分層練習(xí)
基礎(chǔ)題
題型1判斷生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象
1．下列運(yùn)動(dòng)中，不屬于旋轉(zhuǎn)變換的是（ ）
A．鐘擺的運(yùn)動(dòng)B．行駛中的汽車車輪C．方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)D．電梯的升降運(yùn)動(dòng)
【答案】D
【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的概念，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的概念求解即可．旋轉(zhuǎn)是物體圍繞一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)軸做圓周運(yùn)動(dòng)．
【詳解】解：A．鐘擺的運(yùn)動(dòng)屬于旋轉(zhuǎn)變換，故不符合題意；
B．行駛中的汽車車輪屬于旋轉(zhuǎn)變換，故不符合題意；
C．方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)屬于旋轉(zhuǎn)變換，故不符合題意；
D．電梯的升降運(yùn)動(dòng)不屬于旋轉(zhuǎn)變換，故符合題意．
故選：B．
2．下面每組的兩個(gè)圖形，經(jīng)過平移后可以重合的是（ ）．
A． B． C．
【答案】B
【分析】根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)的定義即可解答．
【詳解】解： 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后可以重合；
經(jīng)過平移后可以重合；
經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后可以重合．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移和旋轉(zhuǎn)的意義，平移是物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體上任意兩點(diǎn)間，從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的方向與距離都不變的運(yùn)動(dòng)；旋轉(zhuǎn)是物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，每一個(gè)點(diǎn)離同一個(gè)點(diǎn)（可以在物體外）的距離不變的運(yùn)動(dòng)，稱為繞這個(gè)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，這個(gè)點(diǎn)稱為物體的轉(zhuǎn)動(dòng)中心；所以它并不一定是繞某個(gè)軸的運(yùn)動(dòng)；也可以這樣說平移是不轉(zhuǎn)動(dòng)的，旋轉(zhuǎn)自然是轉(zhuǎn)動(dòng)的．
3．北京冬奧會(huì)于2022年2月4日在北京和張家口聯(lián)合舉行．下圖是冬奧會(huì)的吉祥物“冰墩墩”，將該圖片按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到的圖片是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答即可.
【詳解】解：根據(jù)題意得：將該圖片按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到的圖片是：

