點與圓的位置關(guān)系的解題策略一般有以下幾種：①利用設(shè)而不求思想求出圓心坐標(biāo)，然后計算圓心到點的距離并和半徑比較得解；②向量法，通過判斷數(shù)量積的正負(fù)來確定點和圓的位置關(guān)系：如已知是圓的直徑，是平面內(nèi)一點，則點在圓內(nèi)；點在圓外；點在圓上．③方程法，已知圓的方程，點，則點在圓內(nèi)；點在圓上；點在圓外.
四點共圓問題的解題策略：①利用四點構(gòu)成的四邊形的對角互補；②利用待定系數(shù)法求出過其中三點的圓的方程，然后證明第四點坐標(biāo)滿足圓的方程.
【典例指引】
類型一 向量法判定點與圓的位置關(guān)系
例1 【2015高考福建，理18】已知橢圓E：過點，且離心率為．
(Ⅰ)求橢圓E的方程；
(Ⅱ)設(shè)直線交橢圓E于A，B兩點，
判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．
【解析】
類型二 四點共圓應(yīng)用問題
例2. （2014全國大綱21）已知拋物線C：的焦點為F，直線與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且.
（I）求C的方程；
（II）過F的直線與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線與C相較于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求的方程.
【解析】
類型三 動圓過定點問題
例3 (2012福建理19)如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率。過的直線交橢圓于兩點，且的周長為8。
（Ⅰ）求橢圓的方程。
（Ⅱ）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點。試探究：
在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。
【解析】
類型四 證明四點共圓
例4.已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線與C交與A、B兩點，點P滿足
(Ⅰ)證明：點P在C上；
（Ⅱ）設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上.
【解析】
【擴展鏈接】
1.O為坐標(biāo)原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.
2.若橢圓方程為，半焦距為，焦點，設(shè)
過的直線 的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點，則有：①
；②
若橢圓方程為，半焦距為，焦點，設(shè)
過的直線 的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點，則有：①
；②
同理可求得焦點在y軸上的過焦點弦長為（a為長半軸，b為短半軸，c為半焦距）
結(jié)論：橢圓過焦點弦長公式：
3.設(shè)為過拋物線焦點的弦，，直線的傾斜角為，則
①.
②.
③.
④.；
⑤.；
⑥.；
【新題展示】
1．【2019陜西第二次質(zhì)檢】已知、為橢圓（）的左右焦點，點為其上一點，且．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線交橢圓于、兩點，且原點在以線段為直徑的圓的外部，試求的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
（1）由橢圓的定義及點在橢圓上，代入橢圓方程可求得a、b，進而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
（2）設(shè)出A、B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理表示出，代入得到關(guān)于k的不等式，解不等式即可得k的取值范圍。
2．【2019山西呂梁一模】設(shè)橢圓：的左頂點為，上頂點為，已知直線的斜率為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線：與橢圓交于不同的兩點、，且點在以為直徑的圓外（其中為坐標(biāo)原點），求的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
(1)由已知條件列出關(guān)于的二元一次方程組，求出的值，得到橢圓方程
(2)由題意中點在以為直徑的圓外轉(zhuǎn)化為為銳角，即，設(shè)出點、的坐標(biāo)代入求出的取值范圍
3．【2019陜西漢中第一次質(zhì)檢】已知橢圓的右焦點F與拋物線焦點重合，且橢圓的離心率為，過軸正半軸一點 且斜率為的直線交橢圓于兩點．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在實數(shù)使以線段為直徑的圓經(jīng)過點，若存在，求出實數(shù)的值；若不存在說明理由．
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)拋物線焦點可得，又根據(jù)離心率可求，利用，即可寫出橢圓的方程
（2）由題意可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程，寫出，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求存在m．
4．【2019四川成都高新區(qū)一診】已知拋物線，過點的直線與拋物線相切，設(shè)第一象限的切點為．
（1）求點的坐標(biāo)；
（2）若過點的直線與拋物線相交于兩點，圓是以線段為直徑的圓過點，求直線的方程．
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)題意由點斜式設(shè)出直線方程，聯(lián)立后根據(jù)相切可知，再由切點在第一象限可求得P點坐標(biāo)。
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線，根據(jù)兩個交點可得；根據(jù)韋達定理用m表示出、、；根據(jù)圓是以線段為直徑的圓過點，可知，代入坐標(biāo)可解得或，則直線方程可得。
【同步訓(xùn)練】
1．已知橢圓的離心率，過點A（0，﹣b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知定點E（﹣1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點，問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點？請說明理由．
【思路點撥】（1）直線AB方程為bx﹣ay﹣ab=0，依題意可得：，由此能求出橢圓的方程．
（2）假設(shè)存在這樣的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進行求解．
【詳細(xì)解析】
2.已知橢圓的右焦點為，離心率為.
