分層練習(xí)
基礎(chǔ)題
題型一 運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算
1．（上海靜安·七年級(jí)上海田家炳中學(xué)?？计谥校┫铝懈魇街校荒苡闷椒讲罟接?jì)算的是（ ）
A．(?x?y)(x?y) B．(?x+y)(?x?y)
C．(x+y)(?x+y) D．(x?y)(?x+y)
【答案】D
【分析】利用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A. (?x?y)(x?y)=?(x+y)(x?y)=y2-x2，∴不符合題意；
B. (?x+y)(?x?y)=(?x)2?y2=x2?y2，∴不符合題意；
C. (x+y)(?x+y)=(y+x)(y?x)=y2?x2∴不符合題意；
D. (x?y)(?x+y)=?(x?y)(x?y)=?(x?y)2，不能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，∴符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，掌握運(yùn)用平方差公式計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵要找相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，其結(jié)果是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方．
2．（上海黃浦·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各式能用平方差公式計(jì)算的是（ ）
A．(a?b)(b?a)B．(a?b)(?a?b)C．(a+b)(?a?b)D．(2a?3b)(2b+3a)
【答案】B
【分析】根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)要找相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，其結(jié)果是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方，只有具備以上特點(diǎn)才能進(jìn)行運(yùn)算，即可求解．
【詳解】解：A．a(chǎn)?bb?a=?a?ba?b=?a?b2，不能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．a(chǎn)?b?a?b=?b+a?b?a=?b2?a2=b2?a2，能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)符合題意；
C．a(chǎn)+b?a?b=?a+ba+b=?a+b2，不能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．(2a?3b)(2b+3a)不能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，能熟記平方差公式a?ba+b=a2?b2是解此題的關(guān)鍵．
3．（上海青浦·七年級(jí)校考期中）下列多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式能用平方差公式計(jì)算的是（ ）
A．x?3y?x+3yB．x+3y?x?3y
C．?x+3y?x?3yD．?x?3y?x?3y
【答案】C
【分析】根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)要找相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，其結(jié)果是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方，只有具備以上特點(diǎn)才能進(jìn)行運(yùn)算
【詳解】解：A．沒有相同項(xiàng)，不能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．沒有相同項(xiàng)，不能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，故此選項(xiàng)正確；
D．沒有相反項(xiàng)，不能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平方差公式，運(yùn)用平方差公式計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵要找相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，其結(jié)果是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方．
4．（上海浦東新·七年級(jí)?？计谥校┮阎?022?a2020?a=16，那么a?20212= ．
【答案】17
【分析】對(duì)已知等式變形，然后利用平方差公式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵2022?a2020?a=16，
∴2021?a+12021?a?1=16，
∴2021?a2?1=16，
∴2021?a2=17，
∴a?20212=17，
故答案為：17．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，掌握a+ba?b=a2?b2是解題的關(guān)鍵．
5．（上海浦東新·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若S=1?122×1?132×?×1?1202121?120222，則S的值為 ．
【答案】20234044
【分析】先根據(jù)平方差公式進(jìn)行分解，再計(jì)算能約分的直接約分即可．
【詳解】解：S=1?122×1?132×?×1?1202121?120222
=1?12×1+12×1?13×1+13×???×(1?12022)×(1+12022)
=12×32×23×43×34×54×…×20212022×20232022
=12×20232022
=20234044．
故答案為：20234044．
【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是巧用平方差公式達(dá)到簡化計(jì)算的目的．
6．（上海寶山·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：a?14?a?14= ；
【答案】116?a2/?a2+116
【分析】利用平方差公式計(jì)算即可．
【詳解】解：a?14?a?14，
=?14+a?14?a
=?142?a2
=116?a2
故答案為：116?a2
【點(diǎn)睛】此題考查了乘法公式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．
7．（上?！て吣昙?jí)校考期中）若(x+y?4)2+(x?y+7)2=0，則x2?y2= ．
【答案】?28
【分析】根據(jù)題意得x+y＝4，x?y＝?7，整體代入解題．
【詳解】解：∵(x+y?4)2+(x?y+7)2=0，
∴x+y?4=0且x?y+7=0，
∴x+y＝4，x?y＝?7，
∴x2?y2=（x+y）（x?y）=4×（?7）=?28，
故答案為：?28．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和用平方差公式分解因式，如果幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都等于零，一個(gè)數(shù)或式子的偶數(shù)次方是非負(fù)數(shù)；一個(gè)數(shù)或式子的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，注意整體代入的思想的運(yùn)用.
