第19講 解三角形（含答案） 備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫（天津?qū)Ｓ茫W(xué)案

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1. 5年真題考點(diǎn)分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為14分
【備考策略】1.理解、掌握正余弦定理，能夠運(yùn)用正余弦定理解三角形
2.能掌握正余弦定理與三角形的面積周長(zhǎng)問(wèn)題
3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)靈活運(yùn)用三角形的知識(shí)點(diǎn)解決中線，高線，角平分線問(wèn)題
4.會(huì)解三角形的最值與取值范圍問(wèn)題
【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出三角形，解決三角形中的周長(zhǎng)與面積，同時(shí)解三角形會(huì)與兩角和差二倍角進(jìn)行結(jié)合，求解湊求值問(wèn)題。
知識(shí)講解
知識(shí)點(diǎn)一．正弦定理、余弦定理
1.定理內(nèi)容：
在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
2．在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況
知識(shí)點(diǎn)二.三角形常用面積公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．
知識(shí)點(diǎn)三．測(cè)量中的有關(guān)幾個(gè)術(shù)語(yǔ)
知識(shí)點(diǎn)四．常用結(jié)論
1．三角形內(nèi)角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2).
2．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系
(1)sin(A＋B)＝sinC.(2)cs(A＋B)＝－csC.(3)sineq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2).(4)cseq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
4．三角形中的大角對(duì)大邊
在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B.
考點(diǎn)一、正弦定理解三角形
1.（2024·北京東城·二模）在△ABC中，A=π4，C=7π12，b=2，則a=（ ）
A．1B．2C．3D．2
【答案】D
【分析】由題意可得：B=π6，結(jié)合正弦定理運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得：B=π?A?C=π6，
由正弦定理asinA=bsinB可得a=bsinAsinB=2×2212=2.
故選：D.
2.（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，已知∠B=30°，c=2，則“b=2”是“∠C=45°”成立的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】根據(jù)正弦定理以及“大邊對(duì)大角”即可判斷出結(jié)果.
【詳解】由正弦定理得bsinB=csinC，即212=2sinC，
∴sinC=22，又因?yàn)閏>b，
∴C=45°或C=135°；
則“b=2”是“∠C=45°”成立的必要不充分條件.
故選：B.
1.（2024·河北滄州·一模）在△ABC中，AC=1，tanB=tanC=33，則（ ）
A．A=π3B．cs2B=32C．BC=32D．△ABC的面積為34
【答案】D
【分析】通過(guò)條件可得B,C，進(jìn)而可得A，cs2B，利用正弦定理求BC，利用面積公式求面積.
【詳解】因?yàn)閠anB=tanC=33，且在△ABC中，
可得B=C=π6，則A=π?B?C=2π3，A錯(cuò)誤；
cs2B=csπ3=12，B錯(cuò)誤；
由正弦定理BCsinA=ACsinB，則BC=ACsinAsinB=1×3212=3，C錯(cuò)誤；
S△ABC=12×BC×AC×sinC=12×3×1×12=34.
故選：D.
2.（2024·江西贛州·一模）在△ABC中，AB=7,AC=2,C=120°，則sinA=（ ）
A．714B．2114C．5714D．32114
【答案】B
【分析】由已知利用余弦定理可求BC的值，根據(jù)正弦定理可求sinA的值．
【詳解】∵AB=7,AC=2,C=120°，
∴由余弦定理AB2=BC2+AC2?2BC?ACcsC可得：BC2+2BC?3=0,
∴解得：BC=1，或?3（舍去），
∴由正弦定理可得：sinA=BC?sinCAB=2114．
故選:B
3.（2024·廣東江門(mén)·一模）在△ABC中，B=30°,b=2，c=22，則角A的大小為（ ）
A．45°B．135°或45°C．15°D．105°或15°
【答案】D
【分析】利用正弦定理求得角C，根據(jù)三角形內(nèi)角和，即可求得答案.
【詳解】由題意知△ABC中，B=30°,b=2，c=22，
故bsinB=csinC，即sinC=csinBb=22×sin30°2=22，
由于c>b，故C>B=30°，則C=45°或135°，
故A的大小為180°?30°?45°=105°或180°?30°?135°=15°，
故選：D
4.（2024·浙江金華·三模）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a=7，b=2，A=60°，則c為（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
【答案】C
【分析】根據(jù)余弦定理直接求解即可.
【詳解】由余弦定理得csA=b2+c2?a22bc,
即22+c2?722×2c=12，即c2?2c?3=0，解得c=3或c=?1（舍）.
