第20講平面向量的概念及線性運算（含答案）備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪復習考點幫（天津專用）學案-學案下載-教習網(wǎng)

1. 5年真題考點分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分
【備考策略】1.理解、掌握向量的概念，能夠熟練使用三角形法則與平行四邊形法則
2.能掌握向量共線的性質
3.具備數(shù)形結合的思想意識，會借助建系解決線性表示與共線的問題
4.會利用共線定理解決含參問題
【命題預測】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，一般給出圖形，運用三角形的加減法法則進行線性表示，以及求參。

知識講解
知識點一．向量的有關概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
2.零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
3.單位向量：長度等于1個單位長度的向量．
4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任意向量共線．
5.相等向量：長度相等且方向相同的向量．
6.相反向量：長度相等且方向相反的向量．
[注意] 1.向量不同于數(shù)量，向量不僅有大小，而且還有方向．
2.任意向量a的模都是非負實數(shù)，即|a|≥0.
知識點二．向量的線性運算
知識點三．向量共線定理
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa．
知識點四.向量的常用結論
1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即eq \(A1A2,\s\up6(—→))＋eq \(A2A3,\s\up6(—→))＋eq \(A3A4,\s\up6(—→))＋…＋eq \(An－1An,\s\up6(———→))＝eq \(A1An,\s\up6(—→))，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．
2．若F為線段AB的中點，O為平面內任意一點，則eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．
3．若A，B，C是平面內不共線的三點，則eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
4．對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
考點一、平面向量的概念
1.（23-24高三下·江蘇揚州·階段練習）下列命題中，正確的是（）
A．若a=b，則a=bB．若a>b，則a>b
C．若a=b，則a//bD．若a//b,b//c，則 a//c
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷.
【詳解】對于A：若a=b，則a,b只是大小相同，并不能說方向相同，A錯誤；
對于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯誤；
對于C：若a=b，則a,b方向相同，C 正確；
對于D：若a//b,b//c，如果b為零向量，則不能推出a,c平行，D錯誤.
故選：C.
2.（22-23高三上·福建廈門·開學考試）下列命題不正確的是（）
A．零向量是唯一沒有方向的向量
B．零向量的長度等于0
C．若a，b都為非零向量，則使aa+bb=0成立的條件是a與b反向共線
D．若a=b，b=c，則a=c
【答案】A
【分析】AB選項，由零向量的定義進行判斷；C選項，根據(jù)共線向量，單位向量和零向量的定義得到C正確；D選項，根據(jù)向量的性質得到D正確.
【詳解】A選項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；
B選項，由零向量的定義知，零向量的長度為0，故B正確；
C選項，因為aa與bb都是單位向量，所以只有當aa與bb是相反向量，即a與b是反向共線時aa+bb=0才成立，故C正確；
D選項，由向量相等的定義知D正確.
故選：A
1.（2018高三·全國·專題練習）給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。虎廴籀薬=0 (λ為實數(shù))，則λ必為零；④已知λ，μ為實數(shù)，若λa=μb，則a與b共線.其中錯誤命題的個數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】運用向量定義、模、共線向量的定義及向量的數(shù)乘運算即可判斷.
【詳解】①錯誤. 兩向量共線要看其方向而不是起點與終點.
②正確.因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數(shù)，故可以比較大小.
③錯誤.因為λa=0，所以λ=0或a=0.
④錯誤.當λ＝μ＝0時，λa=μb，此時，a與b可以是任意向量.
所以錯誤命題有3個.
故選：C.
2.（2023·北京大興·三模）設，是非零向量，“”是“”的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關系，結合充分、必要性定義即知答案.
【詳解】由表示單位向量相等，則同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出，
由表示同向且模相等，則，
所以“”是“”的必要而不充分條件.
故選：B
3.（2022·江蘇·三模）已知向量，與共線且方向相反的單位向量 .
【答案】
【分析】利用與共線且方向相反的單位向量為，即可得出答案.
【詳解】，，所以與共線且方向相反的單位向量是：
.
故答案為：
考點二、平面向量線性運算
1.（23-24高三上·江蘇南通·階段練習）中國文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解釋自然、社會現(xiàn)象.如圖（1）是八卦模型圖，將其簡化成圖（2）的正八邊形ABCDEFGH，若AB=1，則AB?DB=（）

A．2B．3+1
C．3D．2+1
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，利用余弦定理，計算出OA的值，根據(jù)向量運算，把AB?DB化成AD，利用余弦定理計算其長度得答案.
