高考數(shù)學(xué)壓軸題講義專(zhuān)題3.13探究代數(shù)表達(dá)式，函數(shù)方程來(lái)發(fā)力專(zhuān)題練習(xí)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

探究代數(shù)表達(dá)式包括以下若干類(lèi)型：（1）參數(shù)值的探索，根據(jù)題中的條件將參數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)的坐標(biāo)的方程或函數(shù)問(wèn)題，若利用設(shè)而不求思想與韋達(dá)定理即可求出參數(shù)的值即存在，否則不存在
(2)等式恒成立問(wèn)題，根據(jù)題中條件和有關(guān)向量、距離公式、平面幾何知識(shí)等方法，轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)的坐標(biāo)的方程或函數(shù)問(wèn)題，若利用設(shè)而不求思想與韋達(dá)定理即可求出參數(shù)的值即存在。
【典例指引】
類(lèi)型一參數(shù)值的探究
例1 【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿(mǎn)分13分）
已知橢圓E：的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.
（Ⅰ）求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)l’平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線(xiàn)l交于點(diǎn)P．證明：存在常數(shù)，使得，并求的值.
【解析】
類(lèi)型二恒等式成立探究
例2. 【2015高考四川，理20】如圖，橢圓E：的離心率是，過(guò)點(diǎn)P（0,1）的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)平行與軸時(shí)，直線(xiàn)被橢圓E截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為.
(1)求橢圓E的方程；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】
類(lèi)型三面積最小值存在性
例3【2015高考湖北，文22】一種畫(huà)橢圓的工具如圖1所示．是滑槽的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞轉(zhuǎn)動(dòng)，M處的筆尖畫(huà)出的橢圓記為C．以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與兩定直線(xiàn)和分別交于兩點(diǎn)．若直線(xiàn)總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】
類(lèi)型四面積關(guān)系探究
例4.（2011湖南理21）如圖7,橢圓的離心率為eq \f(\r(3),2),軸被曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)等于的長(zhǎng)半軸長(zhǎng).
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)設(shè)與軸的交點(diǎn)為,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于點(diǎn),直線(xiàn)分別與相交于點(diǎn).
(ⅰ)求證:;
(ⅱ)記的面積分別為.問(wèn):是否存在直線(xiàn),使得?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【擴(kuò)展鏈接】
為橢圓的其中一個(gè)焦點(diǎn)，若是橢圓上一點(diǎn)，則.
為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，若是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，則，若是雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn)，則，.
為橢圓的左焦點(diǎn)，是過(guò)左焦點(diǎn)傾斜角為的弦，點(diǎn)在軸上方，則,,,.
為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，是過(guò)左焦點(diǎn)傾斜角為的弦，點(diǎn)在軸上方，則，,,.
【新題展示】
1．【2019四川二診】已知，橢圓C過(guò)點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線(xiàn)AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，直線(xiàn)EF的斜率為，直線(xiàn)l與橢圓C相切于點(diǎn)A，斜率為．
求橢圓C的方程；
求的值．
【思路引導(dǎo)】
可設(shè)橢圓C的方程為，由題意可得，由橢圓的定義計(jì)算可得，進(jìn)而得到b，即可得到所求橢圓方程；
設(shè)直線(xiàn)AE：，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理可得E的坐標(biāo)，由題意可將k換為，可得F的坐標(biāo)，由直線(xiàn)的斜率公式計(jì)算可得直線(xiàn)EF的斜率，設(shè)出直線(xiàn)l的方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用直線(xiàn)和橢圓相切的條件：判別式為0，可得直線(xiàn)l的斜率，進(jìn)而得到所求斜率之和．
2．【2019河南新鄉(xiāng)二?！吭O(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知橢圓的焦距為，直線(xiàn)的斜率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)（）與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限．與延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，若的面積是面積的倍，求的值．
【思路引導(dǎo)】
（1）利用橢圓的焦距和的斜率列方程組，解方程組求得的值，由此求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用“的面積是面積的倍”得到，轉(zhuǎn)化為向量，并用坐標(biāo)表示出來(lái)，求得兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式．聯(lián)立直線(xiàn)的方程和直線(xiàn)的方程，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)；聯(lián)立橢圓的方程和直線(xiàn)的方程，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)上述求得的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式列方程，解方程求得的可能取值，驗(yàn)證點(diǎn)橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)后得到的值．
3．【2019陜西漢中3月聯(lián)考】順次連接橢圓：的四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長(zhǎng)為且面積為的菱形．
（1）求橢圓的方程；
（2），是橢圓上的兩個(gè)不同點(diǎn)，若直線(xiàn)，的斜率之積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），線(xiàn)段上有一點(diǎn)滿(mǎn)足，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，求的值．
【思路引導(dǎo)】
（1）由菱形的面積公式可得2ab＝2，由勾股定理可得a2+b2＝3，解方程即可得到所求橢圓方程；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），N（x3，y3），由向量的坐標(biāo)表示和點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓方程，結(jié)合直線(xiàn)的斜率公式，化簡(jiǎn)變形，即可得到所求值．
4．【2019東北三省三校一?！恳阎獧E圓：的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上異于的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為，若動(dòng)點(diǎn)與的連線(xiàn)斜率分別為，且，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)的方程；
