綜合求證問(wèn)題有以下類型：（1）證明直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)出直線方程，利用題中的條件與設(shè)而不求思想找出曲線方程中參數(shù)間的關(guān)系，即可求出定點(diǎn).
(2)定值問(wèn)題就是證明一個(gè)量或表達(dá)式的值與其中的變化因素?zé)o關(guān)，這些變化的因素可能是直線的斜率、截距，也可能是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)等，這類問(wèn)題的一般解法是使用變化的量表示求證目標(biāo)，通過(guò)運(yùn)算得知求證目標(biāo)的取值與變化的量無(wú)關(guān)．當(dāng)使用直線的斜率和截距表示直線方程時(shí)，在解題過(guò)程中要注意建立斜率和截距之間的關(guān)系，把雙參數(shù)問(wèn)題化為單參數(shù)問(wèn)題解決．
（3）恒等式的證明問(wèn)題，將恒等式轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的弦長(zhǎng)、距離之比或向量關(guān)系等問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，利用設(shè)而不求思想及韋達(dá)定理即可證明.
(4)幾何圖形性質(zhì)的證明，利用幾何圖形性質(zhì)與向量運(yùn)算的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算或直線的斜率關(guān)系，再用直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，利用設(shè)而不求思想及韋達(dá)定理即可證明.
【典例指引】
類型一 證明分點(diǎn)問(wèn)題
例1 【2017北京，理18】已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P（1，1）.過(guò)點(diǎn)（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).
（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；[來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]
（Ⅱ）求證：A為線段BM的中點(diǎn)..
【解析】
類型二 幾何證明問(wèn)題
例2. 【2015高考湖南，理20】已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦的長(zhǎng)為.
（1）求的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，且與同向
（?。┤?，求直線的斜率
（ⅱ）設(shè)在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，證明：直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形
【解析】
類型三 等式證明
例3【2015高考上海，理21】已知橢圓，過(guò)原點(diǎn)的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，記得到的平行四邊形的面積為.
（1）設(shè)，，用、的坐標(biāo)表示點(diǎn)到直線的距離，并證明；
（2）設(shè)與的斜率之積為，求面積的值.
【解析】
類型四 長(zhǎng)度關(guān)系證明
例4.【2016高考四川】已知橢圓E：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.
(Ⅰ)求橢圓E的方程；
(Ⅱ)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為 EQ \F(1,2) 的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：．[來(lái)源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K]
【擴(kuò)展鏈接】
1.圓錐曲線以P(x0，y0)(y0≠0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率分別是：k＝－eq \f(b2x0,a2y0)(橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1)，k＝eq \f(b2x0,a2y0)(雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1)，k＝eq \f(p,y0)(拋物線y2＝2px)，其中k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)為弦端點(diǎn)的坐標(biāo)．
2.給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角；
3.在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;
4.在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;
【新題展示】
1．【2019寧夏吳忠中學(xué)一?！吭谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，離心率為．過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．
（1）求橢圓的方程；
（2）圓與軸正半軸相交于兩點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），過(guò)點(diǎn)任作一條直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，連接，，求證．
【思路引導(dǎo)】
（1）設(shè)橢圓C的方程為(a＞b＞0)，由離心率為，得，又△PQF2的周長(zhǎng)為4a=，得a＝2，進(jìn)而求出橢圓方程；
（2）把y＝0代入圓的方程求出x的值，確定M與N的坐標(biāo)，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性得證；當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB為y=k（x﹣1），與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達(dá)定理表示出x1+x2，x1x2，進(jìn)而表示出直線AN與直線BN斜率之和為0，即可得證．
2．【2019福建廈門(mén)3月質(zhì)檢】已知橢圓：，過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．
（1）當(dāng)垂直于軸時(shí)，求直線的方程；
（2）證明：．
【思路引導(dǎo)】
（1）當(dāng)垂直于軸時(shí)，其方程為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)后可得直線的斜率，于是可得直線方程。（2）由于在軸上，所以只需證明點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等即可得到結(jié)論成立，解題時(shí)注意直線方程的設(shè)法．
3．【2019山東濟(jì)寧一?！恳阎獧E圓的離心率為，且橢圓C過(guò)點(diǎn)．
(I)求橢圓C的方程；
(II)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F，直線與橢圓C相切于點(diǎn)A，與直線相交于點(diǎn)B，求證：的大小為定值．
【思路引導(dǎo)】
（Ⅰ）由題意可知，解得a2＝3，b2＝2，即可求出橢圓C的方程，（Ⅱ）顯然直線l的斜率存在，設(shè)l：y＝kx+m，聯(lián)立，根據(jù)直線l與橢圓相切，利用判別式可得m2＝3k2+2，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，根據(jù)向量的運(yùn)算可得可得?0，即∠AFB＝90°，故∠AFB的大小為定值．
4．【2019山西呂梁一模】已知拋物線：，過(guò)軸上一點(diǎn)（不同于原點(diǎn)）的直線與交于兩點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．