故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，熟知旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
4．下列現(xiàn)象中，屬于平移的是（ ）
①蕩秋千；②坐電梯；③擰瓶蓋；④物品在傳送帶上移動(dòng)
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】D
【分析】根據(jù)平移的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：①蕩秋千屬于鐘擺運(yùn)動(dòng)；
②坐電梯屬于平移；
③擰瓶蓋屬于旋轉(zhuǎn)；
④物品在傳送帶上移動(dòng)屬于平移；
綜上分析可知，屬于平移的是②④，故D正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了生活中的平移與旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的定義，在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)都按照某個(gè)直線方向做相同距離的移動(dòng)，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的平移運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱平移．在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到另一個(gè)圖形的變化叫做旋轉(zhuǎn)．
5．下列現(xiàn)象中屬于旋轉(zhuǎn)的有 （填序號(hào)）
①火車在筆直行駛；②蕩秋千運(yùn)動(dòng)；③地下水位下降；④鐘擺的運(yùn)動(dòng)；⑤圓規(guī)畫圓．
【答案】②④⑤
【分析】旋轉(zhuǎn)變換：把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到另一個(gè)圖形，即為旋轉(zhuǎn)變換；平移變換：把一個(gè)圖形沿著一定的方向移動(dòng)一定的距離，即為平移變換．
【詳解】解：①火車在筆直行駛，③地下水位下降；是平移；
②蕩秋千運(yùn)動(dòng)；④鐘擺的運(yùn)動(dòng)；⑤圓規(guī)畫圓,屬于旋轉(zhuǎn)，
故答案為：②④⑤．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)和平移的概念，熟練掌握這兩個(gè)基礎(chǔ)概念是解題的關(guān)鍵．
題型2判斷由一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)而成的圖案
6．圖2是由圖1經(jīng)過某一種圖形的運(yùn)動(dòng)得到的，這種圖形的運(yùn)動(dòng)是（ ）
A．平移B．翻折C．旋轉(zhuǎn)D．以上三種都不對(duì)
【答案】C
【詳解】解：根據(jù)圖形可知，這種圖形的運(yùn)動(dòng)是旋轉(zhuǎn)而得到的，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，熟記圖形的旋轉(zhuǎn)的定義（把一個(gè)平面圖形繞平面內(nèi)某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)）是解題關(guān)鍵．
7．先用剪紙剪出兩個(gè)相同的三角形，將它們完全重合在一起，下列圖形可以通過平移其中一個(gè)三角形得到另一個(gè)三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平移的性質(zhì)，結(jié)合軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)變換的定義判斷得出即可．
【詳解】解：A、可以通過軸對(duì)稱得到，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、可以通過平移得到，故此選項(xiàng)正確；
C、可以通過旋轉(zhuǎn)然后平移得到，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、可通過旋轉(zhuǎn)然后平移得到，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)以及軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)變換，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
8．下列右邊的四個(gè)圖形中，不能由圖形在同一平面內(nèi)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【分析】本題考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，解題的關(guān)鍵是掌握把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換．
【詳解】解：①由順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，故①正確；
②由逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，故②正確
③由無法旋轉(zhuǎn)得到，故③錯(cuò)誤；
④由順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，故④正確．
故選：C．
9．如圖，在平面內(nèi)將三角形標(biāo)志繞其中心旋轉(zhuǎn)后得到的圖案（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知只有D選項(xiàng)符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，可以由經(jīng)過怎樣的變換而得到？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明變換過程．
【答案】把先向右平移1個(gè)單位，再繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可得到（答案不唯一）
【分析】利用平移和旋轉(zhuǎn)變換說明變換過程即可．
【詳解】解：根據(jù)網(wǎng)格和圖形中與的相對(duì)位置，
可知：把先向右平移1個(gè)單位，再繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可得到．
即變換過程為：把先向右平移1個(gè)單位，再繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換，掌握平移變換、旋轉(zhuǎn)變換的特點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
題型3找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)
11．如圖，五角星繞著它的旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，使得△ABC與△DEF重合，那么旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)至少為（ ）
A．60°B．120°C．72°D．144°
【答案】D
【詳解】試題分析：由于五角星的五個(gè)角可組成正五邊形，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到正五邊形的中心角為72°，然后可判斷要使△ABC與△DEF重合，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)至少為2個(gè)72°．
解：五角星的五個(gè)角可組成正五邊形，而正五邊形的中心角為=72°，
所以五角星繞著它的旋轉(zhuǎn)中心至少旋轉(zhuǎn)2個(gè)72°，使得△ABC與△DEF重合．
故選D．
考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
12．如圖，中，，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，且點(diǎn)B、點(diǎn)B、點(diǎn)在同一直線上，則旋轉(zhuǎn)角是 ．
【答案】118
【分析】利用鄰補(bǔ)角的定義計(jì)算出，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定旋轉(zhuǎn)角的大?。?br>【詳解】解：∵將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，
∴∠CAC′等于旋轉(zhuǎn)角，
∵，點(diǎn)B、點(diǎn)B、點(diǎn)在同一直線上，
∴，
即旋轉(zhuǎn)角為．
故答案為：118．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．
13．如圖，如果三角形旋轉(zhuǎn)后能與等邊三角形重合，那么圖形所在的平面內(nèi)可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)共有 個(gè)．
【答案】3
【分析】根據(jù)三角形旋轉(zhuǎn)后能與等邊三角形重合，確定旋轉(zhuǎn)中心，即可得到答案．
【詳解】解：以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，能與等邊三角形重合；
以C為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，能與等邊三角形重合；
以的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)，能與等邊三角形重合；
則圖形所在的平面內(nèi)可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)共有3個(gè)．
故答案為：3
【點(diǎn)睛】此題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵．
14．在角、線段、等腰三角形、平行四邊形、等腰梯形、五角星及圓中共有 個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．
【答案】4
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．解答即可．
【詳解】解：在角、線段、等腰三角形、平行四邊形、等腰梯形、五角星及圓中只有線段，五角星、圓、平行四邊形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．
∴旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形一共有4個(gè)，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的概念；注意掌握旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義是關(guān)鍵．
15．如圖，△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)能與△ADE重合，且∠BAE=60°，則旋轉(zhuǎn)中心是 ，旋轉(zhuǎn)角的大小是 度.