（2）已知點(diǎn)，直線(xiàn)與分別與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，若，求的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
(1)由題意設(shè) ，，再表示出得出．然后求得結(jié)果．
(2) 由題求出直線(xiàn)的方程為：，直線(xiàn)的方程為：，然后分別與曲線(xiàn)聯(lián)立，求得點(diǎn)E、F的縱坐標(biāo)，然后再代入面積公式表示出再利用函數(shù)的單調(diào)性求得范圍．
5．【2019安徽江南十校3月檢測(cè)】已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為．
（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，連接，與拋物線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率記為，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得成立，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程與準(zhǔn)線(xiàn)的關(guān)系，可直接求得；（2）假設(shè)存在，通過(guò)假設(shè)四點(diǎn)坐標(biāo)，可以表示出和，然后利用韋達(dá)定理求解出．
6．【2019安徽六校聯(lián)考】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，直線(xiàn)：與橢圓交于，四邊形的面積為．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）作與平行的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為，若的斜率分別為，求的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和四邊形的面積求法，以及橢圓中的關(guān)系，列出對(duì)應(yīng)的方程組，即可求得結(jié)果；
（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式大于零，得出范圍，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到（），根據(jù)的范圍求得結(jié)果．
7．【2019安徽黃山一?！恳阎c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為．直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為．
（Ⅰ）求直線(xiàn)的方程．
（Ⅱ）點(diǎn)是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
【思路引導(dǎo)】
(Ⅰ)由點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，得到，可以求出，即可得到拋物線(xiàn)的方程，然后利用點(diǎn)差法，根據(jù)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為，可以求出斜率，從而得到直線(xiàn)方程；（Ⅱ）都在直線(xiàn)上，設(shè)，設(shè)，可以表示出，然后將直線(xiàn)與拋物線(xiàn)聯(lián)立，可以得到關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合的表達(dá)式，可以求出最小值。
8．【2019湖南株洲統(tǒng)一檢測(cè)（一)】已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且軸，的周長(zhǎng)為6．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得恒成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路引導(dǎo)】
（Ⅰ）由三角形周長(zhǎng)可得，求出，再根據(jù)即可寫(xiě)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（Ⅱ）假設(shè)存在常數(shù)滿(mǎn)足條件，分兩類(lèi)討論（1）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，寫(xiě)出A，B坐標(biāo)，代入可得（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入中化簡(jiǎn)即可求出．
【同步訓(xùn)練】
1．已知A為橢圓=1（a＞b＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB，AC分別過(guò)左右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且當(dāng)線(xiàn)段AF1的中點(diǎn)在y軸上時(shí)，cs∠F1AF2=．
（1）求該橢圓的離心率；
（2）設(shè)，試判斷λ1+λ2是否為定值？若是定值，求出該定值，并給出證明；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）當(dāng)線(xiàn)段AF1的中點(diǎn)在y軸上時(shí)，AC垂直于x軸，△AF1F2為直角三角形．運(yùn)用余弦函數(shù)的定義可得|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，再由橢圓的定義，結(jié)合離心率公式即可得到所求值；
（2）由（1）得橢圓方程為x2+2y2=2b2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（﹣b，0），F(xiàn)2（b，0），（1）當(dāng)AB，AC的斜率都存在時(shí)，設(shè)A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），求得直線(xiàn)AC的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由向量共線(xiàn)定理，可得λ1+λ2為定值6；若AC⊥x軸，若AB⊥x軸，計(jì)算即可得到所求定值．
【詳細(xì)解析】
2.（2017?邯鄲二模）已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分別是橢圓G：+=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2，）是橢圓G上一點(diǎn)，且|PF1|﹣|PF2|=a．
（1）求橢圓G的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn)，若⊥，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷O到直線(xiàn)l的距離是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)橢圓的定義，求得丨PF1丨=a=3|PF2|，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，即可求得c的值，則求得a的值，b2=a2﹣c2=4，即可求得橢圓方程；
（2）當(dāng)直線(xiàn)l⊥x軸，將直線(xiàn)x=m代入橢圓方程，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得m的值，求得O到直線(xiàn)l的距離；當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，即可求得O到直線(xiàn)l的距離為定值．
【詳細(xì)解析】
3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的離心率為，直線(xiàn)y=x被橢圓C截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓C交于兩點(diǎn)（A，B不是橢圓C的頂點(diǎn)），點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線(xiàn)BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)．設(shè)直線(xiàn)BD，AM斜率分別為k1，k2，證明存在常數(shù)λ使得k1=λk2，并求出λ的值．
【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓離心率得到a，b的關(guān)系，化簡(jiǎn)橢圓方程，和直線(xiàn)方程聯(lián)立后求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把弦長(zhǎng)用交點(diǎn)橫坐標(biāo)表示，則a的值可求，進(jìn)一步得到b的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出A，D的坐標(biāo)分別為（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐標(biāo)表示B的坐標(biāo)，把AB和AD的斜率都用A的坐標(biāo)表示，寫(xiě)出直線(xiàn)AD的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到AD橫縱坐標(biāo)的和，求出AD中點(diǎn)坐標(biāo)，則BD斜率可求，再寫(xiě)出BD所在直線(xiàn)方程，取y=0得到M點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)求斜率得到AM的斜率，由兩直線(xiàn)斜率的關(guān)系得到λ的值．