（1）若，，求的值；
（2）若，過(guò)，分別作的切線，兩切線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線方程上，求出此定直線．
【思路引導(dǎo)】
（1）設(shè)，通過(guò)坐標(biāo)表示向量得到，，設(shè)：，與拋物線聯(lián)立利用韋達(dá)定理求解即可；
（2）由點(diǎn)斜式求出兩條切線，兩直線聯(lián)立可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可證得結(jié)論．
5．【2019山西呂梁一模】已知拋物線：，過(guò)軸上一點(diǎn)（不同于原點(diǎn)）的直線與交于兩點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．
（1）若，，求的值；
（2）若，過(guò)，分別作的切線，兩切線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線方程上，求出此定直線．
【思路引導(dǎo)】
（1）設(shè)，通過(guò)坐標(biāo)表示向量得到，，設(shè)：，與拋物線聯(lián)立利用韋達(dá)定理求解即可；
（2）由點(diǎn)斜式求出兩條切線，兩直線聯(lián)立可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可證得結(jié)論．
6．【2019安徽六校聯(lián)考】如圖，C、D是離心率為的橢圓的左、右頂點(diǎn)，、是該橢圓的左、右焦點(diǎn)， A、B是直線4上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD和BD，它們分別與橢圓交于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，且線段EF恰好過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)． 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E恰為線段AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：以AB為直徑的圓始終與直線EF相切．
【思路引導(dǎo)】
（Ⅰ）由題意可得，結(jié)合可求出，進(jìn)而可求得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)EF的方程為：，E（）、F（），與橢圓聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理得，，又設(shè)，由三點(diǎn)共線得，，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)M到直線EF的距離，進(jìn)而證得結(jié)果．
7．【2019陜西咸陽(yáng)一模已知橢圓的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，直線與圓相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求證：．
【思路引導(dǎo)】
（1）求得直線的的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，列方程，解方程求得的值，由此求得橢圓方程．（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓的方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，通過(guò)計(jì)算，證得．
8．【2019湖南長(zhǎng)沙統(tǒng)一檢測(cè)】已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，與軸相交于，，．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)為、，過(guò)、分別作軸的垂線、，橢圓的一條切線與、交于、兩點(diǎn)，求證：．
【思路引導(dǎo)】
（1）結(jié)合題意，得到為的中位線，進(jìn)而得到，利用橢圓性質(zhì)，計(jì)算a，b值即可。（2）將直線l的方程，代入橢圓方程，得到以及，即可。
【同步訓(xùn)練】
1．如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T（2，0），與y軸正半軸相交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方），且|MN|=3．
（1）求圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M任作一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn)A、B，連接AN、BN，求證：∠ANM=∠BNM．
【思路點(diǎn)撥 】（1）設(shè)圓C的半徑為r（r＞0），依題意，圓心坐標(biāo)為（2，r），根據(jù)|MN|=3，利用弦長(zhǎng)公式求得r的值，可得圓C的方程．
（2）把x=0代入圓C的方程，求得M、N的坐標(biāo)，當(dāng)AB⊥y軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知∠ANM=∠BNM，當(dāng)AB與y軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得KAB+KBN=0，可得∠ANM=∠BNM．
【詳細(xì)解析】
2.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)（1，1）與（，）兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|．求證：++為定值．
【思路點(diǎn)撥】（1）把（1，1）與（，）兩點(diǎn)代入橢圓方程解出即可．
（2）由|MA|=|MB|，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對(duì)稱性知A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
①若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)；同理，若點(diǎn)A、B是橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M在橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)；直接代入計(jì)算即可．
②若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為y=kx（k≠0），則直線OM的方程為，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與橢圓的方程聯(lián)立解出坐標(biāo)，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．
【詳細(xì)解析】
3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)p（x，y）（x≥0）滿足：點(diǎn)p到定點(diǎn)F（，0）與到y(tǒng)軸的距離之差為．記動(dòng)點(diǎn)p的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A和原點(diǎn)O的直線交直線x=﹣于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于x軸．
【思路點(diǎn)撥】（1）利用動(dòng)點(diǎn)p（x，y）（x≥0）滿足：點(diǎn)p到定點(diǎn)F（，0）與到y(tǒng)軸的距離之差為．列出關(guān)系式，即可求曲線C的軌跡方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A和原點(diǎn)O的直線交直線x=﹣于點(diǎn)D，設(shè)A的坐標(biāo)為（），求出OM的方程為y=x（y0≠0），推出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)然后求出直線AF的方程，求出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，判斷直線DB平行于x軸．即可得到結(jié)果．
