初中數(shù)學(xué)10.5 可以化成一元一次方程的分式方程優(yōu)秀復(fù)習(xí)練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

分層練習(xí)
基礎(chǔ)題
題型一分式方程的定義
1．（河北石家莊·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）下列方程中，是分式方程的是（）
A．15+x4=3B．x?4y=7C．2x=3(x?5)D．4x?2=1
【答案】D
【分析】未知數(shù)在分母中的有理方程是分式方程，根據(jù)分式方程的定義可得答案．
【詳解】解：15+x4=3是一元一次方程，故A不符合題意；
x?4y=7是二元一次方程，故B不符合題意；
2x=3(x?5)是一元一次方程，故C不符合題意；
4x?2=1符合分式方程的定義，故D符合題意；
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的定義，理解分式方程的定義為解題的關(guān)鍵．
2．（河北石家莊·八年級石家莊市第二十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各式中是分式方程的是（）
A．1xB．x2+1=yC．x2+1=0D．2x?1=2
【答案】D
【分析】根據(jù)分式方程的定義，即可得出答案．
【詳解】解：A、1x不是方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、x2+1=y是整式方程，不是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、x2+1=0是整式方程，不是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、2x?1=2是分式方程，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的定義，熟練掌握分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程是解題的關(guān)鍵．
3.下列式子：①x?12=1；②xx?2=x+23x?1；③23x+12x；④x2x=8；⑤xπ?1=1；⑥xa?2=xa≠0．其中，是關(guān)于x的分式方程有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】根據(jù)分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程，判斷即可．
【詳解】解：①分母中不含有未知數(shù)，是整式方程；
②分母中含有未知數(shù)，故是分式方程；
③不是等式，故不是方程；
④分母中含有未知數(shù)，故是分式方程．
⑤分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；
⑥分母中不含有未知數(shù)，故不是分式方程；
綜上所述：分式方程有②④，共2個，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．
題型二解分式方程
1．（上?！て吣昙壭Ｂ?lián)考期末）解方程：2?xx?3+2=13?x．
【答案】無解
【分析】去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1，檢驗(yàn)，解分式方程即可．
【詳解】解：去分母，得：2?x+2x?3=?1，
去括號，得：2?x+2x?6=?1，
移項(xiàng)，合并，得：x=3；
檢驗(yàn)：當(dāng)x=3時，x?3=0，
∴x=3是原方程的增根，舍掉，
∴原方程無解．
【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程．熟練掌握解分式方程的步驟，是解題的關(guān)鍵．注意，驗(yàn)根．
2．（上海嘉定·七年級上海市育才中學(xué)?？计谀┤鐖D，小琪的作業(yè)本上有這樣一道填空題，其中有一部分被墨水污染了，若把污染的部分記為代數(shù)式A，若該題化簡的結(jié)果為1x+3．
(1)求代數(shù)式A；
(2)該題化簡的結(jié)果1x+3能等于17嗎？為什么？
【答案】(1)x?4
(2)該題的化簡結(jié)果不能等于17，理由見解析
【分析】（1）先化簡x?4x2?9÷Ax?3，再根據(jù)化簡結(jié)果為1x+3進(jìn)行求解即可；
（2）若1x+3=17，可解得x=4，得到A=x?4=0，此時x?4x2?9÷x?4x?3沒有意義，由此即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：x?4x2?9÷Ax?3
=x?4x+3x?3?x?3A
=x?4x+3A，
∵該題化簡的結(jié)果為1x+3，
∴x?4x+3A=1x+3，
∴A=x?4x+3÷1x+3=x?4x+3?x+31=x?4；
（2）解：該題的化簡結(jié)果不能等于17，理由如下：