【答案】 A 30
【分析】由△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)能與△ADE重合，且∠BAE=60°，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可確定旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.
【詳解】解：∵由△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)能與△ADE重合，且∠BAE=60°
∴∠BAC=∠DAE=∠BAE=30°
∴.旋轉(zhuǎn)中心是A；旋轉(zhuǎn)角的大小是30°.
故答案為：A，30.
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵.
題型4求旋轉(zhuǎn)中心的個(gè)數(shù)
16．如圖，如果正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后能與正方形CDEF重合，那么圖形所在平面內(nèi)，可作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)個(gè)數(shù)（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【詳解】可以繞點(diǎn)D,點(diǎn)C,線段CD的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，
故選C.
17．如圖，若正方形EFGH由正方形ABCD繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，則可以作為旋轉(zhuǎn)中心的是（ ）
A．M或O或NB．E或O或CC．E或O或ND．M或O或C
【答案】A
【詳解】試題分析：若以M為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，D點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，則可得到正方形EFGH；
若以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD旋轉(zhuǎn)180°，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，D點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，則可得到正方形EFGH；
若以N為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H，D點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，則可得到正方形EFGH．
故選A．
18．如圖，如果將正方形甲旋轉(zhuǎn)到正方形乙的位置，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得出，分別以A,B,C為旋轉(zhuǎn)中心即可從正方形甲旋轉(zhuǎn)到正方形乙的位置．
【詳解】解：如圖，
繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可到正方乙的位置；
繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，可到正方乙的位置；
繞AC的中點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°，可到正方乙的位置；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；特別注意容易忽略點(diǎn)B．
19．如圖，正方形旋轉(zhuǎn)后能與正方形重合，那么點(diǎn)，，，中，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的有 個(gè)．
【答案】2．
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分類討論確定旋轉(zhuǎn)中心．
【詳解】解：把正方形ABCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°能與正方形CDEF重合，則旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)D；
把正方形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°能與正方形CDEF重合，則旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)C；
綜上，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的有2個(gè)．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．
題型5旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律性問題
20．依次觀察三個(gè)圖形：，并判斷照此規(guī)律從左向右第四個(gè)圖形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圖形規(guī)律可知，從左到右是依次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)圖形，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：由圖形規(guī)律可得從左到右是依次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)圖形，
∴第四個(gè)圖形是D．
故答案為：D
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)三個(gè)圖形找出旋轉(zhuǎn)的規(guī)律是解題關(guān)鍵．
21．有兩個(gè)完全重合的矩形，將其中一個(gè)始終保持不動(dòng)，另一個(gè)矩形繞其對(duì)稱中心O按逆時(shí)針方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，每次均旋轉(zhuǎn)45°，第1次旋轉(zhuǎn)后得到圖①，第2次旋轉(zhuǎn)后得到圖②，……，則第2021次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與圖①﹣④中相同的是（ ）
A．圖①B．圖②C．圖③D．圖④
【答案】A
【分析】觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)，四次旋轉(zhuǎn)后矩形又回到初始水平位置，用2021除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定即可．
【詳解】解：由圖可知，四次旋轉(zhuǎn)后矩形又回到初始水平位置，
∵2021÷4=505余1，
∴第2021次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形為第505個(gè)循環(huán)組的第一個(gè)圖，是圖①．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形變化規(guī)律，觀察出四次旋轉(zhuǎn)后矩形又回到初始水平位置是解題的關(guān)鍵．
22．等邊三角形（三條邊都相等的三角形是等邊三角形）紙板ABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為2和1，若△ABC繞著頂點(diǎn)逆時(shí)針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)第1次后，點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的數(shù)為0，則翻轉(zhuǎn)2023次后，點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的數(shù)是（ ）
A．﹣2021B．﹣2022C．﹣2023D．﹣2024
【答案】B
【分析】作出草圖，不難發(fā)現(xiàn)，每3次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2023除以3，根據(jù)余數(shù)為1可知點(diǎn)C在數(shù)軸上，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】解：如圖，每3次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，
∵2023÷3＝674…1，，
∴翻轉(zhuǎn)2023次后點(diǎn)C在數(shù)軸上，
∴點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是0﹣674×3＝﹣2022．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)翻轉(zhuǎn)的變化規(guī)律確定出每3次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．
23．如圖是一個(gè)裝飾連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的四個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，第2021次閃爍呈現(xiàn)出來的圖形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】觀察圖形的變化易得每旋轉(zhuǎn)一次的度數(shù)，根據(jù)陰影所處的位置可得相應(yīng)選項(xiàng)．
【詳解】解：觀察圖形的變化可知：每旋轉(zhuǎn)一次，旋轉(zhuǎn)角為90°，即每4次旋轉(zhuǎn)一周，
∵2021÷4＝，
即第2021次與第1次的圖案相同．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了圖形的變換規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是找到圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律周期．
24.射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA＝∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，則∠AOC＝∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．
【解決問題】
（1）在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD 射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；（填“是”或“不是”）
（2）如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為 ；（用含n的代數(shù)式表示）
（3）如圖3，射線OB從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒3°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；同時(shí)，射線OC從與射線OA的反向延長線重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒5°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．問：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？
【答案】（1）是；（2）n；（3）或或或30秒
【分析】（1）根據(jù)“友好線”定義即可作出判斷；
（2）根據(jù)“友好線”定義即可求解；
（3）利用分類討論思想，分四種情況進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分線，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠COA＝∠BOC，
∴∠BOD＝∠AOD，
∴射線OD是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．
（2）∵射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，∠AOB的度數(shù)為n，
∴∠BOM＝∠AOB＝n，
∵ON平分∠AOB，
∴∠BON＝∠AOB＝n，
∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n；
（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（x≤36）秒時(shí)，射線OA、OB、OC中恰好有一條射線是其余兩條射線中某條射線的“友好線”．
當(dāng)射線OB是射線OA在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，則∠AOB＝∠COB，
所以3x＝（180﹣5x﹣3x），
解得x＝（符合題意），
即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，射線OB是射線OA的“友好線”．
當(dāng)射線OB是射線OC在∠AOC內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，則∠COB＝∠AOB，
所以180﹣5x﹣3x＝×3x，
解得x＝（符合題意），
即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，射線OB是射線OC的“友好線”．
當(dāng)射線OC是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，則∠COB＝∠AOC，
所以3x+5x﹣180＝（180﹣5x），
解得x＝（符合題意），
即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，射線OC是射線OB的“友好線”．
當(dāng)射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”時(shí)，則∠AOC＝∠COB，
所以180﹣5x＝（5x+3x﹣180），
解得x＝30（符合題意），
即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為30秒時(shí)，射線OC是射線OA的“友好線”．
綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為或或或30秒時(shí)，符合題意要求．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，角的運(yùn)算，理解新定義，并用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
題型6根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解
25．將一副三角板如圖1所示擺放，直線，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)時(shí)間為秒，當(dāng)時(shí)，若邊與三角板的一條直角邊（邊）平行，則所有滿足條件的的值為 ．

