第06講 指對運算（含答案） 備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪復習考點幫（天津專用）學案

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1. 5年真題考點分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分
【備考策略】1.理解、掌握指對運算法則，能夠靈活運用指對互化
2.能掌握對數(shù)的換底公式
3.具備數(shù)形結合的思想意識，會借助函數(shù)圖進行比較大小的計算
【命題預測】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，一般給出等式，做指對化簡計算，或者比較大小。
知識講解
知識點一.指數(shù)運算
1.實數(shù)指數(shù)冪運算法則
aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
aras=ar?s(a>0，r，s∈R)
(3) (ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
(4) (ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
2.分數(shù)指數(shù)冪的意義與運算法則
(1)amn＝nam，a?mn＝1amn＝1nam (其中a >0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0, 0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．
3.nan與(na)n 的區(qū)別
(1)nan是實數(shù)an的n次方根，是一個恒有意義的式子，不受n的奇偶限制，但這個式子的值受n的奇偶限制．
其算法是對a先乘方，再開方(都是n次)，結果不一定等于a，
當n為奇數(shù)時，nan＝a；
當n為偶數(shù)時，nan＝| a |＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0,且a≠1時，ax＝N?x=lgaN.
2.對數(shù)的基本性質
(1)負數(shù)和零沒有對數(shù)，即N>0；
(2)lga1＝0(a>0，a≠1)；
(3)lgaa＝1(a>0，a≠1).
3.對數(shù)恒等式：
①algaN＝N(a>0且a≠1，N>0)；②lgaaN＝N(a>0且a≠1)．
4.對數(shù)的運算法則
(1)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
lga(MN)=lgaM+lgaN；lgaMN=lgaM-lgaN；lgaMn=nlgaM (n∈R)；
(2)換底公式：lgab=lgcblgca(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．
(3)可用換底公式證明以下結論：
①lgab=1lg ba；
②lgab?lgbc?lgca=1；
③lganbn=lgab；
④lganbm=mnlgab；
⑤lg1ab=?lgab.
考點一、根式與分數(shù)指數(shù)冪運算
1.（2024·廣東·模擬預測）若xy=3，則xyx+yxy= ．
2.（2024高三·全國·專題練習）化簡下列各式：
（1）0.06415?2.523?3338?π0 =
（2）a3b23ab2a14b124a?13b13（a>0,b>0=
（3）設x12+x?12=3，則x+x?1的值為
1.（23-24高三上·北京豐臺·期末）已知f(x)=4x?4?x，則f(?12)+f(12)= ．
2.（23-24高三上·上海奉賢·階段練習）已知a>0，將aa化為分數(shù)指數(shù)冪ak形式，則k=
3.（23-24高三上·上海閔行·期中）已知函數(shù)f(x)=2x2x+3x，若實數(shù)m，n滿足2m+n=3mn，且f(m)=?13，則f(n)= .
4.（20-21高三上·天津濱海新·階段練習）計算：
（1）32×36+?20190?4×1649?12+43?π4
（2）+lg0.001+2lne?21+lg23
考點二、對數(shù)運算
1. （23-24高三上·天津和平·期末）計算31+lg32+lg5+lg32×lg49×lg2的值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
2.（2023·全國·模擬預測）求值：lg(27+102+27?102)= ．
1.（全國·高考真題）已知函數(shù)fx=lg2x2+a，若f3=1，則a= ．
2.（2024·全國·模擬預測）在等差數(shù)列an中，已知a3與a9是方程2x2?x+m=0的兩根，則12lg4a1+a2+?+a11=（ ）
A．1111B．21111C．114D．112
3.（2024·北京·三模）使lga+lgb=lg(a+b)成立的一組a，b的值為a= ，b= .
4．（22-23高三上·天津靜?！て谀﹍g4+lg25+913×33= ．
5．（23-24高三上·山東·階段練習）已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位數(shù)是a，第75百分位數(shù)為b，則lg4+lga+1100032b= ．
考點三、指對運算綜合
1.（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)f(x)=4x+lg2x，則f12= ．
2.（2024·全國·三模）若a>1，則alglga?lgalga的值是（ ）
A．零B．正數(shù)C．負數(shù)D．以上皆有可能
1.（2024·廣東·二模）已知正實數(shù)m,n滿足12lnm=lnm?2n?12lnn，則nm=（ ）
A．1B．14C．4D．1或14
2.（2024高三下·河南·專題練習）已知實數(shù)m,n滿足m+lnm=4,nlnn+n=e3，則mn的值為（ ）
A．e2B．e3C．e4D．e5
3.（2024·江蘇·模擬預測）已知x1+2x1=4，x2+lg2x2=4，則x1+x2的值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
4.（2024·江蘇南通·模擬預測）方程xln3+xln4=xln5正實數(shù)解為 .
5.（23-24高三上·天津南開·階段練習）設a=12lg20+lg5,b=lg43，則a+2b的值為（ ）
A．1+3B．1+5C．26D．27
考點四、指數(shù)函數(shù)中的條件等式
1. （23-24高三上·天津·期中）已知4a=5,lg89=b，則22a?3b=（ ）
A．59B．5C．259D．25
2.（2020·全國·高考真題）設alg34=2，則4?a=（ ）
A．116B．19C．18D．16
1.（2024·全國·模擬預測）已知m，n，p是均不等于1的正實數(shù)，mx=n2y=p3z，z=xyx+y，則mn2p3=（ ）
A．2B．32C．1D．12
2.（2024·全國·模擬預測）已知2x=3y=4z=6，則1x+3y+1z= ．
3.（2023·全國·模擬預測）已知b=2lna，則ab= .
4．（23-24高三上·天津·期中）若lg222=a,8b=22，則a+b= .
5．（23-24高三上·天津和平·階段練習）已知3a=5b且2a+1b=1，則a的值為 .
考點五、指對等式比較大小
1.（2024·河南·二模）“l(fā)nx>lny”是“x2>y2”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2.（2024·湖南·二模）已知實數(shù)a>b>0，則下列選項可作為a?bb>cB．c>b>aC．a>c>bD．b>c>a
2. （2024·天津河北·二模）若a=30.5,b=lg0.53,c=0.32，則a，b，c的大小關系為（ ）
A．ba
4.（2021·全國·高考真題）已知a=lg52，b=lg83，c=12，則下列判斷正確的是（ ）
A．c