第08講對(duì)數(shù)函數(shù)（含答案）備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫（天津?qū)Ｓ茫W(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 5年真題考點(diǎn)分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題靈活，難度綜合，分值為5分
【備考策略】1.理解、掌握對(duì)數(shù)的圖象與特征，能夠靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)
2.能利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決定義域與值域最值問題
3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助函數(shù)解決奇偶性與對(duì)稱性問題
4.能結(jié)合圖像與性質(zhì)解決綜合型問題
【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，考查內(nèi)容比較廣泛。
知識(shí)講解
知識(shí)點(diǎn)一.對(duì)數(shù)的定義
1.一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么稱b是以a為底N的對(duì)數(shù)，記作b＝lgaN，其中，a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．
2.底數(shù)的對(duì)數(shù)是1，即lgaa＝1,1的對(duì)數(shù)是0，即lga1＝0.
知識(shí)點(diǎn)二．對(duì)數(shù)函數(shù)的定義
1.形如y＝lgax(a>0，a≠1)的函數(shù)叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．
2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)三．對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)
1.對(duì)數(shù)函數(shù)y＝lgax(a>0且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1，0)，且過點(diǎn)(a，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1))，函數(shù)圖象只在第一、四象限．
2.函數(shù)y＝lgax與y＝lg1ax(a>0且a≠1)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱．
3.在第一象限內(nèi)，不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大．
注意：
1．在運(yùn)算性質(zhì)lgaMn＝nlgaM中，要特別注意M>0的條件，當(dāng)n∈N*，且n為偶數(shù)時(shí)，在無M>0的條件下應(yīng)為lgaMn＝nlga|M|.
2．研究對(duì)數(shù)函數(shù)問題應(yīng)注意函數(shù)的定義域．
3．解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，若底數(shù)不確定，應(yīng)注意對(duì)a>1及00，解得10sinx≠0，
解得12
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域有意義，解不等式求解.
【詳解】根據(jù)題意可得x≥0x?2>0,解得x>2
故定義域?yàn)閤x>2.
故答案為：xx>2
4.（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）函數(shù)f(x)=lg(4x?2x?2)的定義域?yàn)? ．
【答案】(1,+∞)．
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得不等式，然后解指數(shù)不等式可得．
【詳解】由題意4x?2x?2>0，即(2x?2)(2x+1)>0，
∴2x>2，x>1，∴定義域?yàn)?1,+∞)．
故答案為：(1,+∞)．
考點(diǎn)四、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域問題
1.（23-24高三上·北京·期中）下列函數(shù)中，值域?yàn)?,+∞的是（）
A．y=1sinxB．y=x+1C．y=lgx+1D．y=2x+1
【答案】D
【分析】根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)逐一求出相應(yīng)值域即可得答案.
【詳解】因?yàn)?1≤sinx≤1，且sinx≠0，所以1sinx≤?1或1sinx≥1，A錯(cuò)誤；
因?yàn)閤≥0，所以x+1≥1，B錯(cuò)誤；
因?yàn)閤+1≥1，所以lgx+1≥lg1=0，C錯(cuò)誤；
因?yàn)?x>0，所以2x+1>1，即y=2x+1的值域?yàn)?,+∞，D正確.
故選：D
2.（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)fx=lnx+x,x∈1,e的值域?yàn)? ．
【答案】1,e+1
【分析】
利用函數(shù)的單調(diào)性可求函數(shù)的值域.
【詳解】函數(shù)fx=lnx+x,x∈1,e為增函數(shù)，故其值域?yàn)?,e+1.
故答案為：1,e+1
1.（23-24高三上·上海黃浦·期中）函數(shù)y=lg3x+1lg93x在區(qū)間13,+∞上的最小值為 .
【答案】22?1
【分析】對(duì)函數(shù)變形后，利用基本不等式求出最小值.
【詳解】y=lg3x+1lg9(3x)=lg3x+21+lg3x，
因?yàn)閤∈13,+∞，所以lg3x∈?1,+∞，故1+lg3x∈0,+∞，
故y=1+lg3x+21+lg3x?1≥21+lg3x?21+lg3x?1=22?1，
當(dāng)且僅當(dāng)1+lg3x=21+lg3x，即x=32?1時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：22?1.
2.（23-24高三上·河南·期中）已知函數(shù)f(x)=x2+4x+3,x2，所以fe+1=lne+1=2；
當(dāng)x0，函數(shù)fx=lg2x,x≥ax?2x?3,x0，ga單調(diào)遞增，當(dāng)a∈a0,+∞時(shí)，g'a0，g4=lg44?1=0，所以由ga≥0解得30,a≠1的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中m、n>0，則1m+2n的最小值為 .