【詳細(xì)解析】
4.在平面直角坐標(biāo)系xy中，已知點(diǎn)P（2，1）在橢圓C：上且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（不與點(diǎn)P重合），且線段AB的中為D，直線OD的斜率為1，記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1?k2為定值．
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，將P代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線斜率公式，求得x1+x2=y1+y2，利用點(diǎn)差法求得直線l的斜率，將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式，即可求得k1?k2為定值．
【詳細(xì)解析】
5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：x=﹣1，點(diǎn)T（3，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足PS⊥l，垂足為S，且?=0，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)Q是曲線C上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，且直線PQ過(guò)點(diǎn)（1，0），線段PQ的中點(diǎn)為M，直線l與x軸的交點(diǎn)為N．求證：向量與共線．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)P（x0，y0），則S（﹣1，y0），由此利用向量的數(shù)量積能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)Q（x1，y1），則，從而y2=4x，p=2，焦點(diǎn)F（1，0），N（﹣1，0），由PQ過(guò)F，得，，進(jìn)而=（），=（），由此能證明向量與共線．
【詳細(xì)解析】
6.已知?jiǎng)狱c(diǎn)A，B在橢圓+=1上，且線段AB的垂直平分線始終過(guò)點(diǎn)P（﹣1，0）．
（1）證明線段AB的中點(diǎn)M在定直線上；
（2）求線段AB長(zhǎng)度的最大值．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)M（x0，y0），當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，線段AB的中點(diǎn)M（﹣2，0），在直線y=0，當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，利用平方差法推出，說(shuō)明M在直線x=﹣2上．
（2）當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，，當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長(zhǎng)公式求解即可．
【詳細(xì)解析】
7.已知橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，離心率為；拋物線G：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F與橢圓E的右焦點(diǎn)重合，若斜率為k的直線l過(guò)拋物線G的焦點(diǎn)F與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線G相交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E及拋物線G的方程；
（2）證明：存在實(shí)數(shù)λ，使得+為常數(shù)，并求λ的值．
【思路點(diǎn)撥】（1）由2a=2，根據(jù)橢圓的離心率公式即可求得c的值，代入，b2=a2﹣c2=1，求得橢圓方程，由=c，求得c的值，求得拋物線方程；
（2）設(shè)直線l的方程，分別代入橢圓方程及拋物線方程，分別求得丨AB丨及丨CD丨，由+=為常數(shù)，則須有20+λ=4，即可求得λ的值．
【詳細(xì)解析】
8.已知定點(diǎn)Q（，0），P為圓N：上任意一點(diǎn)，線段QP的垂直平分線交NP于點(diǎn)M．
（1）當(dāng)P點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M （x，y） 的軌跡C的方程；
（2）若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且，求證：直線l與某個(gè)定圓E相切，并求出定圓E的方程．
【思路點(diǎn)撥】（1）求出圓N的圓心坐標(biāo)為N（，0），半徑為，|MP|=|MQ|，得到|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=＞|NQ|，利用橢圓的定義，求解點(diǎn)M的軌跡C的方程．
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓的方程，得消去y，通過(guò)直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用判別式以及韋達(dá)定理，通過(guò)，求解即可，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為x=m，驗(yàn)證求解即可．
【詳細(xì)解析】
9.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．設(shè)過(guò)點(diǎn)F2的直線l被橢圓C截得的線段為RS，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，|RS|=3
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)T（4，0），證明：當(dāng)直線l變化時(shí)，直線TS與TR的斜率之和為定值．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可知：a=2c，=3，且a2=b2+c2，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）分類討論，當(dāng)直線l不垂直與x軸時(shí)，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線的斜率公式，即可求得kTR+kTS=0，即可證明直線TS與TR的斜率之和為定值．
【詳細(xì)解析】
10.已知橢圓E：中，a=b，且橢圓E上任一點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖4，過(guò)點(diǎn)Q（1，1）作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線l1，l2（l1，l2不重合）分別交橢圓E于點(diǎn)A，C，B，D，求證：|QA|?|QC|=|QB|?|QD|．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)M（x，y）為橢圓E上任一點(diǎn)，由，橢圓E的方程可化為，通過(guò)求解橢圓E上任一點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為．即可求出橢圓的方程．
（2）直線l1，l2不重合，則直線l1，l2的斜率均存在，設(shè)直線l1：y=k（x﹣1）+1，點(diǎn)A（x1，y1），C（x2，y2）．
直線l2：y=﹣k（x﹣1）+1．聯(lián)立消去y，由韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)，可得|QA|?|QC|=|QB|?|QD|．
【詳細(xì)解析】
11.橢圓： 的離心率為，過(guò)其右焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸垂直的直線與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)， .