【詳解】

在△AOB中，設OA=OB=x，∠AOB=45°，
則x2+x2?2x2cs45°=1，所以x2=2+22，
所以AB?DB=AB+BD=AD=x2+x2?2x2cs135°=2+2x2=2+1.
故選：D.
2.（2024·四川·模擬預測）已知非零平面向量a，b，那么“a=μb”是“a+b=a?b”的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律及充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】在向量a,b非零向量的情況下，
若a+b=a?b，即a+b2=a?b2，
即有|a|2+2a?b+|b|2=|a|2?2|a||b|+|b|2，即a?b=?ab．
又a?b=abcsa,b，故csa,b=?1，
又a,b∈0,π，所以a,b=π，即a,b方向相反，故a=μb,μ0，n>0，則m+2n的最小值為（）
A．2B．2C．3D．83
【答案】C
【分析】根據(jù)題意以AB,AC為基底表示出AD，再根據(jù)E,F,D三點共線，利用共線定理可得13m+23n=1，再由基本不等式即可求得m+2n的最小值為3.
【詳解】如下圖所示：
因為BD=2DC，易知AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23AC?AB=13AB+23AC，
又AE=mAB,AF=nAC，所以AD=13AB+23AC=13mAE+23nAF，
易知E,F,D三點共線，利用共線定理可得13m+23n=1，
又m>0，n>0，
所以m+2n=m+2n13m+23n=13+2m3n+2n3m+43≥22m3n?2n3m+53=2×23+53=3；
當且僅當2m3n=2n3m，即m=n=1時，等號成立，
所以m+2n的最小值為3.
故選：C
4.（2024·河北衡水·模擬預測）在△ABC中，D是BC的中點，直線l分別與AB,AD,AC交于點M,E,N，且AB=43AM，AE=2ED,AC=λAN，則λ=（）
A．85B．53C．74D．52
【答案】B
【分析】根據(jù)向量運算法則，利用AM,AN表示AE，結合向量三點共線的定理列式運算求解.
【詳解】由AE=2ED，得AE=23AD=13AB+AC=1343AM+λAN=49AM+λ3AN.
因為M,E,N共線，所以49+λ3=1，解得λ=53.
故選：B.
5.（2021·江西新余·模擬預測）如圖，在三角形OPQ中，M、N分別是邊OP、OQ的中點，點R在直線MN上，且OR=xOP+yOQ（x，y∈R），則代數(shù)式x2+y2?x?y+12的最小值為（）
A．22B．26C．24D．32
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，結合共線向量定理的推論可得2x+2y=1，再消元借助二次函數(shù)求出最小值.
【詳解】由M、N分別是邊OP、OQ的中點，得OP=2OM,OQ=2ON，而OR=xOP+yOQ，
于是OR=2xOM+2yON，又點R在直線MN上，因此2x+2y=1，即y=12?x，
則x2+y2?x?y+12=x2+(12?x)2?x?(12?x)+12=2x2?x+14，
所以當x=14時，x2+y2?x?y+12取得最小值24.
故選：C
1．（21-22高三上·山東煙臺·開學考試）O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈[0,+∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的（）
A．外心B．垂心C．內心D．重心
【答案】D
【分析】取線段BC的中點E，則AB+AC=2AE，依題可得AP//AE，即可得答案.
【詳解】取線段BC的中點E，則AB+AC=2AE.
動點P滿足：OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈[0,+∞)，
則OP?OA=2λAE，即AP=2λAE，所以AP//AE，
又AP∩AE=A，所以A,E,P三點共線，
則直線AP一定通過△ABC的重心.
故選：D.
2．（23-24高三上·安徽·階段練習）在△ABC中，點M是線段BC上靠近B的三等分點，點N是線段AC的中點，則AM=（）
A．?BN+23ACB．?23BN+43AC
C．?BN+53ACD．?23BN+23AC
【答案】D
【分析】結合圖形，利用向量的線性運算的定義進行運算可得.
【詳解】作出圖形如圖，則BN=BA+AN=?AB+12AC，
所以AM=AB+BM=AB+13BC=AB+13AC?AB =23AB+13AC=23AB?12AC+23AC=?23BN+23AC，
故選：D．
3．（2020·天津河東·模擬預測）對于非零向量a、b，“2a=b”是“a，b共線”的（）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用向量共線定理以及充分條件、必要條件的定義即可求解.
【詳解】由2a=b，則a、b共線同向，充分性滿足；
非零向量a、b，當a，b共線時，則b=λa λ∈R，必要性不滿足；
故“2a=b”是“a，b共線”的充分不必要條件.
