第13講函數(shù)的極值（含答案）備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫（天津?qū)Ｓ茫W(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 5年真題考點(diǎn)分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為16分
【備考策略】1.理解、掌握函數(shù)極值的定義，能夠通過(guò)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值問(wèn)題
2.能掌握函數(shù)極值與圖像的關(guān)系
3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助函數(shù)圖像求解函數(shù)的極值與不等式等問(wèn)題
4.掌握函數(shù)圖像與極值的關(guān)系
【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出函數(shù)的解析式求解函數(shù)的極值，或通過(guò)極值求參數(shù)的取值范圍等。
知識(shí)講解
知識(shí)點(diǎn)一.函數(shù)的極值
函數(shù)極值的定義：
如圖，函數(shù)y＝f (x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f (a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f ′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f ′(x)0.類(lèi)似地，函數(shù)y＝f (x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f (b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f ′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f ′(x)>0，右側(cè)f ′(x)0(0，右側(cè)f ′(x)＜0，那么f (x0)是極大值；如果在x0附近的左側(cè)f ′(x)＜0，右側(cè)f ′(x)>0，那么f (x0)是極小值．
注意對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函數(shù)f (x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件．
知識(shí)點(diǎn)二.三次函數(shù)的圖象、單調(diào)性、極值
設(shè)三次函數(shù)f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，記Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并設(shè)x1，x2是方程f ′(x)＝0的根，且x10
(2)a0是（）
A．偶函數(shù)，且沒(méi)有極值點(diǎn)B．偶函數(shù)，且有一個(gè)極值點(diǎn)
C．奇函數(shù)，且沒(méi)有極值點(diǎn)D．奇函數(shù)，且有一個(gè)極值點(diǎn)
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義計(jì)算以及極值點(diǎn)定義判斷即可.
【詳解】當(dāng)x≤0時(shí)，?x>0，則f(?x)=(13)?x=3x=f(x)，
當(dāng)x>0時(shí)，?x0相鄰極值點(diǎn)的距離為π2，則ω為（）
A．3B．4C．1D．2
【答案】D
【分析】
由題意，根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的定義可得T2=π2，結(jié)合公式T=2πω計(jì)算即可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的相鄰極值點(diǎn)之間的距離為π2，
所以T2=π2，得T=π，又T=2πω，
所以ω=2.
故選：D
1.（2024·遼寧·三模）下列函數(shù)中，既是定義域上的奇函數(shù)又存在極小值的是（）
A．fx=xsinxB．fx=x+1x
C．fx=ex+1exD．fx=x+1?x?1
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇函數(shù)和極值點(diǎn)的概念，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.
【詳解】對(duì)A，x∈R，f(?x)=(?x)sin(?x)=xsinx=f(x)，故f(x)為偶函數(shù)，不符題意；
對(duì)B，x∈(?∞,0)∪(0,+∞)，f(?x)=?x?1x=?f(x)為奇函數(shù)，
f'(x)=1?1x2=0，得x=±1，
當(dāng)x∈(0,1)時(shí)f'(x)0，解得x1，
所以f(x)在(?∞,?2),(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(?2,1)上單調(diào)遞減，
所以f(x)的極小值為f(1)=(1?1?1)e1?1=?1，故選A．
【名師點(diǎn)睛】（1）可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f ′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f ′(x)的符號(hào)不同；
（2）若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒(méi)有極值．
2.（2024·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)fx=1?axln1+x?x．
(1)當(dāng)a=?2時(shí)，求fx的極值；
(2)當(dāng)x≥0時(shí)，fx≥0，求a的取值范圍．
【答案】(1)極小值為0，無(wú)極大值.
(2)a≤?12
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)可求函數(shù)的極值.
（2）求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就a≤?12、?120，
設(shè)sx=?aln(1+x)?a+1x1+x,x>0，
則s'x=?ax+1?a+11+x2=?ax+1+a+11+x2=?ax+2a+11+x2，
當(dāng)a≤?12時(shí)，s'x>0，故sx在0,+∞上為增函數(shù)，
故sx>s0=0，即f'x>0，
所以fx在0,+∞上為增函數(shù)，故fx≥f0=0.
當(dāng)?120；
當(dāng)10，
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(2?ln2,+∞)，減區(qū)間為(1,2?ln2)，
函數(shù)f(x)的極大值為f(1)=2e?1.