【詳細(xì)解析】
4.已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，離心率，且橢圓過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）橢圓左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線(xiàn)l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，則△F1AB的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線(xiàn)方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)橢圓方程，由題意列關(guān)于a，b，c的方程組求解a，b，c的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），不妨設(shè)y1＞0，y2＜0，設(shè)△F1AB的內(nèi)切圓的徑R，則△F1AB的周長(zhǎng)=4a=8，=（|AB|+|F1A|+|F1B|）R=4R，因此最大，R就最大．設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立，從而可表示△F1AB的面積，利用換元法，借助于導(dǎo)數(shù)，即可求得結(jié)論．
【詳細(xì)解析】
5.已知橢圓C：+=1（a＞0，b＞0）的離心率為，右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，且△AOF的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)M在以橢圓C的短軸為直徑的圓上，且M在第一象限，過(guò)M作此圓的切線(xiàn)交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．試問(wèn)△PFQ的周長(zhǎng)是否為定值？若是，求此定值；若不是，說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，且△AOF的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），列出方程組，求出a=，b=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），，連結(jié)OM，OP，求出|PF|+|PM|=|QF|+|QM|=，從而求出△PFQ的周長(zhǎng)為定值2．
【詳細(xì)解析】
6.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，聯(lián)接橢圓四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）A、B是橢圓的左右頂點(diǎn)，P（xP，yP）是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓在P點(diǎn)處的切線(xiàn)與過(guò)A、B且與x軸垂直的直線(xiàn)分別交于C、D兩點(diǎn)，直線(xiàn)AD、BC交于Q（xQ，yQ），是否存在實(shí)數(shù)λ，使xP=λxQ恒成立，并說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，聯(lián)接橢圓四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為2，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)切線(xiàn)方程為y=kx+m，與橢圓聯(lián)立消元得（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線(xiàn)方程，組合已知條件能求出存在λ=1，使xP=λxQ恒成立．
【詳細(xì)解析】
7.已知橢圓C：=1，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M（﹣1，0），與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)N．
（1）設(shè)MN的中點(diǎn)恰在橢圓C上，求直線(xiàn)l的方程；
（2）設(shè)=λ，=μ，試探究λ+μ是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)點(diǎn)N（0，n），表示出MN中點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求得n值，從而可得直線(xiàn)方程；
（2）直線(xiàn)AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)方程為x=ty﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（﹣1，0），N（0，﹣），聯(lián)立，消x可得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，利用韋達(dá)定理，以及向量共線(xiàn)的坐標(biāo)可得λ=﹣1﹣，同理可得μ=﹣1﹣，然后化簡(jiǎn)即可．
【詳細(xì)解析】
8.已知離心率為的橢圓C：+=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)M（2，0），過(guò)點(diǎn)Q（1，0）的直線(xiàn)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（4，3），記PA，PB的斜率分別為k1，k2
（1）求橢圓C的方程；
（2）探討k1+k2是否為定值？如果是，求出該定值，如果不是，求出k1+k2的取值范圍．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可知a=2c，a=2，則c=1，b2=a2﹣c2=3，[來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]
（2）分類(lèi)討論，當(dāng)直線(xiàn)線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線(xiàn)斜率公式，即可求得的k1+k2值．
【詳細(xì)解析】
9.已知橢圓C：+=1（a＞b＞1）的左焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)y2=﹣4x的焦點(diǎn)重合，直線(xiàn)x﹣y+=0與以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切．
（1）求該橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為G，AB的垂直平分線(xiàn)與x軸和y軸分別交于D、E兩點(diǎn)，記△GFD的面積為S1，△OED的面積為S2，問(wèn)：是否存在直線(xiàn)AB，使得S1=S2，若存在，求直線(xiàn)AB的方程，若不存在，說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）通過(guò)拋物線(xiàn)方程可知c=1，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可知e==，結(jié)合a、b、c三者之間的關(guān)系可求出a=2、b=1，進(jìn)而可得橢圓C的方程；
（2）通過(guò)假設(shè)存在直線(xiàn)AB使得S1=S2，則可設(shè)其方程為：y=k（x+1）（k≠0），并與橢圓C方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得G（，），利用DG⊥AB可得D（，0），結(jié)合△GFD～△OED可得=，聯(lián)立S1=S2整理得8k2+9=0，由于此方程無(wú)解推出假設(shè)不成立．
【詳細(xì)解析】
10.在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P為橢圓C1上任意一點(diǎn)，|PF1|2+|PF2|2的最小值為8．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)橢圓C2：為橢圓C2上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線(xiàn)交橢圓C1于A，B兩點(diǎn)，且Q為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，過(guò)O，Q兩點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓C1于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
