探究圖形之性質(zhì)問題解題策略：（1）“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素某性質(zhì)圖形存在，用向量或平面幾何知識(shí)，轉(zhuǎn)化直線與圓錐曲線交點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)式，利用設(shè)而不求思想，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則某性質(zhì)圖形存在存在；否則，元素某性質(zhì)圖形存在不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問題常用的方法.
【典例指引】
類型一 面積計(jì)算
例1 【2016高考上海理數(shù)】（本題滿分14）有一塊正方形菜地,所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到點(diǎn)或河邊運(yùn)走。于是，菜地分為兩個(gè)區(qū)域和，其中中的蔬菜運(yùn)到河邊較近，中的蔬菜運(yùn)到點(diǎn)較近，而菜地內(nèi)和的分界線上的點(diǎn)到河邊與到點(diǎn)的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0），如圖
求菜地內(nèi)的分界線的方程
菜農(nóng)從蔬菜運(yùn)量估計(jì)出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗(yàn)值”為。設(shè)是上縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算以為一邊、另一邊過點(diǎn)的矩形的面積，及五邊形的面積，并判斷哪一個(gè)更接近于面積的經(jīng)驗(yàn)值
【解析】
類型二 四邊形形狀探究
例2. 【2015高考新課標(biāo)2，理20】已知橢圓,直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為．
（Ⅰ）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；
（Ⅱ）若過點(diǎn)，延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說明理由．
【解析】
類型三 探究角是否相等
例3【2015高考北京，理19】已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓上，直線交軸于點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)（用，表示）；
（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線交軸于點(diǎn)．問：軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【解析】
類型四 探究?jī)芍本€的位置關(guān)系
例4.【2017課標(biāo)3，文20】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題：
（1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；
（2）證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.
【解析】
【擴(kuò)展鏈接】
1.給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角；
2.給出,等于已知是的平分線；
3.在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;
4.在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;
5.已知拋物線方程為，定點(diǎn)M，直線過點(diǎn)M交拋物線于A，B兩點(diǎn)，，則有 ；
【新題展示】
1．【2019四川涼山二診】橢圓長(zhǎng)軸右端點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且，離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線交橢圓于、兩點(diǎn)，判斷是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【思路引導(dǎo)】
（1）由條件布列關(guān)于a，b的方程組，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由為的垂心可知，利用韋達(dá)定理表示此條件即可得到結(jié)果．
2．【2019山東濰坊一?！咳鐖D，點(diǎn)為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，點(diǎn)的軌跡記為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）若點(diǎn)，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，試問在曲線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由．
【思路引導(dǎo)】
（1）設(shè)，，則，，且，通過，轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由題意知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理得關(guān)于x的一元二次方程，假設(shè)存在點(diǎn)Q，滿足題意，則其充要條件為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x1+x2，y1+y2）．由此利用韋達(dá)定理結(jié)合點(diǎn)Q在曲線上，得到關(guān)于k的方程求解即可．
3．【2019山東淄博3月模擬】已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－2，0)，(2，0)．三角形ABM的兩條邊AM，BM所在直線的斜率之積是－．
(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡方程；
(Ⅱ)設(shè)直線AM方程為，直線l方程為x＝2，直線AM交l于P，點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱，直線MQ與x軸相交于點(diǎn)D．若△APD面積為2，求m的值．
【思路引導(dǎo)】
（I）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率乘積為建立方程，化簡(jiǎn)后求得點(diǎn)的軌跡方程．（II）聯(lián)立兩條直線的方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線的方程和的軌跡方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積列方程，解方程求得的值．
4．【2019福建龍巖質(zhì)檢】已知橢圓的兩焦點(diǎn)為、，拋物線：（）的焦點(diǎn)為，為等腰直角三角形．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，又過作拋物線的切線，使得，問這樣的直線是否存在？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．
【思路引導(dǎo)】
（Ⅰ）先寫出、的坐標(biāo)，利用為等腰直角三角形，求得p即可．
（Ⅱ）依題意，直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為y＝k（x+2），，可得切線l1，l2的斜率分別為，．x1x2＝﹣4．再將直線與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理解得k即可．
5．【2019廣西桂林市，賀州市，崇左市3月聯(lián)合調(diào)研】已知拋物線，過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且．
（1）求的值；
（2）若，，的面積成等比數(shù)列，求直線的方程．
【思路引導(dǎo)】
（1）利用，從而可得結(jié)果；（2）由（1）知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為，由 ．，，成等比數(shù)列，可得，即．利用韋達(dá)定理可得，解方程即可得結(jié)果．
6．【2019河北石家莊3月質(zhì)檢】已知橢圓（）的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，試問在軸上是否存在定點(diǎn)使得直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．[來源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]
【思路引導(dǎo)】