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)， 不重合，直線與直線相交于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，求證：以線段為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).
【思路點(diǎn)撥】(1)由題意可得，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)由題意可得，結(jié)合題意可得圓的方程為，則以線段ST為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).
【詳細(xì)解析】
12.已知點(diǎn)， 其中是曲線上的兩點(diǎn)， ， 兩點(diǎn)在軸上的射影分別為點(diǎn)， ，且.
（1）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求直線的斜率；
（2）記的面積為，梯形的面積為，求證： .
【思路點(diǎn)撥】(1)由題意結(jié)合直線的斜率公式可得 ；
設(shè)直線的方程為.聯(lián)立直線與拋物線的方程，可得 ， ，則 .
【詳細(xì)解析】
【題型綜述】
綜合求證問(wèn)題有以下類型：（1）證明直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)出直線方程，利用題中的條件與設(shè)而不求思想找出曲線方程中參數(shù)間的關(guān)系，即可求出定點(diǎn).
(2)定值問(wèn)題就是證明一個(gè)量或表達(dá)式的值與其中的變化因素?zé)o關(guān)，這些變化的因素可能是直線的斜率、截距，也可能是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)等，這類問(wèn)題的一般解法是使用變化的量表示求證目標(biāo)，通過(guò)運(yùn)算得知求證目標(biāo)的取值與變化的量無(wú)關(guān)．當(dāng)使用直線的斜率和截距表示直線方程時(shí)，在解題過(guò)程中要注意建立斜率和截距之間的關(guān)系，把雙參數(shù)問(wèn)題化為單參數(shù)問(wèn)題解決．
（3）恒等式的證明問(wèn)題，將恒等式轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的弦長(zhǎng)、距離之比或向量關(guān)系等問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，利用設(shè)而不求思想及韋達(dá)定理即可證明.
(4)幾何圖形性質(zhì)的證明，利用幾何圖形性質(zhì)與向量運(yùn)算的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算或直線的斜率關(guān)系，再用直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，利用設(shè)而不求思想及韋達(dá)定理即可證明.
【典例指引】
類型一 證明分點(diǎn)問(wèn)題
例1 【2017北京，理18】已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P（1，1）.過(guò)點(diǎn)（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).
（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）求證：A為線段BM的中點(diǎn)..
直線ON的方程為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
因?yàn)?br>，
所以.學(xué)科*網(wǎng)
故A為線段BM的中點(diǎn).
類型二 幾何證明問(wèn)題
例2. 【2015高考湖南，理20】已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦的長(zhǎng)為.
（1）求的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，且與同向
（ⅰ）若，求直線的斜率
（ⅱ）設(shè)在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，證明：直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形
（ii）由得，∴在點(diǎn)處的切線方程為，即
，令，得，即，∴，而，于是
，因此是銳角，從而是鈍角.，故直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形. 學(xué)科*網(wǎng)
類型三 等式證明
例3【2015高考上海，理21】已知橢圓，過(guò)原點(diǎn)的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，記得到的平行四邊形的面積為.
（1）設(shè)，，用、的坐標(biāo)表示點(diǎn)到直線的距離，并證明；
（2）設(shè)與的斜率之積為，求面積的值.
類型四 長(zhǎng)度關(guān)系證明
例4.【2016高考四川】已知橢圓E：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.
