1．理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、 幾何解釋．2．靈活應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算．重點(diǎn)：掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．難點(diǎn)：靈活應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算．
思考1計(jì)算下列各題,并觀察下列乘式與結(jié)果的特征(1)(a+b)2=(2)(2a+3b)2 =(3)(x-y)2 =通過計(jì)算你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?比較等號兩邊的代數(shù)式可以看到
(2a+3b)(2a+3b)
= a2+2ab+b2
= (2a)2+2·2a·3b+ (3b)2
= x2-2xy+y2
文字?jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的 2 倍. 這兩個(gè)公式叫做（乘法的）完全平方公式.
簡記為：“首平方，尾平方， 積的 2 倍放中央.”
你能根據(jù)圖 1 和圖 2 中的面積來說明完全平方公式嗎?
? ab ? b(a ? b)
= a2 ? 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2，
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
思考 觀察下面兩個(gè)完全平方式，比一比，回答下列問題：
1. 展開式都是幾次幾項(xiàng)式？
2. 展開式的第幾項(xiàng)和第幾項(xiàng)是相同的項(xiàng)？中間項(xiàng)是 什么關(guān)系？
3. 展開式的中間項(xiàng)的符號與什么有關(guān)？
4. 公式中的字母 a，b 可以表示數(shù)，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.
1. 展開式為二次三項(xiàng)式；
2. 展開式首末兩項(xiàng)為兩數(shù)的平方和，且符號為“+”；
3. 展開式的中間項(xiàng)是兩數(shù)積的 2 倍，且與兩數(shù)中間的符號相同；
解：(2x + 3y)2 =
(1) (2x + 3y)2；
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
+2?(2x)?(3y)
(2) (2x + 3y)2；
解：(-2a + b)2 =
(3) (-2a + b)2；
+2?(-2a)?(b)
解： (-3a–2b) 2 =
(4) (-3a–2b)2；
(a - b)2 = a 2 - 2ab + b2
-2?(-3a)? 2b
解：原式= [(a+b) +c]2 =
= a2 +2ab +b2
(1) (a+b+c)2；
(a - b)2 = a 2 + 2ab + b2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
解：原式= [x+(y-2)][x- (y-2)] =
(2) (x+y-2)(x-y+2)；
(a+b) (a-b) = a 2 -b2
= x2 -y2+4y -4.
方法總結(jié)：第 (1)小題要把其中兩項(xiàng)的和看成一個(gè)整體，再按照完全平方公式進(jìn)行計(jì)算；第(2)小題先用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，需要分組，分組方法是“符號相同的為一組，符號相反的為另一組”
例題3 甲乙兩家商店9月份的銷售額均為a萬元，在10月份和11月份這兩個(gè)月份中,甲商店的銷售額平均每月增長x%,乙商店的銷售額平均每月減少x%,11月份甲商店的銷售額比乙商店的銷售額多多少萬元?
解 由題意,11月份甲商店的銷售額為a(1+x%)2(萬元),11月份乙商店的銷售額為a(1-x%)2(萬元).所以,甲商店與乙商店的銷售額的差為 a(1+x%)2 － a(1-x%)2
= (100 + 2)2
= 10000 + 400 + 4
= (100 – 1)2
= 10000 - 200 + 1
例題4 運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：
方法總結(jié)：運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行簡便計(jì)算，要熟記完全平方公式的特征，將原式轉(zhuǎn)化為能利用完全平方公式的形式．
利用乘法公式計(jì)算：(1) 982－101×99；(2) 20232－2023×4048＋20242.
＝(2023－2024)2＝1.
解：(1) 原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395.
(2) 原式＝20232－2×2023×2024＋20242
例題5 已知 x－y＝6，xy＝4. 求： (1) x2＋y2 的值； (2) (x＋y)2 的值.
解：(1) ∵ x－y＝4，xy＝6，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
∴ x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2) ∵ x2＋y2＝44，xy ＝ 4，
∴ (x＋y)2＝x2＋y2＋2xy
(2)方法2： ∵ (x＋y)2＝(x－y)2＋4xy
∴ (x＋y)2＝36＋16
常用二級結(jié)論（背誦）：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x＋y)2－2xy，(x－y)2＝(x＋y)2－4xy.
2. 下列計(jì)算結(jié)果為 2xy－x2－y2 的是 ( ) A．(x－y)2 B．(－x－y)2 C．－(x＋b)2 D．－(x－y)2
1. 運(yùn)用乘法公式計(jì)算 (a - 3)2 的結(jié)果是（ ） A．a(chǎn)2 - 3a + 9 B．a(chǎn)2 - 6a + 9 C．a(chǎn)2 - 9 D．a(chǎn)2 - 4a - 9
3. 運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：
(1) (3a + 4b)2 =__________________；(2) (3x - 4y)2 =__________________；(3) (2a - 1)2 =__________________；(4) (-2m - n)2 =_________________.
9a2 + 24ab + 16b2
9x2 - 24xy + 16y2
4m2 + 4mn + n2
4. 由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，運(yùn)用這一方法計(jì)算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝______．
5. 若 a + b = 5，ab = －6，求 a2 + b2，a2－ab + b2.
解：a2 + b2 = (a + b)2－2ab = 52－2×(－6) = 37，
a2－ab + b2 = a2 + b2－ab = 37－(－6) = 43.
解：∵ x + y = 8，∴ (x + y)2 = 64，即 x2 + y2 + 2xy = 64 ①.
∵ x－y = 4，∴ (x－y)2 = 16，即 x2 + y2－2xy = 16 ②.
由 ①－② 得 4xy = 48.
6. 已知 x + y = 8，x－y = 4，求 xy.
(a±b)2 = a2±2ab + b2
1. 項(xiàng)數(shù)、符號、字母及其指數(shù)
2. 不能直接應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算的 式子，可能需要先添括號，變 形成符合公式的形式才行
3. 弄清完全平方公式和平方差公 式的不同（從公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及 結(jié)果兩方面）
a2+b2 = (a+b)2-2ab = (a-b)2+2ab； 4ab = (a + b)2 - (a - b)2.

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初中數(shù)學(xué)滬教版（五四制）（2024）七年級上冊電子課本 舊教材

9.12 完全平方公式

版本： 滬教版（五四制）（2024）

年級： 七年級上冊

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