（1）由題得a，b，c的方程組求解即可（2）直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱，等價(jià)于的斜率互為相反數(shù)，即，整理．設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，將韋達(dá)定理代入整理即可．
7．【2019山東臨沂2月質(zhì)檢】已知拋物線E：上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為5．
(1)求拋物線E的方程；
(2)直線與圓C：相切且與拋物線E相交于A，B兩點(diǎn)，若△AOB的面積為4(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線的方程．
【思路引導(dǎo)】
（1）由拋物線的定義求出p的值，即可得出拋物線的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為x＝my+n，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），根據(jù)直線l與圓C相切得出m與n所滿足的第一個(gè)關(guān)系式，將直線l的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計(jì)算出|AB|以及原點(diǎn)O到直線l的距離d，然后利用三角形的面積公式計(jì)算出△AOB的面積，得出m與n所滿足的第二個(gè)關(guān)系式，然后將兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立，求出m和n的值，即可得出直線l的方程．
8．【2019湖北十堰模擬】已知橢圓過點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程，并求其離心率；
（2）過點(diǎn)作軸的垂線，設(shè)點(diǎn)為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上（點(diǎn)不在直線上），點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與交于另一點(diǎn)．設(shè)為原點(diǎn)，判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由．
【思路引導(dǎo)】
（1）將P點(diǎn)代入橢圓方程，可得a的值，結(jié)合離心率的公式可得離心率的值；
（2）設(shè)直線，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，分別求出，，根據(jù)斜率公式以及兩直線的位置關(guān)系與斜率的關(guān)系可得答案．
9．【2019安徽淮南一模】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且，過，三點(diǎn)的圓恰好與直線相切．
求橢圓的方程；
過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在點(diǎn)，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，說明理由．
【思路引導(dǎo)】
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，利用以及得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用外接圓圓心到該直線的距離等于半徑，可求出的值，進(jìn)而得出與的值，從而得出橢圓的方程；令，得出，設(shè)點(diǎn)、，將直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，將條件“以為鄰邊的平行四邊形是菱形”轉(zhuǎn)化為，得出這兩條直線的斜率之積為，然后得出的表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．
【同步訓(xùn)練】
1．已知橢圓的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P（x0，y0）是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用|OP|的值求得x0和y0的關(guān)系式，同時(shí)利用求得x0和y0的另一關(guān)系式，進(jìn)而求得c，通過橢圓的離心率求得a，最后利用a，b和c的關(guān)系求得b，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則可利用韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2，假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)M（0，m），滿足題設(shè)，則可表示出，利用=0求得m的值．
【詳細(xì)解析】
2.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F1（﹣2，0），點(diǎn)B（2，）在橢圓C上，直線y=kx（k≠0）與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF分別與y軸交于點(diǎn)M，N；
（1）求橢圓C的方程；
（2）以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知及隱含條件列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a2，b2的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），寫出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標(biāo)，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（±2，0）．
【詳細(xì)解析】
3.已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，F(xiàn)1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過F2作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若△F1AB的周長(zhǎng)為8．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l的斜率不為0，且它的中垂線與y軸交于Q，求Q的縱坐標(biāo)的范圍；
（3）是否在x軸上存在點(diǎn)M（m，0），使得x軸平分∠AMB？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓的性質(zhì)可知：4a=8，e==及b2=a2﹣c2，即可求得a和b的值，即可求得橢圓的方程；
（2）當(dāng)k不存在時(shí)，Q為原點(diǎn)，y0=0，當(dāng)k存在時(shí)，將直線方程代入橢圓方程，求得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求得x1+x2及x1?x2，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線PQ方程，令x=0，yQ=∈[﹣，0）∪（0，]，即可求得Q的縱坐標(biāo)的范圍；
（3）假設(shè)存在m，由x軸平分∠AMB可得，+=0，由（Ⅱ）可知，代入即可求得m的值．
【詳細(xì)解析】
4.已知圓E：（x+1）2+y2=16，點(diǎn)F（1，0），P是圓E上任意一點(diǎn)，線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；
（2）若直線y=k（x﹣1）與（1）中的軌跡Γ交于R，S兩點(diǎn)，問是否在x軸上存在一點(diǎn)T，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OTS=∠OTR？說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）連結(jié)QF，運(yùn)用垂直平分線定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，由橢圓的定義即可得到所求軌跡方程；
（2）假設(shè)存在T（t，0）滿足∠OTS=∠OTR．設(shè)R（x1，y1），S（x2，y2），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，由直線的斜率之和為0，化簡(jiǎn)整理，即可得到存在T（4，0）．
【詳細(xì)解析】