(Ⅰ)求橢圓E的方程；
(Ⅱ)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為 EQ \F(1,2) 的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：．
【擴(kuò)展鏈接】
1.圓錐曲線以P(x0，y0)(y0≠0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率分別是：k＝－eq \f(b2x0,a2y0)(橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1)，k＝eq \f(b2x0,a2y0)(雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1)，k＝eq \f(p,y0)(拋物線y2＝2px)，其中k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)為弦端點(diǎn)的坐標(biāo)．
2.給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角；
3.在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;
4.在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;
【新題展示】
1．【2019寧夏吳忠中學(xué)一?！吭谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，離心率為．過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．
（1）求橢圓的方程；
（2）圓與軸正半軸相交于兩點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），過(guò)點(diǎn)任作一條直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，連接，，求證．
【思路引導(dǎo)】
（1）設(shè)橢圓C的方程為(a＞b＞0)，由離心率為，得，又△PQF2的周長(zhǎng)為4a=，得a＝2，進(jìn)而求出橢圓方程；
（2）把y＝0代入圓的方程求出x的值，確定M與N的坐標(biāo)，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性得證；當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB為y=k（x﹣1），與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達(dá)定理表示出x1+x2，x1x2，進(jìn)而表示出直線AN與直線BN斜率之和為0，即可得證．
【解析】
(1)設(shè)橢圓C的方程為(a＞b＞0)．因?yàn)殡x心率為，所以，解得，即．又△PQF2的周長(zhǎng)為|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝(|PF1|＋|PF2|)＋(|QF1|＋|QF2|)＝2a＋2a＝4a，所以又△PQF2的周長(zhǎng)為，即a＝2，b＝2，
所以橢圓C的方程為．
(2)把y＝0代入＋(y－2)2＝，解得x＝1或x＝4，因?yàn)辄c(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，即點(diǎn)M(1，0)，N(4，0)．
①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知∠ANM＝∠BNM．
②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)．
聯(lián)立 (k2＋2)x2－2k2x＋k2－8＝0．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝，x1x2＝．
因?yàn)閥1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
所以kAN＋kBN＝＋＝＋＝．
因?yàn)?x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)＝2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝＋8＝，
所以kAN＋kBN＝0，所以∠ANM＝∠BNM，綜上所述，∠ANM＝∠BNM．
2．【2019福建廈門(mén)3月質(zhì)檢】已知橢圓：，過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．
（1）當(dāng)垂直于軸時(shí)，求直線的方程；
（2）證明：．
【思路引導(dǎo)】
（1）當(dāng)垂直于軸時(shí)，其方程為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)后可得直線的斜率，于是可得直線方程。（2）由于在軸上，所以只需證明點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等即可得到結(jié)論成立，解題時(shí)注意直線方程的設(shè)法．
【解析】
（1）設(shè)點(diǎn)，
當(dāng)垂直于軸時(shí)，可得，所以，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
又，
所以，
所以直線的方程為．
（2）法一：
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，
若，則，此時(shí)方程為，當(dāng)時(shí)，，所以，因此，所以．
若，則，此時(shí)方程為，當(dāng)時(shí)，，所以，因此，所以．
綜上可得．
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，
由 消去y整理得，
其中，
設(shè)，，則，
因?yàn)椋?br>所以直線的方程為
當(dāng)時(shí)，得，
因?yàn)?
．
所以，
所以．
法二：
設(shè)直線，
由消去x整理得，
其中，
設(shè)，，則，
所以，故所以．
因?yàn)椋?br>所以直線的方程為，
當(dāng)時(shí)，得，
所以，
所以．
3．【2019山東濟(jì)寧一?！恳阎獧E圓的離心率為，且橢圓C過(guò)點(diǎn)．
(I)求橢圓C的方程；
(II)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F，直線與橢圓C相切于點(diǎn)A，與直線相交于點(diǎn)B，求證：的大小為定值．
【思路引導(dǎo)】[來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]
（Ⅰ）由題意可知，解得a2＝3，b2＝2，即可求出橢圓C的方程，（Ⅱ）顯然直線l的斜率存在，設(shè)l：y＝kx+m，聯(lián)立，根據(jù)直線l與橢圓相切，利用判別式可得m2＝3k2+2，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，根據(jù)向量的運(yùn)算可得可得?0，即∠AFB＝90°，故∠AFB的大小為定值．
【解析】
(Ⅰ)∵橢圓C過(guò)點(diǎn)，∴ ①
∵離心率為 ∴ ②
又∵ ③
由①②③得，，．
