第22講平面向量的數(shù)量積（含答案）備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪復習考點幫（天津?qū)Ｓ茫W案-學案下載-教習網(wǎng)

1. 5年真題考點分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較高，分值為5分
【備考策略】1.理解、掌握向量的數(shù)量積公式
2.能掌握向量的模長，垂直于投影公式
3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會借助直角坐標系，求解向量的數(shù)量積與夾角模長等問題
4.會解借助點坐標解決最值與取值范圍問題
【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出圖形，要求線性表示與數(shù)量積，模長與角度問題。
知識講解
知識點一．向量的夾角
已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．
知識點二．平面向量的數(shù)量積
已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cs θ叫做向量a與b的數(shù)量積，記作a·b.
知識點三．平面向量數(shù)量積的幾何意義
設a，b是兩個非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(CD,\s\up6(→))＝b，過eq \(AB,\s\up6(→))的起點A和終點B，分別作eq \(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up6(—→))，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，eq \(A1B1,\s\up6(—→))叫做向量a在向量b上的投影向量．記為|a|cs θ e.
知識點四．向量數(shù)量積的運算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
知識點五．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
知識點六.常用結(jié)論
1．平面向量數(shù)量積運算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論
(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.
(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b0)，點M(a2c,m)，N(a2c,n)，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右焦點F(c,0)，且(OM?2OF)?(OM+2OF)=OM?NM，則橢圓C的離心率為（）
A．23B．53C．63D．38
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圓的性質(zhì)及數(shù)量積的運算律列式，化簡可得2a2=3c2，進而求出離心率.
【詳解】由以MN為直徑的圓過橢圓C的右焦點F(c,0)，得FM⊥FN，即FM?FN=0，
而FM=(a2?c2c,m),FN=(a2?c2c,n)，則(a2?c2c)2+mn=0，又NM=(0,m?n)，
由(OM?2OF)?(OM+2OF)=OM?NM，得OM2?2OF2=OM?NM，
則(a2c)2+m2?2c2=m(m?n)，即a4c2?2c2=?mn，因此a4c2?2c2=(a2?c2)2c2，
整理得2a2=3c2，解得ca=63，所以橢圓C的離心率為63.
故選：C
1.（2024·山西太原·一模）在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=π2，設點D為AC的中點，E在BC上，且AE?BD=0，則BC?AE=（）
A．16B．12C．8D．?4
【答案】A
【分析】以B為原點，建立如圖坐標系，結(jié)合向量的坐標運算即可.
【詳解】因為在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=π2，以B為原點，建立如圖坐標系，
則A4,0，B0,0，C0,6，D2,3，設E0,b，則AE=(?4,b)，BD=(2,3)，BC=(0,6)
由題意可知AE?BD=0.即?4,b?2,3=0，即?8+3b=0，所以b=83.
所以E0,83，∴AE=?4,83.所以AE?BC=16.
故選：A.
2.（2024·湖北·模擬預測）直線y=kx與圓x?12+y?12=1交于M、N兩點，O為坐標原點，則OM?ON=（）
A．11+k2B．k21+k2C．1D．2
【答案】C
【分析】先聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理可求出x1x2,y1y2，根據(jù)向量數(shù)量積可求答案.
【詳解】聯(lián)立y=kxx?12+y?12=1,得1+k2x2?2k+1x+1=0，
則Δ>0，即4k+12?4k2+1>0，所以k>0，
設Mx1,y1,Nx2,y2，則：x1x2=11+k2，y1y2=k2x1x2=k21+k2，
OM?ON=x1x2+y1y2=1+k2?1k2+1=1.
故選：C
3.（2024·河南周口·模擬預測）已知△ABC中，AC=22，∠C=π4，AD為BC上的高，垂足為D，點E為AB上一點，且AE=2EB，則AD?CE=（）
A．?43B．43C．?83D．83
【答案】A
【分析】利用向量的線性關(guān)系及數(shù)量積的運算律得CE??AD?=13CA??AD?+23CB??AD?可得答案.