（1）若，求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點，分別為線段的中點，若坐標(biāo)原點在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.
【思路點撥】(1)結(jié)合所給的數(shù)據(jù)計算可得，，所以橢圓的方程為.
(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，集合韋達定理和平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則可得 ，結(jié)合離心率的范圍可知則的取值范圍是.
【詳細(xì)解析】
3.已知橢圓： 過點，且離心率．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）橢圓長軸兩端點分別為，點為橢圓上異于的動點，直線：與直線分別交于兩點，又點，過三點的圓是否過軸上不同于點的定點？若經(jīng)過，求出定點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【思路點撥】（1）運用橢圓的離心率公式和點代入橢圓方程，由a，b，c的關(guān)系，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)，由橢圓方程和直線的斜率公式，以及兩直線垂直的條件，計算即可得證．
【詳細(xì)解析】
4.已知橢圓： 的焦點、在軸上，且橢圓經(jīng)過，過點的直線與交于點，與拋物線： 交于、兩點，當(dāng)直線過時的周長為．
（Ⅰ）求的值和的方程；
（Ⅱ）以線段為直徑的圓是否經(jīng)過上一定點，若經(jīng)過一定點求出定點坐標(biāo)，否則說明理由。
【思路點撥】（1）由的周長為求得a,再根據(jù)橢圓經(jīng)過求得m.
（2）設(shè)直線方程 ，與拋物線方程聯(lián)立方程組，消x得關(guān)于y的一元二次方程，結(jié)合韋達定理，化簡以線段為直徑的圓方程，按參數(shù)n整理，根據(jù)恒等式成立條件求出定點坐標(biāo)
【詳細(xì)解析】
5.已知拋物線頂點在原點，焦點在軸上，拋物線上一點到焦點的距離為3，線段的兩端點， 在拋物線上.
（1）求拋物線的方程；
（2）若軸上存在一點，使線段經(jīng)過點時，以為直徑的圓經(jīng)過原點，求的值；
（3）在拋物線上存在點，滿足，若是以角為直角的等腰直角三角形，求面積的最小值.
【思路點撥】（1）根據(jù)拋物線的定義，丨QF丨=丨QQ1丨，即可求得p的值，即可求得拋物線方程；
（2）設(shè)AB的方程，代入橢圓方程，由，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算及韋達定理，即可求得m的值；
（3）設(shè)， ， ，根據(jù)拋物線關(guān)于軸對稱，取，記， ，則有， ，所以， ， ，由，即，進而化簡求出，得： ， ，即可求得△ABD面積的最小值．
【詳細(xì)解析】
6.已知橢圓： （）經(jīng)過點，且兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形.
（1）求橢圓的方程；
（2）動直線： （， ）交橢圓于、兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過點.若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【思路點撥】（1）由題設(shè)知a= ，所以 ，橢圓經(jīng)過點P（1， ），代入可得b=1，a=，由此可知所求橢圓方程.
