用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
（1）用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
求函數(shù)的定義域→求導(dǎo)→解不等式＞0得解集→求，得函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．
一般地，函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，＞0在這個區(qū)間是增函數(shù)
一般地，函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，＜0在這個區(qū)間是減函數(shù)
（2）單調(diào)性的應(yīng)用（已知函數(shù)單調(diào)性）
一般地，函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，在這個區(qū)間是增(減)函數(shù)≥。
常用思想方法：
函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，說明導(dǎo)數(shù)大于或等于零恒成立．，而函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞減，說明導(dǎo)數(shù)小于或等于零恒成立．
【典例指引】
例1．已知函數(shù)， ．
⑴ 若曲線在點處的切線經(jīng)過點，求實數(shù)的值；
⑵ 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍．
例2．已知函數(shù)．（x＞0）
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
例3．已知函數(shù)．
（1）若曲線在點處的切線的傾斜角為，求實數(shù)的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的范圍
[來源:學(xué)&科&網(wǎng)]
【新題展示】
1．【2019貴州遵義聯(lián)考】已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.
2．【2019陜西西安市期末】已知函數(shù)
（1）求的極值；
（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.
【同步訓(xùn)練】
1．已知函數(shù)．
（1）若的圖像在處的切線與軸平行，求的極值；
（2）若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．
2．已知函數(shù)．
（1）若在上遞增，求的取值范圍；
（2）證明：．
3．已知函數(shù)．
（1）若曲線與曲線在它們的公共點處具有公共切線，求的表達式；
（2）若在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
4．設(shè)函數(shù)．
（1）若時，取得極值，求的值；
（2）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求的取值范圍．
5．己知函數(shù)，．
（I）求函數(shù)上零點的個數(shù)；
（II）設(shè)，若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
6．已知函數(shù)的切線方程為y=3x+1．
(1) 若函數(shù)處有極值，求的表達式；
(2) 若函數(shù)在區(qū)間[－2，1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)b的取值范圍．
7．已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為1，求實數(shù)的值；
（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
8．（本題15分）已知函數(shù)．
（I）若在處的切線方程為，求的值；
（II）若在上為增函數(shù)，求得取值范圍．
9．已知函數(shù)
（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍．
10．已知函數(shù)．
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．
11．已知函數(shù) ．
（Ⅰ）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；
（Ⅱ）討論的單調(diào)性．
12．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；
（2）若在上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù) 的取值范圍．
【題型綜述】
用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
（1）用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
求函數(shù)的定義域→求導(dǎo)→解不等式＞0得解集→求，得函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．
一般地，函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，＞0在這個區(qū)間是增函數(shù)
一般地，函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，＜0在這個區(qū)間是減函數(shù)
（2）單調(diào)性的應(yīng)用（已知函數(shù)單調(diào)性）
一般地，函數(shù)在某個區(qū)間可導(dǎo)，在這個區(qū)間是增(減)函數(shù)≥。
常用思想方法：
函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，說明導(dǎo)數(shù)大于或等于零恒成立．，而函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞減，說明導(dǎo)數(shù)小于或等于零恒成立．
【典例指引】
例1．已知函數(shù)， ．
⑴ 若曲線在點處的切線經(jīng)過點，求實數(shù)的值；
⑵ 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍．[來源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K]
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)題意，對函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得曲線 在點處的切線方程，代入點，計算可得答案；
（2）由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分函數(shù)在（上單調(diào)增與單調(diào)減兩種情況討論，綜合即可得答案；

若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在恒成立，
，得；
若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在恒成立，
，得，
綜上，實數(shù)的取值范圍為
例2．已知函數(shù)．（x＞0）
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
（1）函數(shù)求導(dǎo)，令得函數(shù)增區(qū)間，令得函數(shù)的減區(qū)間；
（2）函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù)，只需在上恒成立即可．
點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出．導(dǎo)數(shù)專題在高考中的命題方向及命題角度：從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題；（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
例3．已知函數(shù)．
（1）若曲線在點處的切線的傾斜角為，求實數(shù)的值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的范圍
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)切線的傾斜角為得到切線的斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以知道處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，建立等量關(guān)系，求出a即可;
（2）根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可轉(zhuǎn)化成，對恒成立，將參數(shù)a分離，轉(zhuǎn)化成當(dāng)時，不等式恒成立，利用均值不等式求出不等式右邊函數(shù)的最小值，進而得實數(shù)a的范圍
【新題展示】
1．【2019貴州遵義聯(lián)考】已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.
