一、選擇題
1．設(shè)集合,集合,則的元素個數(shù)為( )
A.3B.4C.5D.32
2．設(shè)a,b為實數(shù),命題甲:,命題乙:,則命題甲是命題乙的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
3．十七世紀(jì),數(shù)學(xué)家費馬提出猜想：“對任意正整數(shù),關(guān)于x,y,z的方程沒有正整數(shù)解”,經(jīng)歷三百多年,1995年數(shù)學(xué)家安德魯懷爾斯給出了證明,使它終成費馬大定理,則費馬大定理的否定為( )
A.對任意正整數(shù),關(guān)于x,y,z的方程都沒有正整數(shù)解
B.對任意正整數(shù),關(guān)于x,y,z的方程至少存在一組正整數(shù)解
C.存在正整數(shù),關(guān)于x,y,z的方程至少存在一組正整數(shù)解
D.存在正整數(shù),關(guān)于x,y,z的方程至少存在一組正整數(shù)解
4．已知實數(shù),,下列關(guān)系正確的是( )
A.B.
C.D.
5．設(shè),,且,則的最小值為( )
A.B.C.D.
6．已知某連鎖酒店共有500間客房,若每間客房每天的定價是200元,則均可被租出;若每間客房每天的定價在200元的基礎(chǔ)上提高元（,）,則被租出的客房會減少套.若要使該連鎖酒店每天租賃客房的收入超過元,則該連鎖酒店每間客房每天的定價應(yīng)為( )
A.250元B.260元C.270元D.280元
7．在R上定義運算,則滿足的實數(shù)x的取值范圍為( )
A.B.
C.或D.
8．已知關(guān)于x的不等式的解集為，則的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．若集合,則( )
A.B.C.D.
10．設(shè)正實數(shù)x,y滿足,則下列結(jié)論正確的是( )
A.B.的最大值為
C.的最小值為D.的最小值為
11．1872年德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認為“無理”的時代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機.將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱為戴德金分割.試判斷下列選項中，可能成立的是( )
A.，滿足戴德金分割
B.M沒有最大元素，N有一個最小元素
C.M有一個最大元素，N有一個最小元素
D.M沒有最大元素，N也沒有最小元素
三、填空題
12．不等式組的解集為____________.
13．為了提高同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣,學(xué)校舉辦了數(shù)學(xué)、物理兩科競賽.高一年級(包括銜接班)共260名同學(xué)參加比賽,其中兩科都取得優(yōu)秀的有80人,數(shù)學(xué)取得優(yōu)秀但物理未取得優(yōu)秀的有40人,物理取得優(yōu)秀而數(shù)學(xué)未取得優(yōu)秀的有120人,則兩科均未取得優(yōu)秀的人數(shù)為___________.
14．已知命題,為真命題,則實數(shù)的取值范圍為___________.
四、解答題
15．已知集合,.
(1)當(dāng)時,求;
(2)若,求a的取值范圍.
16．已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時,,求的最小值;
(2)當(dāng)時,,求關(guān)于x的不等式的解集.
17．某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個矩形綜合性休閑廣場,其總面積為3000平方米,其中場地四周（陰影部分）為通道,通道寬度均為2米,中間的三個矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運動場地（其中兩個小場地形狀相同）,塑膠運動場地占地面積為S平方米.
(1)分別寫出用x表示y和用x表示S的函數(shù)關(guān)系式（寫出函數(shù)定義域）;
(2)怎樣設(shè)計能使S取得最大值,最大值為多少？
18．已知二次函數(shù),其中.
(1)若且,
①證明：函數(shù)必有兩個不同的零點;
②設(shè)函數(shù)在x軸上截得的弦長為l,求l的取值范圍;
(2)若且不等式的解集為,求的最小值.
19．設(shè)集合A為非空實數(shù)集,集合,且,稱集合B為集合A的積集.
(1)當(dāng)時,寫出集合A的積集B;
(2)若A是由5個正實數(shù)構(gòu)成的集合,求其積集B中元素個數(shù)的最小值;
(3)判斷是否存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合A,使其積集,并說明理由.
參考答案
1．答案：B
解析：因為,
所以的元素個數(shù)為4個.
故選：B.
2．答案：B
解析：因為,推不出,
而,
所以命題甲是命題乙的必要不充分條件,
故選:B
3．答案：D
解析：“對任意正整數(shù),關(guān)于x,y,z的方程沒有正整數(shù)解”的否定為：
存在正整數(shù),關(guān)于x,y,z的方程至少存在一組正整數(shù)解.
故選：D.