（2）首先求出動直線過（0，﹣）點．當(dāng)l與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+（y+）2=；當(dāng)l與y軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+y2=1．由．由此入手可求出點T的坐標(biāo)．
【詳細(xì)解析】
7.如圖，曲線由上半橢圓： （， ）和部分拋物線： （）連接而成， 與的公共點為， ，其中的離心率為．
（1）求， 的值；
（2）過點的直線與， 分別交于點， （均異于點， ），是否存在直線，使得以為直徑的圓恰好過點，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
【思路點撥】（1）在， 的方程中，令，可得，且， 是上半橢圓的左、右頂點，設(shè)半焦距為，由及，聯(lián)立解得；（2）由（1）知，上半橢圓的方程為，由題意知，直線與軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為（），代入的方程，整理得： ，設(shè)點的坐標(biāo)為，由根公式，得點的坐標(biāo)為，同理，得點的坐標(biāo)為．由 ，即可得出的值，從而求得直線方程.
【詳細(xì)解析】
8.已知過點的橢圓的左右焦點分別為， 為橢圓上的任意一點，且成等差數(shù)列.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線交橢圓于兩點，若點始終在以為直徑的圓外，求實數(shù)的取值范圍.
【思路點撥】（1）由題意，利用等差數(shù)列和橢圓的定義求出的關(guān)系，再根據(jù)橢圓過點，求出的值，即可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)，根據(jù)題意知，聯(lián)立方程組，由方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，再由點在以為直徑的圓外，得為銳角， ，由此列出不等式求出的取值范圍.
【詳細(xì)解析】
9.已知動點M到點N（1，0）和直線l：x=﹣1的距離相等．
（1）求動點M的軌跡E的方程；
（2）已知不與l垂直的直線l'與曲線E有唯一公共點A，且與直線l的交點為P，以AP為直徑作圓C．判斷點N和圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【思路點撥】（1）利用拋物線的定義，即可求動點M的軌跡E的方程；
（2）由題意可設(shè)直線l'：x=my+n，由可得y2﹣4my﹣4n=0，求出A，P的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積，即可得出結(jié)論．
【詳細(xì)解析】
10.已知拋物線C1：y2=2px（p＞0）的焦點為F，拋物線上存在一點G到焦點的距離為3，且點G在圓C：x2+y2=9上．
（Ⅰ）求拋物線C1的方程；
（Ⅱ）已知橢圓C2：=1（m＞n＞0）的一個焦點與拋物線C1的焦點重合，且離心率為．直線l：y=kx﹣4交橢圓C2于A、B兩個不同的點，若原點O在以線段AB為直徑的圓的外部，求k的取值范圍．
【思路點撥】（1）設(shè)點G的坐標(biāo)為（x0，y0），列出關(guān)于x0，y0，p的方程組，即可求解拋物線方程．
（2）利用已知條件推出m、n的關(guān)系，設(shè)（x1，y1）、B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及判別式大于0，求出K的范圍，通過原點O在以線段AB為直徑的圓的外部，推出?＞0，然后求解k的范圍即可．
【詳細(xì)解析】
11.已知雙曲線漸近線方程為， 為坐標(biāo)原點，點在雙曲線上．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）已知為雙曲線上不同兩點，點在以為直徑的圓上，求的值．
【思路點撥】（1）根據(jù)漸近線方程得到設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點M的坐標(biāo)求得參數(shù)即可；
（2）由條件可得，可設(shè)出直線的方程，代入雙曲線方程求得點的坐標(biāo)可求得。
【詳細(xì)解析】
12.已知點P是圓F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一點，點F2與點F1關(guān)于原點對稱，線段PF2的垂直平分線分別與PF1，PF2交于M，N兩點．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）過點G（0， ）的動直線l與點的軌跡C交于A，B兩點，在y軸上是否存在定點Q，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【思路點撥】（1）由圓的方程求出F1、F2的坐標(biāo)，結(jié)合題意可得點M的軌跡C為以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，并求得a，c的值，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）直線l的方程可設(shè)為 ，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A，B橫坐標(biāo)的和與積，假設(shè)在y軸上是否存在定點Q（0，m），使以AB為直徑的圓恒過這個點，可得 ，即 ．利用向量的坐標(biāo)運算即可求得m值，即定點Q得坐標(biāo)．
【詳細(xì)解析】
【題型綜述】
點與圓的位置關(guān)系的解題策略一般有以下幾種：①利用設(shè)而不求思想求出圓心坐標(biāo)，然后計算圓心到點的距離并和半徑比較得解；②向量法，通過判斷數(shù)量積的正負(fù)來確定點和圓的位置關(guān)系：如已知是圓的直徑，是平面內(nèi)一點，則點在圓內(nèi)；點在圓外；點在圓上．③方程法，已知圓的方程，點，則點在圓內(nèi)；點在圓上；點在圓外.