【答案】或
【分析】根據(jù)題意得，，（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，延長交于點(diǎn)P，分兩種情況討論：①在上方時(shí)，②在下方時(shí)，，列式求解即可；（2）當(dāng)時(shí)，延長交于點(diǎn)I，①在上方時(shí)，，②在下方時(shí)，，列式求解即可．
【詳解】解：由題意得，，，
（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，延長交于點(diǎn)，

①在上方時(shí)，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
②在下方時(shí)，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴（不符合題意，舍去），
（2）當(dāng)時(shí)，延長交于點(diǎn)I，

①在上方時(shí)，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
②在下方時(shí)，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴（不符合題意，舍去），
綜上，所有滿足條件的的值為或．
故答案為：或．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)并正確分情況討論是解題的關(guān)鍵．
26．如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．如果，那么 °．
【答案】125
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】∵將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：125．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵．
27．如圖，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與重合．若，則 ．
【答案】/度
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，進(jìn)一步計(jì)算即可求解．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)并確定是解題的關(guān)鍵．
28．如圖，在三角形中，，四邊形是邊長為6的正方形，且、、分別在邊、、上．把三角形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度．

(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上，此時(shí)四邊形的面積為______；
(2)當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)經(jīng)過的路程為，點(diǎn)經(jīng)過的路程為，且，求線段的長．
【答案】(1)36
(2)14
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可知，，所以等于正方形的面積，求解即可；
（2）由得，求出，再結(jié)合即可求解．
【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)可知，，
由題意可知，，
，
故答案為：36；
（2）如圖：

設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，
則，，
，
，
，
，
∵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在線段上，
，
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、弧長公式，熟練利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
29．如圖，在正方形中，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)（與A，B兩點(diǎn)不重合），將繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使與重合，這時(shí)點(diǎn)E落在點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)．

(1)按照題目要求畫出圖形；
(2)若正方形邊長為3，，求的面積；
(3)若正方形邊長為m，，比較與的面積大小，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)4
(3)，理由見解析
【分析】（1）按照題目要求根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可畫出圖形；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，然后求出和，進(jìn)而可求的面積；
（3）首先求出，然后證明，根據(jù)求出，即可比較與的面積大?。?br>【詳解】（1）解：如圖所示；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，
∵正方形的邊長為3，
∴，，
∴；
（3）；
理由：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，
∵正方形的邊長為m，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，整式混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確求出和．
題型7根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明線段或角相等
30．如圖，將三角形繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到三角形，此時(shí)點(diǎn)A在邊上．若，，則的長為（ ）

A．4B．3C．2.5D．2
【答案】D
【分析】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，線段的和差，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，即可求解．熟練掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，此點(diǎn)A在邊上，
∴，
∵，
∴．
故選：D．
31．如圖，三角形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于，得到三角形，那么下列說法錯(cuò)誤的是（ ）．

A．平分B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，即可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【詳解】解：∵三角形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于，
∴的對(duì)應(yīng)邊為，的對(duì)應(yīng)邊為，
∴，，，
∴平分，
通過已知條件不能得出，
所以A，B，D選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)不正確．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．
32．如圖，中，，，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若，則為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出的度數(shù)即可．
【詳解】∵將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
33．如圖，若繞某個(gè)點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與重合，若，則的長為 ．

【答案】7
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，
∴，
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．
34．加圖，將三角形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到三角形，且，，則：