5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓（a＞b＞0）的離心率是e，定義直線y=為橢圓的“類準(zhǔn)線”，已知橢圓C的“類準(zhǔn)線”方程為y=，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P在橢圓C的“類準(zhǔn)線”上（但不在y軸上），過點(diǎn)P作圓O：x2+y2=3的切線l，過點(diǎn)O且垂直于OP的直線l交于點(diǎn)A，問點(diǎn)A是否在橢圓C上？證明你的結(jié)論．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意列關(guān)于a，b，c的方程，聯(lián)立方程組求得a2=4，b2=3，c2=1，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)P（x0，2）（x0≠0），當(dāng)x0=時(shí)和x0=﹣時(shí)，求出A的坐標(biāo)，代入橢圓方程驗(yàn)證知，A在橢圓上，當(dāng)x0≠±時(shí)，求出過點(diǎn)O且垂直于0P的直線與橢圓的交點(diǎn)，寫出該交點(diǎn)與P點(diǎn)的連線所在直線方程，由原點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑說明直線是圓的切線，從而說明點(diǎn)A在橢圓C上．
【詳細(xì)解析】
6.已知橢圓E過點(diǎn)A（2，3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e=，∠F1AF2的平分線所在直線為l．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)及直線l的方程；
（3）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），離心率，建立方程組，求得幾何量，即可得到橢圓E的方程；
（2）求得AF1方程、AF2方程，利用角平分線性質(zhì)，即可求得∠F1AF2的平分線所在直線l的方程；
（3）假設(shè)存在B（x1，y1）C（x2，y2）兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，設(shè)出直線BC方程代入橢圓E的方程，求得BC中點(diǎn)代入直線2x﹣y﹣1=0上，即可得到結(jié)論．
【詳細(xì)解析】
7.）如圖，已知F1、F2是橢圓G：的左、右焦點(diǎn)，直線l：y=k（x+1）經(jīng)過左焦點(diǎn)F1，且與橢圓G交于A、B兩點(diǎn)，△ABF2的周長(zhǎng)為．
（1）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在直線l，使得△ABF2為等腰直角三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可知：c=1，4a=4，b2=a2﹣c2=3﹣1=2．即可求得橢圓方程；
（2）分類討論，假設(shè)|AF2|=|BF2|，利用作差法，即可求得x1+x2=6．（與x1≤，x2≤，x1+x2≤2＜6，矛盾），將直線方程代入橢圓方程由韋達(dá)定理：=6，矛盾．故|AF2|≠|(zhì)BF2|．再證明AB不可能為等腰直角三角形的直角腰．由勾股定理得：，此方程無解．故不存在這樣的等腰直角三角形．
【詳細(xì)解析】
8.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（，1），過點(diǎn)A（0，1）的動(dòng)直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)直線l過橢圓C的左焦點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在與點(diǎn)A不同的定點(diǎn)B，使得∠ABM=∠ABN恒成立？若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）將點(diǎn)（，1）代入橢圓方程，設(shè)左焦點(diǎn)為（﹣c，0），再由斜率公式，可得c的值，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，即可得到橢圓方程；
（2）假設(shè)存在與點(diǎn)A不同的定點(diǎn)B，使得∠ABM=∠ABN恒成立．當(dāng)直線MN的斜率為0時(shí)，由對(duì)稱性可得B在y軸上，設(shè)為B（0，t），設(shè)直線MN的方程為x=my+1，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由假設(shè)可得kBM+kBN=0，化簡(jiǎn)整理，可得t+2m=0，故不存在這樣的定點(diǎn)B．
【詳細(xì)解析】
9.已知橢圓E的方程是+=1，左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，在橢圓E上有一動(dòng)點(diǎn)A，過A、F1作一個(gè)平行四邊形，使頂點(diǎn)A、B、C、D都在橢圓E上，如圖所示．
（Ⅰ） 判斷四邊形ABCD能否為菱形，并說明理由．[來源:Z*xx*k.Cm]
（Ⅱ） 當(dāng)四邊形ABCD的面積取到最大值時(shí)，判斷四邊形ABCD的形狀，并求出其最大值．
【思路點(diǎn)撥】（1） 設(shè)直線方程，代入橢圓方程，若四邊形ABCD能否為菱形，則OA⊥OB，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，整理可知=0，方程無實(shí)數(shù)解，故四邊形ABCD不能是菱形；
（2）由三角形的面積公式SABCD=2丨OF1丨丨y1﹣y2丨=2，利用韋達(dá)定理，及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，函數(shù)的單調(diào)性即可求得ABCD的面積取到最大值及m的值．
【詳細(xì)解析】
10.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（0，3），與雙曲線=1有相同的焦點(diǎn)
（1）求橢圓C的方程；
（2）過A點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，則PQ是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得橢圓的c，由A點(diǎn)，可得b，求得a，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），直線AP的斜率為k，直線AQ的斜率為﹣，直線AP的方程為y=kx+3，代入橢圓方程，求得P的坐標(biāo)，k換為﹣，可得Q的坐標(biāo)，求出直線PQ的斜率，以及方程，整理可得恒過定點(diǎn)．
【詳細(xì)解析】
11.如圖，已知F為橢圓+=1的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且互相垂直的兩條直線分別交橢圓于A、B及C、D．
（1）求證：+為定值；
（2）若直線CD交直線l：x=﹣于點(diǎn)P，試探究四邊形OAPB能否為平行四邊形，并說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）當(dāng)直線AB、CD有一平行于x軸時(shí)，+=，當(dāng)直線AB、CD都不平行于x軸時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB：y=k（x+1），則直線CD：y=﹣（x+1），將直線直線AB 與橢圓方程聯(lián)立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式能求出AB，同理求出CD，由此能證明=．
（2）假設(shè)四邊形OAPB是平行四邊形，即，此時(shí)直線AB、CD都不平行于x軸．P（﹣，），則=（x1，y1），=（﹣，），推導(dǎo)出，無解，由此得到四邊形OAPB不可能是平行四邊形．
【詳細(xì)解析】
12.已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過點(diǎn)（1，）．
（1）求E的方程；
（2）是否存在直線l：y=kx+m相交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足：①OP與OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之和為2；②直線l與圓x2+y2=1相切．若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓的離心率公式求得a2=4b2，將點(diǎn)（1，）代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）將直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線的斜率公式，求得m2+k=1，由，即可求得k的取值范圍，由點(diǎn)到直線的距離即可求得k和m的值，求得直線l的方程．
【詳細(xì)解析】
【題型綜述】
探究圖形之性質(zhì)問題解題策略：（1）“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素某性質(zhì)圖形存在，用向量或平面幾何知識(shí)，轉(zhuǎn)化直線與圓錐曲線交點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)式，利用設(shè)而不求思想，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則某性質(zhì)圖形存在存在；否則，元素某性質(zhì)圖形存在不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問題常用的方法.