四點共圓問題的解題策略：①利用四點構(gòu)成的四邊形的對角互補；②利用待定系數(shù)法求出過其中三點的圓的方程，然后證明第四點坐標(biāo)滿足圓的方程.
【典例指引】
類型一 向量法判定點與圓的位置關(guān)系
例1 【2015高考福建，理18】已知橢圓E：過點，且離心率為．
(Ⅰ)求橢圓E的方程；
(Ⅱ)設(shè)直線交橢圓E于A，B兩點，
判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．
【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得
解得，
所以橢圓E的方程為．
(Ⅱ)設(shè)點AB中點為．
由
所以從而.
所以.
,
故
所以，故G在以AB為直徑的圓外．
所以不共線，所以為銳角.
故點G在以AB為直徑的圓外．
類型二 四點共圓應(yīng)用問題
例2. （2014全國大綱21）已知拋物線C：的焦點為F，直線與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且.
（I）求C的方程；
（II）過F的直線與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線與C相較于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求的方程.
類型三 動圓過定點問題
例3(2012福建理19)如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率。過的直線交橢圓于兩點，且的周長為8。
（Ⅰ）求橢圓的方程。
（Ⅱ）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點。試探究：
在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。
（法2）由得，
∵動直線與橢圓有且只要一個交點，∴且△=0，
即，化簡得 ①
此時==，==，∴(,),
由得(4，).
假設(shè)平面內(nèi)存在定點滿足條件，由圖形對稱性知，點必在軸上,
設(shè)(,0)，則=0對滿足①式的，恒成立.
∵=(－,),=(4－，)，
∴=0，整理得， ②
∴，解得=1，
∴存在定點(1,0)，使得以為直徑的圓恒過點.
∵=(－1,),=(3，)，
∴==0，
∴恒有， ∴存在定點(1,0)，使得以為直徑的圓恒過點.
類型四 證明四點共圓
已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線與C交與A、B兩點，點P滿足
(Ⅰ)證明：點P在C上；
（Ⅱ）設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上.
【擴展鏈接】
1.O為坐標(biāo)原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.
2.若橢圓方程為，半焦距為，焦點，設(shè)
過的直線 的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點，則有：①
；②
若橢圓方程為，半焦距為，焦點，設(shè)
過的直線 的傾斜角為，交橢圓于A、B兩點，則有：①
；②
同理可求得焦點在y軸上的過焦點弦長為（a為長半軸，b為短半軸，c為半焦距）
結(jié)論：橢圓過焦點弦長公式：
3.設(shè)為過拋物線焦點的弦，，直線的傾斜角為，則
①.
②.
③.