【詳解】如圖所示，
由題意可知，AC=22，∠ADC=π2，∠ACD=π4，故AD=2，
因為AE=2EB，
所以CE=CA+AE=CA+23AB=CA+23(CB?CA)=13CA+23CB，
則CE?AD=13CA+23CB?AD=13CA?AD+23CB?AD
=13|CA?|·|AD?|cs3π4=?43.
故選：A.
4.（2024·四川涼山·三模）在△ABC中，已知AB=1,AC=3，點G為△ABC的外心，點O為△ABC重心，則OG?BC= ．
【答案】43
【分析】設BC的中點為D，根據(jù)三角形外心性質(zhì)，得GD⊥BC，由重心性質(zhì)得OD=16(AB+AC)，再根據(jù)數(shù)量積運算即可求解.
【詳解】設BC的中點為D，連接AD,GD，
由點G為△ABC的外心，可得GD⊥BC，
由點O為△ABC重心，可得OD=13AD=16(AB+AC)，
故OG?BC=(OD+DG)?BC
=OD?BC+0
=16(AB+AC)?(AC?AB)
=16(AC2?AB2)=16×9?1=43.

故答案為：43.
5.（2024·天津河西·二模）在四邊形ABCD中，AB⊥AD，CB⊥CD，∠ABC=60°，AB=2，AD=3，E、F分別為線段AB、CD的中點，若設AD=a，BC=b，則EF可用a，b表示為；EF?CD= .
【答案】 12a+12b ?38
【分析】利用向量的加法可以求出第一個空；通過轉(zhuǎn)化確定CD及CD與AD，BC的夾角，代入數(shù)量積的計算公式即可求出第二個空.
【詳解】
由題意得，EF=EA+AD+DF,EF=EB+BC+CF,
由E、F分別為線段AB、CD的中點，知EA+EB=0，DF+CF=0，
因此，2EF=EA+AD+DF+EB+BC+CF=AD+BC
∴EF=12a+12b；
延長AD、BC交一點G,由AB⊥AD,∠ABC=60°，AB=2，∴AG=23,且∠DGC=30°.
∵AD=3,∴DG=3
又∵ CB⊥CD，∴∠GCD=90°,∴CD=32,∠GDC=60°，則∠CDA=120°
∴EF?CD=12AD+BC?CD=12AD?CD+12BC?CD=12AD?CD =12AD?CDcs120°=12×3×32×?12=?38.
故答案為：12a+12b；?38
考點二、模長問題
1.（2020·全國·高考真題）設a,b為單位向量，且|a+b|=1，則|a?b|= .
【答案】3
【分析】整理已知可得：a+b=a+b2，再利用a,b為單位向量即可求得2a?b=?1，對a?b變形可得：a?b=a2?2a?b+b2，問題得解.
【詳解】因為a,b為單位向量，所以a=b=1
所以a+b=a+b2=a2+2a?b+b2=2+2a?b=1
解得：2a?b=?1
所以a?b=a?b2=a2?2a?b+b2=3
故答案為：3
【點睛】本題主要考查了向量模的計算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.
2.（2024·河南·二模）若向量a,b滿足b=1,a+b⊥b,a+2b⊥a，則a=（）
A．2B．3C．2D．3
【答案】A
【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解．
【詳解】因為向量a，b滿足|b|=1，(a+b)⊥b，(a+2b)⊥a，
所以(a+b)?b=a?b+|b|2=a?b+1=0，即a?b=?1，
所以(a+2b)?a=|a|2+2a?b=0，則|a|=2．
故選：A．
1.（2024·河南濮陽·模擬預測）已知A1,0，B0,1，Ccsα,sinα，α∈0,π，若AC=BC，則α的值為（）
A．3π4B．π2C．π4D．π6
【答案】C
【分析】根據(jù)向量模長公式結(jié)合同角三角關(guān)系可得tanα=1，即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可得：AC=csα?1,sinα,BC=csα,sinα?1，
若AC=BC，則csα?12+sin2α=cs2α+sinα?12，
可得2?2csα=2?2sinα，則tanα=1，
且α∈0,π，所以α=π4.