【典例指引】
類型一 面積計(jì)算
例1 【2016高考上海理數(shù)】（本題滿分14）有一塊正方形菜地,所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到點(diǎn)或河邊運(yùn)走。于是，菜地分為兩個(gè)區(qū)域和，其中中的蔬菜運(yùn)到河邊較近，中的蔬菜運(yùn)到點(diǎn)較近，而菜地內(nèi)和的分界線上的點(diǎn)到河邊與到點(diǎn)的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0），如圖
求菜地內(nèi)的分界線的方程
菜農(nóng)從蔬菜運(yùn)量估計(jì)出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗(yàn)值”為。設(shè)是上縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算以為一邊、另一邊過點(diǎn)的矩形的面積，及五邊形的面積，并判斷哪一個(gè)更接近于面積的經(jīng)驗(yàn)值
所求的矩形面積為，而所求的五邊形面積為．
矩形面積與“經(jīng)驗(yàn)值”之差的絕對(duì)值為，而五邊形面積與“經(jīng)驗(yàn)值”之差
的絕對(duì)值為，所以五邊形面積更接近于面積的“經(jīng)驗(yàn)值”．
類型二 四邊形形狀探究
例2. 【2015高考新課標(biāo)2，理20】已知橢圓,直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為．
（Ⅰ）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；
（Ⅱ）若過點(diǎn)，延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說明理由．
．解得，．因?yàn)?，，，所以?dāng)?shù)男甭蕿?br>或時(shí)，四邊形為平行四邊形．
類型三 探究角是否相等
例3【2015高考北京，理19】已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓上，直線交軸于點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)（用，表示）；
（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線交軸于點(diǎn)．問：軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
），則，存在點(diǎn)使得.
類型四 探究?jī)芍本€的位置關(guān)系
例4.【2017課標(biāo)3，文20】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題：
（1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由；
（2）證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.
【擴(kuò)展鏈接】
1.給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角；
2.給出,等于已知是的平分線；
3.在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;
4.在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;
5.已知拋物線方程為，定點(diǎn)M，直線過點(diǎn)M交拋物線于A，B兩點(diǎn)，，則有 ；
【新題展示】
1．【2019四川涼山二診】橢圓長(zhǎng)軸右端點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，且，離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線交橢圓于、兩點(diǎn)，判斷是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【思路引導(dǎo)】
（1）由條件布列關(guān)于a，b的方程組，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由為的垂心可知，利用韋達(dá)定理表示此條件即可得到結(jié)果．
【解析】
（1）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為．
則、、、、
由，即，又，
解得，橢圓的方程為
（2）為的垂心，
又，
，
設(shè)直線：，，
將直線方程代入，得
，
，且
又，，
，即
由韋達(dá)定理得：
解之得：或（舍去）
存在直線：使為的垂心．
2．【2019山東濰坊一?！咳鐖D，點(diǎn)為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，點(diǎn)的軌跡記為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）若點(diǎn)，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，試問在曲線上是否存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由．
【思路引導(dǎo)】
（1）設(shè)，，則，，且，通過，轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由題意知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理得關(guān)于x的一元二次方程，假設(shè)存在點(diǎn)Q，滿足題意，則其充要條件為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x1+x2，y1+y2）．由此利用韋達(dá)定理結(jié)合點(diǎn)Q在曲線上，得到關(guān)于k的方程求解即可．
【解析】
（1）設(shè)，，則，，
由題意知，所以為中點(diǎn)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得
，
即，
又點(diǎn)在圓：上，故滿足
，
得．
（2）由題意知直線的斜率存在且不為零，
設(shè)直線的方程為，
因?yàn)椋剩? ①，
聯(lián)立，
消去得：，
設(shè)，，
，，
，
因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，故?br>點(diǎn)在橢圓上，故，整理得，②，
將①代入②，得，該方程無解，
故這樣的直線不存在．
3．【2019山東淄博3月模擬】已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(－2，0)，(2，0)．三角形ABM的兩條邊AM，BM所在直線的斜率之積是－．
(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡方程；
(Ⅱ)設(shè)直線AM方程為，直線l方程為x＝2，直線AM交l于P，點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸對(duì)稱，直線MQ與x軸相交于點(diǎn)D．若△APD面積為2，求m的值．
【思路引導(dǎo)】
（I）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率乘積為建立方程，化簡(jiǎn)后求得點(diǎn)的軌跡方程．（II）聯(lián)立兩條直線的方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線的方程和的軌跡方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線的方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積列方程，解方程求得的值．