8．（上海浦東新·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若a=?12022，b=2021×2023?20222，c=82022×?0.1252023，則a、b、c的大小關(guān)系是 （用“>”連接）．
【答案】a>c>b
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方，平方差公式以及積的乘方進(jìn)行計(jì)算求得a、b、c的值，即可求解．
【詳解】解：a=?12022 =1，
b=2021×2023?20222 =2022?12022+1?20222 =20222?1?20222=?1，
c=82022×?0.1252023 =?82022×182022×18 =?18，
∵?1b．
故答案為：a>c>b．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，平方差公式以及積的乘方，有理數(shù)的大小比較，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
9．（上海浦東新·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：x?1x+12x?1．
【答案】2x3?x2?2x+1
【分析】先用平方差公式計(jì)算前兩個(gè)多項(xiàng)式，再用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：原式=x2?12x?1
=2x3?x2?2x+1．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的乘法運(yùn)算．熟練掌握平方差公式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，是解題的關(guān)鍵．
10．（上海靜安·七年級(jí)上海市市西中學(xué)校考期中）簡便運(yùn)算：198×202．
【答案】39996
【分析】利用平方差公式計(jì)算即可．
【詳解】解：198×202
=(200?2)×(200+2)
=2002?22
=40000?4
=39996．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，牢記平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
11．（上海·七年級(jí)上海市建平中學(xué)西校?？计谥校┯贸朔ü胶啽阌?jì)算：20212?2020×2022
【答案】1
【分析】首先利用平方差公式進(jìn)行變形，然后去括號(hào)求解即可．
【詳解】解：20212?2020×2022
=20212?2021?12021+1
=20212?20212?1
=20212?20212+1
=1
【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式的應(yīng)用，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．
12．（上海閔行·七年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算：2x?3y+z2x+3y?z．
【答案】4x2?9y2+6yz?z2
【分析】先利用括號(hào)里面各項(xiàng)的關(guān)系進(jìn)行重新組合，再根據(jù)平方差與完全平方公式進(jìn)行計(jì)算便可．
【詳解】解：2x?3y+z2x+3y?z
=[2x+z?3y][2x?z?3y]
=2x2?z?3y2
=4x2?9y2+6yz?z2．
【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、平方差公式和完全平方公式，關(guān)鍵是熟記平方差公式，完全平方公式．
13．（上海松江·七年級(jí)?？计谥校┯煤啽惴椒ㄓ?jì)算：100.3×99.7；
【答案】9999.91
【分析】變形后利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：100.3×99.7
=100+0.3×100?0.3
=1002?0.32
=10000?0.09
=9999.91
【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式的形式是解題的關(guān)鍵．
題型二 平方差公式與幾何圖形
1．（上海虹口·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D在邊長為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形，把余下的部分沿虛線剪開，拼成一個(gè)矩形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的等式是（ ）
A．a(chǎn)2?b2=a+ba?bB．a(chǎn)?b2=a2?2ab+b2
C．a(chǎn)+b2=a2+2ab+b2D．a(chǎn)2+ab=aa+b
【答案】A
【分析】分別表示出兩個(gè)圖形的陰影部分的面積，通過面積相等得到等式，即可得出選項(xiàng)．
【詳解】解：根據(jù)圖形可知：第一個(gè)圖形陰影部分的面積為a2-b2，
第二個(gè)圖形陰影部分的面積為（a+b）（a-b），
由面積相等可知，a2-b2=（a+b）（a-b），
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是陰影部分的面積不變．
2．（上海靜安·七年級(jí)上海田家炳中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在邊長為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長為b的小正方形，把余下的部分拼成一個(gè)長方形（無重疊部分），通過計(jì)算兩個(gè)圖形中陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的一個(gè)等式是（ ）

A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab
【答案】A