∴橢圓C的方程為C：．
(Ⅱ)顯然直線l的斜率存在，設(shè)l：y=kx+m．
由消y得
由得．
∴
∴
∴切點(diǎn)A的坐標(biāo)為
又點(diǎn)B的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
∴，，
∴
∴∠AFB=90°，即∠AFB的大小為定值．
4．【2019山西呂梁一?！恳阎獟佄锞€：，過(guò)軸上一點(diǎn)（不同于原點(diǎn)）的直線與交于兩點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．
（1）若，，求的值；
（2）若，過(guò)，分別作的切線，兩切線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線方程上，求出此定直線．
【思路引導(dǎo)】
（1）設(shè)，通過(guò)坐標(biāo)表示向量得到，，設(shè)：，與拋物線聯(lián)立利用韋達(dá)定理求解即可；
（2）由點(diǎn)斜式求出兩條切線，兩直線聯(lián)立可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可證得結(jié)論．
【解析】
（1）設(shè)，，，，
由，得，
，，
所以，，
設(shè)：，
聯(lián)立，則，
，所以，
則，，
所以．
（2）設(shè)，，即，有．
過(guò)的切線方程為，即，
所以過(guò)的切線方程為，
兩方程聯(lián)立得，，
由（1）知，，所以，，
所以，即交點(diǎn)在直線上．
5．【2019山西呂梁一?！恳阎獟佄锞€：，過(guò)軸上一點(diǎn)（不同于原點(diǎn)）的直線與交于兩點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．
（1）若，，求的值；
（2）若，過(guò)，分別作的切線，兩切線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線方程上，求出此定直線．
【思路引導(dǎo)】
（1）設(shè)，通過(guò)坐標(biāo)表示向量得到，，設(shè)：，與拋物線聯(lián)立利用韋達(dá)定理求解即可；
（2）由點(diǎn)斜式求出兩條切線，兩直線聯(lián)立可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可證得結(jié)論．
【解析】
（1）設(shè)，，，，
由，得，
，，
所以，，
設(shè)：，
聯(lián)立，則，
，所以，
則，，
所以．
（2）設(shè)，，即，有．
過(guò)的切線方程為，即，
所以過(guò)的切線方程為，
兩方程聯(lián)立得，，
由（1）知，，所以，，
所以，即交點(diǎn)在直線上．
6．【2019安徽六校聯(lián)考】如圖，C、D是離心率為的橢圓的左、右頂點(diǎn)，、是該橢圓的左、右焦點(diǎn)， A、B是直線4上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD和BD，它們分別與橢圓交于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，且線段EF恰好過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)． 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E恰為線段AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：以AB為直徑的圓始終與直線EF相切．
【思路引導(dǎo)】
（Ⅰ）由題意可得，結(jié)合可求出，進(jìn)而可求得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)EF的方程為：，E（）、F（），與橢圓聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理得，，又設(shè)，由三點(diǎn)共線得，，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)M到直線EF的距離，進(jìn)而證得結(jié)果．
【解析】
（Ⅰ）∵當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E恰為線段AD的中點(diǎn)，
∴，又，聯(lián)立解得：，，，
∴橢圓的方程為．
（Ⅱ）設(shè)EF的方程為：，E（）、F（），
聯(lián)立得：
∴，
∴……（*）
又設(shè)，由A、E、D三點(diǎn)共線得，同理可得．
，
∴．
設(shè)AB中點(diǎn)為M，則M坐標(biāo)為（）即（ ），
∴點(diǎn)M到直線EF的距離．
故以AB為直徑的圓始終與直線EF相切．
7．【2019陜西咸陽(yáng)一模已知橢圓的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，直線與圓相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求證：．
【思路引導(dǎo)】
（1）求得直線的的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，列方程，解方程求得的值，由此求得橢圓方程．（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓的方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，通過(guò)計(jì)算，證得．
【解析】
（1）由題意知：，，則直線方程為：，
直線與圓相切，則，求得，
所求橢圓的方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立．
∴，，又，，

，
則．
8．【2019湖南長(zhǎng)沙統(tǒng)一檢測(cè)】已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，與軸相交于，，．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)為、，過(guò)、分別作軸的垂線、，橢圓的一條切線與、交于、兩點(diǎn)，求證：．
【思路引導(dǎo)】
（1）結(jié)合題意，得到為的中位線，進(jìn)而得到，利用橢圓性質(zhì)，計(jì)算a，b值即可。（2）將直線l的方程，代入橢圓方程，得到以及，即可。
【解析】
（Ⅰ）連接，由題意得，
所以為的中位線，
又因?yàn)?，所以，且?br>又，，得，，，
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（Ⅱ）由題可知，的方程為，的方程為．
直線與直線、聯(lián)立得、，所以，，
所以．
聯(lián)立得．
因?yàn)橹本€橢圓相切，所以，
化簡(jiǎn)得．
所以，
所以，故為定值．
同理，，所以，．故．
【同步訓(xùn)練】
1．如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T（2，0），與y軸正半軸相交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方），且|MN|=3．
（1）求圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M任作一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn)A、B，連接AN、BN，求證：∠ANM=∠BNM．