故選：B
【點睛】本題考查了充分條件、必要條件的定義、向量共線定理，理解充分條件、必要條件的定義是解題的關鍵，屬于基礎題.
4．（23-24高三上·天津紅橋·階段練習）已知向量b=?3,1，則與b方向相反的單位向量是．
【答案】(31010,?1010)
【分析】利用給定向量，結合單位向量的意義求解.
【詳解】向量b=?3,1，則與b方向相反的單位向量是?b|b|=?110(?3,1)=(31010,?1010).
故答案為：(31010,?1010)
5．（2022·天津河北·模擬預測）若點M是△ABC所在平面內一點，且滿足：AM=35AB+25AC．則△ABM與△ABC的面積之比為．
【答案】25/0.4
【分析】根據(jù)給定的向量等式，確定點M的位置，再借助面積關系計算作答.
【詳解】因AM=35AB+25AC，則AM?AB=25(AC?AB)，即BM=25BC，
于是得點M在邊BC上，并且|BM|=25|BC|，有S△ABMS△ABC=|BM||BC|=25，
所以△ABM與△ABC的面積之比為25.
故答案為：25
6．（21-22高三上·山東日照·開學考試）在三角形OAB中，點P為邊AB上的一點，且AP=2PB，點Q為直線OP上的任意一點（與點O和點Q不重合），且滿足OQ=λ1OA+λ2OB，則λ1λ2= .
【答案】12
【分析】以OA,OB為基底，其他向量用基底表示后，結合O,Q,P共線可得．
【詳解】由已知OP=OA+AP=OA+23AB=OA+23(OB?OA)=13OA+23OB，OQ=λ1OA+λ2OB，
OQ,OP共線，所以λ113=λ223，所以λ1λ2=12．
故答案為：12．
1．（23-24高三上·天津南開·階段練習）△ABC是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，若AF=3EF，AF=3，且AF=λAB+μAC，則λ+μ=（）.
A．1519B．619C．919D．41919
【答案】A
【分析】由向量加減、數(shù)乘幾何意義用AB,AC表示出AF，即可得結果.
【詳解】由題設AF=AB+BF=AB+23BD=AB+23(BC+CD)=AB+23(BC+23CE)
=AB+23BC+49(CA+AE)=AB+23BC+49CA+827AF
=AB+23(AC?AB)?49AC+827AF=13AB+29AC+827AF，
所以1927AF=13AB+29AC，即AF=919AB+619AC，
又AF=λAB+μAC，故λ+μ= 1519.
故選：A
2．（23-24高三下·天津·階段練習）在△ABC中，設，AB=a,AC=b，其夾角設為θ，平面上點D,E滿足AD=2AB，AE=3AC，BE,DC交于點O，則AO用a,b表示為．若AO?DE=65DC?BE，則csθ的最小值為．
【答案】 AO=45a+35b 54
【分析】由D,O,C和B,O,E三點共線，得到AO=2ta+(1?t)b和AO?=ua?+(3?3u)b?，得出方程組2t=u1?t=3?3u，求得t,u的值，得到AO=45a+35b，再由AO?DE=65DC?BE，化簡得到48a?b=20a2+9b2，得出csθ=20a2+9b248ab，結合基本不等式，即可求解.
【詳解】因為D,O,C三點共線，則存在實數(shù)t使得AO=tAD+(1?t)AC=2ta+(1?t)b，
又因為B,O,E三點共線，則存在實數(shù)u使得AO?=uAB?+(1?u)AE?=ua?+(3?3u)b?，
可得2t=u1?t=3?3u，解得t=25,u=45，所以AO=45a+35b，
由DE=AE?AD=3b?2a,DC=AC?AD=b?2a,BE=AE?AB=3b?a，
因為AO?DE=65DC?BE，
可得(45a+35b)?(3b?2a)=65(b?2a)?(3b?a)，整理得48a?b=20a2+9b2，
可得48abcsθ=20a2+9b2，所以csθ=20a2+9b248ab
又因為20a2+9b2≥220a2?9b2=125ab，
所以csθ=20a2+9b248ab≥125ab48ab=54，
當且僅當20a2=9b2時，即25a=3b時，等號成立，
所以csθ的最小值為54.
故答案為：AO?=45a?+35b?，54.
