圓錐曲線的切線問題有兩種處理思路：思路1，導數(shù)法，將圓錐曲線方程化為函數(shù)，利用導數(shù)法求出函數(shù)在點處的切線方程，特別是焦點在軸上常用此法求切線；思路2，根據(jù)題中條件設(shè)出切線方程，將切線方程代入圓錐切線方程，化為關(guān)于（或y）的一元二次方程，利用切線與圓錐曲線相切的充要條件為判別式，即可解出切線方程，注意關(guān)于（或y）的一元二次方程的二次項系數(shù)不為0這一條件，圓錐曲線的切線問題要根據(jù)曲線不同，選擇不同的方法.
【典例指引】[來源:學§科§網(wǎng)Z§X§X§K]
類型一 導數(shù)法求拋物線切線
例1 【2017課表1，文20】設(shè)A，B為曲線C：y=上兩點，A與B的橫坐標之和為4．
（1）求直線AB的斜率；
（2）設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程．
【解析】
類型二 橢圓的切線問題
例2（2014廣東20）（14分）已知橢圓的一個焦點為，離心率為.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若動點為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.
【解析】
類型三 直線與橢圓的一個交點
例3.【2013年高考安徽卷】已知橢圓的焦距為4，且過點.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)為橢圓上一點，過點作軸的垂線，垂足為.取點,連接，過點作的垂線交軸于點.點是點關(guān)于軸的對稱點，作直線，問這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點？并說明理由.
【解析】
類型四 待定系數(shù)求拋物線的切線問題
例4 【2013年高考廣東卷】已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設(shè)為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．
(1) 求拋物線的方程；
(2) 當點為直線上的定點時，求直線的方程；
(3) 當點在直線上移動時，求的最小值．
【解析】
【擴展鏈接】
橢圓的切線方程：橢圓上一點處的切線方程是；橢圓外一點所引兩條切線方程是.
雙曲線的切線方程：雙曲線上一點處的切線方程是；雙曲線上一點所引兩條切線方程是.
拋物線的切線方程：拋物線上一點處的切線方程是；拋物線上一點所引兩條切線方程是.
4.設(shè)拋物線的焦點為，若過點的直線分別與拋物線相切于兩點，則.
5.設(shè)橢圓:的焦點為，若過點的直線分別與橢圓相切于兩點，則.
6.設(shè)雙曲線:的焦點為，若過點的直線分別與橢圓相切于兩點，則.
【新題展示】
1．【2019福建龍巖質(zhì)檢】已知橢圓的兩焦點為、，拋物線：（）的焦點為，為等腰直角三角形．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知過點的直線與拋物線交于兩點，又過作拋物線的切線，使得，問這樣的直線是否存在？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．
【思路引導】
（Ⅰ）先寫出、的坐標，利用為等腰直角三角形，求得p即可．
（Ⅱ）依題意，直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為y＝k（x+2），，可得切線l1，l2的斜率分別為，．x1x2＝﹣4．再將直線與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達定理解得k即可．
2．【2019河南九師聯(lián)盟2月質(zhì)檢】已知點是拋物線：的焦點，點是拋物線上的定點，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）直線與拋物線交于不同兩點，，且（為常數(shù)），直線與平行，且與拋物線相切，切點為，試問的面積是否是定值．若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．
【思路引導】
（1）先設(shè)出點M的坐標，表示出，求得M坐標，帶入拋物線方程，求得p的值，得出結(jié)果．
（2）先設(shè)直線AB的方程，聯(lián)立求解得AB中點Q的坐標為，再設(shè)切線方程，聯(lián)立得切點的坐標為，再利用面積公式和已知條件，進行計算化簡可得結(jié)果．
3．【2019東北師大附中、重慶一中、吉大附中、長春十一中聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，右焦點為，且橢圓過點．
（I）求橢圓的方程；
（II）若點分別為橢圓的左右頂點，點是橢圓上不同于的動點，直線與直線x=a交于點，證明：以線段為直徑的圓與直線相切．
【思路引導】
（I）設(shè)橢圓的焦距為，依題意，列出方程組，求得的值，即可求解橢圓的標準方程；
（II）方法一 ①設(shè)點的坐標為，當時，得到直線的方程，求得點的坐標， 進而求得線段的中點為，利用點到直線的距離等于半徑，即可證明；②又由可得點Q的坐標，求得線段中點的坐標，利用圓心到直線的距離等于半徑，可作出證明．
方法二：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得點P的坐標，進而求得以為直徑的圓的圓心坐標為，半徑為，再由直線與圓的位置關(guān)系的判定，即可得到結(jié)論．
4．【2019河南洛陽一?！恳阎獔A，圓心在拋物線上，圓過原點且與的準線相切．
（1）求拋物線的方程；
（2）點，點（與不重合）在直線上運動，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，求證：．