【解析】
（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0），
所以，直線AM的斜率
同理，直線BM的斜率
由已知又
化簡(jiǎn)，得點(diǎn)M的軌跡方程
（Ⅱ）解：直線AM的方程為x=my-2（m≠0），與直線l的方程x=2聯(lián)立，可得點(diǎn)，故．
將x=my-2與聯(lián)立，消去x，整理得，解得y=0，或．
由題設(shè)，可得點(diǎn)．由，
可得直線MQ的方程為，
令y=0，解得，故．
所以．
所以△APD的面積為：
又因?yàn)椤鰽PD的面積為，故，
整理得，解得，
所以．
4．【2019福建龍巖質(zhì)檢】已知橢圓的兩焦點(diǎn)為、，拋物線：（）的焦點(diǎn)為，為等腰直角三角形．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，又過作拋物線的切線，使得，問這樣的直線是否存在？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．
【思路引導(dǎo)】
（Ⅰ）先寫出、的坐標(biāo)，利用為等腰直角三角形，求得p即可．
（Ⅱ）依題意，直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為y＝k（x+2），，可得切線l1，l2的斜率分別為，．x1x2＝﹣4．再將直線與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理解得k即可．
【解析】
（Ⅰ）橢圓，，兩焦點(diǎn)為，，
∵為等腰直角三角形，，，
（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，的斜率必存在，
設(shè)直線的方程為，
由得
，或
拋物線方程得為所以
切線的斜率分別為，
當(dāng)時(shí)，，即
又，解得合題意，
所以存在直線的方程是，即
5．【2019廣西桂林市，賀州市，崇左市3月聯(lián)合調(diào)研】已知拋物線，過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且．
（1）求的值；
（2）若，，的面積成等比數(shù)列，求直線的方程．
【思路引導(dǎo)】
（1）利用 ，從而可得結(jié)果；（2）由（1）知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為，由 ．，，成等比數(shù)列，可得，即．利用韋達(dá)定理可得，解方程即可得結(jié)果．
【解析】
（1）據(jù)題直線，斜率均存在，且，．
．故．
（2）由（1）知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，
據(jù)題意，直線的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線的方程為．
由 ．
設(shè)，，則有，，
．
若，，的面積成等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列
∴，即：．
∴
∴，則．
解得，或，均滿足．
故直線的方程為或．
6．【2019河北石家莊3月質(zhì)檢】已知橢圓（）的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，試問在軸上是否存在定點(diǎn)使得直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【思路引導(dǎo)】
（1）由題得a，b，c的方程組求解即可（2）直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱，等價(jià)于的斜率互為相反數(shù)，即，整理．設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，將韋達(dá)定理代入整理即可．
【解析】
(1)由題意可得，，又， 解得，．
所以，橢圓的方程為
(2)存在定點(diǎn)，滿足直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱．
設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，整理得，．
設(shè)，，定點(diǎn)．(依題意
則由韋達(dá)定理可得，，．
直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱，等價(jià)于的斜率互為相反數(shù)．
所以，，即得．
又，，
所以，，整理得，．
從而可得，，
即，
所以，當(dāng)，即時(shí)，直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱成立． 特別地，當(dāng)直線為軸時(shí)，也符合題意． 綜上所述，存在軸上的定點(diǎn)，滿足直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱．
7．【2019山東臨沂2月質(zhì)檢】已知拋物線E：上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為5．
(1)求拋物線E的方程；
(2)直線與圓C：相切且與拋物線E相交于A，B兩點(diǎn)，若△AOB的面積為4(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線的方程．
【思路引導(dǎo)】
（1）由拋物線的定義求出p的值，即可得出拋物線的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為x＝my+n，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），根據(jù)直線l與圓C相切得出m與n所滿足的第一個(gè)關(guān)系式，將直線l的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計(jì)算出|AB|以及原點(diǎn)O到直線l的距離d，然后利用三角形的面積公式計(jì)算出△AOB的面積，得出m與n所滿足的第二個(gè)關(guān)系式，然后將兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立，求出m和n的值，即可得出直線l的方程．
【解析】
（1）由拋物線的定義知，所以，p＝2，因此，拋物線E的方程為y2＝4x；
（2）由題意知，直線l與y軸不垂直，設(shè)直線l的方程為x＝my+n．
∵直線l與圓C相切，又圓C的圓心為（2，0），所以，，∴4m2＝n2﹣4n，
設(shè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），由，消去x得，y2﹣4my﹣4n＝0，
由韋達(dá)定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n．
則
，
又原點(diǎn)O到直線l的距離為，
∴，
∴，∴（m2+n）n2＝4，
又4m2＝n2﹣4n，解得n＝±2．
當(dāng)n＝2時(shí)，m2＝﹣1不成立；
當(dāng)n＝﹣2時(shí)，m2＝3，∴．
經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程為，即．
8．【2019湖北十堰模擬】已知橢圓過點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程，并求其離心率；
