
（3）證明不等關(guān)系可通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)法證明.
2．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值點個數(shù)；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整數(shù)值.
【答案】(1)極值點個數(shù)為1
(2)4
【分析】（1）求出，然后證明只有一個變號零點即可；
（2）條件不等式可轉(zhuǎn)化為，然后求出，分、兩種情況得到的單調(diào)性，然后可得到成立，然后利用導(dǎo)數(shù)可分析出答案.
【詳解】（1）已知，
可得
令，則，
函數(shù)單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，故函數(shù)先增后減，
當(dāng)時，，
其中，∴，∴
當(dāng)時，，
∴函數(shù)只有一個零點，∴函數(shù)的極值點個數(shù)為1.
（2）變形，得，
整理得，
令，則，∵，∴，
若，則恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由，∴，∴，∴，此時可取的最大整數(shù)為2，
若，令，則，令，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上有最小值，，
于是問題轉(zhuǎn)化為成立，求的最大值，
令，則，∵當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，∴在處取得最大值，
∵，∴，∵，，
，此時可取的最大整數(shù)為4.
綜上，可取的最大整數(shù)為4.
3．（2023·江蘇無錫·輔仁高中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，．
(1)求函數(shù)的極值點；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)是的極大值點，無極小值點
(2)
【分析】（1）首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再確定函數(shù)的極值點；
（2）解法一，首先構(gòu)造函數(shù)，，再根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的最大值，即可求解；解法二，首先證明，即可得，即，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，即可求解.
【詳解】（1）由已知可得，函數(shù)的定義域為，且，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以是的極大值點，無極小值點．
（2）解法一：設(shè)，，
則，
令，，則對任意恒成立，
所以在上單調(diào)遞減．
又，，
所以，使得，即，則，即．
因此，當(dāng)時，，即，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，即，則單調(diào)遞減，
故，解得，
所以當(dāng)時，恒成立．
解法二：令，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即．
因為，所以，當(dāng)時等號成立，
即，當(dāng)時等號成立，
所以的最小值為1．
若恒成立，則，
所以當(dāng)時，恒成立．
4．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).
(1)求的極值；
(2)已知，有最小值，求的取值范圍.
【答案】(1)極大值為，無極小值
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)正負(fù)可得單調(diào)性，結(jié)合極值定義可求得結(jié)果；
（2）由可得，令，可將表示為；構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后，分別在和的情況下，討論得到單調(diào)性，進而確定符合題意的的取值范圍.
【詳解】（1）由題意知：定義域為，，
，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
的極大值為，無極小值.
（2）可化為，
為單調(diào)遞增函數(shù)，
由可得：，即，
令，則，，，，
，
令，
，
令，
；
①當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增，
，即，在上單調(diào)遞增，
此時在上不存在最小值，即不存在最小值，不合題意；
②當(dāng)時，若，則；若，則；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，又，
存在，使得，且當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即有最小值；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值、多變量問題的求解；求解多變量問題的關(guān)鍵是能夠通過引入第三變量，將利用來表示，從而減少變量個數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的單調(diào)性的討論問題.
5．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，.
(1)討論極值點的個數(shù)；
(2)若恰有三個零點和兩個極值點.
（?。┳C明：；
（ⅱ）若，且，證明：.
【答案】(1)當(dāng)時, 無極值點;當(dāng)時,所以有兩個極值點；
(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析.
【分析】（1）先求導(dǎo)，對進行討論，研究單調(diào)性可得函數(shù)的極值；
（2）(i)由(1)知: ,且,,又得出，即可得證；
(ii)易得，令,可得，要證明:，只需證:，只需證: (顯然,易證)，即證明:，又因為,所以，令,,利用導(dǎo)數(shù)證明即可.
【詳解】（1）由題知:，
設(shè)函數(shù),
當(dāng)時,開口向上,,
所以,在上單調(diào)遞減,無極值點；
當(dāng)時, 在上有兩個解,
又因為,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
所以有兩個極值點.
綜上:當(dāng)時, 無極值點;當(dāng)時,所以有兩個極值點.
（2）(i)由(1)知: ,且,
又因為,
所以.
(ii)由(i)知:,,,
所以,所以.
令,,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
因為時,>0;時,

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