(1)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是____________________．
(2)線段的對(duì)應(yīng)線段是_______________．
(3)線段的對(duì)應(yīng)線段是_______________．
(4)的對(duì)應(yīng)角是__________________．
(5)三角形旋轉(zhuǎn)的角度是____________．
【答案】(1)點(diǎn)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，
故答案為：點(diǎn)；
（2）解：線段的對(duì)應(yīng)線段是，
故答案為：；
（3）解：線段的對(duì)應(yīng)線段是，
故答案為：；
（4）解：的對(duì)應(yīng)角是，
故答案為：；
（5）解：三角形旋轉(zhuǎn)的角度是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖?旋轉(zhuǎn)變換、旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型8旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及辨析
35．下列說法中正確的有（ ）
（1）如果把一個(gè)圖形繞著一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后和另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱；
（2）如果兩個(gè)圖形關(guān)于一點(diǎn)成中心對(duì)稱，那么其對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等；
（3）如果一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為，那么它不是中心對(duì)稱圖形；
（4）如果一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為，那么它是中心對(duì)稱圖形．
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形定義及性質(zhì)依次判斷即可．
【詳解】（1）只有旋轉(zhuǎn)后重合才是中心對(duì)稱，故此說法錯(cuò)誤；
（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分，但是距離不一定相等，故此說法錯(cuò)誤；
（3）如果一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為，那么它不是中心對(duì)稱圖形，此說法正確；
（4）如果一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為，那么它不一定是中心對(duì)稱圖形，故此說法錯(cuò)誤；
說法正確的只有1個(gè)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查中心對(duì)稱圖形，在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形．
36．在圖形的旋轉(zhuǎn)中，下列說法不正確的是（ ）
A．旋轉(zhuǎn)前和旋轉(zhuǎn)后的圖形一樣B．圖形上的每一個(gè)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離都相等
C．圖形上的每一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角度都相同D．圖形上可能存在不動(dòng)的點(diǎn)
【答案】B
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)對(duì)A、B、C進(jìn)行判斷；利用旋轉(zhuǎn)中心為圖形上一點(diǎn)的情況可 D進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A、旋轉(zhuǎn)前和旋轉(zhuǎn)后的圖形全等，故A選項(xiàng)不符合題意；
B、在圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，故B選項(xiàng)符合題意；
C、圖形上每一點(diǎn)移動(dòng)的角度相同，都等于旋轉(zhuǎn)角，故C選項(xiàng)不符合題意；
D、圖形上可能存在不動(dòng)的點(diǎn)，故D選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．
37．如圖，若將一個(gè)由半圓（圓心為O）和一條直徑所組成的圖形稱為“半圓形O”，它的直徑AB＝2，半圓形B的直徑為OC．對(duì)半圓形O作下述運(yùn)動(dòng)，所得圖形能與半圓形B重合的是（ ）
A．向右平移1個(gè)單位B．以直線AB為對(duì)稱軸進(jìn)行翻折
C．繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°D．繞著線段OB的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°
【答案】D
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】∵OB＝AB＝OC，
∴AB＝OC，
由圖象可知半圓形O和半圓形B是共圓中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，其對(duì)稱中心為對(duì)稱點(diǎn)連線的中點(diǎn)，
故半圓形O繞著線段OB的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°能與半圓形B重合，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形的概念，找出對(duì)稱中心是解題的關(guān)鍵．
38．下列說法正確的是（ ）
A．平移和旋轉(zhuǎn)的共同點(diǎn)是改變了圖形的位置，而圖形的形狀、大小沒有變化.
B．平移不改變圖形的形狀、大小，而旋轉(zhuǎn)則改變圖形的形狀、大小.
C．圖形可以向某方向平移一定距離，也可以向某方向旋轉(zhuǎn)一定距離.
D．在平移和旋轉(zhuǎn)圖形中，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等且平行.
【答案】A
【分析】根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，排除錯(cuò)誤答案．
【詳解】A、平移和旋轉(zhuǎn)的共同點(diǎn)是改變圖形的位置，而圖形的形狀大小沒有變化，故A正確；
B、平移不改變圖形的形狀和大小，而旋轉(zhuǎn)同樣不改變圖形的形狀和大小，故B錯(cuò)誤；
C、圖形可以向某方向平移一定距離，而旋轉(zhuǎn)是圍繞中心做圓周運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤；
D、在平移和旋轉(zhuǎn)圖形中，對(duì)應(yīng)角相等，平移中對(duì)應(yīng)線段相等且平行，旋轉(zhuǎn)圖形對(duì)應(yīng)線段相等但不一定平行，故D錯(cuò)誤
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何的類型，解題的關(guān)鍵是正確掌握平移和旋轉(zhuǎn)的定義，即在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)成為平移；旋轉(zhuǎn)就是物體繞著某一點(diǎn)或軸運(yùn)動(dòng)．平移和旋轉(zhuǎn)的共同點(diǎn)是改變圖形的位置．
39．如圖，是一個(gè)由邊長為1的小正方形組成的10×10的正方形網(wǎng)格，
（1）在網(wǎng)格中畫出將△ABC向右平移4個(gè)單位后的△A1B1C1；
（2）△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后，點(diǎn)A與點(diǎn)A2重合，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出點(diǎn)O，并畫出△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后的△A2B2C2；
（3）描述△A1B1C1與△A2B2C2的位置關(guān)系是 ．
【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析；（3）關(guān)于B1B2的中點(diǎn)成中心對(duì)稱或關(guān)于A1A2的中點(diǎn)成中心對(duì)稱或關(guān)于C1C2的中點(diǎn)成中心對(duì)稱
【詳解】試題分析：本題考查了平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱的性質(zhì).（1）找出向右平移4個(gè)單位后的點(diǎn)A1，B1，C1，然后順次連接即可；（2）連接AA2，其中點(diǎn)O就是旋轉(zhuǎn)中心，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出B2，C2，用線段順次相連即可；（3）由圖形觀察可得△A1B1C1與△A2B2C2成旋轉(zhuǎn)對(duì)稱關(guān)系.