【思路引導】
(1)根據(jù)圓和拋物線的位置關(guān)系，以及圓和準線相切這一條件得到方程，，從而得到結(jié)果；（2）求出兩條切線方程，再抽出方程，其兩根為切點的橫坐標，，通過韋達定理得到結(jié)果即可．
5．【2019江蘇如皋調(diào)研（三)】在平面直角坐標系中，已知定點，點在軸上運動，點在軸上運動，點為坐標平面內(nèi)的動點，且滿足，．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過曲線第一象限上一點（其中）作切線交直線于點，連結(jié)并延長交直線于點，求當面積取最大值時切點的橫坐標．
【思路引導】
（1）設(shè)，，．因為，，所以，，，得．
（2）切線：，將代入得，直線：，將代入得，
所以，由，得，
設(shè)，求取最小值時，的取值即為所求
【同步訓練】
1．已知橢圓與拋物線y2=2px（p＞0）共焦點F2，拋物線上的點M到y(tǒng)軸的距離等于|MF2|﹣1，且橢圓與拋物線的交點Q滿足|QF2|=．
（1）求拋物線的方程和橢圓的方程；
（2）過拋物線上的點P作拋物線的切線y=kx+m交橢圓于A、B兩點，求此切線在x軸上的截距的取值范圍．
【思路點撥】（1）由拋物線的性質(zhì)，求得x=﹣1是拋物線y2=2px的準線，則，求得p的值，求得焦點坐標，代入拋物線方程求得Q點坐標，利用橢圓的定義，即可求得a的值，由b2=a2﹣c2=8，即可求得橢圓方程；
（2）將直線分別代入拋物線，由△=0，求得km=1，將直線方程代入橢圓方程，求得△＞0，代入即可求得m的取值范圍，切線在x軸上的截距為，又，即可求得切線在x軸上的截距的取值范圍．
【詳細解析】
2.（2017?雞澤縣校級模擬）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，其中一個頂點是雙曲線﹣=1的焦點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點P（0，3）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B，過點A，B分別作橢圓的兩條切線，求其交點的軌跡方程．
【思路點撥】（1）由橢圓的離心率為，其中一個頂點是雙曲線﹣=1的焦點，旬出方程組求出a，b，c，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+3，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），求出橢圓在點A處的切線方程為=1，①橢圓在點B處的切線方程為=1，②，聯(lián)立①②，得y=，求出交點的軌跡方程為y=．當直線l的斜率不存在時，無交點．由此能過求出過點A，B所作橢圓的兩條切線的交點的軌跡方程．
【詳細解析】
3.設(shè)橢圓C：+=1（a＞b＞0），定義橢圓的“伴隨圓”方程為x2+y2=a2+b2；若拋物線x2=4y的焦點與橢圓C的一個短軸重合，且橢圓C的離心率為．
（1）求橢圓C的方程和“伴隨圓”E的方程；
（2）過“伴隨圓”E上任意一點P作橢圓C的兩條切線PA，PB，A，B為切點，延長PA與“伴隨圓”E交于點Q，O為坐標原點．
①證明：PA⊥PB；
②若直線OP，OQ的斜率存在，設(shè)其分別為k1，k2，試判斷k1k2是否為定值，若是，求出該值；若不是，請說明理由．
【思路點撥】（1）由拋物線的方程，求得b的值，利用離心率公式，即可求得a的值，求得橢圓方程；
（2）①設(shè)直線y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式，即可求得kPA?kPB=﹣1，即可證明PA⊥PB；
②將直線方程代入圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式求得k1k2=，代入即可求得k1k2=﹣．
【詳細解析】
4.左、右焦點分別為F1、F2的橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點Q（0，），P為橢圓上一點，△PF1F2的重心為G，內(nèi)心為I，IG∥F1F2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）M為直線x﹣y=4上一點，過點M作橢圓C的兩條切線MA、MB，A、B為切點，問直線AB是否過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由．
【思路點撥】（1）由過點Q，則b=，求得，△PF1F2的重心為G點坐標，由IG∥F1F2，|y0|=3r，根據(jù)三角形的面積公式可知a=2c，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）利用橢圓的切線發(fā)濃縮，求得直線AB的方程，由點M為直線x﹣y=4上，代入整理即可求得定點坐標．
【詳細解析】
5.平面直角坐標系xy中，橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的離心率為，過橢圓右焦點F作兩條相互垂直的弦，當其中一條弦所在直線斜率為0時，兩弦長之和為6．
（1）求橢圓的方程；
（2）A，B是拋物線C2：x2=4y上兩點，且A，B處的切線相互垂直，直線AB與橢圓C1相交于C，D兩點，求弦|CD|的最大值．
【思路點撥】（1）由橢圓的離心率為，過橢圓右焦點F作兩條相互垂直的弦，當其中一條弦所在直線斜率為0時，兩弦長之和為6，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線AB為：y=kx+m，由，得x2﹣4kx﹣4m=0，由此利用韋達定理、直線垂直推導出直線AB過拋物線C1的焦點F，再由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，由此利用弦長公式能求出弦|CD|的最大值．