3．（2024·天津和平·一模）青花瓷，常簡稱青花，代表了我國古代勞動人民智慧的結晶，是中國瓷器的主流品種之一.圖一是一個由波濤紋和葡萄紋構成的正六邊形青花瓷盤，已知圖二中正六邊形的邊長為4，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為2，若點M在正六邊形的邊上運動，動點A,B在圓O上運動且關于圓心O對稱.（i）請用MA,MB表示MO= ；（ii）請寫出MA?MB的取值范圍 .
【答案】 12MA+12MB 8,12
【分析】（i）根據(jù)向量線性運算可直接得到結果；
（ii）根據(jù)向量線性運算、數(shù)量積運算性質，可將所求數(shù)量積轉化為MO2?4；根據(jù)正六邊形性質可求得MO的范圍，由此可得結果.
【詳解】（i）∵A,B在圓O上運動且關于圓心O對稱，∴O為AB中點，∴MO=12MA+12MB；
（ii）MA?MB=MO+OA?MO+OB=MO2+OA+OB?MO+OA?OB =MO2?OA2=MO2?4；
當M為正六邊形頂點時，MO取得最大值；當OM與正六邊形的邊垂直時，MO取得最小值；
∵六邊形為正六邊形，∴△ODE為正三角形，∴MOmax=OD=4；
作OF⊥DE，則F為DE中點，∴MOmin=OF=42?22=23；
∴MO2?4∈8,12，即MA?MB的取值范圍為8,12.
故答案為：12MA+12MB；8,12.
4．（23-24高三上·天津河西·期末）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，AB=2AE，AF=λACλ>0，EF=2EM，且AM=72，則λ= ；BF?CE的值為 .
【答案】 32 ?232
【分析】根據(jù)平面向量的基本定理、向量的數(shù)量積定義及數(shù)量積運算即可求解.
【詳解】因為AB=2AE，AF=λACλ>0，EF=2EM，
所以AM=12AE+AF=1212AB+λAC=14AB+12λAC,
又AM=72，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，
所以AC?AB=AC?ABcs∠BAC=2×2×?12=?2，
AM2=AM2=14AB2+λ4AC?AB+λ2AC2=14?λ2+λ2=74,
即2λ2?λ?3=0，解得λ=32或λ=?1（舍去），
故λ的值為：32.
又BF=BA+AF=?AB+λAC,CE=CA+AE=?AC+12AB,
BF?CE=?AB+λAC??AC+12AB=1+λ2AB?AC?12AB2?λAC2

=1+λ2?2?2?4λ=?4?5λ=?232，
故BF?CE的值為：?232.
故答案為：32；?232
5．（23-24高三上·天津濱海新·階段練習）在△ABC中，AD=12AB，AE=13AC，CD與BE交于點P，AB=2，AC=4，用AB和AC表示AP，則AP= ；過點P的直線l交AB，AC于點M，N，設AM=mAB，AN=nAC（m>0，n>0），則m+n的最小值為 .
【答案】 25AB+15AC 3+225
【分析】選取向量AB,AC為基底，利用向量線性運算把AP用基底表示出來即可；用AM,AN表示出AP，再利用共線向量的推論結合基本不等式求出最小值.
【詳解】如圖：
在△ABC中，AD=12AB，AE=13AC，設BP=λBE=λ(BA+13AC)，
則AP=AB+BP=(1?λ)AB+λ3AC=(2?2λ)AD+λ3AC，
由D,P,C三點共線，得2?2λ+λ3=1，解得λ=35，因此AP=25AB+15AC，
因為AM=mAB，AN=nAC，m>0,n>0，則有AP=25mAM+15nAN，
而M,P,N三點共線，因此25m+15n=1，則m+n=(m+n)(25m+15n)
=15(3+2nm+mn)≥15(3+22nm?mn)=3+225，當且僅當2nm=mn，即m=2n=2+25取等號，
所以當m=2+25,n=1+25時，m+n取得最小值3+225.
故答案為：25AB+15AC；3+225
6．（23-24高三上·天津南開·階段練習）如圖，在△ABC中，AD=12AB，AE=13AC，CD與BE交于點P，AB=2，AC=4，AP?BC=2，則AB?AC的值為；過點P的直線l交AB，AC于點M，N，設AM=mAB，AN=nAC（m>0，n>0），則m+n的最小值為 .