2.（2024·江蘇·三模）已知函數(shù)fx=ax?2sinx,x∈0,π.
(1)若a=1，求fx的極小值；
(2)若fx是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.
【答案】(1)π3?3
(2)?∞,?2∪2,+∞
【分析】（1）求導(dǎo)后，借助導(dǎo)數(shù)可得其單調(diào)性，即可得其極小值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)后，分fx是單調(diào)遞增函數(shù)與單調(diào)遞減函數(shù)討論即可得.
【詳解】（1）當(dāng)a=1時(shí)，fx=x?2sinx，f'x=1?2csx，
令f'x=0，由x∈0,π，則x=π3，
當(dāng)00，即fx在π3,π上單調(diào)遞增，
故fx的極小值為fπ3=π3?2×32=π3?3；
（2）f'x=a?2csx，
若fx在0,π上單調(diào)遞增，則f'x≥0恒成立，
即a≥2csx對(duì)?x∈0,π恒成立，則a≥2csx恒成立，又csx∈?1,1，故a≥2，
若fx在0,π上單調(diào)遞減，則f'x≤0恒成立，
即a≤2csx對(duì)?x∈0,π恒成立，則a≤2csx恒成立，故a≤?2，
綜上所述，a的取值范圍為?∞,?2∪2,+∞.
3.（23-24高三上·廣東江門(mén)·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)fx=ax2?bx+lnx,a,b∈R.
(1)若a=1,b=3，求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間及極值；
(2)若b=0時(shí)，不等式fx≤0在1,+∞上恒成立，求參數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為012,1,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為12,1；fx的極大值為?54?ln2，極小值為-2
(2)?∞,?12e
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出極值；
（2）問(wèn)題等價(jià)于a≤?lnxx2在區(qū)間1,+∞恒成立，設(shè)gx=?lnxx2,x≥1，利用導(dǎo)數(shù)求gx最小值即可得a的取值范圍.
【詳解】（1）a=1,b=3時(shí)，fx=x2?3x+lnx，函數(shù)定義域?yàn)?,+∞，
f'x=2x?3+1x=2x?1x?1x，
令f'x>0，解得：00，得x0．
(1)若函數(shù)fx在x=3處的切線與x軸平行，求a的值；
(2)求fx的極值點(diǎn)；
(3)若fx在0,+∞上的最大值是0，求a的取值范圍．
【答案】(1)a=14；
(2)答案見(jiàn)解析；
(3)1,+∞．
【分析】（1）利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與直線斜率的關(guān)系求得a的值；
（2）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，計(jì)算函數(shù)極值點(diǎn)；
（3）對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性找到最大值是0，求得a的取值范圍；
【詳解】（1）函數(shù)fx的定義域?yàn)?1,+∞，
f'x=?ax+1?11+x，
因?yàn)楹瘮?shù)fx在x=3處的切線與x軸平行，
所以f'3=?3a+1?11+3=0，解得a=14．
（2）函數(shù)fx的定義域?yàn)?1,+∞，
f'x=?ax+1?11+x=?ax1+x+1+x?11+x=x1?a?ax1+x．
令f'x=0得x1=0或x2=1?aa=1a?1，
所以當(dāng)1a?11時(shí)，
f'x>0的解集為1a?1,0，f'x0的解集為0,1a?1，f'x1時(shí)，x=0是函數(shù)fx的極大值點(diǎn)，x=1a?1是函數(shù)fx的極小值點(diǎn)；
當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)fx在區(qū)間?1,+∞上嚴(yán)格減，無(wú)極值點(diǎn)；
當(dāng)00，此時(shí)函數(shù)fx單調(diào)遞增，無(wú)極值．
a>0時(shí)，令f'x=ex?a=0，解得x=lna．
則x>lna時(shí)，f'x>0，此時(shí)函數(shù)fx單調(diào)遞增；
x0，
u'x=?2xex?x2ex?ex+ex+xex=?xex?x2ex0時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值
(2)若fx在區(qū)間1,e2內(nèi)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為b,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為0,b，極小值為fb=b1?lnb2，無(wú)極大
(2)e0，令f'x>0，即x2?b>0，解得x>b，
令f'x0，討論a≤0和a>0兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性和極值；
（2）首先不等式參變分離為a≤3x+lnxx，在x∈0,e時(shí)有解，再構(gòu)造函數(shù)gx=3x+lnxx，x∈0,e，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值.