故選：C.
2.（2024·河北·三模）已知非零向量a，b的夾角為π3，a=?32,12，a?b=1，則a+b=（）
A．1B．32C．2D．3
【答案】D
【分析】分析可知a=1，向量a，a?b的夾角為π3，根據(jù)a+b=2a?a?b結(jié)合數(shù)量積的運算求解.
【詳解】因為a=?32,12，則a=1，
且非零向量a，b的夾角為π3，a?b=1，可知向量a，a?b的夾角為π3，
則a?a?b=1×1×12=12，
所以a+b=2a?a?b=4a2?4a?a?b+a?b2=3.
故選：D.
3.（2024·陜西西安·三模）已知向量a=2,m，b=1,1，a+b=a，則m=（）
A．－3B．－1C．1D．3
【答案】A
【分析】結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算，即可求解.
【詳解】因為向量a=2,m，b=1,1，由a+b=a，可得a2+2a?b+b2=a2，所以22+m+2=0，解得m=?3．
故選：A
4.（2018·遼寧朝陽·三模）已知向量a與b的夾角為60°，a=2，b=3，則3a?2b= .
【答案】6
【分析】根據(jù)模長公式結(jié)合數(shù)量積的定義和運算律即可求解.
【詳解】由題意，向量a與b的夾角為60°，a=2，b=3，
所以3a?2b2=9a2?12a?b+4b2=9×22?12×2×3cs60°+4×32=36，
所以3a?2b=6,
故答案為：6
5.（2024·四川資陽·二模）已知向量a，b的夾角為150°，且a=2，b=2，則a?3b=（）
A．1B．2?3C．2+3D．27
【答案】D
【分析】借助向量模長與數(shù)量積的關(guān)系與數(shù)量積的計算公式計算即可得.
【詳解】因為a??3b?2=a?2?23a??b?+3b?2=4?23×2×2×?32+3×4=28，
所以a?3b=27.
故選：D
6.（24-25高三上·廣東·開學考試）已知p=sinx,?1，q=csx,12，若p⊥q，則p?q= ．
【答案】32
【分析】借助向量垂直可得其數(shù)量積為0，利用向量數(shù)量積公式與模長公式計算后結(jié)合三角函數(shù)基本關(guān)系即可得解.
【詳解】由p⊥q，則有p?q=sinxcsx?12=0，即sinxcsx=12，
又p?q=sinx?csx,?32，
則p?q2=sinx?csx2+94=sin2x+cs2x?2sinxcsx+94=1?1+94=94，
故p?q=32.
故答案為：32
7.（24-25高三上·湖北·階段練習）若平面內(nèi)不共線的向量a,b,c兩兩夾角相等，且a=1,b=2,c=3，則a+b+c= .
【答案】3
【分析】把向量的模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，再應用數(shù)量積運算律計算求解.
【詳解】因為平面內(nèi)不共線平面向量a,b,c兩兩的夾角相等，
即a,b,c兩兩的夾角為120°，
a→+b→+c→=(a→+b→+c→)2=a→2+b→2+c→2+2a→?b→+2a→?c→+2b→?c→
=|a|2+|b|2+|c|2+2a?b+2a?c+2b?c
=12+22+32+2×1×2×?12+2×1×3×?12+2×2×3×?12
=3.
故答案為：3.
考點三、角度問題
1.（2020·浙江·高考真題）設e1，e2為單位向量，滿足|2e1?e2|≤2，a=e1+e2，b=3e1+e2，設a，b的夾角為θ，則cs2θ的最小值為．
【答案】2829
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化簡條件得e1?e2≥34，再根據(jù)向量夾角公式求cs2θ函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值.
【詳解】∵|2e1?e2|≤2，
∴4?4e1?e2+1≤2，
∴e1?e2≥34，
∴cs2θ=(a?b)2a2?b2=(4+4e1?e2)2(2+2e1?e2)(10+6e1?e2)=4(1+e1?e2)5+3e1?e2
=43(1?25+3e1?e2)≥43(1?25+3×34)=2829.