當(dāng)1x+3=17時，則x+3=7，解得x=4，
經(jīng)檢驗(yàn)x=4是方程1x+3=17的解，
∵當(dāng)x=4時，A=x?4=0，即分式x?4x?3=0，此時x?4x2?9÷0沒有意義，
∴該題的化簡結(jié)果不能等于17．
【點(diǎn)睛】本題主要了分式的除法計(jì)算，解分式方程，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
3．（上海嘉定·七年級上海市育才中學(xué)校考期末）解方程：3x+1x?3=2+4x?3．
【答案】x=?3
【分析】兩邊都乘以x?3，化為整式方程求解，然后檢驗(yàn)即可．
【詳解】3x+1x?3=2+4x?3
兩邊都乘以x?3，得
3x+1=2x?3+4
解得x=?3，
檢驗(yàn)：當(dāng)x=?3時，x?3≠0，
∴x=?3是原方程的解．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的兩邊都乘以各分母的最簡公分母，化為整式方程求解，求出未知數(shù)的值后不要忘記檢驗(yàn)．
4．（上海寶山·七年級?？计谀┙夥匠蹋??1x?5=4?xx?5．
【答案】無解
【分析】根根分式方程的求解方法計(jì)算即可作答．
【詳解】1?1x?5=4?xx?5
x?5?1=4?x
x+x=4+5+1
2x=10
x=5，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是原方程的增根，
故原分式方程無解．
【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程的知識，注意要將所得的解代入原方程檢驗(yàn)，是解答本題的關(guān)鍵．
題型三根據(jù)分式方程解的情況求值
1．（上海·七年級上海市延安初級中學(xué)?？计谀┤舴质椒匠蘹?ax+1=a有增根，則a的值為．
【答案】?1
【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母x+1=0，得到x=?1，然后代入整式方程算出a的值即可．
【詳解】解：方程兩邊同時乘以x+1得，x?a=ax+1，
∵方程有增根，
∴x+1=0，解得x=?1．
∴?1?a=0，解得a=?1．
故答案為：?1．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根，先根據(jù)增根的定義得出x的值是解答此題的關(guān)鍵．
2．（上海黃浦·七年級上海市民辦立達(dá)中學(xué)校考期中）當(dāng)n為何取值范圍時，分式方程xx+1?x+1x?3=x?nx2?2x?3的解不大于5．
【答案】n≤31且n≠19且n≠?5．
【分析】先去分母，把方程化為整式方程，解整式方程可得x=n?16，再由x≤5且x≠3且x≠?1，列不等式組，從而可得答案．
【詳解】解：xx+1?x+1x?3=x?nx2?2x?3
∴xx+1?x+1x?3=x?nx?3x+1，
去分母得：xx?3?x+12=x?n，
整理得：6x=n?1，
解得：x=n?16，
∵x≤5且x≠3且x≠?1，
∴n?16≤5n?16≠3n?16≠?1
解得：n≤31且n≠19且n≠?5．
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的解法，一元一次不等式組的解法，掌握“根據(jù)分式方程的解的情況求解參數(shù)的取值范圍”是解本題的關(guān)鍵．
3．（上海青浦·七年級?？计谀┤绻匠?x?2=2+kx?2有增根，則k＝．
【答案】1
【分析】先化簡原式，再將x＝2代入求解．
【詳解】解：方程1x?2=2+kx?2兩邊同時乘以x﹣2可得，
1＝2（x﹣2）+k，
∵方程有增根x＝2，
∴將x＝2代入1＝2（x﹣2）+k，
可得k＝1．
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．
4．（上海浦東新·七年級?？计谥校┮阎P(guān)于x的方程2x+mx?1=3的解是正數(shù)，則m的取值范圍為．
【答案】m>?3且m≠?2
【分析】首先求出關(guān)于x的方程2x+mx?1=3的解，然后根據(jù)解是正數(shù)，再解不等式求出m的取值范圍．
【詳解】去分母，得2x+m=3(x?1)，
去括號，得2x+m=3x?3，
解得x=m+3，
根據(jù)題意得x?1≠0，即m+3?1≠0且m+3>0，
解得m>?3且m≠?2．
故答案為：m>?3且m≠?2．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，是一個方程與不等式的綜合題目，解關(guān)于x的方程是關(guān)鍵，解關(guān)于x的不等式是本題的一個難點(diǎn)．
5．（七年級單元測試）已知關(guān)于x的分式方程1?mx?1?2=21?x的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（）
A．m≤5且m≠?3B．m≥5且m≠?3C．m≤5且m≠3D．m≥5且m≠3