（2）過點(diǎn)作軸的垂線，設(shè)點(diǎn)為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上（點(diǎn)不在直線上），點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與交于另一點(diǎn)．設(shè)為原點(diǎn)，判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由．
【思路引導(dǎo)】
（1）將P點(diǎn)代入橢圓方程，可得a的值，結(jié)合離心率的公式可得離心率的值；
（2）設(shè)直線，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，分別求出，，根據(jù)斜率公式以及兩直線的位置關(guān)系與斜率的關(guān)系可得答案．
【解析】
（1）由橢圓方程橢圓過點(diǎn)，可得．
∴，
∴橢圓的方程為，離心率．
（2）直線與直線平行．證明如下：
設(shè)直線，，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
由得，
∴，∴，同理，
∴，
由，，有，
∵在第四象限，∴，且不在直線上．∴，
又，故，∴直線與直線平行．
9．【2019安徽淮南一?！吭O(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且，過，三點(diǎn)的圓恰好與直線相切．
求橢圓的方程；
過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在點(diǎn)，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，說明理由．
【思路引導(dǎo)】
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，利用以及得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用外接圓圓心到該直線的距離等于半徑，可求出的值，進(jìn)而得出與的值，從而得出橢圓的方程；令，得出，設(shè)點(diǎn)、，將直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，將條件“以為鄰邊的平行四邊形是菱形”轉(zhuǎn)化為，得出這兩條直線的斜率之積為，然后得出的表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】
設(shè)橢圓C的焦距為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，且，
如下圖所示，
，，
，則，所以，，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
直線與直線AQ垂直，且點(diǎn)，所以，，，
由，得，則，．
為直角三角形，且為斜邊，
線段的中點(diǎn)為，的外接圓半徑為2c．
由題意可知，點(diǎn)到直線的距離為，
所以，，，，
因此，橢圓C的方程為．
由題意知，直線的斜率，并設(shè)，則直線l的方程為，
設(shè)點(diǎn)、
將直線的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，
消去x得，
由韋達(dá)定理得，．
，．
所以，線段MN的中點(diǎn)為點(diǎn)．
由于以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，則，則，所以，．
由兩點(diǎn)連線的斜率公式可得，得．
由于，則，所以，，所以，．
因此，在x軸上存在點(diǎn)，使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，
且實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
【同步訓(xùn)練】
1．已知橢圓的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P（x0，y0）是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用|OP|的值求得x0和y0的關(guān)系式，同時(shí)利用求得x0和y0的另一關(guān)系式，進(jìn)而求得c，通過橢圓的離心率求得a，最后利用a，b和c的關(guān)系求得b，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則可利用韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2，假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)M（0，m），滿足題設(shè)，則可表示出，利用=0求得m的值．
假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)M（0，m），滿足題設(shè)，則．
=
=
=
=
由假設(shè)得對(duì)于任意的恒成立，
即解得m=1．
因此，在y軸上存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）
2.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F1（﹣2，0），點(diǎn)B（2，）在橢圓C上，直線y=kx（k≠0）與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF分別與y軸交于點(diǎn)M，N；
（1）求橢圓C的方程；
（2）以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知及隱含條件列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a2，b2的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），寫出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標(biāo)，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（±2，0）．

AE所在直線方程為，取x=0，得y=，
∴M（0，）．
則以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為（0，），
半徑r=，

3.已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，F(xiàn)1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過F2作直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若△F1AB的周長(zhǎng)為8．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l的斜率不為0，且它的中垂線與y軸交于Q，求Q的縱坐標(biāo)的范圍；
（3）是否在x軸上存在點(diǎn)M（m，0），使得x軸平分∠AMB？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓的性質(zhì)可知：4a=8，e==及b2=a2﹣c2，即可求得a和b的值，即可求得橢圓的方程；
（2）當(dāng)k不存在時(shí)，Q為原點(diǎn)，y0=0，當(dāng)k存在時(shí)，將直線方程代入橢圓方程，求得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求得x1+x2及x1?x2，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線PQ方程，令x=0，yQ=∈[﹣，0）∪（0，]，即可求得Q的縱坐標(biāo)的范圍；