【詳細解析】
6.已知橢圓C：（a＞b＞0）的上、下兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于M，N兩點，且△MNF2的周長為8，橢圓C的離心率為．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知O為坐標原點，直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點，點M'，N'是直線l上的兩點，且F1M'⊥l，F(xiàn)2N'⊥l，求四邊形F1M'N'F2面積S的最大值．
【思路點撥】（1）由△MNF2的周長為8，求出a=2，再由，求出b，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）將直線l的方程y=kx+m代入到橢圓方程中，得（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0．由直線與橢圓僅有一個公共點，利用根的判別式求出m2=4+k2．由此利用弦長公式，結(jié)合已知條件能求出四邊形F1M'N'F2面積的最大值．
【詳細解析】
7.已知A，B分別是橢圓 的長軸與短軸的一個端點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點，D橢圓上的一點，△DF1，F(xiàn)2的周長為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P是圓x2+y2=7上任一點，過點作P橢圓C的切線，切點分別為M，N，求證：PM⊥PN．
【思路點撥】（1）由2a+2c=6，，b2+c2=a2，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）分類討論，當切線PM斜率不存在或者為零時，根據(jù)對稱性即可求得PM⊥PN；當斜率不為零時，分別求得直線PM，PN的方程，由△=0即可求得k1，k2是方程的兩個根，則，則PM⊥PN．
【詳細解析】
8.已知圓M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=9，M在拋物線C：x2=2py（p＞0）上，圓M過原點且與C的準線相切．
（Ⅰ） 求C的方程；
（Ⅱ） 點Q（0，﹣t）（t＞0），點P（與Q不重合）在直線l：y=﹣t上運動，過點P作C的兩條切線，切點分別為A，B．求證：∠AQO=∠BQO（其中O為坐標原點）．
【思路點撥】（1）由圓M與拋物線準線相切，得，
且圓過又圓過原點，故，可得，解得p=4，即可
（2） 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，﹣t），
可得，，即x1，x2為方程x2﹣2mx﹣4t=0的兩根，所以x1+x2=2m，x1x2=﹣4t，可得，化簡=．可證得∠AQO=∠BQO．
【詳細解析】
9.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的長軸長為4，離心率為，右焦點為F．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C相切于點P（不為橢圓C的左、右頂點），直線l與直線x=2交于點A，直線l與直線x=﹣2交于點B，請問∠AFB是否為定值？若不是，請說明理由；若是，請證明．
【思路點撥】（1）由2a=4，離心率e==，b=即可求得a和b，即可求得橢圓C的方程；
（2）l的斜率為0時，∠AFB為直角，則∠AFB為定值，當斜率不為0時，將切點代入橢圓方程，求得交點坐標，求得AF和BF的斜率kAF及kBF，即可求得kAF?kBF=﹣1，即可求得∠AFB為定值．
【詳細解析】
10.已知過拋物線x2=4y的焦點F的直線l與拋物線相交于A、B兩點．
（1）設(shè)拋物線在A、B處的切線的交點為M，若點M的橫坐標為2，求△ABM的外接圓方程．
（2）若直線l與橢圓+=1的交點為C，D，問是否存在這樣的直線l使|AF|?|CF|=|BF|?|DF|，若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．
【思路點撥】（1）設(shè)，直線AB：，從而得到過A，B，M的圓是以AB為直徑的圓，由此結(jié)合已知條件能求出圓的方程．
（2）設(shè)，由此利用韋達定理，結(jié)合已知條件能求出滿足條件的直線方程．
【詳細解析】
11.在平面直角坐標系中，已知點F（1，0），直線l：x=﹣1，動直線l′垂直l于點H，線段HF的垂直平分線交l′于點P，設(shè)點P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）以曲線C上的點P（x0，y0）（y0＞0）為切點作曲線C的切線l1，設(shè)l1分別與x，y軸交于A，B兩點，且l1恰與以定點M（a，0）（a＞2）為圓心的圓相切，當圓M的面積最小時，求△ABF與△PAM面積的比．
【思路點撥】（1）由丨PH丨=丨PF丨，根據(jù)拋物線的定義，點P的軌跡是以l為準線，F(xiàn)為焦點的拋物線，即可求得拋物線方程；
（2）由y＞0時，求導，求得切線斜率，利用點斜式方程即可求得切線方程，取得A和B點坐標，利用點到直線的距離公式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，當P（a﹣2，2）時，滿足題意的圓M的面積最小，求得A和B點坐標，利用三角形的面積公式即可求得△ABF與△PAM面積的比．
【詳細解析】
12.在平面直角坐標系中，已知橢圓：（）的左焦點為，且點在上.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線同時與橢圓和拋物線：相切，求直線的方程.