（i）求證：直線(xiàn)AB的方程為x0x+2y0y=2；
（ii）當(dāng)Q在橢圓C2上移動(dòng)時(shí)，四邊形AEBF的面積是否為定值？若是，求出該定值；不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓的離心率為、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P為橢圓C1上任意一點(diǎn)，|PF1|2+|PF2|2的最小值為8，列出方程，求出a，b，由此能求出橢圓C1的方程為+．
（2）（i）由（1）知橢圓C2：=1，Q（x0，y0）為橢圓E上一點(diǎn)，=1，利用點(diǎn)差法求出直線(xiàn)AB的方程為x0x+2y0y=2，由此能求出直線(xiàn)AB的方程．
（ii）聯(lián)立直線(xiàn)EF與橢圓C1的方程，得E（，），F(xiàn)（﹣，﹣），聯(lián)立直線(xiàn)AB與橢圓C1的方程，得：，利用韋達(dá)定理求出|AB|=，點(diǎn)E（）、F（﹣）到直線(xiàn)AB的距離為d1，d2，﹣﹣由此能求出當(dāng)Q在橢圓C2上移動(dòng)時(shí)，四邊形AEBF的面積為定值4．
【詳細(xì)解析】
11.已知橢圓C：+=1 （a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，過(guò)上頂點(diǎn)E和右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與圓M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（1，0），且與橢圓C交于點(diǎn)A，B，則在x軸上是否存在一點(diǎn)T（t，0）（t≠0），使得不論直線(xiàn)l的斜率如何變化，總有∠OTA=∠OTB （其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出 t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）由已知可得：b=1，結(jié)合直線(xiàn)與圓M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．進(jìn)而可得c2=3，a2=4，即得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)T（4，0），使得不論直線(xiàn)l的斜率如何變化，總有∠OTA=∠OTB，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，結(jié)合∠OTA=∠OTB 時(shí)，直線(xiàn)TA，TB的斜率k1，k2和為0，可證得結(jié)論．
【詳細(xì)解析】
12.已知A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線(xiàn)C：x2=2py（p＞0）上不同兩點(diǎn)．
（1）設(shè)直線(xiàn)l：y=與y軸交于點(diǎn)M，若A，B兩點(diǎn)所在的直線(xiàn)方程為y=x﹣1，且直線(xiàn)l：y=恰好平分∠AFB，求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）若直線(xiàn)AB與x軸交于點(diǎn)P，與y軸的正半軸交于點(diǎn)Q，且y1y2=，是否存在直線(xiàn)AB，使得+=？若存在，求出直線(xiàn)AB的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，），由，消去y整理得x2﹣2px+2p=0，直線(xiàn)y=平分∠AFB，可得kAM+kBM=0，利用韋達(dá)定理求得p，即可
（2）由題意知，直線(xiàn)AB的斜率存在，且不為零，
設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：y=kx+b （k≠0，b＞0），
由，得x2﹣2pkx﹣2pb=0，∴，
由已知可得b=．直線(xiàn)AB的方程為：y=kx+．
作AA′⊥x軸，BB′⊥x軸，垂足為A′，B′，
+=+=，得k，
【詳細(xì)解析】
【題型綜述】
探究代數(shù)表達(dá)式包括以下若干類(lèi)型：（1）參數(shù)值的探索，根據(jù)題中的條件將參數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)的坐標(biāo)的方程或函數(shù)問(wèn)題，若利用設(shè)而不求思想與韋達(dá)定理即可求出參數(shù)的值即存在，否則不存在
(2)等式恒成立問(wèn)題，根據(jù)題中條件和有關(guān)向量、距離公式、平面幾何知識(shí)等方法，轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)的坐標(biāo)的方程或函數(shù)問(wèn)題，若利用設(shè)而不求思想與韋達(dá)定理即可求出參數(shù)的值即存在。
【典例指引】
類(lèi)型一參數(shù)值的探究
例1 【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿(mǎn)分13分）
已知橢圓E：的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.
（Ⅰ）求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)l’平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線(xiàn)l交于點(diǎn)P．證明：存在常數(shù)，使得，并求的值.
方程 = 2 \* GB3 ②的判別式為，由，解得.
由 = 2 \* GB3 ②得.
所以，
同理，
所以
.
故存在常數(shù)，使得.
類(lèi)型二恒等式成立探究
例2. 【2015高考四川，理20】如圖，橢圓E：的離心率是，過(guò)點(diǎn)P（0,1）的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)平行與軸時(shí)，直線(xiàn)被橢圓E截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為.
(1)求橢圓E的方程；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
（2）當(dāng)直線(xiàn)與軸平行時(shí)，設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).
如果存在定點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件，則，即.
所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.
當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于M、N兩點(diǎn).
則，
由，有，解得或.
所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為.
下面證明：對(duì)任意的直線(xiàn)，均有.
當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立.
當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，A、B的坐標(biāo)分別為.
聯(lián)立得.
其判別式，類(lèi)型三面積最小值存在性
例3【2015高考湖北，文22】一種畫(huà)橢圓的工具如圖1所示．是滑槽的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞轉(zhuǎn)動(dòng)，M處的筆尖畫(huà)出的橢圓記為C．以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與兩定直線(xiàn)和分別交于兩點(diǎn)．若直線(xiàn)總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說(shuō)明理由．
. ②
將①代入②得，. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)時(shí)，的最小值為8.
綜合（1）（2）可知，當(dāng)直線(xiàn)與橢圓在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，的面積取得最小值8.
類(lèi)型四面積關(guān)系探究
例4.（2011湖南理21）如圖7,橢圓的離心率為eq \f(\r(3),2),軸被曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)等于的長(zhǎng)半軸長(zhǎng).
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)設(shè)與軸的交點(diǎn)為,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于點(diǎn),直線(xiàn)分別與相交于點(diǎn).