【分析】根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等列式即可．
【詳解】根據(jù)圖形可知：第一個(gè)圖形陰影部分的面積為a2﹣b2，第二個(gè)圖形陰影部分的面積為(a+b)(a﹣b)，
即a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平方差公式的幾何背景，利用圖形面積得出是解題關(guān)鍵．
3．（上海寶山·七年級(jí)?？计谥校└鶕?jù)圖中的圖形面積關(guān)系可以說明的公式是（ ）
A．a(chǎn)+b2=a2+2ab+b2B．a(chǎn)?b2=a2?2ab+b2
C．a(chǎn)+ba?b=a2?b2D．a(chǎn)a?b=a2?ab．
【答案】C
【分析】根據(jù)拼圖中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系可得答案．
【詳解】解：如圖，由于S長方形B=S長方形C，
因此有S長方形A+S長方形B=S長方形A+S長方形C，
而S長方形A+S長方形B=（a+b）（a-b），
S長方形A+S長方形C=S長方形A+S長方形C+S長方形D-S長方形D，
=a2-b2，
∴有（a+b）（a-b）=a2-b2，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握拼圖中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
4．（上海黃浦·七年級(jí)統(tǒng)考期中）從邊長為a的正方形內(nèi)去掉-一個(gè)邊長為b的小正方形(如圖1)，然后將剩余部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖2），上述操作所能驗(yàn)證的等式是（ ）
A．a(chǎn)?b2=a2?2ab+b2B．a(chǎn)2?b2=a+ba?b
C．a(chǎn)+b2=a2+2ab+b2D．a(chǎn)2+ab=aa+b
【答案】B
【分析】分別求出從邊長為a的正方形內(nèi)去掉一個(gè)邊長為b的小正方形后剩余部分的面積和拼成的矩形的面積，根據(jù)面積相等即可得出算式，即可選出選項(xiàng)．
【詳解】解：∵從邊長為a的正方形內(nèi)去掉一個(gè)邊長為b的小正方形，剩余部分的面積是：a2?b2， 拼成的矩形的面積是：(a+b)(a?b)，
∴根據(jù)剩余部分的面積相等得：a2?b2=a+ba?b，
故選：B．
5．（上?！て吣昙?jí)期末）在邊長為a的正方形中挖去一個(gè)邊長為b的小正方形（a>b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖乙），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證（ ）
A．a(chǎn)2?b2=a+ba?b
B．a(chǎn)?b2=a2?2ab+b2
C．a(chǎn)+b2=a2+2ab+b2
D．a(chǎn)+2ba?b=a2+ab?2b2
【答案】A
【分析】根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，分別列式表示．
【詳解】解：根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等得：a2?b2=a+ba?b，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查如何根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，分別列式表示即可求出結(jié)果．
6．（上?！て吣昙?jí)上海市西延安中學(xué)?？计谥校那?，有一個(gè)狡猾的地主，把一塊邊長為x米的正方形土地租給張老漢栽種．過了一年，他對(duì)張老漢說：“我把你這塊地的一邊減少3米，另一邊增加3米，繼續(xù)租給你，你也沒吃虧，你看如何?”張老漢一聽，覺得好像沒吃虧，就答應(yīng)了．其實(shí)我們知道張老漢吃虧了．請(qǐng)運(yùn)用本學(xué)期相關(guān)知識(shí)分析一下張老漢租用的土地面積比之前少了 平方米．
【答案】9
【分析】由題意可知道原來正方形土地的面積是x2平方米，而現(xiàn)在這塊地的一邊減少3米，另一邊增加3米后的面積是x?3x+3平方米，然后用x2減去x?3x+3算出答案即可．
【詳解】解：∵原來正方形土地的邊長為x米，面積是x2平方米，
現(xiàn)在這塊地的一邊減少3米，另一邊增加3米后的面積是x?3x+3平方米，
∴x2?x?3x+3=x2?x2?9=9平方米，
∴張老漢租用的土地面積比之前少了9平方米，
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式在生活實(shí)際中的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵就是讀懂題意列出算式，然后熟練的運(yùn)用平方差公式a+ba?b=a2?b2進(jìn)行計(jì)算．
7．（上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)D、C、H、G分別在長方形ABJI的邊上，點(diǎn)E、F在CD上，若正方形ABCD的面積等于15，圖中陰影部分的面積總和為6，則正方形EFGH的面積等于 ．
【答案】3
【分析】設(shè)大、小正方形邊長為a、b，則a2=15，然后利用圖中陰影部分的面積總和為6，進(jìn)而可得正方形EFGH的面積．
【詳解】解：設(shè)大、小正方形邊長為a、b，
則有a2=15，陰影部分面積
12×a+ba?b=6 ，
即a2-b2=12，
可得b2=3，
即所求面積是3．
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式與圖形的面積，解決本題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)圖形間的面積關(guān)系．
8．（浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明同學(xué)嘗試將正方形紙片剪去一個(gè)小正方形，剩余部分沿虛線剪開，拼成新的圖形．現(xiàn)給出下列3種不同的剪、拼方案，其中能夠驗(yàn)證平方差公式的方案是 ．（請(qǐng)?zhí)钌险_的序號(hào)）