【答案】 2 3+225
【分析】選取向量AB→,AC→為基底，把AP→,BC→用基底表示出來，再求出數(shù)量積即可；用AM,AN表示出AP，再利用共線向量的推論結合基本不等式求出最小值．
【詳解】在△ABC中，AD=12AB，AE=13AC，設BP=λBE=λ(BA+13AC)，
則AP=AB+BP=(1?λ)AB+λ3AC=(2?2λ)AD+λ3AC，
由D,P,C三點共線，得2?2λ+λ3=1，解得λ=35，因此AP=25AB+15AC，
因為AB=2，AC=4，AP?BC=2，于是AP?BC=(25AB+15AC)?(AC?AB)
=15(AC2?2AB2+AB?AC)=15(42?2×22+AB?AC)=2，解得AB?AC=2；
因為AM=mAB，AN=nAC，m>0,n>0，則有AP=25mAM+15nAN，
而M,P,N三點共線，因此25m+15n=1，則m+n=(m+n)(25m+15n)
=15(3+2nm+mn)≥15(3+22nm?mn)=3+225，當且僅當2nm=mn，即m=2n=2+25取等號，
所以當m=2+25,n=1+25時，m+n取得最小值3+225.
故答案為：2；3+225
7．（2023·天津津南·模擬預測）在△ABC中，M是邊BC的中點，N是線段BM的中點.設AB=a,AC=b，試用a,b表示AN為；若∠A=π6,△ABC的面積為3，則當BC=
時，AM?AN取得最小值.
【答案】 34a+14b 2
【分析】根據(jù)向量加減法的線性運算即可求解AN，由△ABC的面積求得|AB|×|AC|的值，利用平面向量的線性運算與數(shù)量積運算求出AM?AN，利用基本不等式求出它取最小值時|AB|、|AC|的值，再利用余弦定理求出BC的值．
【詳解】M是邊BC的中點，N是線段BM的中點，則AM=12(AB+AC)，AN=12(AB+AM)
所以AN=12AB+12AM=12AB+1212AB+12AC=34AB+14AC=34a+14b
如圖所示，△ABC中，∠A=π6，
所以△ABC的面積為S△ABC=12|AB|×|AC|×sinπ6=3，
所以|AB|×|AC|=43；
所以AM?AN=12(AB+AC)?34AB+14AC=38AB2+18AC2+12AB?AC
=38|AB|2+18|AC|2+12×|AB|×|AC|×csπ6
≥238×18×AB×AC+12×43×32 =2×38×43+3 =6；
當且僅當|AC|=3|AB|=23時取等號，
所以AM?AN的最小值為6；
所以此時AC=23，AB=2，A=π6，
所以BC2=AC2+AB2?2AC?AB?csπ6=12+4?2×23×2×32=4，
所以BC=2．
故答案為：34a+14b；2．

1．（·四川·高考真題）如圖，正六邊形ABCDEF中，BA+CD+EF=（）
A．0B．BEC．ADD．CF
【答案】D
【詳解】將CD平移到AF，EF平移到CB，
故BA+CD+EF=CB+BA+AF=CF，
故選D.
本題主要考查平面向量的基本概念及線性運算
考點：向量的加法.
2．（·全國·高考真題）ΔABC中，AB邊的高為CD，若CB=a，CA=b，a?b=0，a=1，b=2，則AD=（ )
A．13a?13bB．23a?23bC．35a?35bD．45a?45b
【答案】D
【詳解】試題分析：由a?b=0，a=1，b=2可知BD=15 ∴BD=15BA∴AD=45AB=45a?b
3．（·廣東·高考真題）如圖所示，已知在△ABC中，D是邊AB上的中點，則CD=（）
A．BC?12BAB．?BC+12BA
C．?BC?12BAD．BC+12BA
【答案】B
【分析】由題意得BD=12BA，再由CD=CB+BD=?BC+12BA，即可得到答案.
【詳解】由于D是邊AB上的中點，則BD=12BA.
CD=CB+BD=?BC+12BA.
故選：B.
5年考情
考題示例
考點分析
2024年天津卷，第14題,5分
平面向量基本定理的應用平面向量線性運算的坐標表示數(shù)量積的運算律數(shù)量積的坐標表示
2023年天津卷，第14題,5分
余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的最大值
2022年天津卷，第14題,5分
用基底表示向量向量夾角的計算
2021年天津卷，第15題,5分
數(shù)量積的運算律
2020年天津卷，第15題,5分
已知向量共線(平行)求參數(shù) 用定義求向量的數(shù)量積數(shù)量積的坐標表示
向量
運算
定義
法則(或幾
何意義)
運算律
加法
求兩個向量和的運算
交換律：a＋b＝b＋a；
結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
求兩個向量差的運算
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
求實數(shù)λ與向量a的積的運算
|λ a|＝|λ||a|，當λ>0時，λa與a的方向相同；
當λ

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