④.；
⑤.；
⑥.；
【新題展示】
1．【2019陜西第二次質(zhì)檢】已知、為橢圓（）的左右焦點，點為其上一點，且．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線交橢圓于、兩點，且原點在以線段為直徑的圓的外部，試求的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
（1）由橢圓的定義及點在橢圓上，代入橢圓方程可求得a、b，進而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
（2）設(shè)出A、B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理表示出，代入得到關(guān)于k的不等式，解不等式即可得k的取值范圍。
【解析】
（1）由題可知，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
（2）設(shè)，由，得
，
由韋達定理得：，，
由 得或．
又因為原點在線段為直徑的圓外部，則，
，
即，
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為
2．【2019山西呂梁一?！吭O(shè)橢圓：的左頂點為，上頂點為，已知直線的斜率為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線：與橢圓交于不同的兩點、，且點在以為直徑的圓外（其中為坐標(biāo)原點），求的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
(1)由已知條件列出關(guān)于的二元一次方程組，求出的值，得到橢圓方程
(2)由題意中點在以為直徑的圓外轉(zhuǎn)化為為銳角，即，設(shè)出點、的坐標(biāo)代入求出的取值范圍
【解析】
（1）由已知得：，，
結(jié)合已知有，
可得，，
則橢圓的方程為．
（2）設(shè)，，由得
．
故，，
．
由題意得為銳角，
∴，
又
∴，解得．
∴的取值范圍為．
3．【2019陜西漢中第一次質(zhì)檢】已知橢圓的右焦點F與拋物線焦點重合，且橢圓的離心率為，過軸正半軸一點 且斜率為的直線交橢圓于兩點．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在實數(shù)使以線段為直徑的圓經(jīng)過點，若存在，求出實數(shù)的值；若不存在說明理由．
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)拋物線焦點可得，又根據(jù)離心率可求，利用，即可寫出橢圓的方程
（2）由題意可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程，寫出，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求存在m．
【解析】
（1）拋物線的焦點是
，，又橢圓的離心率為，即
，，則
故橢圓的方程為．
（2）由題意得直線的方程為
由消去得．
由，解得．
又，．
設(shè)，，則，．
．
，，
若存在使以線段為直徑的圓經(jīng)過點，則必有，即，
解得．又，．
即存在使以線段為直徑的圓經(jīng)過點．
4．【2019四川成都高新區(qū)一診】已知拋物線，過點的直線與拋物線相切，設(shè)第一象限的切點為．
（1）求點的坐標(biāo)；
（2）若過點的直線與拋物線相交于兩點，圓是以線段為直徑的圓過點，求直線的方程．
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)題意由點斜式設(shè)出直線方程，聯(lián)立后根據(jù)相切可知，再由切點在第一象限可求得P點坐標(biāo)。
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線，根據(jù)兩個交點可得；根據(jù)韋達定理用m表示出、、；根據(jù)圓是以線段為直徑的圓過點，可知，代入坐標(biāo)可解得或，則直線方程可得。
【解析】
（1）由題意知可設(shè)過點的直線方程為
聯(lián)立得：，
又因為直線與拋物線相切，則，即
當(dāng)時，直線方程為，則聯(lián)立得點坐標(biāo)為
（2）設(shè)直線的方程為：，，
聯(lián)立得：，則恒成立，
，
則，
由于圓是以線段為直徑的圓過點，則，
，則或
則直線的方程為或
【同步訓(xùn)練】
1．已知橢圓的離心率，過點A（0，﹣b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知定點E（﹣1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點，問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點？請說明理由．
【思路點撥】（1）直線AB方程為bx﹣ay﹣ab=0，依題意可得：，由此能求出橢圓的方程．
（2）假設(shè)存在這樣的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進行求解．
（2）假設(shè)存在這樣的值．
，
得（1+3k2）x2+12kx+9=0，
∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，
設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），則
而y1?y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，
要使以CD為直徑的圓過點E（﹣1，0），
當(dāng)且僅當(dāng)CE⊥DE時，
則y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，
∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③
將②代入③整理得k=，
經(jīng)驗證k=使得①成立綜上可知，存在k=使得以CD為直徑的圓過點E．
2.已知橢圓的右焦點為，離心率為.