(ⅰ)求證:;
(ⅱ)記的面積分別為.問(wèn):是否存在直線(xiàn),使得?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【擴(kuò)展鏈接】
為橢圓的其中一個(gè)焦點(diǎn)，若是橢圓上一點(diǎn)，則.
為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，若是雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，則，若是雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn)，則，.
為橢圓的左焦點(diǎn)，是過(guò)左焦點(diǎn)傾斜角為的弦，點(diǎn)在軸上方，則,,,.
為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，是過(guò)左焦點(diǎn)傾斜角為的弦，點(diǎn)在軸上方，則，,,.
【新題展示】
1．【2019四川二診】已知，橢圓C過(guò)點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線(xiàn)AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，直線(xiàn)EF的斜率為，直線(xiàn)l與橢圓C相切于點(diǎn)A，斜率為．
求橢圓C的方程；
求的值．
【思路引導(dǎo)】
可設(shè)橢圓C的方程為，由題意可得，由橢圓的定義計(jì)算可得，進(jìn)而得到b，即可得到所求橢圓方程；
設(shè)直線(xiàn)AE：，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理可得E的坐標(biāo)，由題意可將k換為，可得F的坐標(biāo)，由直線(xiàn)的斜率公式計(jì)算可得直線(xiàn)EF的斜率，設(shè)出直線(xiàn)l的方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用直線(xiàn)和橢圓相切的條件：判別式為0，可得直線(xiàn)l的斜率，進(jìn)而得到所求斜率之和．
【解析】
由題意可設(shè)橢圓C的方程為，
且，，
即有，，
所以橢圓的方程為；
設(shè)直線(xiàn)AE：，代入橢圓方程可得
，
可得，即有，，
由直線(xiàn)AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，可將k換為，
可得，，
則直線(xiàn)EF的斜率為，
設(shè)直線(xiàn)l的方程為，代入橢圓方程可得：
，
由直線(xiàn)l與橢圓C相切，可得，
化簡(jiǎn)可得，解得，
則．
2．【2019河南新鄉(xiāng)二?！吭O(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知橢圓的焦距為，直線(xiàn)的斜率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)（）與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限．與延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，若的面積是面積的倍，求的值．
【思路引導(dǎo)】
（1）利用橢圓的焦距和的斜率列方程組，解方程組求得的值，由此求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用“的面積是面積的倍”得到，轉(zhuǎn)化為向量，并用坐標(biāo)表示出來(lái)，求得兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式．聯(lián)立直線(xiàn)的方程和直線(xiàn)的方程，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)；聯(lián)立橢圓的方程和直線(xiàn)的方程，求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)上述求得的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式列方程，解方程求得的可能取值，驗(yàn)證點(diǎn)橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)后得到的值．
【解析】
（1）設(shè)橢圓的焦距為，由已知得，所以，，
所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)點(diǎn)，，由題意，且，
由的面積是面積的倍，可得，
所以，從而，
所以，即．
易知直線(xiàn)的方程為，由，消去，可得．
由方程組，消去，可得．
由，可得，
整理得，解得或．
當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去．
綜上，的值為．
3．【2019陜西漢中3月聯(lián)考】順次連接橢圓：的四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長(zhǎng)為且面積為的菱形．
（1）求橢圓的方程；
（2），是橢圓上的兩個(gè)不同點(diǎn)，若直線(xiàn)，的斜率之積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），線(xiàn)段上有一點(diǎn)滿(mǎn)足，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，求的值．
【思路引導(dǎo)】
（1）由菱形的面積公式可得2ab＝2，由勾股定理可得a2+b2＝3，解方程即可得到所求橢圓方程；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），N（x3，y3），由向量的坐標(biāo)表示和點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓方程，結(jié)合直線(xiàn)的斜率公式，化簡(jiǎn)變形，即可得到所求值．
【解析】
（1）由題可知，，解得，．
所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)，，，，
∵，∴，
∴，．
又∵，∴，
即，．
∵點(diǎn)在橢圓上，∴，
即．
∵，在橢圓上，∴，① ．②
又直線(xiàn)，斜率之積為，∴，即，③
將①②③代入得，解得．
4．【2019東北三省三校一?！恳阎獧E圓：的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上異于的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為，若動(dòng)點(diǎn)與的連線(xiàn)斜率分別為，且，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)的方程；
（2）已知點(diǎn)，直線(xiàn)與分別與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，若，求的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
(1)由題意設(shè) ，，再表示出得出．然后求得結(jié)果．
(2) 由題求出直線(xiàn)的方程為：，直線(xiàn)的方程為：，然后分別與曲線(xiàn)聯(lián)立，求得點(diǎn)E、F的縱坐標(biāo)，然后再代入面積公式表示出再利用函數(shù)的單調(diào)性求得范圍．
【解析】
（1）設(shè) ，則，
因?yàn)?，則

所以，
整理得．
所以，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的方程為．
（2）設(shè)．由題意知，
直線(xiàn)的方程為：，直線(xiàn)的方程為：．
由（Ⅰ）知，曲線(xiàn)的方程為，
聯(lián)立，消去，得，得
聯(lián)立，消去，得，得

設(shè) 則在上遞增
又，[來(lái)源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K]
的取值范圍為
5．【2019安徽江南十校3月檢測(cè)】已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為．
（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，連接，與拋物線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率記為，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得成立，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程與準(zhǔn)線(xiàn)的關(guān)系，可直接求得；（2）假設(shè)存在，通過(guò)假設(shè)四點(diǎn)坐標(biāo)，可以表示出和，然后利用韋達(dá)定理求解出．