【答案】C
【分析】先求出分式方程的解，由題中已知得到不等式5?m2≥0，5?m2≠1，求解即可．
【詳解】解：1?mx?1?2=21?x，
1-m-2(x-1)=-2，
1-m-2x+2=-2，
-2x=-2-2-1+m，
-2x=m-5，
x=5?m2，
由題意得
5?m2≥0，且5?m2≠1，
解得m≤5且m≠3．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法，注意增根的情況是解題的關(guān)鍵．
題型四分式方程無解問題
1．（上海浦東新·七年級?？计谥校゛為何值時，關(guān)于x的方程3x?2+axx2?4=3x+2無解．
【答案】當(dāng)a=0，?6或6時原方程無解
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無解確定出a的值即可．
【詳解】解：由原方程得：3x+2+ax=3x?2，
整理得：ax=?12，
（i）當(dāng)a=0時，原方程無解；
（ii）當(dāng)a≠0，原方程有增根x=±2，
當(dāng)x=2時，2a=?12，即a=?6；
當(dāng)x=?2時，?2a=?12，即a=6，
即當(dāng)a=0，?6或6時原方程無解．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的解，熟練掌握分式方程無解的條件是解題的關(guān)鍵．
2．（上海青浦·七年級?？计谀┤绻P(guān)于x的分式方程ax+12?x=1無解，那么a的值是．
【答案】1或者?12
【分析】根據(jù)方程無解得出其對應(yīng)的整式方程的解是x=2或整式方程無解，即可求出a．
【詳解】解：ax+12?x=1，
方程兩邊同時乘以2?x，得：ax+1=2?x，
整理得：a+1x=1，
∵該分式方程無解，
∴a+1=0或者1a+1=2，
∴a=?1或者a=?12，
故答案為：1或者?12．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無解的問題，解題關(guān)鍵是掌握分式方程無解說明了其對應(yīng)的整式方程無解或整式方程的解使分母為零．
3．（上?！て吣昙壠谀┤魕=1是方程my?1+3y?2=1(y?1)(y?2)的增根，則m= ．
【答案】-1
【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．先去分母，然后把y=1代入代入整式方程，即可算出m的值．
【詳解】解：my?1+3y?2=1y?1y?2
去分母，可得
m（y-2）+3（y-1）=1，
把y=1代入，可得
m（1-2）+3（1-1）=1，
解得m=-1，
故答案為-1．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根，在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．
4.若分式方程k?1x2?1?1x2?x=k?5x2?x有增根x=?1，求k的值．
【答案】k=1
【分析】分式兩邊同乘以最簡公分母可得：xk?1?x+1=x+1k?5，再將增根代入式子即可求出k的值．
【詳解】解：∵分式方程的最簡公分母為xx+1x?1，分式兩邊同乘以最簡公分母可得：
xk?1?x+1=x+1k?5
∵分式方程有增根x=?1，
將其代入上式可得：?k?1=0，解之得：k=1．
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程根的情況，利用分式方程有增根求參數(shù)值，解題的關(guān)鍵是將增根代入去分母之后的式子進(jìn)行求解．
題型五列分式方程
1．（上海·七年級專題練習(xí)）今日，上海疫情防控形勢嚴(yán)峻，某工廠計(jì)劃生產(chǎn)1000套防護(hù)服，由于工人加班加點(diǎn)，實(shí)際每天比計(jì)劃多制作20%，結(jié)果比原計(jì)劃提前2天完成任務(wù)．設(shè)原計(jì)劃每天制作x套防護(hù)服，則可列方程為（）
A．1000x?1000(1+20%)x=2B．1000x?1000(1+20%)x=2
C．1000(1+20%)x?1000x=2D．1000(1+20%)x?1000x=2
【答案】B
【分析】設(shè)原計(jì)劃每天制作x套防護(hù)服，則實(shí)際每天制作為（1+20%）x，根據(jù)結(jié)果比原計(jì)劃提前2天完成任務(wù)，列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天制作x套防護(hù)服，
可列方程為：1000x?1000(1+20%)x=2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．
2．（上海楊浦·七年級校考階段練習(xí)）甲、乙兩個工程隊(duì)承包一項(xiàng)工程合作15天完成，若他們單獨(dú)做，甲比乙少用3天，設(shè)甲單獨(dú)做需x天完成，則所列方程式 .