【思路點撥】（1）因為橢圓C1的左焦點為F1（﹣1，0），所以c=1，點P（0，1）代入橢圓，得b=1，由此能求出橢圓C1的方程；（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因為直線l與橢圓C1相切，所以△=0，得到兩個變量的等量關(guān)系．再由直線和拋物線相切，聯(lián)立方程，運用判別式為0，再構(gòu)造兩個變量的等量關(guān)系，從而解出兩個變量的值，由此能求出直線l的方程．
【詳細解析】
【題型綜述】
圓錐曲線的切線問題有兩種處理思路：思路1，導數(shù)法，將圓錐曲線方程化為函數(shù)，利用導數(shù)法求出函數(shù)在點處的切線方程，特別是焦點在軸上常用此法求切線；思路2，根據(jù)題中條件設(shè)出切線方程，將切線方程代入圓錐切線方程，化為關(guān)于（或y）的一元二次方程，利用切線與圓錐曲線相切的充要條件為判別式，即可解出切線方程，注意關(guān)于（或y）的一元二次方程的二次項系數(shù)不為0這一條件，圓錐曲線的切線問題要根據(jù)曲線不同，選擇不同的方法.
【典例指引】
類型一 導數(shù)法求拋物線切線
例1 【2017課表1，文20】設(shè)A，B為曲線C：y=上兩點，A與B的橫坐標之和為4．
（1）求直線AB的斜率；
（2）設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程．
類型二 橢圓的切線問題
例2（2014廣東20）（14分）已知橢圓的一個焦點為，離心率為.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若動點為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.
類型三 直線與橢圓的一個交點
例3.【2013年高考安徽卷】已知橢圓的焦距為4，且過點.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)為橢圓上一點，過點作軸的垂線，垂足為.取點,連接，過點作的垂線交軸于點.點是點關(guān)于軸的對稱點，作直線，問這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點？并說明理由.
【解析】（1）因為橢圓過點
且
橢圓C的方程是
（2）
由題意，各點的坐標如上圖所示，
則的直線方程：
化簡得
又，
所以帶入
求得最后
所以直線與橢圓只有一個公共點.
類型四 待定系數(shù)求拋物線的切線問題
例4 【2013年高考廣東卷】已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設(shè)為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．
(1) 求拋物線的方程；
(2) 當點為直線上的定點時，求直線的方程；
(3) 當點在直線上移動時，求的最小值．
（3）由拋物線的定義可知，
所以
聯(lián)立，消去得，

當時，取得最小值為
【擴展鏈接】
橢圓的切線方程：橢圓上一點處的切線方程是；橢圓外一點所引兩條切線方程是.
雙曲線的切線方程：雙曲線上一點處的切線方程是；雙曲線上一點所引兩條切線方程是.
拋物線的切線方程：拋物線上一點處的切線方程是；拋物線上一點所引兩條切線方程是.
4.設(shè)拋物線的焦點為，若過點的直線分別與拋物線相切于兩點，則.
5.設(shè)橢圓:的焦點為，若過點的直線分別與橢圓相切于兩點，則.
6.設(shè)雙曲線:的焦點為，若過點的直線分別與橢圓相切于兩點，則.
【新題展示】
1．【2019福建龍巖質(zhì)檢】已知橢圓的兩焦點為、，拋物線：（）的焦點為，為等腰直角三角形．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知過點的直線與拋物線交于兩點，又過作拋物線的切線，使得，問這樣的直線是否存在？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．
【思路引導】
（Ⅰ）先寫出、的坐標，利用為等腰直角三角形，求得p即可．
（Ⅱ）依題意，直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為y＝k（x+2），，可得切線l1，l2的斜率分別為，．x1x2＝﹣4．再將直線與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達定理解得k即可．
【解析】
（Ⅰ）橢圓，，兩焦點為，，
∵為等腰直角三角形，，，
（Ⅱ）過點的直線與拋物線交于兩點，的斜率必存在，
設(shè)直線的方程為，
由得
，或
拋物線方程得為所以
切線的斜率分別為，
當時，，即
又，解得合題意，
所以存在直線的方程是，即
2．【2019河南九師聯(lián)盟2月質(zhì)檢】已知點是拋物線：的焦點，點是拋物線上的定點，且．
（1）求拋物線的方程；
（2）直線與拋物線交于不同兩點，，且（為常數(shù)），直線與平行，且與拋物線相切，切點為，試問的面積是否是定值．若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．
【思路引導】
（1）先設(shè)出點M的坐標，表示出，求得M坐標，帶入拋物線方程，求得p的值，得出結(jié)果．
（2）先設(shè)直線AB的方程，聯(lián)立求解得AB中點Q的坐標為，再設(shè)切線方程，聯(lián)立得切點的坐標為，再利用面積公式和已知條件，進行計算化簡可得結(jié)果．
【解析】