【解析】
（1）由準(zhǔn)線(xiàn)方程可知：
（2）設(shè)，，，（互不相等）
則，同理
三點(diǎn)共線(xiàn)
即
同理

將拋物線(xiàn)與直線(xiàn)聯(lián)立得：
由韋達(dá)定理：
6．【2019安徽六校聯(lián)考】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，直線(xiàn)：與橢圓交于，四邊形的面積為．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）作與平行的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為，若的斜率分別為，求的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和四邊形的面積求法，以及橢圓中的關(guān)系，列出對(duì)應(yīng)的方程組，即可求得結(jié)果；
（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式大于零，得出范圍，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到（），根據(jù)的范圍求得結(jié)果．
【解析】
由（1）可得
，
，帶入得
，橢圓方程為
（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為
由，得
，得，
設(shè)，則
（）
7．【2019安徽黃山一?！恳阎c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為．直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為．
（Ⅰ）求直線(xiàn)的方程．
（Ⅱ）點(diǎn)是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
【思路引導(dǎo)】
(Ⅰ)由點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，得到，可以求出，即可得到拋物線(xiàn)的方程，然后利用點(diǎn)差法，根據(jù)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為，可以求出斜率，從而得到直線(xiàn)方程；（Ⅱ）都在直線(xiàn)上，設(shè)，設(shè)，可以表示出，然后將直線(xiàn)與拋物線(xiàn)聯(lián)立，可以得到關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合的表達(dá)式，可以求出最小值。
【解析】
（Ⅰ）拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，拋物線(xiàn)方程為
設(shè)，
直線(xiàn)的方程為即
（Ⅱ）都在直線(xiàn)上，則，設(shè)
又
當(dāng)時(shí)，的最小值為
8．【2019湖南株洲統(tǒng)一檢測(cè)（一)】已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且軸，的周長(zhǎng)為6．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得恒成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路引導(dǎo)】
（Ⅰ）由三角形周長(zhǎng)可得，求出，再根據(jù)即可寫(xiě)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（Ⅱ）假設(shè)存在常數(shù)滿(mǎn)足條件，分兩類(lèi)討論（1）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，寫(xiě)出A，B坐標(biāo)，代入可得（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入中化簡(jiǎn)即可求出．
【解析】
（Ⅰ）由題意，，，
∵的周長(zhǎng)為6，∴
∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（Ⅱ）假設(shè)存在常數(shù)滿(mǎn)足條件．
（1）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，，，[來(lái)源:學(xué).科.網(wǎng)]
∴ ，
∴當(dāng)時(shí)，；
（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，，
聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，
∴，．
∴

∴，解得：即時(shí)，；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，．
【同步訓(xùn)練】
1．已知A為橢圓=1（a＞b＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB，AC分別過(guò)左右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且當(dāng)線(xiàn)段AF1的中點(diǎn)在y軸上時(shí)，cs∠F1AF2=．
（1）求該橢圓的離心率；
（2）設(shè)，試判斷λ1+λ2是否為定值？若是定值，求出該定值，并給出證明；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）當(dāng)線(xiàn)段AF1的中點(diǎn)在y軸上時(shí)，AC垂直于x軸，△AF1F2為直角三角形．運(yùn)用余弦函數(shù)的定義可得|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，再由橢圓的定義，結(jié)合離心率公式即可得到所求值；
（2）由（1）得橢圓方程為x2+2y2=2b2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（﹣b，0），F(xiàn)2（b，0），（1）當(dāng)AB，AC的斜率都存在時(shí)，設(shè)A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），求得直線(xiàn)AC的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由向量共線(xiàn)定理，可得λ1+λ2為定值6；若AC⊥x軸，若AB⊥x軸，計(jì)算即可得到所求定值．
同理λ1=，可得λ1+λ2=6；
②若AC⊥x軸，則λ2=1，λ1==5，這時(shí)λ1+λ2=6；
若AB⊥x軸，則λ1=1，λ2=5，這時(shí)也有λ1+λ2=6；
綜上所述，λ1+λ2是定值6．
2.（2017?邯鄲二模）已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分別是橢圓G：+=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2，）是橢圓G上一點(diǎn)，且|PF1|﹣|PF2|=a．
（1）求橢圓G的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn)，若⊥，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷O到直線(xiàn)l的距離是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)橢圓的定義，求得丨PF1丨=a=3|PF2|，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，即可求得c的值，則求得a的值，b2=a2﹣c2=4，即可求得橢圓方程；
（2）當(dāng)直線(xiàn)l⊥x軸，將直線(xiàn)x=m代入橢圓方程，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得m的值，求得O到直線(xiàn)l的距離；當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，即可求得O到直線(xiàn)l的距離為定值．
②當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+n，
則，消去y整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8=0，
x1+x2=﹣，x1x2=，