4．答案：D
解析：對于A,取,得,A錯誤;
對于B,,則,B錯誤;
對于C,,則,C錯誤;
對于D,,D正確.
故選：D.
5．答案：C
解析：,
當(dāng)且僅當(dāng)即,時等號成立.
故選：C.
6．答案：C
解析：由題意,列不等式,得：,
整理得：.
又,,所以.
所以,每間客房每天的定價應(yīng)為：(元).
故選：C.
7．答案：B
解析：因為,
故,得到,解得,
所以解集為,
故選：B.
8．答案：D
解析：由不等式的解集為，
可知1和是方程的兩個實數(shù)根，且，
由韋達定理可得，即可得，，
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立；
即可得.
故選：D.
9．答案：ABD
分別令等于1,2,3,4,判斷m,n是否為整數(shù)即可求解.
解析：對于選項A：,存在,或,使得其成立,故選項A正確;
對于選項B：,存在,,使得其成立,故選項B正確;
對于選項C：由,可得,,
若則可得,,不成立;
若則可得,,不成立;
若,可得,此時,,不成立;
同理交換m與n,也不成立,所以不存在m,n為整數(shù)使得成立,故選項C不正確;
對于選項D：,此時存在,或,使得其成立,故選項D正確,
故選：ABD.
10．答案：AC
解析：對于A,正實數(shù)x,y滿足,
則有,解得,即,A選項正確;
對于B,,有,當(dāng)且僅當(dāng),即,時等號成立,
則的最大值為,B選項錯誤;
對于C,,
由,則時,的最小值為,C選項正確;
對于D,,
當(dāng)且僅當(dāng),即,時等號成立,
的最小值為,D選項錯誤.
故選：AC.
11．答案：BD
解析：對于選項A，因為，，，故A錯誤；
對于選項B，設(shè)，，滿足戴德金分割，則M中沒有最大元素，N有一個最小元素0，故B正確；
對于選項C，若M有一個最大元素m，N有一個最小元素n，若，一定存在使不成立；若，則不成立，故C錯誤；
對于選項D，設(shè)，，滿足戴德金分割，此時M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故D正確.
故選:BD.
12．答案：
解析：由,得,即,
解得或,
由,得,解得,
所以
所以不等式組的解集為.
故答案為：.
13．答案：20
解析：如圖所示
設(shè)兩科均未取得優(yōu)秀的人數(shù)為x,則
所以兩科均未取得優(yōu)秀的人數(shù)為20人.
14．答案：
解析：由題意得：當(dāng)時,,不符題意;
當(dāng)時,的對稱軸為,
所以,只需,解得：,
當(dāng)時,顯然滿足題意,
綜上,的取值范圍為,
故答案為：
15．答案：(1)或
(2)
解析：(1)由題意可得,
當(dāng)時,,則或,
故或.
(2)當(dāng)時,,解得,此時,符合題意,
當(dāng)時,由,可得解得,
綜上,a的取值范圍為.
16．答案：(1)
(2)或
解析：(1)因為時,,可得,
又因為,可得,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即當(dāng)且僅當(dāng),時取得最小值為.
(2)因為當(dāng)時,,可得,
則,
因為,所以,則解不等式可得或,
則不等式的解集為或.
17．答案：(1),
(2)矩形場地,時,運動場的面積最大,最大面積是
解析：(1)由已知,,,,故,
由,解得, .
,
根據(jù),得,
,.
(2),
當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,此時.
所以,矩形場地,時,運動場的面積最大,最大面積是.
18．答案：(1)①證明見解析,②
(2)
解析：(1)若且,則,,
①,
函數(shù)必有兩個不同的零點.
② 由及,得,
,
不妨設(shè)函數(shù)的零點為1,,則,
函數(shù)在x軸上截得的弦長.
(2)根據(jù)題意且,
且, ,
令,
則,
當(dāng)且僅當(dāng),即,也即時取等號.
的最小值為.
19．答案：(1)
(2)7
(3)不存在,理由見解析
解析：(1)因為,
故集合B中所有可能的元素有,,,,,,即2,4,8,16,32,
.
(2)設(shè),不妨設(shè),
因為,所以B中元素個數(shù)大于等于7個,
又當(dāng)時,,此時B中元素個數(shù)等于7個,
所以積集B中元素個數(shù)的最小值為7.
(3)不存在,理由如下：
假設(shè)存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合,使其積集,
不妨設(shè),則集合A的生成集
則必有,,其4個正實數(shù)的乘積;
又,,其4個正實數(shù)的乘積,矛盾;
所以假設(shè)不成立,故不存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合A,使其生成集.

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