【詳解】（1）f'x=a?1x=ax?1x,x>0，
當(dāng)a≤0時(shí)，f'x0時(shí)，令 f'x=0，得x=1a，
f'x0，gx單調(diào)遞增，
當(dāng)1e20，?30，解得即可.
【詳解】函數(shù)fx=x2?x+alnx的定義域?yàn)?,+∞，且f'x=2x?1+ax=2x2?x+ax，
因?yàn)楹瘮?shù)fx有極值，所以f'x在0,+∞上有變號(hào)零點(diǎn)，
即2x2?x+a=0在0,+∞上有解（若有兩個(gè)解，則兩個(gè)解不能相等），
因?yàn)槎魏瘮?shù)y=2x2?x+a的對(duì)稱(chēng)軸為x=14，開(kāi)口向上，
所以只需Δ=?12?8a>0，解得a0，得x0，
由f'x=3x2+3x0，f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，
即fx=3x4?4x3在x=1處取得極小值-1，符合題意，
故a=3,b=?4.
（2）g'x=f'x?m=12x3?12x2?m≥0在?1,1上恒成立，
即m≤12x3?12x2在x∈?1,1內(nèi)恒成立.
令?x=12x3?12x2,x∈?1,1，
則?'x=12x3x?2，令?'x>0，得?10，
函數(shù)fx在?∞,?1,2,4上時(shí)，導(dǎo)數(shù)f'x0，解得10?x1，f'x0，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，
則f(x)在x=12處取得極小值，
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為0,12，單調(diào)遞增區(qū)間為12,+∞，
因此極小值為f12=1+ln2，無(wú)極大值．
7．（2024·山東濰坊·二模）已知函數(shù)fx=x?1ex?ax2+b，曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為y=e?2x+3?e．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)求fx的單調(diào)區(qū)間和極值．
【答案】(1)a=1，b=2
(2)單調(diào)遞增區(qū)間是?∞,0，ln2,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間是0,ln2，極大值為1，極小值為2ln2?ln22.
【分析】（1）求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間進(jìn)而求解極值即可.
【詳解】（1）由題可得f'x=xex?2ax，
由題意f'1=e?2a=e?2，故a=1，
又f1=?1+b=e?2×1+3?e=1，故b=2.
（2）由（1）可得f'x=xex?2x=xex?2，
令f'x>0可得x>ln2或x0,gx在0,x0單調(diào)遞增；當(dāng)x>x0時(shí)，g'x0），x∈R，若函數(shù)fx在區(qū)間0,2π上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則ω的取值范圍為（）
A．136,196B．136,196．C．1312,1912D．1312,1912
【答案】D
【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得到fx=sin2ωx+π6，從而得到2ωx+π6∈π6,4ωπ+π6，根據(jù)函數(shù)極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)得到方程，求出答案.
【詳解】fx=3sinωxcsωx?12sin2ωx?π2=32sin2ωx+12cs2ωx=sin2ωx+π6，
x∈0,2π，2ωx+π6∈π6,4ωπ+π6，
函數(shù)fx在區(qū)間0,2π上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，
故9π20
∵x>0∴x+2>0
令f'x=0，則x=a，當(dāng)x變化時(shí)，f'x與fx變化如下表：
故f(x)min=fa=?aea.
要證當(dāng)0aa?1.
法一：
只需證當(dāng)00，
當(dāng)x10的解，由此求得gx的單調(diào)區(qū)間；
（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點(diǎn)存在定理，依次分類(lèi)討論區(qū)間?∞,0，0,x1，x1,x2與x2,+∞上f'x的零點(diǎn)的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點(diǎn)的關(guān)系求得fx的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】（1）因?yàn)閒(x)=x?x3eax+b,x∈R，所以f'x=1?3x2+ax3eax+b，
因?yàn)閒x在(1,f(1))處的切線方程為y=?x+1，
所以f(1)=?1+1=0，f'(1)=?1，
則1?13×ea+b=01?3+aea+b=?1，解得a=?1b=1，
所以a=?1,b=1.