則y1y2=（kx1+n）（kx2+n）=k2x1x2+kn（x1+x2）+n2=，
由⊥，
∴x1x2+y1y2=0，故+=0，
整理得：3n2﹣8k2﹣8=0，即3n2=8k2+8，①
則原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離d=，
∴d2=（）2==，②
將①代入②，則d2==，
∴d=，
綜上可知：點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為定值．
3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的離心率為，直線(xiàn)y=x被橢圓C截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓C交于兩點(diǎn)（A，B不是橢圓C的頂點(diǎn)），點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線(xiàn)BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)．設(shè)直線(xiàn)BD，AM斜率分別為k1，k2，證明存在常數(shù)λ使得k1=λk2，并求出λ的值．
【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓離心率得到a，b的關(guān)系，化簡(jiǎn)橢圓方程，和直線(xiàn)方程聯(lián)立后求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把弦長(zhǎng)用交點(diǎn)橫坐標(biāo)表示，則a的值可求，進(jìn)一步得到b的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出A，D的坐標(biāo)分別為（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐標(biāo)表示B的坐標(biāo)，把AB和AD的斜率都用A的坐標(biāo)表示，寫(xiě)出直線(xiàn)AD的方程，和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系得到AD橫縱坐標(biāo)的和，求出AD中點(diǎn)坐標(biāo)，則BD斜率可求，再寫(xiě)出BD所在直線(xiàn)方程，取y=0得到M點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)求斜率得到AM的斜率，由兩直線(xiàn)斜率的關(guān)系得到λ的值．

4.已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，離心率，且橢圓過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）橢圓左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線(xiàn)l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，則△F1AB的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線(xiàn)方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)橢圓方程，由題意列關(guān)于a，b，c的方程組求解a，b，c的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），不妨設(shè)y1＞0，y2＜0，設(shè)△F1AB的內(nèi)切圓的徑R，則△F1AB的周長(zhǎng)=4a=8，=（|AB|+|F1A|+|F1B|）R=4R，因此最大，R就最大．設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立，從而可表示△F1AB的面積，利用換元法，借助于導(dǎo)數(shù)，即可求得結(jié)論．
由題知，直線(xiàn)l的斜率不為零，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my+1，
由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，
．
則=，
令，則m2=t2﹣1，
∴=，
令f（t）=3t+，則f′（t）=3﹣，
當(dāng)t≥1時(shí)，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，有f（t）≥f（1）=4，≤3，
即當(dāng)t=1，m=0時(shí)，≤3，
由=4R，得Rmax=，這時(shí)所求內(nèi)切圓面積的最大值為．
故直線(xiàn)l：x=1，△F1AB內(nèi)切圓面積的最大值為．
5.已知橢圓C：+=1（a＞0，b＞0）的離心率為，右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，且△AOF的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)M在以橢圓C的短軸為直徑的圓上，且M在第一象限，過(guò)M作此圓的切線(xiàn)交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．試問(wèn)△PFQ的周長(zhǎng)是否為定值？若是，求此定值；若不是，說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，且△AOF的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），列出方程組，求出a=，b=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），，連結(jié)OM，OP，求出|PF|+|PM|=|QF|+|QM|=，從而求出△PFQ的周長(zhǎng)為定值2．
6.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，聯(lián)接橢圓四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）A、B是橢圓的左右頂點(diǎn)，P（xP，yP）是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓在P點(diǎn)處的切線(xiàn)與過(guò)A、B且與x軸垂直的直線(xiàn)分別交于C、D兩點(diǎn)，直線(xiàn)AD、BC交于Q（xQ，yQ），是否存在實(shí)數(shù)λ，使xP=λxQ恒成立，并說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，聯(lián)接橢圓四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為2，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)切線(xiàn)方程為y=kx+m，與橢圓聯(lián)立消元得（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線(xiàn)方程，組合已知條件能求出存在λ=1，使xP=λxQ恒成立．

7.已知橢圓C：=1，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M（﹣1，0），與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)N．
（1）設(shè)MN的中點(diǎn)恰在橢圓C上，求直線(xiàn)l的方程；
（2）設(shè)=λ，=μ，試探究λ+μ是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)點(diǎn)N（0，n），表示出MN中點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求得n值，從而可得直線(xiàn)方程；
（2）直線(xiàn)AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)方程為x=ty﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（﹣1，0），N（0，﹣），聯(lián)立，消x可得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9=0，利用韋達(dá)定理，以及向量共線(xiàn)的坐標(biāo)可得λ=﹣1﹣，同理可得μ=﹣1﹣，然后化簡(jiǎn)即可．
8.已知離心率為的橢圓C：+=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)M（2，0），過(guò)點(diǎn)Q（1，0）的直線(xiàn)與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（4，3），記PA，PB的斜率分別為k1，k2