【答案】①②/②①
【分析】根據(jù)圖形及平方差公式的特征可進(jìn)行求解．
【詳解】解：由圖可知：
圖①：a2?b2=a+ba?b；
圖②：4×12a+b12a?b=a+ba?b=a2?b2；
圖③：第一個(gè)圖陰影部分面積為：a+b2?a?b2=4ab，第二個(gè)圖陰影部分的面積為：2a×2b=4ab；
∴綜上所述：能夠驗(yàn)證平方差公式的方案為①②；
故答案為①②．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．
9．（七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，大正方形與小正方形的面積之差是60，則陰影部分的面積是 ．
【答案】30
【分析】直接利用正方形的性質(zhì)結(jié)合三角形面積求法，利用平方差公式即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，
故陰影部分的面積是：12AE?BC+12AE?BD＝12AE（BC+BD）
＝12（AB﹣BE）（BC+BD）
＝12（a﹣b）（a+b）
＝12（a2﹣b2）
＝12×60
＝30．
故答案為：30．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式與幾何圖形和三角形的面積公式，用代數(shù)式表示陰影部分的面積，是解題的關(guān)鍵．
10．（七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圖1為邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長方形．
（1）以上兩個(gè)圖形反映了等式： ；
（2）運(yùn)用（1）中的等式，計(jì)算20222?2021×2023= ．
【答案】 a2?b2=a+ba?b 1
【分析】（1）根據(jù)圖1和圖2中陰影部分的面積相等列式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
（2）原式可化為20222?（2022?1）（2022+1），再根據(jù)（1）中的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得，
圖1中陰影部分的面積為：a2?b2，
圖2中長方形的長為a+b，寬為a?b，
面積為：（a+b）（a?b），
則兩個(gè)圖形陰影部分面積相等，a2?b2=（a+b）（a?b）；
故答案為：a2?b2=a+ba?b；
（2）20222?2021×2023
=20222?（2022?1）（2022+1）
=20222?（20222?12）
=20222?20222+1
=1．
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式的幾何背景問題的解決方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
11．（上?！て吣昙?jí)假期作業(yè)）閱讀以下材料，并解答問題．
閱讀一：畫與三角形面積相等的長方形．
(1)如圖1，已知△ABC，①畫BC邊上的高AD；②取線段AD的中點(diǎn)E；③以BC為邊畫長方形BCFG，使得BG=CF=DE那么長方形BCFG的面積等于△ABC的面積．
根據(jù)“閱讀一”，如果BC=8，AD=4，那么長方形BCFG的面積=______．
閱讀二：畫與長方形面積相等的正方形．
如圖2，已知長方形BCFG，①延長GF，截取FH=CF；
②以GH的中點(diǎn)O為圓心，GO為半徑作半圓；
③過點(diǎn)F畫GH 的垂線，交半圓于點(diǎn)I；④以FI為邊畫正方形FIJK那么正方形FIJK的面積等于長方形BCFG的面積．
(2)根據(jù)“閱讀二”，設(shè)GO=a，OF=b，如果等面積的正方形FIJK邊長為5，請(qǐng)猜想a、b的數(shù)量關(guān)系并加以說明；
(3)根據(jù)“閱讀一”由△ABC畫出它的等面積長方形BCFG，在長方形BCFG的基礎(chǔ)上，再根據(jù)“閱讀二”畫出等面積正方形FIJK，設(shè)BC=m,AD=n，當(dāng)H為FK的中點(diǎn)時(shí)，m、n的數(shù)量關(guān)系為：______．
【答案】(1)16
(2)a2?b2=25；證明見解析
(3)m=2n
【分析】（1）由長方形BCFG的面積等于△ABC的面積可得答案；
（2）根據(jù)GO=a，OF=b，得GF=OG+OF=a+b，F(xiàn)H=OH?OF=OG?OF=a?b=CF，而等面積的正方形FIJK邊長為5，有(a+b)(a?b)=25，故a2?b2=25；
（3）求出FH=12n，由H為FK的中點(diǎn)，得S正方形FIJK=n2，而S△ABC=S長方形BCFG=S正方形FIJK，即得12m?n=n2，從而m=2n．
【詳解】（1）解：∵BC=8，AD=4，
∴S△ABC=12BC?AD=12×8×4=16，
∵長方形BCFG的面積等于△ABC的面積，
∴S長方形BCFG=16，
故答案為：16；
（2）解：a2?b2=25；
證明：∵GO=a，OF=b，
∴GF=OG+OF=a+b，F(xiàn)H=OH?OF=OG?OF=a?b=CF，
∵等面積的正方形FIJK邊長為5，
∴S正方形FIJK=25=S長方形BCFG，
∴GF?CF=25，
∴(a+b)(a?b)=25，
∴a2?b2=25；
（3）解：∵長方形BCFG的面積等于△ABC的面積，
∴BC?CF=12BC?AD，
∴CF=12AD=12n，
∵CF=FH，
∴FH=12n，
∵H為FK的中點(diǎn)，
∴FK=n，
∴S正方形FIJK=n2，
∵S△ABC=S長方形BCFG=S正方形FIJK，
∴12BC?AD=n2，即12m?n=n2，
∴m=2n．
故答案為：m=2n．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，涉及三角形，長方形，正方形的面積，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，利用等面積列出所需等式．
12．（上海閔行·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD與正方形CEFG的面積之差是6，求陰影部分的面積．