（3）假設(shè)存在m，由x軸平分∠AMB可得，+=0，由（Ⅱ）可知，代入即可求得m的值．
【詳細(xì)解析】（1）由橢圓的性質(zhì)可知：4a=8，a=2，
e==，c=1，
b2=a2﹣c2=4﹣1=3，b=，
∴橢圓的方程；
（3）存在m=4，
假設(shè)存在m，由x軸平分∠AMB可得，kMA+kMB=0，
即+=0，
k（x1﹣1）（x2﹣m）+k（x2﹣1）（x1﹣m）=0，
∴2x1?x2﹣（m+1）（x1+x2）+2m=0，
∴8k2﹣24﹣8k2m﹣8k2+6m+8mk2=0，
解得：m=4．
4.已知圓E：（x+1）2+y2=16，點(diǎn)F（1，0），P是圓E上任意一點(diǎn)，線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；
（2）若直線y=k（x﹣1）與（1）中的軌跡Γ交于R，S兩點(diǎn)，問是否在x軸上存在一點(diǎn)T，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OTS=∠OTR？說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）連結(jié)QF，運(yùn)用垂直平分線定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，由橢圓的定義即可得到所求軌跡方程；
（2）假設(shè)存在T（t，0）滿足∠OTS=∠OTR．設(shè)R（x1，y1），S（x2，y2），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，由直線的斜率之和為0，化簡(jiǎn)整理，即可得到存在T（4，0）．
（2）假設(shè)存在T（t，0）滿足∠OTS=∠OTR．
設(shè)R（x1，y1），S（x2，y2）聯(lián)立，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，
由韋達(dá)定理有①，其中△＞0恒成立，
由∠OTS=∠OTR（顯然TS，TR的斜率存在），
故kTS+kTR=0即②，
由R，S兩點(diǎn)在直線y=k（x﹣1）上，
故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，
即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③，
將①代入③，即有：④，
要使得④與k的取值無關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)“t=4“時(shí)成立，
綜上所述存在T（4，0），使得當(dāng)k變化時(shí)，總有∠OTS=∠OTR．
5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓（a＞b＞0）的離心率是e，定義直線y=為橢圓的“類準(zhǔn)線”，已知橢圓C的“類準(zhǔn)線”方程為y=，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P在橢圓C的“類準(zhǔn)線”上（但不在y軸上），過點(diǎn)P作圓O：x2+y2=3的切線l，過點(diǎn)O且垂直于OP的直線l交于點(diǎn)A，問點(diǎn)A是否在橢圓C上？證明你的結(jié)論．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意列關(guān)于a，b，c的方程，聯(lián)立方程組求得a2=4，b2=3，c2=1，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)P（x0，2）（x0≠0），當(dāng)x0=時(shí)和x0=﹣時(shí)，求出A的坐標(biāo)，代入橢圓方程驗(yàn)證知，A在橢圓上，當(dāng)x0≠±時(shí)，求出過點(diǎn)O且垂直于0P的直線與橢圓的交點(diǎn)，寫出該交點(diǎn)與P點(diǎn)的連線所在直線方程，由原點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑說明直線是圓的切線，從而說明點(diǎn)A在橢圓C上．

PA1所在直線方程為（2+x0）x﹣（x0﹣6）y﹣x02﹣12=0．
此時(shí)原點(diǎn)O到該直線的距離d==，
∴說明A點(diǎn)在橢圓C上；
同理說明另一種情況的A也在橢圓C上．
綜上可得，點(diǎn)A在橢圓C上．
另解：設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），由圓上一點(diǎn)的切線方程可得
切線l的方程為x0x+y0y=3，代入y=2，可得x=，
即有P（，2），kOP=，
與OP垂直的直線，且過O的直線為y=x，
代入x0x+y0y=3，結(jié)合x02+y02=3，可得x=，
y=，
即為A（，），
由3（）2+4（）2==12，
則點(diǎn)A在橢圓C上．
6.已知橢圓E過點(diǎn)A（2，3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e=，∠F1AF2的平分線所在直線為l．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)及直線l的方程；
（3）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），離心率，建立方程組，求得幾何量，即可得到橢圓E的方程；
（2）求得AF1方程、AF2方程，利用角平分線性質(zhì)，即可求得∠F1AF2的平分線所在直線l的方程；
（3）假設(shè)存在B（x1，y1）C（x2，y2）兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，設(shè)出直線BC方程代入橢圓E的方程，求得BC中點(diǎn)代入直線2x﹣y﹣1=0上，即可得到結(jié)論．

7.）如圖，已知F1、F2是橢圓G：的左、右焦點(diǎn)，直線l：y=k（x+1）經(jīng)過左焦點(diǎn)F1，且與橢圓G交于A、B兩點(diǎn)，△ABF2的周長(zhǎng)為．
（1）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在直線l，使得△ABF2為等腰直角三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可知：c=1，4a=4，b2=a2﹣c2=3﹣1=2．即可求得橢圓方程；
（2）分類討論，假設(shè)|AF2|=|BF2|，利用作差法，即可求得x1+x2=6．（與x1≤，x2≤，x1+x2≤2＜6，矛盾），將直線方程代入橢圓方程由韋達(dá)定理：=6，矛盾．故|AF2|≠|(zhì)BF2|．再證明AB不可能為等腰直角三角形的直角腰．由勾股定理得：，此方程無解．故不存在這樣的等腰直角三角形．
（2）不存在．理由如下：先用反證法證明AB不可能為底邊，即|AF2|≠|(zhì)BF2|．
由題意知F2（1，0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），假設(shè)|AF2|=|BF2|，
則，
又，，代入上式，消去，得：（x1﹣x2）（x1+x2﹣6）=0．
因?yàn)橹本€l斜率存在，所以直線l不垂直于x軸，所以x1≠x2，故x1+x2=6（與x1≤，x2≤，x1+x2≤2＜6，矛盾）．
聯(lián)立方程，得：（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，
所以=6，矛盾．
故|AF2|≠|(zhì)BF2|．
再證明AB不可能為等腰直角三角形的直角腰．
假設(shè)△ABF2為等腰直角三角形，不妨設(shè)A為直角頂點(diǎn)．