【思路點(diǎn)撥 】（1）設(shè)圓C的半徑為r（r＞0），依題意，圓心坐標(biāo)為（2，r），根據(jù)|MN|=3，利用弦長(zhǎng)公式求得r的值，可得圓C的方程．
（2）把x=0代入圓C的方程，求得M、N的坐標(biāo)，當(dāng)AB⊥y軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知∠ANM=∠BNM，當(dāng)AB與y軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得KAB+KBN=0，可得∠ANM=∠BNM．
綜上所述，∠ANM=∠BNM．學(xué)科*網(wǎng)
2.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)（1，1）與（，）兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|．求證：++為定值．
【思路點(diǎn)撥】（1）把（1，1）與（，）兩點(diǎn)代入橢圓方程解出即可．
（2）由|MA|=|MB|，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對(duì)稱性知A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
①若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)；同理，若點(diǎn)A、B是橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M在橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)；直接代入計(jì)算即可．
②若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為y=kx（k≠0），則直線OM的方程為，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與橢圓的方程聯(lián)立解出坐標(biāo)，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．
∴=，同理，
所以=2×+=2，
故=2為定值．學(xué)科*網(wǎng)
3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)p（x，y）（x≥0）滿足：點(diǎn)p到定點(diǎn)F（，0）與到y(tǒng)軸的距離之差為．記動(dòng)點(diǎn)p的軌跡為曲線C．[來(lái)源:學(xué)|科|網(wǎng)Z|X|X|K]
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A和原點(diǎn)O的直線交直線x=﹣于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于x軸．
【思路點(diǎn)撥】（1）利用動(dòng)點(diǎn)p（x，y）（x≥0）滿足：點(diǎn)p到定點(diǎn)F（，0）與到y(tǒng)軸的距離之差為．列出關(guān)系式，即可求曲線C的軌跡方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A和原點(diǎn)O的直線交直線x=﹣于點(diǎn)D，設(shè)A的坐標(biāo)為（），求出OM的方程為y=x（y0≠0），推出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)然后求出直線AF的方程，求出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，判斷直線DB平行于x軸．即可得到結(jié)果．

4.在平面直角坐標(biāo)系xy中，已知點(diǎn)P（2，1）在橢圓C：上且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（不與點(diǎn)P重合），且線段AB的中為D，直線OD的斜率為1，記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1?k2為定值．
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，將P代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線斜率公式，求得x1+x2=y1+y2，利用點(diǎn)差法求得直線l的斜率，將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式，即可求得k1?k2為定值．
設(shè)直線l的方程y=﹣x+t，
，整理得：3x2﹣4tx+4t2﹣12=0，
則x1+x2=，x1x2=，
則k1?k2==，
=
==，學(xué)科*網(wǎng)
∴k1?k2為定值．
5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：x=﹣1，點(diǎn)T（3，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足PS⊥l，垂足為S，且?=0，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)Q是曲線C上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，且直線PQ過(guò)點(diǎn)（1，0），線段PQ的中點(diǎn)為M，直線l與x軸的交點(diǎn)為N．求證：向量與共線．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)P（x0，y0），則S（﹣1，y0），由此利用向量的數(shù)量積能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)Q（x1，y1），則，從而y2=4x，p=2，焦點(diǎn)F（1，0），N（﹣1，0），由PQ過(guò)F，得，，進(jìn)而=（），=（），由此能證明向量與共線．
假設(shè)=成立，
∴，解得，
∴，
∴向量與共線．學(xué)科*網(wǎng)
6.已知?jiǎng)狱c(diǎn)A，B在橢圓+=1上，且線段AB的垂直平分線始終過(guò)點(diǎn)P（﹣1，0）．
（1）證明線段AB的中點(diǎn)M在定直線上；
（2）求線段AB長(zhǎng)度的最大值．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)M（x0，y0），當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，線段AB的中點(diǎn)M（﹣2，0），在直線y=0，當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，利用平方差法推出，說(shuō)明M在直線x=﹣2上．
（2）當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，，當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長(zhǎng)公式求解即可．
，