（1）設(shè)，由題知，所以．
所以，即．
代入中得，解得．
所以拋物線的方程為．
（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)其方程為．
由，消去，整理得，
則，．
∴，
設(shè)的中點為，
則點的坐標為．
由條件設(shè)切線方程為，
由，消去整理得．
∵直線與拋物線相切，
∴．
∴．
∴，∴，∴．
∴切點的坐標為．
∴軸，∴．
∵，
又∵．
∴．
∴ ．
∵為常數(shù)，∴的面積為定值，且定值為．
3．【2019東北師大附中、重慶一中、吉大附中、長春十一中聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，右焦點為，且橢圓過點．
（I）求橢圓的方程；
（II）若點分別為橢圓的左右頂點，點是橢圓上不同于的動點，直線與直線x=a交于點，證明：以線段為直徑的圓與直線相切．
【思路引導】
（I）設(shè)橢圓的焦距為，依題意，列出方程組，求得的值，即可求解橢圓的標準方程；
（II）方法一 ①設(shè)點的坐標為，當時，得到直線的方程，求得點的坐標， 進而求得線段的中點為，利用點到直線的距離等于半徑，即可證明；②又由可得點Q的坐標，求得線段中點的坐標，利用圓心到直線的距離等于半徑，可作出證明．
方法二：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得點P的坐標，進而求得以為直徑的圓的圓心坐標為，半徑為，再由直線與圓的位置關(guān)系的判定，即可得到結(jié)論．
【解析】
（I）設(shè)橢圓的焦距為，依題意，，
解得，，，故橢圓C的標準方程為．
（II）方法一①設(shè)點的坐標為，，
因為在橢圓上，，，
由兩點的坐標為，直線的方程為：，
當時，則點的坐標為，
設(shè)線段的中點為，則點的坐標為，有，
直線的方程為：，整理為，
由，
則點到直線的距離為
，
由，故以為直徑的圓與直線相切．
②若時，則點的坐標為或，直線的方程為，直線的方程為或．將代入直線的方程得點的坐標為或，線段中點的坐標為或，所以．又點到直線的距離
由，故以為直徑的圓與直線相切．
方法二：由（I）知．
依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
設(shè)點的坐標為，由，消去得．
，，
的坐標為．
因為直線與交點為，的坐標為，，
所以以為直徑的圓的圓心坐標為，半徑為．
①當直線的斜率存在，即，時，
直線的方程為，即，整理得
設(shè)圓心到直線的距離為，則
所以以為直徑的圓與直線相切．
②當直線的斜率不存在即時，此時直線的方程為．
圓心坐標為，圓的半徑為，此時以為直徑的圓與直線相切．
4．【2019河南洛陽一模】已知圓，圓心在拋物線上，圓過原點且與的準線相切．
（1）求拋物線的方程；
（2）點，點（與不重合）在直線上運動，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，求證：．
【思路引導】
(1)根據(jù)圓和拋物線的位置關(guān)系，以及圓和準線相切這一條件得到方程，，從而得到結(jié)果；（2）求出兩條切線方程，再抽出方程，其兩根為切點的橫坐標，，通過韋達定理得到結(jié)果即可．
【解析】
（1）∵圓與拋物線準線相切，
∴．
又圓過和原點，
∴．
∴，解得．
∴拋物線的方程為．
（2）設(shè)，，方程為．
∴，
∴拋物線在點處的切線的斜率，
∴切線的方程為，
即，
化簡得：，
又因過點，故可得，
即．
同理可得：．
∴為方程的兩根，
∴，．
∴
∴．
5．【2019江蘇如皋調(diào)研（三)】在平面直角坐標系中，已知定點，點在軸上運動，點在軸上運動，點為坐標平面內(nèi)的動點，且滿足，．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過曲線第一象限上一點（其中）作切線交直線于點，連結(jié)并延長交直線于點，求當面積取最大值時切點的橫坐標．
【思路引導】
（1）設(shè)，，．因為，，所以，，，得．
（2）切線：，將代入得，直線：，將代入得，
所以，由，得，
設(shè)，求取最小值時，的取值即為所求
【解析】
（1）設(shè)，，．因為，，
所以，，，所以．
（2）切線：，將代入得，
直線：，將代入得，
，
因為在拋物線上且在第一象限，
所以，所以，
設(shè)，
，，，．
【同步訓練】
1．已知橢圓與拋物線y2=2px（p＞0）共焦點F2，拋物線上的點M到y(tǒng)軸的距離等于|MF2|﹣1，且橢圓與拋物線的交點Q滿足|QF2|=．
（1）求拋物線的方程和橢圓的方程；
（2）過拋物線上的點P作拋物線的切線y=kx+m交橢圓于A、B兩點，求此切線在x軸上的截距的取值范圍．
【思路點撥】（1）由拋物線的性質(zhì)，求得x=﹣1是拋物線y2=2px的準線，則，求得p的值，求得焦點坐標，代入拋物線方程求得Q點坐標，利用橢圓的定義，即可求得a的值，由b2=a2﹣c2=8，即可求得橢圓方程；
（2）將直線分別代入拋物線，由△=0，求得km=1，將直線方程代入橢圓方程，求得△＞0，代入即可求得m的取值范圍，切線在x軸上的截距為，又，即可求得切線在x軸上的截距的取值范圍．
（ 2）顯然k≠0，m≠0，
由，消去x，得ky2﹣4y+4m=0，
由題意知△1=16﹣16km=0，得km=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
由，消去y，得（9k2+8）x2+18kmx+9m2﹣72=0，
其中（9k2+8）（9m2﹣72）＞0，
化簡得9k2﹣m2+8＞0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