故選：C.
5.（2024·云南昆明·三模）已知△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，則△ABC的面積等于（ ）
A．3B．11C．5D．25
【答案】B
【分析】由余弦定理及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得出sinB，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】由余弦定理得，csB=AB2+BC2?AC22AB?BC=32+42?522×3×4=56，因?yàn)锽為三角形內(nèi)角，
則sinB=1?cs2B=116，
所以S△ABC=12AB?BC?sinB=12×3×4×116=11，
故選：B．
考點(diǎn)二、正余弦定理的邊角互化
1.（2024·江西九江·三模）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知2c?a=2bcsA，則B=（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【答案】B
【分析】運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式即可解決.
【詳解】因?yàn)?c?a=2bcsA，
由正弦定理，2sinC?sinA=2sinBcsA,
因?yàn)锳+B+C=π，∴2sinA+B?2sinBcsA=sinA，
展開(kāi)化簡(jiǎn)2sinAcsB=sinA.∵sinA>0,∴csB=12，
又B∈0,π,∴B=π3.
故選:B.
2.（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acsB+π6=bsinA，若a=3，c=2，則b=（ ）
A．1B．2C．23D．4
【答案】A
【分析】利用正弦定理和三角恒等變換的化簡(jiǎn)計(jì)算可得B=π6，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可求解.
【詳解】acs(B+π6)=bsinA，
由正弦定理得sinAcs(B+π6)=sinBsinA，
又A∈(0,π),sinA>0，所以cs(B+π6)=sinB，
即32csB?12sinB=sinB，
得csB=3sinB，即tanB=33，
又00,∴4R2+1=4RsinC，
∴4R2?4RsinC+1=0，∵R>0，
∴Δ=16sin2C?4×4×1≥0，即sinC≥1，
∵sinC≤1, ∴sinC=1, ∴C=90°，
∴Δ=0，∴2R=1，∴c=2RsinC=1，
∴a2+b2=1．
故答案為：1．
考點(diǎn)三、三角形的形狀
1.（22-23高三上·河南·階段練習(xí)）某人要制作一個(gè)三角形，要求它的三條高的長(zhǎng)度分別是114,110,15，則該三角形（ ）
A．是銳角三角形B．是直角三角形C．是鈍角三角形D．不存在
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形面積公式，得到a,b,c的關(guān)系，賦值得到a,b,c的值，再根據(jù)余弦定理判斷三角形的形狀.
【詳解】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，且a,b,c邊上的高分別為114,110,15，則12a?114=12b?110=12c?15，令a=14，則b=10,c=5，所以csA=100+25?1962×10×5a，所以該三角形是鈍角三角形.
故選：C
2.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在△ABC中，若acsA=bcsB，則△ABC的形狀一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用余弦定理可得邊的關(guān)系，故可得正確的選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)閍csA=bcsB，故a×b2+c2?a22bc=b×a2+c2?b22ac，
整理得到a2?b2c2?a2?b2a2+b2=0，
故a2?b2c2?a2?b2=0，故a2=b2或c2=a2+b2，
即a=b或c2=a2+b2，故△ABC的形狀為等腰或直角三角形，
故選：D.
1.（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列，以AC為直徑的圓的面積為2π，若S△ABC=23，則△ABC的形狀為（ ）
A．鈍角三角形B．直角三角形C．非等腰三角形D．等邊三角形
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得b=22，a+c=42，利用余弦定理整理得ac=121+csB，結(jié)合面積關(guān)系可得B=π3，進(jìn)而可得a=c=22，即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橐訟C為直徑的圓的面積為2π，可知b=AC=22，
又因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，則2b=a+c=42，
由余弦定理可得csB=a2+c2?b22ac=a+c2?2ac?b22ac，
即csB=32?2ac?82ac，整理得ac=121+csB，
且S△ABC=12acsinB=12×121+csB×sinB=23，整理得3sinB=1+csB，
聯(lián)立方程3sinB=1+csBsin2B+cs2B=1，解得sinB=32csB=12或sinB=0csB=?1，
且B∈0,π，可得sinB=32csB=12，即B=π3，
可得a+c=42ac=8，解得a=c=22，
所以△ABC的形狀為等邊三角形.
故選：D.
2.（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列，以邊AC為直徑的圓的面積為4π，若△ABC的面積不小于43，則△ABC的形狀為（ ）
A．等腰非等邊三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得b2=ac，b=4，由S△ABC≥43，得sinB≥32即60≤B≤120，又由余弦定理結(jié)合基本不等式得0