故答案為：2829.
【點睛】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.
2.（24-25高三上·貴州·開學考試）若向量a=?2,2，b=?1,3的夾角為θ，則csθ=（）
A．?255B．55C．255D．?55
【答案】C
【分析】由向量夾角公式，數(shù)量積及模的坐標計算公式求解即可．
【詳解】由題可知，csθ=a?ba?b=2+622×10=255，
故選：C．
1.（2024·山西太原·二模）已知a=b=1，c=3，a+b+c=0，則a與b的夾角為（）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【答案】C
【分析】依題意可得c=?a+b，將兩邊平方，由數(shù)量積的運算求出a?b，再由夾角公式計算可得.
【詳解】因為a=b=1，c=3，a+b+c=0，
所以c=?a+b，則c2=a2+2a?b+b2，即32=12+2a?b+12，
解得a?b=12，
設a與b的夾角為θ，則csθ=a?ba?b=12，又0°≤θ≤180°，
所以θ=60°，即a與b的夾角為60°.
故選：C
2.（2024·甘肅蘭州·三模）已知向量a=(1,?2),b=(?1,?2)，設a與b的夾角為θ，則sinθ=（）
A．?35B．35C．?45D．45
【答案】D
【分析】用夾角公式計算出余弦值后，再根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系即可算出正弦值.
【詳解】因為a=(1,?2),b=(?1,?2)，
所以a??b?=3，a=5,b=5，
所以csθ=a??b?a?b?=35，
因為θ為a與b的夾角，所以sinθ=1?cs2θ=45.
故選：D
3.（23-24高三上·湖北十堰·開學考試）已知平面向量a→,b→滿足a?a+b=3，且a→=2,b→=1，則向量a→與b→夾角的正弦值為（）
A．?12B．?32C．12D．32
【答案】D
【分析】運用數(shù)量積性質(zhì)和定義計算夾角，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系可解.
【詳解】a?a+b=3?a2+a?b=3?a?b=?1=|a||b|csa,b?csa,b=?12．
因為a,b∈0,π，sina,b=1?cs2a,b=1??122=32．
故選：D.
4.（24-25高三上·貴州貴陽·開學考試）已知向量a,b滿足a=4,b=10，且a在b上的投影向量為?15b，則向量a與向量b的夾角為（）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【答案】C
【分析】先利用投影向量求出數(shù)量積，利用夾角公式可得答案.
【詳解】依題意，a在b上的投影向量為a?b|b|2b=?15b，則a?b=?15|b|2=?20，
于是cs?a,b?=a?b|a||b|=?204×10=?12，而?a,b?∈[0,π]，則?a,b?=2π3，
所以向量a與向量b的夾角為2π3.
故選：C
5.（24-25高三上·浙江·開學考試）已知向量a=1,2,b=2?λ,λ，若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是 .
【答案】?2,43∪43,+∞
【分析】根據(jù)題意列出不等式即可.
【詳解】因為a,→b→的夾角為銳角，
所以a→·b→>0且a→,b→不能同向共線,
所以2?λ+2λ>0λ≠2×(2?λ),
解得λ>?2且λ≠43
故答案為：?2,43∪43,+∞.
考點四、向量垂直的應用
1.（2021·全國·高考真題）已知向量a=1,3,b=3,4，若(a?λb)⊥b，則λ= ．
【答案】35
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出．
【詳解】因為a?λb=1,3?λ3,4=1?3λ,3?4λ，所以由a?λb⊥b可得，
31?3λ+43?4λ=0，解得λ=35．
故答案為：35．
【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標表示，設a=x1,y1,b=x2,y2，
a⊥b?a?b=0?x1x2+y1y2=0，注意與平面向量平行的坐標表示區(qū)分．
2.（23-24高三下·山東青島·開學考試）已知向量a=lg43,sin5π3，b=lg38,m，若a⊥b，則m=（）
A．?23B．?3C．3D．23
【答案】C
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示結(jié)合對數(shù)的運算即可求解.