又，得m4﹣8m2﹣9＜0，解得0＜m2＜9，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
切線在x軸上的截距為，又，
∴切線在x軸上的截距的取值范圍是（﹣9，0）．﹣﹣（12分）
2.（2017?雞澤縣校級模擬）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，其中一個頂點是雙曲線﹣=1的焦點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點P（0，3）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B，過點A，B分別作橢圓的兩條切線，求其交點的軌跡方程．
【思路點撥】（1）由橢圓的離心率為，其中一個頂點是雙曲線﹣=1的焦點，旬出方程組求出a，b，c，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+3，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），求出橢圓在點A處的切線方程為=1，①橢圓在點B處的切線方程為=1，②，聯(lián)立①②，得y=，求出交點的軌跡方程為y=．當直線l的斜率不存在時，無交點．由此能過求出過點A，B所作橢圓的兩條切線的交點的軌跡方程．
（2）當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+3，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
設(shè)在A（x1，y1）處切線方程為y﹣y1=k1（x﹣x1），
與橢圓C：=1聯(lián)立，
消去y，得（）x2+8k1（﹣k1x1+y1）x+4（﹣k1x1+y1）2﹣75=0，
由△=0，得[8k1（﹣k1x1+y1）]2﹣4（4+3）[4（﹣k1x1+y1）2﹣75]=0，
化簡，得（），
由，得4x12﹣100=﹣，4y12﹣75=﹣3x12，
∴上式化為﹣=0，

3.設(shè)橢圓C：+=1（a＞b＞0），定義橢圓的“伴隨圓”方程為x2+y2=a2+b2；若拋物線x2=4y的焦點與橢圓C的一個短軸重合，且橢圓C的離心率為．
（1）求橢圓C的方程和“伴隨圓”E的方程；
（2）過“伴隨圓”E上任意一點P作橢圓C的兩條切線PA，PB，A，B為切點，延長PA與“伴隨圓”E交于點Q，O為坐標原點．
①證明：PA⊥PB；
②若直線OP，OQ的斜率存在，設(shè)其分別為k1，k2，試判斷k1k2是否為定值，若是，求出該值；若不是，請說明理由．
【思路點撥】（1）由拋物線的方程，求得b的值，利用離心率公式，即可求得a的值，求得橢圓方程；
（2）①設(shè)直線y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式，即可求得kPA?kPB=﹣1，即可證明PA⊥PB；
②將直線方程代入圓方程，利用韋達定理及直線的斜率公式求得k1k2=，代入即可求得k1k2=﹣．
當切線的斜率不存在或等于零結(jié)論顯然成立，
∴PA⊥PB，
②當直線PQ的斜率存在時，
由①可知直線PQ的方程為y=kx+m，
，整理得：（k2+1）x2+2kmx+m2﹣4=0，
則△=4k2m2﹣4（k2+1）（m2﹣4），將m2=3k2+1，代入整理△=4k2+12＞0，
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=﹣，x1?x2=，
∴k1k2===，
=，
將m2=3k2+1，即可求得求得k1k2=﹣，
當直線PQ的斜率不存在時，易證k1k2=﹣，
∴綜上可知：k1k2=﹣．
4.左、右焦點分別為F1、F2的橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點Q（0，），P為橢圓上一點，△PF1F2的重心為G，內(nèi)心為I，IG∥F1F2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）M為直線x﹣y=4上一點，過點M作橢圓C的兩條切線MA、MB，A、B為切點，問直線AB是否過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由．
【思路點撥】（1）由過點Q，則b=，求得，△PF1F2的重心為G點坐標，由IG∥F1F2，|y0|=3r，根據(jù)三角形的面積公式可知a=2c，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）利用橢圓的切線發(fā)濃縮，求得直線AB的方程，由點M為直線x﹣y=4上，代入整理即可求得定點坐標．
（2）設(shè)M（x1，y1），A（x2，y2），B（x3，y3）則切線MA，MB的方程分別為，．…（7分）
∵點M在兩條切線上，
∴，，
故直線AB的方程為．…（9分）
又∵點M為直線x﹣y=4上，
∴y1=x1﹣4
即直線AB的方程可化為，整理得（3x+4y）x1=16y+12，
由解得，
因此，直線AB過定點．…（12分）
5.平面直角坐標系xy中，橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的離心率為，過橢圓右焦點F作兩條相互垂直的弦，當其中一條弦所在直線斜率為0時，兩弦長之和為6．
（1）求橢圓的方程；
（2）A，B是拋物線C2：x2=4y上兩點，且A，B處的切線相互垂直，直線AB與橢圓C1相交于C，D兩點，求弦|CD|的最大值．