【思路引導(dǎo)】
（1）當(dāng)時，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此求得函數(shù)的極值.
（2）依題意可知函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為非正數(shù)，列不等式后利用分離常數(shù)法，求解出的取值范圍.
【解析】
（1）當(dāng)時， ，
，
由解得，由解得，
故當(dāng)時，的單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，無極小值.
2．【2019陜西西安市期末】已知函數(shù)
（1）求的極值；
（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.
【思路引導(dǎo)】
（1）由已知可得，求出其導(dǎo)函數(shù)，解得導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進一步求得極值
（2）由函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，可得恒成立，分離參數(shù)，利用基本不等式求得最值可得答案
【解析】
(2)，，
由題意可知恒成立，即
時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故，則
【同步訓(xùn)練】
1．已知函數(shù)．
（1）若的圖像在處的切線與軸平行，求的極值；
（2）若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
（1）求出，由求得，研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求得的極值；（2）化簡，可得，對求實數(shù)分三種情況討論，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，驗證函數(shù)在內(nèi)是否單調(diào)遞增即可得結(jié)果．
（2），則 ．
設(shè)，
①當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時， ，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足條件；
②當(dāng)時，是開口向下的拋物線，方程有兩個實根，設(shè)較大實根為．當(dāng)時，有，即，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，故不符合條件；
③當(dāng)時，由可得在內(nèi)恒成立，
故只需或，即或，解之得．
綜上可知，實數(shù)的取值范圍是．
2．已知函數(shù)．
（1）若在上遞增，求的取值范圍；
（2）證明：．
【思路引導(dǎo)】
（1）要使在上遞增，只需，且不恒等于0，所以先求得函數(shù)的增區(qū)間， 是增區(qū)間的子區(qū)間．（2）當(dāng)時， ， 顯然成立． 當(dāng)時，即證明 ，令
（），即求，由導(dǎo)數(shù)可證．
∴，即．
綜上， ．
3．已知函數(shù)．
（1）若曲線與曲線在它們的公共點處具有公共切線，求的表達式；
（2）若在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a的方程，求出a的值，計算g（1）=0，求出b的值，從而求出g（x）的解析式即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，x∈[1，+∞），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．
點睛：求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點，則以的切點的切線方程為： ．若曲線在點的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時，由切線定義知，切線方程為．
4．設(shè)函數(shù)．
（1）若時，取得極值，求的值；
（2）若在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)若時，取得極值得，解之即可；（2）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)可轉(zhuǎn)化成只需在內(nèi)有恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)建立不等式關(guān)系，解之即可．
【方法點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于中檔題．利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常見方法：① 視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的; ② 利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式或恒成立問題求參數(shù)范圍，本題(2)是利用方法②求解的．
5．己知函數(shù)，．
（I）求函數(shù)上零點的個數(shù)；
（II）設(shè)，若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
（1）先求得， 時， 恒成立，可證明時， ，可得在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點定理可得結(jié)果；（2）化簡為分段函數(shù)
，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，討論兩種情況，分別分離參數(shù)求最值即可求得實數(shù)的取值范圍．
（II）由（Ⅰ）知：當(dāng)時， ＞0，當(dāng)時， ＜0．
∴當(dāng)時， =
求導(dǎo)，得
由于函數(shù)在上是增函數(shù)， 故在， 上恒成立．
①當(dāng)時， ≥0在上恒成立，
即在上恒成立，
記， ，則，，
所以， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴min= 極小值= ，
故“在上恒成立”，只需 ，即．
6．已知函數(shù)的切線方程為y=3x+1．
(1) 若函數(shù)處有極值，求的表達式；
(2) 若函數(shù)在區(qū)間[－2，1]上單調(diào)遞增，求實數(shù)b的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