【詳解】由a⊥b，可知lg43?lg38+msin5π3=0，
即lg48?32m=32?32m=0，解得m=3.
故選：C
1.（22-23高三下·安徽池州·階段練習）已知點M1,?1和拋物線C:y=14x2，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點.若AM⊥BM，則k=（）
A．1617B．?1617C．12D．?12
【答案】C
【分析】設Ax1,y1，Bx2,y2，直線AB方程y=kx+1，然后由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y，利用根與系數(shù)關(guān)系，表示出x1+x2,x1x2，從而可表示出y1+y2,y1y2，進而由AM?BM=0求出k的值.
【詳解】拋物線標準形式x2=4y，焦點坐標0,1，設Ax1,y1，Bx2,y2，
直線AB方程y=kx+1，代入拋物線方程得x2?4kx?4=0，
所以Δ=16k2+16>0，x1+x2=4k，x1x2=?4，
y1+y2=kx1+x2+2=4k2+2，y1y2=116x12x22=1，
所以AM?BM=1?x1,?1?y1?1?x2,?1?y2=1?x11?x2+?1?y1?1?y2 =2+x1x2+y1y2?x1+x2+y1+y2=0，
得4k2?4k+1=0?k=12.
故選：C.
2.（2023·河南·模擬預測）已知向量a=2cs75°,2sin75°，b=cs15°,?sin15°，且(2a+b)⊥(a?λb)，則實數(shù)λ的值為（）
A．8B．?8C．4D．?4
【答案】A
【分析】利用向量垂直的坐標表示，結(jié)合數(shù)量積公式，即可求解.
【詳解】因為a?b=2cs75°cs15°?2sin75°sin15°=2cs15°+75°=0，
a=2，b=1.
所以2a+b?a?λb=2a2?λb2=8?λ=0.
所以λ=8.
故選：A
3.（2024·西藏·模擬預測）已知向量a=csα+π3,sinα+π3，b=csα+5π6,sinα+5π6．若2a+b⊥a+xb，則實數(shù)x的值是（）
A．?2B．?12C．12D．2
【答案】A
【分析】利用三角函數(shù)的和差公式和同角三角函數(shù)的平方公式得到a=b=1，a?b=0，
再依據(jù)向量垂直的條件建立方程求解即可.
【詳解】由題意得a=b=1，a?b=csα+π3×csα+5π6+sinα+5π6×sinα+π3．
=csα+π3?α?5π6=cs?π2=0，因為2a+b⊥a+xb，
所以2a+b?a+xb=0，所以2a2+xb2=0，所以2+x=0，解得x=?2．
故選：A．
4.（2024·山東菏澤·模擬預測）已知向量m=sinα+π2,1,n=cs(π+α),14，其中α∈0,π2，若m⊥n，則csα的值為（）
A．32B．12C．34D．14
【答案】B
【分析】由m⊥n，所以m?n=0，代入條件化簡得cs2α=14，結(jié)合已知α∈0,π2得解.
【詳解】由m⊥n，所以m?n=0，即sinα+π2cs(π+α)+14=0，
化簡得cs2α=14，由α∈0,π2得csα=12.
故選：B.
5.（2024·江西新余·模擬預測）已知焦點在x軸上的橢圓C的左右焦點分別為F1、F2，經(jīng)過F2的直線l與C交于A、B兩點，若F1A?F1B=16，AF1?AB=9，BF1?BA=0，則C的方程為：（）.
A．x29+y24=1B．x23+y22=1C．x29+y28=1D．x23+y2=1
【答案】A
【分析】由題意可知：BA⊥BF1，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得F1B=4，AB=3，進而結(jié)合橢圓的定義求a,b,c，即可得方程.