（1）如圖，△A1B1C1 ；
（2）如圖，連接AA2，點(diǎn)O就是旋轉(zhuǎn)中心， △A2B2C2 就是所求做的圖形；
（3）關(guān)于B1B2的中點(diǎn)成中心對(duì)稱或關(guān)于A1A2的中點(diǎn)成中心對(duì)稱或關(guān)于C1C2的中點(diǎn)成中心對(duì)稱
題型9畫旋轉(zhuǎn)圖形
40．如圖，方格紙上的直線m與直線n交于點(diǎn)O，對(duì)分別作下列運(yùn)動(dòng)：
①先以點(diǎn)A為中心順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，再向右平移6格、向下平移3格；
②先以點(diǎn)B為中心逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，再向下平移3個(gè)單位，再沿直線n翻折；
③先以點(diǎn)O為中心順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，再向下平移4格、向右平移2格．
其中，能將變換成的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】根據(jù)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，畫出圖形，即可一一判定．
【詳解】解：①先以點(diǎn)A為中心順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到的圖形如下：
再向右平移6格、向下平移3格，即可得到，
故①符合題意；
②先以點(diǎn)B為中心逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到的圖形如下：
再向下平移3個(gè)單位，再沿直線n翻折，即可得到，
故②符合題意；
③先以點(diǎn)O為中心順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到的圖形如下：
再向下平移4格、向右平移1格，即可得到，
故③不符合題意．
故其中，能將變換成的是①②，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化，熟練掌握平移、旋轉(zhuǎn)變化的性質(zhì)與運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．
41．在邊長為1的正方形方格紙中，有如圖所示的（頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．
(1)先畫出該三角形關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的；
(2)再畫將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后的；
(3)求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)3
【分析】（1）利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，即可；
（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即可；
（3）利用三角形的面積公式求解即可．
【詳解】（1）如圖所示，即為所求，
（2）如圖所示，即為所求；
（3）的面積．
【點(diǎn)睛】本題考查畫旋轉(zhuǎn)圖形和畫軸對(duì)稱圖形，以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)．
42．如圖，已知長方形，，，E是的中點(diǎn)，連接；將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（其中分別與對(duì)應(yīng)）使得落在直線BC上，得．
(1)畫出滿足條件的；
(2)
(3)連接，求的面積
【答案】(1)見解析
(2)或
(3)或
【分析】（1）將繞點(diǎn)順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)即可得出滿足條件的三角形；
（2）根據(jù)（1）中的不同位置，分類求解即可；
（3）根據(jù)（1）中的不同位置，分類計(jì)算的面積即可；
【詳解】（1）解：將繞點(diǎn)順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)即可得出滿足條件的三角形；如圖，即為所求；
（2）解：∵E是的中點(diǎn)
∴
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，,
由此易得：三點(diǎn)共線；
當(dāng)為繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得時(shí)；
當(dāng)為繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得時(shí)；
故答案為：或
（3）解：當(dāng)為繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得時(shí)；
當(dāng)為繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得時(shí)；
綜上，的面積為或；
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
43．如圖，正方形中，點(diǎn)是線段延長線一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，．
(1)將線段沿著射線方向運(yùn)動(dòng)，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，用代數(shù)式表示線段掃過的平面部分的面積為________；
(2)將三角形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得與重合，點(diǎn)落在點(diǎn)上，聯(lián)結(jié)，用代數(shù)式表示三角形的面積________；
(3)將三角形繞平面內(nèi)某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的三角形有一邊與正方形的一邊完全復(fù)合，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出符合條件的4種情況（第（2）小題的情況除外）并寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角．
【答案】(1)
(2)
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)和平行四邊形的面積計(jì)算即可；
（2）根據(jù)三角形的面積計(jì)算即可；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出圖形得出旋轉(zhuǎn)中心和角度即可．
【詳解】（1）解：線段掃過的平面部分的面積為，
故答案為：；
（2）解：由題意得，，
∴的面積，
故答案為：；
（3）①如圖，旋轉(zhuǎn)中心：邊的中點(diǎn)為O，順時(shí)針，
；
②如圖，旋轉(zhuǎn)中心：點(diǎn)D；順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
；
③如圖，旋轉(zhuǎn)中心：正方形對(duì)角線交點(diǎn)G；順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
；
④如圖，旋轉(zhuǎn)中心：正方形對(duì)角線交點(diǎn)G；順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角解答．
44．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1個(gè)單位長度的網(wǎng)格中，三角形ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上．
(1)將三角形ABC向右平移5個(gè)單位長度得到三角形，畫出三角形（點(diǎn)，，分別為點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）
(2)將三角形ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到三角形，畫出三角形（點(diǎn)，分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可．
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可．
【詳解】（1）解：如圖：
（2）解：如圖：
【點(diǎn)睛】本題考查作圖——平移變換、旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
題型10旋轉(zhuǎn)綜合題（幾何變換）
45．將一副直角三角板和如圖（1）放置，此時(shí)四點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)A在邊上，其中，，．