【思路點撥】（1）由橢圓的離心率為，過橢圓右焦點F作兩條相互垂直的弦，當其中一條弦所在直線斜率為0時，兩弦長之和為6，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線AB為：y=kx+m，由，得x2﹣4kx﹣4m=0，由此利用韋達定理、直線垂直推導出直線AB過拋物線C1的焦點F，再由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，由此利用弦長公式能求出弦|CD|的最大值．

故切線PA，PB的斜率分別為，kPB=，
再由PA⊥PB，得kPA?kPB=﹣1，
∴，
解得m=1，這說明直線AB過拋物線C1的焦點F，
由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，
∴|CD|=?=≤3．
當且僅當k=時取等號，
∴弦|CD|的最大值為3．
6.已知橢圓C：（a＞b＞0）的上、下兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于M，N兩點，且△MNF2的周長為8，橢圓C的離心率為．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知O為坐標原點，直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點，點M'，N'是直線l上的兩點，且F1M'⊥l，F(xiàn)2N'⊥l，求四邊形F1M'N'F2面積S的最大值．
【思路點撥】（1）由△MNF2的周長為8，求出a=2，再由，求出b，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）將直線l的方程y=kx+m代入到橢圓方程中，得（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0．由直線與橢圓僅有一個公共點，利用根的判別式求出m2=4+k2．由此利用弦長公式，結(jié)合已知條件能求出四邊形F1M'N'F2面積的最大值．
所以==．
因為四邊形F1M'N'F2的面積，
所以=．
令k2+1=t（t≥1），
則==，
所以當時，S2取得最大值為16，故Smax=4，
即四邊形F1M'N'F2面積的最大值為4．
7.已知A，B分別是橢圓 的長軸與短軸的一個端點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點，D橢圓上的一點，△DF1，F(xiàn)2的周長為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P是圓x2+y2=7上任一點，過點作P橢圓C的切線，切點分別為M，N，求證：PM⊥PN．
【思路點撥】（1）由2a+2c=6，，b2+c2=a2，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）分類討論，當切線PM斜率不存在或者為零時，根據(jù)對稱性即可求得PM⊥PN；當斜率不為零時，分別求得直線PM，PN的方程，由△=0即可求得k1，k2是方程的兩個根，則，則PM⊥PN．
∴．∵y0=k1x0+m，∴m=y0﹣k1x0，
∴．即；
同理：切線PN：y=k2x+t中，，
∴k1，k2是方程的兩個根，
又∵P在圓上，∴，∴，
∴，
∴PM⊥PN．
綜上所述：PM⊥PN．
8.已知圓M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=9，M在拋物線C：x2=2py（p＞0）上，圓M過原點且與C的準線相切．
（Ⅰ） 求C的方程；
（Ⅱ） 點Q（0，﹣t）（t＞0），點P（與Q不重合）在直線l：y=﹣t上運動，過點P作C的兩條切線，切點分別為A，B．求證：∠AQO=∠BQO（其中O為坐標原點）．
【思路點撥】（1）由圓M與拋物線準線相切，得，
且圓過又圓過原點，故，可得，解得p=4，即可
（2） 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，﹣t），
可得，，即x1，x2為方程x2﹣2mx﹣4t=0的兩根，所以x1+x2=2m，x1x2=﹣4t，可得，化簡=．可證得∠AQO=∠BQO．
又因過點P（m，﹣t），故可得，，（7分）
即，同理可得，（8分）
所以x1，x2為方程x2﹣2mx﹣4t=0的兩根，所以x1+x2=2m，x1x2=﹣4t，（9分）
因為Q（0，﹣t），所以，（10分）
化簡=．（11分）
所以∠AQO=∠BQO．（12分）
9.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的長軸長為4，離心率為，右焦點為F．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C相切于點P（不為橢圓C的左、右頂點），直線l與直線x=2交于點A，直線l與直線x=﹣2交于點B，請問∠AFB是否為定值？若不是，請說明理由；若是，請證明．
【思路點撥】（1）由2a=4，離心率e==，b=即可求得a和b，即可求得橢圓C的方程；
（2）l的斜率為0時，∠AFB為直角，則∠AFB為定值，當斜率不為0時，將切點代入橢圓方程，求得交點坐標，求得AF和BF的斜率kAF及kBF，即可求得kAF?kBF=﹣1，即可求得∠AFB為定值．

10.已知過拋物線x2=4y的焦點F的直線l與拋物線相交于A、B兩點．
（1）設(shè)拋物線在A、B處的切線的交點為M，若點M的橫坐標為2，求△ABM的外接圓方程．