【詳解】因為BF1?BA=0，可知BA⊥BF1，
則F1A?F1B=F1B2=16，AB?AF1=AB2=9，
可得F1B=4，AB=3，即F1B=4，AB=3，則AF1=F1B2+AB2=5，
由橢圓定義可得4a=AF1+F1B+AB=12，即a=3，
且F2B=2a?F1B=2，則F1F2=F1B2+F2B2=25，
即 2c=25，可得c=5，b=a2?c2=2，
所以橢圓C的方程為x29+y24=1.
故選：A.
考點五、投影問題
1.（24-25高三上·湖北武漢·開學考試）已知a=1,b=2,a?b=3，則a在b上的投影向量為（）
A．12bB．12aC．14bD．14a
【答案】C
【分析】先根據(jù)數(shù)量積的運算律求出a?b，再根據(jù)投影向量的定義即可得解.
【詳解】由a?b=3，得a?b2=a2+b2?2a?b=5?2a?b=3，
所以a?b=1，
所以a在b上的投影向量為a?bb?bb=14b.
故選：C.
2.（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知向量a,b滿足a=2,b=3,0,a?b=10，則向量a在向量b方向上的投影向量為（）
A．16,0B．13,0C．12,0D．1,0
【答案】C
【分析】將a?b=10兩邊平方求出a?b，然后由投影向量公式可得.
【詳解】因為a=2,b=3，a?b=10，
所以a?b2=a2?2a?b+b2=22?2a?b+32=10，得a?b=32，
所以向量a在向量b方向上的投影向量為a?bb2?b=329b=163,0=12,0.
故選：C
1.（2024·浙江紹興·三模）若非零向量a，b滿足a=b=a+b，則a+2b在b方向上的投影向量為（）
A．2bB．32bC．bD．12b
【答案】B
【分析】利用向量的模長關(guān)系可得a?b=?12b2，再由投影向量的定義即可求出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意a=b=a+b可得a2=b2=a+b2，
所以，則
所以a?b=?12a2=?12b2，
則a+2b在b方向上的投影向量為a+2b?bb2b=a?b+2b2b2b=?12+2b2b2b=32b.
故選：B
2.（2024·湖北·模擬預測）已知向量a=1,0,b=0,1,a?c=b?c=1，則向量a在向量c上的投影向量為（）
A．12,12B．22,22C．?12,12D．?22,22
【答案】A
【分析】設出c的坐標，利用給定條件得到c，再利用投影向量公式求解即可.
【詳解】設c=x,y，因為a=1,0,b=0,1,a?c=b?c=1，
所以1×x+0×y=10×x+1×y=1，解得x=1y=1，∴c=1,1，
即向量a在向量c上的投影向量為a?cc?cc=12?1,12=(12,12).
故選：A.
3.（2024高三·全國·專題練習）已知平面向量a=2,m，b=n,1，c=m+1,?1，若a⊥b，b//c，則b在a+c方向上的投影數(shù)量為（）
A．?22B．?105C．105D．22
【答案】B
【分析】根據(jù)垂直和平行向量的坐標表示求出m，n，得到b和a+c的坐標，即可利用向量投影的公式進行求解.
【詳解】由a⊥b得m+2n=0．
由b//c得m+n+1=0，所以m=?2，n=1．
所以b=1,1，a→=(2,?2)，c→=(?1,?1)，a+c=1,?3，
所以b在a+c方向上的投影數(shù)量為b?a+ca+c=1?312+?32=?105.
故選：B．
4.（23-24高三下·湖南婁底·階段練習）在三角形ABC中，若AB?AC=0,BC=2BO，則向量AO在向量AB上的投影向量為 .
【答案】12AB
【分析】由題意可得O為線段BC的中點，∠BAC=90°，則△AOB為等腰三角形，然后根據(jù)投影向量的定義求解即可.
【詳解】因為BC=2BO，所以O為線段BC的中點，
因為AB?AC=0，所以AB⊥AC，所以∠BAC=90°,
所以OA=OB=OC，
所以△AOB為等腰三角形，
所以向量AO在向量AB上的投影向量為
AO?ABAB?ABAB=AO?ABcs∠BAOAB?ABAB
=AO?AB?12ABAOAB?ABAB=12AB,
故答案為：12AB.