設(shè)|AF1|=m，則，
在△AF1F2中，由勾股定理得：，此方程無解．
故不存在這樣的等腰直角三角形．
8.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（，1），過點(diǎn)A（0，1）的動(dòng)直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)直線l過橢圓C的左焦點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在與點(diǎn)A不同的定點(diǎn)B，使得∠ABM=∠ABN恒成立？若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）將點(diǎn)（，1）代入橢圓方程，設(shè)左焦點(diǎn)為（﹣c，0），再由斜率公式，可得c的值，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，即可得到橢圓方程；
（2）假設(shè)存在與點(diǎn)A不同的定點(diǎn)B，使得∠ABM=∠ABN恒成立．當(dāng)直線MN的斜率為0時(shí)，由對(duì)稱性可得B在y軸上，設(shè)為B（0，t），設(shè)直線MN的方程為x=my+1，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由假設(shè)可得kBM+kBN=0，化簡(jiǎn)整理，可得t+2m=0，故不存在這樣的定點(diǎn)B．
即有2my1y2+（y1+y2）=t[m（y1+y2）+2]，
即為﹣=t（﹣+2），
化為﹣8m=4t，即t+2m=0，由于m為任意的，則t不為定值．
故不存在與點(diǎn)A不同的定點(diǎn)B，使得∠ABM=∠ABN恒成立．
9.已知橢圓E的方程是+=1，左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，在橢圓E上有一動(dòng)點(diǎn)A，過A、F1作一個(gè)平行四邊形，使頂點(diǎn)A、B、C、D都在橢圓E上，如圖所示．
（Ⅰ） 判斷四邊形ABCD能否為菱形，并說明理由．
（Ⅱ） 當(dāng)四邊形ABCD的面積取到最大值時(shí)，判斷四邊形ABCD的形狀，并求出其最大值．
【思路點(diǎn)撥】（1） 設(shè)直線方程，代入橢圓方程，若四邊形ABCD能否為菱形，則OA⊥OB，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，整理可知=0，方程無實(shí)數(shù)解，故四邊形ABCD不能是菱形；
（2）由三角形的面積公式SABCD=2丨OF1丨丨y1﹣y2丨=2，利用韋達(dá)定理，及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，函數(shù)的單調(diào)性即可求得ABCD的面積取到最大值及m的值．
（2）由題SABCD=4S△AOB，而S△AOB=丨OF1丨丨y1﹣y2丨，又丨OF1丨=1，
即SABCD=2丨OF1丨丨y1﹣y2丨=2，…（8分）
由（Ⅰ）知y1+y2=﹣，y1y2=﹣
∴SABCD=2==24，
∵函數(shù)，t∈[1，+∞），在t=1時(shí)，f（t）min=10，…（11分）
∴SABCD的最大值為6，此時(shí)m2+1=1，即m=0時(shí)，
此時(shí)直線AB⊥x軸，即ABCD是矩形．…（12分）
10.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（0，3），與雙曲線=1有相同的焦點(diǎn)
（1）求橢圓C的方程；
（2）過A點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，則PQ是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得橢圓的c，由A點(diǎn)，可得b，求得a，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），直線AP的斜率為k，直線AQ的斜率為﹣，直線AP的方程為y=kx+3，代入橢圓方程，求得P的坐標(biāo)，k換為﹣，可得Q的坐標(biāo)，求出直線PQ的斜率，以及方程，整理可得恒過定點(diǎn)．
【詳細(xì)解析】（1）雙曲線=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），（﹣3，0），
可得橢圓中的c=3，由橢圓過點(diǎn)A（0，3），可得b=3，
則a==6，
則橢圓的方程為+=1；

11.如圖，已知F為橢圓+=1的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且互相垂直的兩條直線分別交橢圓于A、B及C、D．
（1）求證：+為定值；
（2）若直線CD交直線l：x=﹣于點(diǎn)P，試探究四邊形OAPB能否為平行四邊形，并說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）當(dāng)直線AB、CD有一平行于x軸時(shí)，+=，當(dāng)直線AB、CD都不平行于x軸時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB：y=k（x+1），則直線CD：y=﹣（x+1），將直線直線AB 與橢圓方程聯(lián)立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式能求出AB，同理求出CD，由此能證明=．
（2）假設(shè)四邊形OAPB是平行四邊形，即，此時(shí)直線AB、CD都不平行于x軸．P（﹣，），則=（x1，y1），=（﹣，），推導(dǎo)出，無解，由此得到四邊形OAPB不可能是平行四邊形．
∴x1+x2=，x1x2=．
AB=|x1﹣x2|
=
==，…（4分）
同理：CD=，…（4分）
∴===．
綜上：=．故+為定值．…（6分）

12.已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過點(diǎn)（1，）．
（1）求E的方程；
（2）是否存在直線l：y=kx+m相交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足：①OP與OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之和為2；②直線l與圓x2+y2=1相切．若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓的離心率公式求得a2=4b2，將點(diǎn)（1，）代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）將直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線的斜率公式，求得m2+k=1，由，即可求得k的取值范圍，由點(diǎn)到直線的距離即可求得k和m的值，求得直線l的方程．
（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則，
整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，
由x1+x2=﹣，x1x2=，
由kOP+kOQ=+===2，
2（k﹣1）x1x2+m（x1+x2）=0，
∴2（k﹣1）×+m×（﹣）=0，
整理得：m2+k=1，
由△=16（4k2﹣m2+1）=16（4k2+k），
，解得：k＜﹣，或0＜k≤1，
直線與圓x2+y2=1相切，則=1，
聯(lián)立解得k=0（舍去），k=﹣1，
∴m2=2，即m=±，
∴直線l的方程y=x±．

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