（2）若直線l與橢圓+=1的交點為C，D，問是否存在這樣的直線l使|AF|?|CF|=|BF|?|DF|，若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．
【思路點撥】（1）設(shè)，直線AB：，從而得到過A，B，M的圓是以AB為直徑的圓，由此結(jié)合已知條件能求出圓的方程．
（2）設(shè)，由此利用韋達定理，結(jié)合已知條件能求出滿足條件的直線方程．
（2）設(shè)
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），則
又，
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4
將，…①
由
將，
由①②得k=0或k2=1，k=±1，
經(jīng)檢驗k=0，k=±1時，A、B、C、D四點各異，且滿足要求
故直線l存在，且方程為y=±x+1或y=1…（13分）
11.在平面直角坐標系中，已知點F（1，0），直線l：x=﹣1，動直線l′垂直l于點H，線段HF的垂直平分線交l′于點P，設(shè)點P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）以曲線C上的點P（x0，y0）（y0＞0）為切點作曲線C的切線l1，設(shè)l1分別與x，y軸交于A，B兩點，且l1恰與以定點M（a，0）（a＞2）為圓心的圓相切，當圓M的面積最小時，求△ABF與△PAM面積的比．
【思路點撥】（1）由丨PH丨=丨PF丨，根據(jù)拋物線的定義，點P的軌跡是以l為準線，F(xiàn)為焦點的拋物線，即可求得拋物線方程；
（2）由y＞0時，求導，求得切線斜率，利用點斜式方程即可求得切線方程，取得A和B點坐標，利用點到直線的距離公式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，當P（a﹣2，2）時，滿足題意的圓M的面積最小，求得A和B點坐標，利用三角形的面積公式即可求得△ABF與△PAM面積的比．

A（﹣x0，0），…（7分）
點M（a，0）到切線l的距離d==+≥2，
（當且僅當y0=2時，取等號）．
∴當P（a﹣2，2）時，滿足題意的圓M的面積最?。?…（9分）
∴A（2﹣a，0），B（0，），
∴S△ABF=丨1﹣（2﹣a）丨?丨丨=（a﹣1），
S△PAM=丨a﹣（2﹣a）丨?丨2丨=2（a﹣1），…（11分）
∴=，
△ABF與△PAM面積的比．…（12分）
12.在平面直角坐標系中，已知橢圓：（）的左焦點為，且點在上.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線同時與橢圓和拋物線：相切，求直線的方程.
【思路點撥】（1）因為橢圓C1的左焦點為F1（﹣1，0），所以c=1，點P（0，1）代入橢圓，得b=1，由此能求出橢圓C1的方程；（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因為直線l與橢圓C1相切，所以△=0，得到兩個變量的等量關(guān)系．再由直線和拋物線相切，聯(lián)立方程，運用判別式為0，再構(gòu)造兩個變量的等量關(guān)系，從而解出兩個變量的值，由此能求出直線l的方程．

相關(guān)試卷

高考數(shù)學壓軸題講義專題3.4目標范圍與最值，函數(shù)處理最相宜專題練習(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學壓軸題講義專題3.4目標范圍與最值，函數(shù)處理最相宜專題練習(原卷版+解析)，共46頁。

高考數(shù)學壓軸題講義專題3.2動點軌跡成曲線，坐標關(guān)系是關(guān)鍵專題練習(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學壓軸題講義專題3.2動點軌跡成曲線，坐標關(guān)系是關(guān)鍵專題練習(原卷版+解析)，共36頁。

高考數(shù)學壓軸題講義專題2.2導數(shù)定調(diào)情況多，參數(shù)分類與整合專題練習(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學壓軸題講義專題2.2導數(shù)定調(diào)情況多，參數(shù)分類與整合專題練習(原卷版+解析)，共22頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高考數(shù)學壓軸難題歸納總結(jié)培優(yōu)專題3.11 切線處理情況多曲線不同法定度 (含解析)

高考數(shù)學壓軸難題歸納總結(jié)培優(yōu)專題3.11 切線處理情況多曲線不同法定度 (含解析)
專題3.11 切線處理情況多，曲線不同法定度-2020屆高考數(shù)學壓軸題講義(解答題)（原卷版）

專題3.11 切線處理情況多，曲線不同法定度-2020屆高考數(shù)學壓軸題講義(解答題)（原卷版）
專題3.11 切線處理情況多，曲線不同法定度-2020屆高考數(shù)學壓軸題講義(解答題)（解析版）

專題3.11 切線處理情況多，曲線不同法定度-2020屆高考數(shù)學壓軸題講義(解答題)（解析版）
專題2.2 導數(shù)定調(diào)情況多，參數(shù)分類與整合-2020屆高考數(shù)學壓軸題講義(解答題)（原卷版）

專題2.2 導數(shù)定調(diào)情況多，參數(shù)分類與整合-2020屆高考數(shù)學壓軸題講義(解答題)（原卷版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部