【答案】8
【分析】求出定點(diǎn)A?2,?1，可得出2m+n=1，將代數(shù)式1m+2n與2m+n相乘，展開后利用基本不等式可求得1m+2n的最小值.
【詳解】對(duì)于函數(shù)y=lgax+3?1a>0,a≠1，令x+3=1，可得x=?2，則y=lga1?1=?1，
故函數(shù)y=lgax+3?1a>0,a≠1的圖象恒過定點(diǎn)A?2,?1，
因?yàn)辄c(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，則?2m?n+1=0，可得2m+n=1，
因?yàn)閙、n>0，所以，1m+2n=2m+n1m+2n=4+4mn+nm≥4+24mn?nm=8，
當(dāng)且僅當(dāng)n=2m時(shí)，等號(hào)成立，故1m+2n的最小值為8.
故答案為：8.
2.（23-24高三上·陜西·階段練習(xí)）函數(shù)fx=lgax+1+2x(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn) .
【答案】0,1
【分析】根據(jù)lga1=0，令x+1=1即可求出定點(diǎn).
【詳解】令x+1=1，則x=0，此時(shí)a在0,1∪1,+∞上無論取何值，fx的值總為1，故函數(shù)fx的圖象過定點(diǎn)0,1.
故答案為：0,1
1.（23-24高三上·陜西咸陽·期中）已知函數(shù)y=lga(x?1)+4(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)P，點(diǎn)P在冪函數(shù)y=f(x)的圖象上，則lgf(2)+lgf(5)= .
【答案】2
【分析】令x?1=1可求得定點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可求得y=f(x)的解析式，即可求解.
【詳解】令x?1=1得y=4，則定點(diǎn)P2,4.
設(shè)冪函數(shù)f(x)=xα，將點(diǎn)P代入可得4=2α，則α=2，即f(x)=x2.
因此lgf(2)+lgf(5)=lg22+lg52=2lg2+2lg5=2lg2+lg5=2lg10=2.
故答案為：2.
2.（2023·江西贛州·一模）已知函數(shù)y=1+lga2?x(a>0且a≠1)的圖像恒過定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在圓x2+y2+mx+m=0外，則符合條件的整數(shù)m的取值可以為 .（寫出一個(gè)值即可）
【答案】5（不唯一，取m>4的整數(shù)即可）
【分析】先求定點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)在圓外以及圓的限制條件可得m的取值.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=1+lga2?x的圖像恒過定點(diǎn)1,1，所以P1,1；
因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2+y2+mx+m=0外，
所以12+12+m+m>0且m2?4m>0，解得?14的整數(shù)即可）.
3.（2023·青海西寧·二模）已知函數(shù)y=lga3x?2+2（a>0且a≠1）的圖像過定點(diǎn)A，若拋物線y2=2px也過點(diǎn)A，則拋物線的準(zhǔn)線方程為 .
【答案】x=-1
【分析】先求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出p即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=lgax 經(jīng)過定點(diǎn)1,0 ，所以函數(shù)y=lga3x?2+2 經(jīng)過
定點(diǎn)A1,2，將它代入拋物線方程得22=2p×1 ，解得p=2，
所以其準(zhǔn)線方程為x=?1；
故答案為：x=?1 .
4.（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列an為等比數(shù)列，函數(shù)y=lga(2x?1)+2的圖象過定點(diǎn)a1,a2，bn=lg2an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，則S10的值為．
【答案】45
【分析】先求出函數(shù)過定點(diǎn)(1,2)，則等比數(shù)列an確定，由bn=lg2an，得出數(shù)列bn通項(xiàng)，再利用等差數(shù)列求和公式可得.
【詳解】由已知y=lga(2x?1)+2，令x=1，得y=2.
所以函數(shù)y=lga2x?1+2的圖象過定點(diǎn)(1,2)，
所以a1=1，a2=2，
由數(shù)列an為等比數(shù)列，則an=2n?1，
而bn=lg2an，于是bn=n?1，
所以數(shù)列bn是以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，b1=0，b10=9，
則S10=0+92×10=45．
故答案為：45.
考點(diǎn)七、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性
1.（2022高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)fx=lg15?2x2+3x+2的單調(diào)遞減區(qū)間為．
【答案】?12,34
【分析】求出函數(shù)的定義域，確定fx=lg15?2x2+3x+2由y=lg15u,u=?2x2+3x+2復(fù)合而成，判斷這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.
【詳解】由題意知函數(shù)fx=lg15?2x2+3x+2，
令u=?2x2+3x+2，則u=?2x2+3x+2>0,∴?120，
所以f(x)=x?sinx在(0,1)上單調(diào)遞增，
所以f15>f(0)=0，即15>sin15，所以b=ln1+sin150，
所以?(x)=x?65ln(x+1)在0,15上單調(diào)遞減，在15,1上單調(diào)遞增，
所以?15

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