（1）若，求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點，分別為線段的中點，若坐標(biāo)原點在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.
【思路點撥】(1)結(jié)合所給的數(shù)據(jù)計算可得，，所以橢圓的方程為.
(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，集合韋達定理和平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則可得 ，結(jié)合離心率的范圍可知則的取值范圍是.
因為，所以，.
所以，即.
3.已知橢圓： 過點，且離心率．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）橢圓長軸兩端點分別為，點為橢圓上異于的動點，直線：與直線分別交于兩點，又點，過三點的圓是否過軸上不同于點的定點？若經(jīng)過，求出定點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【思路點撥】（1）運用橢圓的離心率公式和點代入橢圓方程，由a，b，c的關(guān)系，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)，由橢圓方程和直線的斜率公式，以及兩直線垂直的條件，計算即可得證．
4.已知橢圓： 的焦點、在軸上，且橢圓經(jīng)過，過點的直線與交于點，與拋物線： 交于、兩點，當(dāng)直線過時的周長為．
（Ⅰ）求的值和的方程；
（Ⅱ）以線段為直徑的圓是否經(jīng)過上一定點，若經(jīng)過一定點求出定點坐標(biāo)，否則說明理由。
【思路點撥】（1）由的周長為求得a,再根據(jù)橢圓經(jīng)過求得m.
（2）設(shè)直線方程 ，與拋物線方程聯(lián)立方程組，消x得關(guān)于y的一元二次方程，結(jié)合韋達定理，化簡以線段為直徑的圓方程，按參數(shù)n整理，根據(jù)恒等式成立條件求出定點坐標(biāo)
5.已知拋物線頂點在原點，焦點在軸上，拋物線上一點到焦點的距離為3，線段的兩端點， 在拋物線上.
（1）求拋物線的方程；
（2）若軸上存在一點，使線段經(jīng)過點時，以為直徑的圓經(jīng)過原點，求的值；
（3）在拋物線上存在點，滿足，若是以角為直角的等腰直角三角形，求面積的最小值.
【思路點撥】（1）根據(jù)拋物線的定義，丨QF丨=丨QQ1丨，即可求得p的值，即可求得拋物線方程；
（2）設(shè)AB的方程，代入橢圓方程，由，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算及韋達定理，即可求得m的值；
（3）設(shè)， ， ，根據(jù)拋物線關(guān)于軸對稱，取，記， ，則有， ，所以， ， ，由，即，進而化簡求出，得： ， ，即可求得△ABD面積的最小值．
（3）如圖所示，
設(shè)， ， ，根據(jù)拋物線關(guān)于軸對稱，取，記， ，
則有， ，所以， ， ，
又因為是以為頂點的等腰直角三角形，所以，
即，將代入得：
6.已知橢圓： （）經(jīng)過點，且兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形.
（1）求橢圓的方程；
（2）動直線： （， ）交橢圓于、兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過點.若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【思路點撥】（1）由題設(shè)知a= ，所以 ，橢圓經(jīng)過點P（1， ），代入可得b=1，a=，由此可知所求橢圓方程.
（2）首先求出動直線過（0，﹣）點．當(dāng)l與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+（y+）2=；當(dāng)l與y軸平行時，以AB為直徑的圓的方程：x2+y2=1．由．由此入手可求出點T的坐標(biāo)．
（2）首先求出動直線過點.
當(dāng)與軸平行時，以為直徑的圓的方程：
當(dāng)與軸平行時，以為直徑的圓的方程：
由解得
即兩圓相切于點，因此，所求的點如果存在，只能是，事實上，點就是所求的點.