（1）求橢圓C的方程；
（2）探討k1+k2是否為定值？如果是，求出該定值，如果不是，求出k1+k2的取值范圍．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可知a=2c，a=2，則c=1，b2=a2﹣c2=3，
（2）分類(lèi)討論，當(dāng)直線(xiàn)線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線(xiàn)斜率公式，即可求得的k1+k2值．
（2）當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)A（1，），B（1，﹣），
則k1==，k2==，故k1+k2=2，
當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，則直線(xiàn)AB：y=k（x﹣1），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．
由，消去y，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
k1+k2=+=+=，
===2，
綜上可知：k1+k2為定值，定值為2．
9.已知橢圓C：+=1（a＞b＞1）的左焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)y2=﹣4x的焦點(diǎn)重合，直線(xiàn)x﹣y+=0與以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切．
（1）求該橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為G，AB的垂直平分線(xiàn)與x軸和y軸分別交于D、E兩點(diǎn)，記△GFD的面積為S1，△OED的面積為S2，問(wèn)：是否存在直線(xiàn)AB，使得S1=S2，若存在，求直線(xiàn)AB的方程，若不存在，說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）通過(guò)拋物線(xiàn)方程可知c=1，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可知e==，結(jié)合a、b、c三者之間的關(guān)系可求出a=2、b=1，進(jìn)而可得橢圓C的方程；
（2）通過(guò)假設(shè)存在直線(xiàn)AB使得S1=S2，則可設(shè)其方程為：y=k（x+1）（k≠0），并與橢圓C方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得G（，），利用DG⊥AB可得D（，0），結(jié)合△GFD～△OED可得=，聯(lián)立S1=S2整理得8k2+9=0，由于此方程無(wú)解推出假設(shè)不成立．
10.在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P為橢圓C1上任意一點(diǎn)，|PF1|2+|PF2|2的最小值為8．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)橢圓C2：為橢圓C2上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線(xiàn)交橢圓C1于A，B兩點(diǎn)，且Q為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，過(guò)O，Q兩點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓C1于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
（i）求證：直線(xiàn)AB的方程為x0x+2y0y=2；
（ii）當(dāng)Q在橢圓C2上移動(dòng)時(shí)，四邊形AEBF的面積是否為定值？若是，求出該定值；不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓的離心率為、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P為橢圓C1上任意一點(diǎn)，|PF1|2+|PF2|2的最小值為8，列出方程，求出a，b，由此能求出橢圓C1的方程為+．
（2）（i）由（1）知橢圓C2：=1，Q（x0，y0）為橢圓E上一點(diǎn)，=1，利用點(diǎn)差法求出直線(xiàn)AB的方程為x0x+2y0y=2，由此能求出直線(xiàn)AB的方程．
（ii）聯(lián)立直線(xiàn)EF與橢圓C1的方程，得E（，），F(xiàn)（﹣，﹣），聯(lián)立直線(xiàn)AB與橢圓C1的方程，得：，利用韋達(dá)定理求出|AB|=，點(diǎn)E（）、F（﹣）到直線(xiàn)AB的距離為d1，d2，﹣﹣由此能求出當(dāng)Q在橢圓C2上移動(dòng)時(shí)，四邊形AEBF的面積為定值4．
（ii）直線(xiàn)EF的方程為y0x﹣x0y=0，
聯(lián)立直線(xiàn)EF與橢圓C1的方程，
解得E（，），F(xiàn)（﹣，﹣），
聯(lián)立直線(xiàn)AB與橢圓C1的方程，
消去y，得：，
x1+x2=2x0，x1x2=2﹣4y02，
|AB|=?
=?=，
設(shè)點(diǎn)E（）、F（﹣）到直線(xiàn)AB的距離分別為d1，d2，
SAEBF=S△ABE+S△ABF=，
==，
==，
∴SAEBF=?==4．
故當(dāng)Q在橢圓C2上移動(dòng)時(shí)，四邊形AEBF的面積為定值4．
11.已知橢圓C：+=1 （a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2，過(guò)上頂點(diǎn)E和右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與圓M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（1，0），且與橢圓C交于點(diǎn)A，B，則在x軸上是否存在一點(diǎn)T（t，0）（t≠0），使得不論直線(xiàn)l的斜率如何變化，總有∠OTA=∠OTB （其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出 t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）由已知可得：b=1，結(jié)合直線(xiàn)與圓M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．進(jìn)而可得c2=3，a2=4，即得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)T（4，0），使得不論直線(xiàn)l的斜率如何變化，總有∠OTA=∠OTB，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，結(jié)合∠OTA=∠OTB 時(shí)，直線(xiàn)TA，TB的斜率k1，k2和為0，可證得結(jié)論．
即，
解得：c2=3，
則a2=4，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
12.已知A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線(xiàn)C：x2=2py（p＞0）上不同兩點(diǎn)．
（1）設(shè)直線(xiàn)l：y=與y軸交于點(diǎn)M，若A，B兩點(diǎn)所在的直線(xiàn)方程為y=x﹣1，且直線(xiàn)l：y=恰好平分∠AFB，求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）若直線(xiàn)AB與x軸交于點(diǎn)P，與y軸的正半軸交于點(diǎn)Q，且y1y2=，是否存在直線(xiàn)AB，使得+=？若存在，求出直線(xiàn)AB的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，），由，消去y整理得x2﹣2px+2p=0，直線(xiàn)y=平分∠AFB，可得kAM+kBM=0，利用韋達(dá)定理求得p，即可
（2）由題意知，直線(xiàn)AB的斜率存在，且不為零，
設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：y=kx+b （k≠0，b＞0），
由，得x2﹣2pkx﹣2pb=0，∴，
由已知可得b=．直線(xiàn)AB的方程為：y=kx+．
作AA′⊥x軸，BB′⊥x軸，垂足為A′，B′，
+=+=，得k，

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