【答案】151x+1x+3=1
【分析】由甲單獨(dú)做的天數(shù)表示出乙單獨(dú)做需要的天數(shù)是（x＋3）天，再根據(jù)工程問題的數(shù)量關(guān)系建立等量關(guān)系就可以列出方程．
【詳解】解：設(shè)甲單獨(dú)做需要x天完成，則乙單獨(dú)做需要（x＋3）天，
由題意得：151x+1x+3=1，
故答案為：151x+1x+3=1.
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解決這類問題的關(guān)鍵是找到合適的等量關(guān)系列出方程．
3．（上海浦東新·七年級?？茧A段練習(xí)）學(xué)生參加植樹造林，甲班每天比乙班多植5棵樹，甲班植80棵樹與乙班植70棵樹所用的天數(shù)相等，求甲、乙兩班每天各植樹多少棵。下面列式錯誤的是（）
A．設(shè)甲班每天植樹x棵，則80x=70x?5B．設(shè)乙班每天植樹x棵，則80x+5=70x
C．設(shè)甲班在x天植樹80棵，則80x?70x=5D．設(shè)乙班在x天植樹70棵，則70x=80x+5
【答案】D
【分析】分別設(shè)甲班每天植樹x棵、乙班每天植樹x棵、甲班在x天植樹80棵、乙班在x天植樹70棵，根據(jù)甲班植80棵樹與乙班植70棵樹所用的天數(shù)相等以及甲班每天比乙班多植5棵樹，列出方程即可判斷，
【詳解】設(shè)甲班每天植樹x棵，根據(jù)甲班植80棵樹與乙班植70棵樹所用的天數(shù)相等，可得方程：80x=70x?5，故A正確；
設(shè)乙班每天植樹x棵，根據(jù)甲班植80棵樹與乙班植70棵樹所用的天數(shù)相等，可得方程：80x+5=70x，故B正確；
設(shè)甲班在x天植樹80棵，根據(jù)甲班每天比乙班多植5棵樹，可得方程：80x?70x=5，故C正確；
設(shè)乙班在x天植樹70棵，根據(jù)甲班每天比乙班多植5棵樹，可得方程：80x=70x+5，故D錯誤，
故選D.
【點(diǎn)睛】此題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系分別列出方程求解.
題型六分式方程的實(shí)際應(yīng)用
1．（上海青浦·七年級?？计谀┠硶杲?jīng)銷一種圖書，11月份的銷售額為2000元，為擴(kuò)大銷售量，12月份該書店對這種圖書打九折銷售，結(jié)果銷售量增加20本，銷售額增加700元．
(1)求書店11月份該圖書的售價；
(2)若11月份書店銷售該圖書獲利m元，那么該圖書每本成本______元（用含m的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)50
(2)50?m40
【分析】（1）設(shè)書店11月份該圖書的售價為x元，根據(jù)銷售量增加20本建立方程求解即可；
（2）依據(jù)由11月份書店銷售該圖書獲利m元，利用售價減去每本獲得的利潤即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)書店11月份該圖書的售價為x元，
依題意得：
2000x+20=2000+7000.9x，
解得x=50，
經(jīng)檢驗(yàn)x=50是方程的解，
答：書店11月份該圖書的售價為50元；
（2）由（1）可知，11月銷量為2000÷50=40（本），
由11月份書店銷售該圖書獲利m元，
則每本的成本為：50?m40元，
故答案為：50?m40．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，銷售問題；解題的關(guān)鍵是認(rèn)真審題得出關(guān)系式．
2．（上海寶山·七年級?？计谀┠撤b廠接到加工400套校服的任務(wù)，在加工完160套后，采用了新技術(shù)，這樣每天加工服裝的套數(shù)是原來的2倍，結(jié)果共用了14天完成任務(wù)．問原來每天加工服裝多少套？
【答案】原來每天加工服裝20套．
【分析】設(shè)原來每天加工服裝x套，則采用新技術(shù)后每天加工2x套，然后根據(jù)共用了14天完成任務(wù)列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)原來每天加工服裝x套，則采用新技術(shù)后每天加工2x套，
由題意得，160x+400?1602x=14，
解得x=20，
經(jīng)檢驗(yàn)x=20是原方程的解，
∴原來每天加工服裝20套，