已知函數(shù)在某點處的切線方程，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)值即為切線的斜率，曲線與切線都經(jīng)過切點，函數(shù)的極值點處的導(dǎo)數(shù)值為零，列方程組求出；
函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，說明導(dǎo)數(shù)大于或等于零恒成立，求出的范圍．
【點睛】已知曲線在某點處的切線方程，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)值即為切線的斜率，曲線與切線都經(jīng)過切點，函數(shù)的極值點處的導(dǎo)數(shù)值為零，列方程組求出；
函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，說明導(dǎo)數(shù)大于或等于零恒成立．，而函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞減，說明導(dǎo)數(shù)小于或等于零恒成立．
7．已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為1，求實數(shù)的值；
（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
（1）先求得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，即可得實數(shù)的值；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得在上恒成立，即，在上恒成立，即在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，即可得出結(jié)論．
試題解析：
（1），由已知，解得．
(2)由，得，由已知函數(shù)為上的單調(diào)減函數(shù)，則，在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令在上 ，在上為減函數(shù)，，．
【方法點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題． 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1) 已知切點求斜率,即求該點處的導(dǎo)數(shù)；(2) 己知斜率求切點即解方程；(3) 巳知切線過某點(不是切點) 求切點, 設(shè)出切點利用求解．
8．（本題15分）已知函數(shù)．
（I）若在處的切線方程為，求的值；
（II）若在上為增函數(shù)，求得取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義布列所求量的方程組即可；（2）因為在上為增函數(shù)，所以在上恒成立，變量分離求最值即可．
點睛：高考對導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查主要有以下幾個命題角度：
（1）已知切點求切線方程；
（2）已知切線方程(或斜率)求切點或曲線方程；
（3）已知曲線求切線傾斜角的取值范圍．
9．已知函數(shù)
（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
(Ⅰ)首先對函數(shù)求導(dǎo)，然后分別討論 和 兩種情況即可；(Ⅱ)結(jié)合(I)的結(jié)論，得到,據(jù)此可得．
10．已知函數(shù)．
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線方程；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，即在上恒成立，令，可得在上恒成立，可令，由且，解不等式即可得到所求范圍．
【方法點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程．
11．已知函數(shù) ．
（Ⅰ）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；
（Ⅱ）討論的單調(diào)性．[來源:學(xué).科.網(wǎng)]
【思路引導(dǎo)】
（Ⅰ） 在上恒成立，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造 ， ，求最值即可．
（Ⅱ）=，分討論可得單調(diào)區(qū)間．
試題解析：
（Ⅱ）定義域為
=，
因為，所以，因此方程有兩個根，
， ，
，
當(dāng)，即時，
當(dāng)變化時， 、變化如下表
由上表知：
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)即時
當(dāng)變化時， 、變化如下表
[來源:Z#xx#k.Cm]
12．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；
（2）若在上為單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù) 的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
（1）當(dāng)時，對函數(shù)求導(dǎo)后因式分解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的知識可寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）當(dāng)時，可判斷函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒為非負數(shù)，函數(shù)遞增符合題意．當(dāng)和時，利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判斷出不符合題意．故．
點睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的求解，考查利用導(dǎo)數(shù)解決已知函數(shù)在某個區(qū)間上遞增求參數(shù)的取值范圍，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．第一問已知的值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其基本步驟是：求函數(shù)導(dǎo)數(shù)、對導(dǎo)數(shù)進行通分因式分解、畫出導(dǎo)函數(shù)圖像、畫出原函數(shù)圖像，最后根據(jù)圖像來研究題目所求的問題．第二問由于一階導(dǎo)數(shù)無法解決問題，故考慮用二階導(dǎo)數(shù)來解決．
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