【答案】陰影部分的面積為3
【分析】設(shè)正方形ABCD與正方形CEFG的邊長分別為a和b，根據(jù)兩者面積差為6，可得b2?a2=6．利用含a、b的代數(shù)式表示出陰影部分的面積，將b2?a2=6整體代入即可求解．
【詳解】解：設(shè)正方形ABCD與正方形CEFG的邊長分別為a和b，
由題意得：b2?a2=6．
由圖形可得：
S陰=12ab?a+12bb?a
=12b?ab+a
=12(b2?a2)
=12×6
=3．
故陰影部分的面積為3．
【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式在幾何圖形中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用含a、b的代數(shù)式表示出陰影部分的面積．
13．（上?！て吣昙?jí)期末）工廠接到訂單，需要邊長為（a＋3）和3的兩種正方形卡紙．
(1)倉庫只有邊長為（a＋3）的正方形卡紙，現(xiàn)決定將部分邊長為（a＋3）的正方形紙片，按圖甲所示裁剪得邊長為3的正方形．
①如圖乙，求裁剪正方形后剩余部分的面積（用含a代數(shù)式來表示）；
②剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)如圖丙所示長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的一組相鄰的邊長分別為多少？（用含a代數(shù)式來表示）；
(2)若將裁得正方形與原有正方形卡紙放入長方體盒子底部，按圖1，圖2兩種方式放置（圖1、圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），盒子底部中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，測得盒子底部長方形長比寬多4，則S2?S1的值為 ．（直接寫出答案）
【答案】(1)①a2+6a；②a和a＋6
(2)12
【分析】（1）①根據(jù)面積差可得結(jié)論；
②根據(jù)圖形可以直接得結(jié)論；
（2）分別計(jì)算S2和S1的值，相減可得結(jié)論．
（1）
解：① 根據(jù)題意，得：(a+3)2?32=a2+6a
答：裁剪正方形后剩余部分的面積為(a2+6a)；
②拼成的長方形的寬是：a＋3－3＝a，長為a＋6，
答：拼成的長方形的邊長分別為a和a＋6；
（2）
解：設(shè)盒子底部長方形的長BC＝x＋4，則寬AB＝x，
則S1=x(x+4)?(a+3)2?32+3(a+6?x?4)，
S2=x(x+4)?(a+3)2?32+3(a+6?x)，
所以S2?S1=12．
故答案為12．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，此類題目根據(jù)圖形的面積列出等式是解題的關(guān)鍵．
14．（安徽宿州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個(gè)邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖2所示）．
(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是______；（請(qǐng)選擇正確的選項(xiàng)）
A.a2?b2=a+ba?b；B．a(chǎn)2?2ab+b2=a?b2；C．a(chǎn)2+ab=aa+b
(2)請(qǐng)利用你從（1）選出的等式，完成下列各題：
①已知4a2?b2=24，2a+b=6，則2a?b=______．
②計(jì)算：1?1221?1321?142???1?1921?1102
【答案】(1)A
(2)①4；②1120
【分析】（1）根據(jù)圖1和圖2陰影部分面積相等可得到答案；
（2）①根據(jù)平方差公式，4a2-b2=（2a+b）（2a-b），已知2a+b=6代入即可求出答案；
②先利用平方差公式變形，再約分即可得到答案．
【詳解】（1）解：圖1陰影部分的面積為：a2-b2，
圖2陰影部分的面積為：（a+b）（a-b），
∵圖1和圖2陰影部分面積相等，
∴a2-b2=（a+b）（a-b），
故選：A；
（2）解：①∵4a2-b2=24，
∴（2a+b）（2a-b）=24，
∵2a+b=6，
∴2a-b=4，
故答案為：4；
②1?1221?1321?142???1?1921?1102
=1?121+121?131+131?141+14???1?191+191?1101+110
=12×32×23×43×34×54×???×89×109×910×1110
=12×1110
=1120．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式的幾何背景及其應(yīng)用與拓展，熟練掌握公式并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
15．（山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1的兩個(gè)長方形可以按不同的形式拼成圖2和圖3兩個(gè)圖形．
(1)在圖2中的陰影部分的面積S1可表示為 ；（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）；在圖3中的陰影部分的面積S2可表示為 ；（寫成兩數(shù)平方差的形式）；
(2)比較圖2與圖3的陰影部分面積，可以得到的等式是 ；
A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2
(3)請(qǐng)利用所得等式解決下面的問題：
①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，則2m﹣n＝ ；
②計(jì)算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接寫出該值的個(gè)位數(shù)字是多少．
【答案】(1)（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；
(2)B
(3)①3，②264，6
【分析】（1）根據(jù)長方形和正方形的面積公式即可求解即可；
（2）根據(jù)兩個(gè)陰影部分的面積相等由（1）的結(jié)果即可解答.