∴x1+x2=﹣4，， …（8分）
∴=（11分）
∴．…（12分）
7.已知橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，離心率為；拋物線G：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F與橢圓E的右焦點(diǎn)重合，若斜率為k的直線l過(guò)拋物線G的焦點(diǎn)F與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線G相交于C，D兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E及拋物線G的方程；
（2）證明：存在實(shí)數(shù)λ，使得+為常數(shù)，并求λ的值．
【思路點(diǎn)撥】（1）由2a=2，根據(jù)橢圓的離心率公式即可求得c的值，代入，b2=a2﹣c2=1，求得橢圓方程，由=c，求得c的值，求得拋物線方程；
（2）設(shè)直線l的方程，分別代入橢圓方程及拋物線方程，分別求得丨AB丨及丨CD丨，由+=為常數(shù)，則須有20+λ=4，即可求得λ的值．

8.已知定點(diǎn)Q（，0），P為圓N：上任意一點(diǎn)，線段QP的垂直平分線交NP于點(diǎn)M．
（1）當(dāng)P點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M （x，y） 的軌跡C的方程；
（2）若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且，求證：直線l與某個(gè)定圓E相切，并求出定圓E的方程．
【思路點(diǎn)撥】（1）求出圓N的圓心坐標(biāo)為N（，0），半徑為，|MP|=|MQ|，得到|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=＞|NQ|，利用橢圓的定義，求解點(diǎn)M的軌跡C的方程．
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓的方程，得消去y，通過(guò)直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用判別式以及韋達(dá)定理，通過(guò)，求解即可，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為x=m，驗(yàn)證求解即可．
由韋達(dá)定理得：．…（8分）
∴．
∵，∴x1x2+y1y2=0，即，…（9分）
整理得m2=2k2+2滿足①式，∴，即原點(diǎn)到直線l為的距離是，
∴直線l與圓x2+y2=2相切．…（10分）
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為x=m，與橢圓C交點(diǎn)為A（m，），B（m，）∵，∴．
此時(shí)直線為x=，顯然也與圓x2+y2=2相切．…（11分）
綜上，直線l與定圓E：x2+y2=2相切．…（12分）
9.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．設(shè)過(guò)點(diǎn)F2的直線l被橢圓C截得的線段為RS，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，|RS|=3
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)T（4，0），證明：當(dāng)直線l變化時(shí)，直線TS與TR的斜率之和為定值．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可知：a=2c，=3，且a2=b2+c2，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）分類討論，當(dāng)直線l不垂直與x軸時(shí)，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線的斜率公式，即可求得kTR+kTS=0，即可證明直線TS與TR的斜率之和為定值．
由R，S兩點(diǎn)的直線y=k（x﹣1），
故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），
則=，
由2x1x2﹣5（x1+x2）+8=2×﹣5×+8=0，
∴kTR+kTS=0，學(xué)科*網(wǎng)
∴直線TS與TR的斜率之和為0，
綜上所述，直線TS與TR的斜率之和為為定值，定值為0．
10.已知橢圓E：中，a=b，且橢圓E上任一點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖4，過(guò)點(diǎn)Q（1，1）作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線l1，l2（l1，l2不重合）分別交橢圓E于點(diǎn)A，C，B，D，求證：|QA|?|QC|=|QB|?|QD|．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)M（x，y）為橢圓E上任一點(diǎn)，由，橢圓E的方程可化為，通過(guò)求解橢圓E上任一點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為．即可求出橢圓的方程．
（2）直線l1，l2不重合，則直線l1，l2的斜率均存在，設(shè)直線l1：y=k（x﹣1）+1，點(diǎn)A（x1，y1），C（x2，y2）．
直線l2：y=﹣k（x﹣1）+1．聯(lián)立消去y，由韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)，可得|QA|?|QC|=|QB|?|QD|．

11.橢圓： 的離心率為，過(guò)其右焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸垂直的直線與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)， .
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)， 不重合，直線與直線相交于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，求證：以線段為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).
【思路點(diǎn)撥】(1)由題意可得，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)由題意可得，結(jié)合題意可得圓的方程為，則以線段ST為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).


12.已知點(diǎn)， 其中是曲線上的兩點(diǎn)， ， 兩點(diǎn)在軸上的射影分別為點(diǎn)， ，且.
（1）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求直線的斜率；
（2）記的面積為，梯形的面積為，求證： .
【思路點(diǎn)撥】(1)由題意結(jié)合直線的斜率公式可得 ；
設(shè)直線的方程為.聯(lián)立直線與拋物線的方程，可得 ， ，則 .

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