5.（2023·天津和平·三模）已知△ABC中，點D是AC中點，點M滿足BM=2MC，記BA=a，BD=b，請用a，b表示AM= ；若BA?BD=?5，向量AM在向量BD上的投影向量的模的最小值為．
【答案】 43b?53a 203
【分析】由題意可得AM=23BC?BA，BC=2BD?BA，可求得AM=43b?53a；向量AM在向量BD上的投影向量的模為|AM·BD||BD|=|(43b?53a)·b||b|，計算可求得最小值.
【詳解】根據(jù)題意，可得AM=BM?BA=23BC?BA，
由點D是AC中點，可得BC=2BD?BA，
所以AM=BM?BA=23BC?BA=23(2BD?BA)?BA=43BD?53BA=43b?53a，
向量AM在向量BD上的投影向量AM·BD|BD|·BD|BD|，
因為BA?BD=?5，所以a?b=?5，
所以向量AM在向量BD上的投影向量的模為：
|AM·BD||BD|=|(43b?53a)·b||b|=43|b|+253|b|≥243|b|·253|b|=203，
當且僅當43|b|=253|b|，即|b|=52時取等號，
所以向量AM在向量BD上的投影向量的模的最小值為203.
故答案為：①43b?53a；②203.
考點六、數(shù)量積求最值取值范圍問題
1.（2023·天津·高考真題）在△ABC中，BC=1，∠A=60°，AD→=12AB→,CE→=12CD→，記AB=a,AC=b，用a→,b→表示AE?= ；若BF=13BC，則AE?AF的最大值為．
【答案】 14a+12b 1324
【分析】空1：根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合E為CD的中點進行求解；空2：用a,b表示出AF，結(jié)合上一空答案，于是AE?AF可由a,b表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算和基本不等式求解.
【詳解】空1：因為E為CD的中點，則ED+EC=0，可得AE+ED=ADAE+EC=AC，
兩式相加，可得到2AE=AD+AC，
即2AE=12a+b，則AE=14a+12b；
空2：因為BF=13BC，則2FB+FC=0，可得AF+FC=ACAF+FB=AB，
得到AF+FC+2AF+FB=AC+2AB，
即3AF=2a+b，即AF=23a+13b.
于是AE?AF=14a+12b?23a+13b=1122a2+5a?b+2b2.
記AB=x,AC=y，
則AE?AF=1122a2+5a?b+2b2=1122x2+5xycs60°+2y2=1122x2+5xy2+2y2，
在△ABC中，根據(jù)余弦定理：BC2=x2+y2?2xycs60°=x2+y2?xy=1，
于是AE?AF=1122xy+5xy2+2=1129xy2+2，
由x2+y2?xy=1和基本不等式，x2+y2?xy=1≥2xy?xy=xy，
故xy≤1，當且僅當x=y=1取得等號，
則x=y=1時，AE?AF有最大值1324.
故答案為：14a+12b；1324.

2.（2022·天津·高考真題）在△ABC中，點D為AC的中點，點E滿足CB=2BE.記CA=a,CB=b，用a,b表示DE= ，若AB⊥DE，則∠ACB的最大值為
【答案】 32b?12a π6
【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出DE，以a,b為基底，表示出AB,DE，由AB⊥DE可得3b2+a2=4b?a，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以點E為原點建立平面直角坐標系，設E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，由AB⊥DE可得點A的軌跡為以M(?1,0)為圓心，以r=2為半徑的圓，方程為(x+1)2+y2=4，即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當且僅當CA與⊙M相切時，∠C最大，即求出．
【詳解】方法一：
DE=CE?CD=32b?12a，AB=CB?CA=b?a,AB⊥DE?(3b?a)?(b?a)=0，
3b2+a2=4a?b ?cs∠ACB=a?bab=3b2+a24ab≥23ab4ab=32，當且僅當a→=3b→時取等號，而00，則12

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