(1)求的度數(shù)；
(2)將圖（1）中的三角板繞點(diǎn)A以每秒的速度，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后，記為三角板，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．
①當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖（2）時(shí)，此時(shí)，求a的值；
②若在旋轉(zhuǎn)過程中，三角板的某一邊恰好與所在的直線平行，直接寫出t的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)題意，由三角形外角定理即可求解；
（2）①當(dāng)時(shí)，分兩種情況，第一種當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度在之間時(shí)，根據(jù)三角形外角定理得，再根據(jù)即可求解；第二種情況當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度在時(shí)，此時(shí)再旋轉(zhuǎn)；
②分三種情況討論：第一種當(dāng)時(shí)，a為或a為，第二種當(dāng)時(shí)，a為或a為，，a為，根據(jù)角度轉(zhuǎn)動(dòng)速度分別求解t即可．
【詳解】（1）解：，，
；
（2）解：①如圖，

，
，
由（1）知，，，
，，
，
如圖，與延長線交于點(diǎn)，

由第一種情況知，這種情況是在第一種情況的基礎(chǔ)上再旋轉(zhuǎn)，
三角板繞點(diǎn)A以每秒的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，
，
；
解：②如圖，當(dāng)時(shí)，

，
，
，
，
a為或a為，
（秒），（秒）．
如圖，當(dāng)時(shí)，

，
，
a為或a為，
（秒），（秒），
．
如圖，當(dāng)時(shí)，
此時(shí)a為
∴，
綜上所述，
【點(diǎn)睛】本題考查角的運(yùn)動(dòng)和角的運(yùn)算及平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定方法及性質(zhì)和角度的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
46．已知，，平分，平分．（本題中的角均為大于且小于等于的角）．
(1)如圖，當(dāng)、重合時(shí)，求的度數(shù)；
(2)當(dāng)從如圖所示位置繞點(diǎn)O沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，且時(shí)，直接寫出n的取值范圍．
(3)當(dāng)從如圖所示位置繞點(diǎn)O沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，的值是否為定值？若是定值，求出的值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不是定值，見解析
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義知、，再根據(jù)可得答案；
（2）分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，，為定值；當(dāng)時(shí)，，為定值；當(dāng)時(shí)，，由，解得：（不符合題意，舍去）；即可確定n的取值范圍．
（3）分兩種情況討論：；．
【詳解】（1）如圖1，與重合，
∵平分，即平分，
∴，
∵平分，即平分，
∴，
∴；
（2）當(dāng)時(shí)，如圖2，
即有：，，，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
此時(shí)，為定值；
當(dāng)時(shí)，如圖3．
即，，，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
此時(shí)，為定值；
當(dāng)時(shí)，如圖4．
即，，
，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（不符合題意，舍去）；
綜上所述，n的取值范圍；
（3）的值不是定值，理由是：
當(dāng)時(shí)，如圖5．
的值是定值，理由是：
，，
∵平分，平分，
∴、，
∴為定值；
當(dāng)時(shí)，如圖6．
即：，，，
∵平分，平分
∴，，
則，不是定值，
故的值不是定值．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角的計(jì)算和角平分線的定義，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
47．如圖，平面內(nèi)點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，一直角三角板的直角頂點(diǎn)與O重合，平分，設(shè)．（本題中所有角均小于等于）．
(1)如圖，請(qǐng)直接寫出_______（用含α的式子表示）；
(2)若圖中，三角板從圖中的位置出發(fā)，繞O點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)從出發(fā)，以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①當(dāng)t為何值時(shí)，？
②是否存在一負(fù)數(shù)k，使得取值與t無關(guān)．若存在，求此時(shí)k的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)①或秒；②存在，
【分析】（1）根據(jù)平角的定義可得，再由平分，可得，，然后根據(jù)，即可求解；
（2）①分三種情況討論：當(dāng)點(diǎn)M位于的上方時(shí)，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)M位于的下方，點(diǎn)C位于的上方時(shí)，此時(shí)；點(diǎn)M位于的下方，點(diǎn)C位于的下方時(shí)，此時(shí)，即可求解；②分三種情況討論，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
故答案為：
（2）解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)M位于的上方時(shí)，此時(shí)，
根據(jù)題意得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
如圖，當(dāng)點(diǎn)M位于的下方，點(diǎn)C位于的上方時(shí)，此時(shí)，
根據(jù)題意得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去）；
如圖，點(diǎn)M位于的下方，點(diǎn)C位于的下方時(shí)，此時(shí)，
根據(jù)題意得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：；
綜上所述，t可為或秒；
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)，即時(shí)，與t無關(guān)，
當(dāng)時(shí)
當(dāng)時(shí)，解得，舍去；
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)，即時(shí)，與t無關(guān)，
綜上所述：此時(shí)時(shí)與t無關(guān)，且或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計(jì)算，圖形的旋轉(zhuǎn)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．
48．已知，為內(nèi)部的一條射線，；
(1)如圖1，若平分，為內(nèi)部的一條射線，，求的度數(shù)；
(2)如圖2，若射線繞著O點(diǎn)從開始以12度/秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)過程中，平分，試問是否為定值，若不是，請(qǐng)說明理由；若是，請(qǐng)求出其值．
(3)如圖3，若射線繞著O點(diǎn)從開始以15度/秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至結(jié)束、同時(shí)繞著O點(diǎn)從開始以3度/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至結(jié)束，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)時(shí)，求t的值；
【答案】(1)
(2)是定值，
(3)5秒或秒或秒
【分析】（1）首先根據(jù)，，可求得，再根據(jù)角平分線的定義，可求得，據(jù)此即可得出答案；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒，則，，根據(jù)角平分線的定義，可得，，據(jù)此即可得出答案；
（3）用含有t的代數(shù)式分別表示出和，分三種情況分別列出方程，即可求出t的值．
【詳解】（1）解：，，
，
又，平分，
，
；
（2）解：是定值；
如圖：
設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒，則，，
平分，
，
，
，
為定值，為；
（3）解：，，
，
當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，