答：原來每天加工服裝20套．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．（上海青浦·七年級?？计谀┠硶暧貌欢嘤?0000元購進(jìn)甲乙兩種圖書共1200本進(jìn)行銷售．甲、乙兩種圖書的進(jìn)價分別為每本20元、14元，甲種圖書每本的售價是乙種圖書每本售價的1.4倍，若用1680元在書店購進(jìn)甲種圖書的數(shù)量比用1400元購進(jìn)乙種圖書的數(shù)量少10本．
(1)甲乙兩種圖書的銷售單價分別是多少元？
(2)書店為了讓利讀者，決定甲種圖書售價每本降低3元，乙種圖書售價每本降低2元，問書店應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？（購進(jìn)兩種圖書全部售完）
【答案】(1)甲種圖書售價每本28元，乙種圖書售價每本20元；
(2)甲種圖書進(jìn)貨533本，乙種圖書進(jìn)貨667本時利潤最大，最大利潤是5333元．
【分析】（1）乙種圖書售價每本x元，則甲種圖書售價為每本1.4x元，根據(jù)“用1680元在文美書店可購買甲種圖書的本數(shù)比用1400元購買乙種圖書的本數(shù)少10本”列出方程求解即可；
（2）設(shè)甲種圖書進(jìn)貨a本，總利潤w元，根據(jù)題意列出不等式及一次函數(shù)，解不等式求出解集，從而確定方案，進(jìn)而求出利潤最大的方案．
【詳解】（1）解：設(shè)乙種圖書售價每本x元，則甲種圖書售價為每本1.4x元．由題意得：
1400x?16801.4x=10，
解得：x=20．
經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原方程的解．
所以，甲種圖書售價為每本1.4×20=28元，
答：甲種圖書售價每本28元，乙種圖書售價每本20元；
（2）解：設(shè)甲種圖書進(jìn)貨a本，總利潤w元，則
w=(28?20?3)a+(20?14?2)(1200?a)=a+4800．
又∵20a+14×(1200?a)≤20000，
解得：a≤16003．
∵w隨a的增大而增大，
∴當(dāng)a最大時w最大，
∴當(dāng)a=533本時w最大，最大值為533+4800=5333（元）．
此時，乙種圖書進(jìn)貨本數(shù)為1200?533=667（本）．
答：甲種圖書進(jìn)貨533本，乙種圖書進(jìn)貨667本時利潤最大，最大利潤是5333元．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系或不等關(guān)系是解應(yīng)用題的關(guān)鍵．
4．（上海普陀·七年級校聯(lián)考期末）為保證民眾的安全，某小區(qū)決定對全體小區(qū)居民進(jìn)行核酸檢測，該小區(qū)需采集樣本共9000份，原計(jì)劃下午17點(diǎn)到18點(diǎn)進(jìn)行采樣，為了早一步完成采樣工作，現(xiàn)將延長采樣時間，實(shí)際每天采集樣本份數(shù)是原來的2倍，從而提前3天完成采樣任務(wù)，問實(shí)際每天采集樣本多少份？
【答案】3000份
【分析】設(shè)原計(jì)劃每天采集樣本x份，表示原來和現(xiàn)在的工作時間，利用提前3天完成采樣任務(wù)，列分式方程解題．
【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天采集樣本x份，則實(shí)際每天采集樣本2x份，由題意得
9000x?90002x=3，
9000x?4500x=3，
x=1500，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=1500是原方程的解且符合題意，
所以2x=3000，
答：實(shí)際每天采集樣本3000份．
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程解應(yīng)用題，注意分式方程要驗(yàn)根．

提升題
1．（重慶沙坪壩·九年級重慶市第七中學(xué)校校考階段練習(xí)）若整數(shù)a使關(guān)于x的不等式組x?33+1>x?222x≥122x+a至少有兩個整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程a?5y?1?41?y=2有正整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為．
【答案】15
【分析】先解不等式①得x0，且a+1是2的倍數(shù)，
∴a>?1，
∴?1

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