（3）①利用（2）得到的等式求解即可；②可以先把原式乘上一個(gè)（2﹣1），這樣可以和（2+1）湊成平方差公式，以此逐步解答即可．
【詳解】（1）解：圖2中長方形的長為（a+b），寬為（a﹣b），因此面積為（a+b）（a﹣b），
圖3中陰影部分的面積為兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣b2．
故答案為：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2．
（2）解：由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故選B．
（3）解：①因?yàn)?m2﹣n2＝12，所以（2m+n）（2m﹣n）＝12，
又因?yàn)?m+n＝4，
所以2m﹣n＝12÷4＝3．
故答案為：3；
②（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+…+（232+1）+1
＝……
＝264﹣1+1
＝264，
而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……，其個(gè)位數(shù)字2，4，8，6，重復(fù)出現(xiàn)，而64÷4＝16，于是“2、4、8、6”經(jīng)過16次循環(huán)，
因此264的個(gè)位數(shù)字為6．
答：其結(jié)果的個(gè)位數(shù)字為6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式的應(yīng)用和數(shù)字類規(guī)律，靈活應(yīng)用平方差公式成為解答本題的關(guān)鍵．
提升題
1．（河北秦皇島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為a的正方形中，剪去一個(gè)邊長為x的小正方形，將余下部分對(duì)稱剪開，拼成一個(gè)梯形，根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積的關(guān)系，可以得到一個(gè)關(guān)于a，x的恒等式是（ ）
A．a(chǎn)2?x2=(2x+2a)(a?x)B．a(chǎn)2?x2=12(x+a)(a?x)
C．(a?x)2=(x+a)(x?a)D．a(chǎn)2?x2=(x+a)(a?x)
【答案】D
【分析】分別列式表示出兩圖中陰影部分的面積，則可選出正確的結(jié)果．
【詳解】解：由題意得，左圖可表示陰影部分的面積為a2?x2，
由右圖可表示陰影部分的面積為122x+2aa?x=a+xa?x，
∴a2?x2=(x+a)(a?x)，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式幾何背景的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能根據(jù)不同圖形列式表示陰影部分的面積．
2．（浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，則A－2022的末位數(shù)字是_______．
【答案】4
【分析】將A乘以（2－1），然后用平方差公式計(jì)算，再用列舉法找出2n的個(gè)位數(shù)的規(guī)律，推出A的個(gè)位數(shù)，再代入式子計(jì)算即可．
【詳解】（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（24－1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝（28－1）（28＋1）(216＋1)＋1
＝(216-1)(216＋1)＋1
=232-1+1
＝232；
∵21=2，22=4，23=8，24=16，
25=32，26=64，27=128，28=256???；
∴尾數(shù)是2，4，8，6，……四個(gè)一循環(huán)，
∵32÷4=8，
∴232的末位數(shù)字是6，
即A的末位數(shù)字是6，則A－2022的末位數(shù)字是4．
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式、數(shù)字規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意湊出平方差公式以及發(fā)現(xiàn)尾數(shù)是2，4，8，6，……四個(gè)一循環(huán)是解答本題的關(guān)鍵．

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9.11 平方差公式

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