（2）由（1）得gx=f'x=1?3x2?x3e?x+1x∈R，
則g'x=?xx2?6x+6e?x+1，
令x2?6x+6=0，解得x=3±3，不妨設(shè)x1=3?3，x2=3+3，則00，解得x0，則fx單調(diào)遞增，
所以fx在x2,+∞上無(wú)極值點(diǎn)；
綜上：fx在?∞,0和x1,x2上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，在0,x1上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有3個(gè)極值點(diǎn).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第3小題的解題關(guān)鍵是判斷f'x1與f'x2的正負(fù)情況，充分利用f'x的單調(diào)性，尋找特殊點(diǎn)判斷即可得解.
2.（2024·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)f(x)=ex?ax?a3．
(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)1,f(1)處的切線方程；
(2)若f(x)有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．
【答案】(1)e?1x?y?1=0
(2)1,+∞
【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；
（2）解法一：求導(dǎo)，分析a≤0和a>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得a2+lna?1>0，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導(dǎo)，可知f'(x)=ex?a有零點(diǎn)，可得a>0，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求fx的單調(diào)性和極值，分析可得a2+lna?1>0，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.
【詳解】（1）當(dāng)a=1時(shí)，則f(x)=ex?x?1，f'(x)=ex?1，
可得f(1)=e?2，f'(1)=e?1，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為1,e?2，切線斜率k=e?1，
所以切線方程為y?e?2=e?1x?1，即e?1x?y?1=0.
（2）解法一：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，且f'(x)=ex?a，
若a≤0，則f'(x)≥0對(duì)任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意；
若a>0，令f'(x)>0，解得x>lna；令f'(x)0，
若a>0，令f'(x)>0，解得x>lna；令f'(x)0等價(jià)于ga>g1，解得a>1，
所以a的取值范圍為1,+∞.
3．（天津·高考真題）函數(shù)fx的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間a,b，導(dǎo)函數(shù)f'x在a,b內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)fx在開(kāi)區(qū)間a,b內(nèi)有極小值點(diǎn)（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】A
【分析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知f'x在開(kāi)區(qū)間a,b內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)x1,x2,x3,x4，x10，即y=ex圖象在y=lna?ax下方
a>1，圖象顯然不符合題意，所以0x2，不符合題意；
若00，即x01故lnax0=x0lna=lnelna2>1，所以1e0).在定義域下求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)：x=0或x=1a，通過(guò)列表分析，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定單調(diào)區(qū)間及極值，即f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,1a)，單調(diào)減區(qū)間是(?∞,0)和(1a,+∞)，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取極小值0，當(dāng)x=1a時(shí)，f(x)取極大值13a2， (2)本題首先要正確轉(zhuǎn)化：“對(duì)于任意的x1∈(2,+∞)，都存在x2∈(1,+∞)，使得f(x1)?f(x2)=1”等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系.設(shè)集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},，集合B={1f(x)|x∈(1,+∞),f(x)≠0},則A?B，其次挖掘隱含條件，簡(jiǎn)化討論情況，明確討論方向.由于0?B，所以0?A,因此32a≤2，又A?B，所以f(1)≥0，即34≤a≤32.
解(1)由已知有f'(x)=2x?2ax2(a>0).令f'(x)=0，解得x=0或x=1a，列表如下：
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,1a)，單調(diào)減區(qū)間是(?∞,0)和(1a,+∞)，當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取極小值0，當(dāng)x=1a時(shí)，f(x)取極大值13a2，(2)由f(0)=f(32a)=0及（1）知，當(dāng)x∈(0,32a)時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x∈(32a,+∞)時(shí)，f(x)2即00，g'x單調(diào)遞增，
故g'x的最小值為g'12a?1=1?2a+ln2a，
令mx=1?x+lnx04a2+116a2?4a2?14a+4a2+1=4a2+112a2?14a+4a2+1>0，
所以函數(shù)gx在區(qū)間0,+∞上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.
綜合上面可知:實(shí)數(shù)a得取值范圍是0,12.
【點(diǎn)睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.
(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.本題中第二問(wèn)利用對(duì)稱(chēng)性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗(yàn)證.
8．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)fx=lna?x，已知x=0是函數(shù)y=xfx的極值點(diǎn)．
（1）求a；
（2）設(shè)函數(shù)g(x)=x+f(x)xf(x)．證明:gx0，φt單增，故φt>φ1=0；
綜上所述，g(x)=x+ln1?xxln1?x

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