繞著O點(diǎn)從開始以15度/秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)繞著O點(diǎn)從開始以3度/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
，，
，，
，
，
解得；
當(dāng)與重合時(shí)，
，
解得；
當(dāng)與重合，即停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，
，
解得，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，秒或秒或秒．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算，分類討論的思想，找準(zhǔn)角之間的等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
提升題
49．已知，中：
(1)如果將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)分別與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，請(qǐng)畫出圖形．（不要求寫作圖步驟）
(2)連接與相交于點(diǎn)．如果，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且，若，試用含有的代數(shù)式來表示的面積．
【答案】(1)見解析
(2)．
【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；
（2）根據(jù)題意求得，，根據(jù)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，得到，，據(jù)此即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，即為所作，
（2）解：如圖，
∵，且，
∴，
∴，
∵，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，
∴，，
∵是旋轉(zhuǎn)得到的，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
50．如圖，兩個(gè)形狀、大小完全相同的含有、的三角板如圖①放置，、與直線重合，且三角板，三角板均可以繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．
(1)直接寫出的度數(shù)；
(2)若三角板的邊從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度（如圖②），若平分，平分，求的度數(shù)；
(3)在圖①基礎(chǔ)上，若三角板的邊從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，同時(shí)三角板的邊從處開始繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為秒，（當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)一周后，兩塊三角板停止運(yùn)動(dòng)），在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)，求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是多少．
【答案】(1)
(2)
(3)秒或秒或秒
【分析】（1）由題意可知和的度數(shù)， 即可
（2）設(shè)，，由角平分線定義得，從而可得，又由角平分線的定義可得，因，聯(lián)立可得，即可求得
（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則，分四種情況討論，即可求得旋轉(zhuǎn)的時(shí)間
【詳解】（1）由題意得，，，
，
；
（2）設(shè)，，
則，
由角平分線的定義得
又
，即，
；
（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，則有：，
∵三角板旋轉(zhuǎn)一周后，兩塊三角板停止運(yùn)動(dòng)，
∴，
①當(dāng)與第一次重合時(shí)，，
∴時(shí)，如下圖所示：
由得：
解得：；
②當(dāng)，如下圖所示：
，
由得：
解得：
③當(dāng)與第二次重合時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，如下圖所示：
由得：
解得：；
④當(dāng)時(shí)，如下圖所示：
，
由得：，
解得：（舍去）
綜上①②③④所述：當(dāng)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒或秒或秒
【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)綜合題，三角板中角度計(jì)算問題和角平分線的含義，熟練掌握三角板的特征，畫出圖形，分類討論，是解決問題的關(guān)鍵．

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