證明如下：
當(dāng)直線垂直于軸時，以為直徑的圓過點
當(dāng)直線不垂直于軸，可設(shè)直線：
由消去得：

7.如圖，曲線由上半橢圓： （， ）和部分拋物線： （）連接而成， 與的公共點為， ，其中的離心率為．
（1）求， 的值；
（2）過點的直線與， 分別交于點， （均異于點， ），是否存在直線，使得以為直徑的圓恰好過點，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
【思路點撥】（1）在， 的方程中，令，可得，且， 是上半橢圓的左、右頂點，設(shè)半焦距為，由及，聯(lián)立解得；（2）由（1）知，上半橢圓的方程為，由題意知，直線與軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為（），代入的方程，整理得： ，設(shè)點的坐標(biāo)為，由根公式，得點的坐標(biāo)為，同理，得點的坐標(biāo)為．由 ，即可得出的值，從而求得直線方程.
8.已知過點的橢圓的左右焦點分別為， 為橢圓上的任意一點，且成等差數(shù)列.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線交橢圓于兩點，若點始終在以為直徑的圓外，求實數(shù)的取值范圍.
【思路點撥】（1）由題意，利用等差數(shù)列和橢圓的定義求出的關(guān)系，再根據(jù)橢圓過點，求出的值，即可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)，根據(jù)題意知，聯(lián)立方程組，由方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，再由點在以為直徑的圓外，得為銳角， ，由此列出不等式求出的取值范圍.
（2）設(shè)， ，聯(lián)立方程，消去得：
；
依題意直線恒過點，此點為橢圓的左頂點，∴， ，①
由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得， ；②
可得 ；③
由①②③，解得， ；
由點在以為直徑的圓外，得為銳角，即；
由， ，
∴；即，
整理得， ，解得： 或.
∴實數(shù)的取值范圍是或.
9.已知動點M到點N（1，0）和直線l：x=﹣1的距離相等．
（1）求動點M的軌跡E的方程；
（2）已知不與l垂直的直線l'與曲線E有唯一公共點A，且與直線l的交點為P，以AP為直徑作圓C．判斷點N和圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【思路點撥】（1）利用拋物線的定義，即可求動點M的軌跡E的方程；
（2）由題意可設(shè)直線l'：x=my+n，由可得y2﹣4my﹣4n=0，求出A，P的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積，即可得出結(jié)論．
所以NA⊥NP，
所以點N在以PA為直徑的圓C上．
10.已知拋物線C1：y2=2px（p＞0）的焦點為F，拋物線上存在一點G到焦點的距離為3，且點G在圓C：x2+y2=9上．
（Ⅰ）求拋物線C1的方程；
（Ⅱ）已知橢圓C2：=1（m＞n＞0）的一個焦點與拋物線C1的焦點重合，且離心率為．直線l：y=kx﹣4交橢圓C2于A、B兩個不同的點，若原點O在以線段AB為直徑的圓的外部，求k的取值范圍．
【思路點撥】（1）設(shè)點G的坐標(biāo)為（x0，y0），列出關(guān)于x0，y0，p的方程組，即可求解拋物線方程．
（2）利用已知條件推出m、n的關(guān)系，設(shè)（x1，y1）、B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及判別式大于0，求出K的范圍，通過原點O在以線段AB為直徑的圓的外部，推出?＞0，然后求解k的范圍即可．
由△＞0，即（﹣32k）2﹣4×16（4k2+3）＞0，k＞或k＜﹣…①…（10分）
∵原點O在以線段AB為直徑的圓的外部，則?＞0，
∴?=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1﹣4）?（kx2﹣4）=（k2+1）x1x2﹣4k（x1+x2）+16
=（k2+1）×﹣4k×+16
=＞0，解得：﹣＜k＜…②
由①、②得實數(shù)k的范圍是﹣＜k＜﹣或＜k＜，
∴k的取值范圍（﹣，﹣）∪（，）．…（12分）
11.已知雙曲線漸近線方程為， 為坐標(biāo)原點，點在雙曲線上．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）已知為雙曲線上不同兩點，點在以為直徑的圓上，求的值．
【思路點撥】（1）根據(jù)漸近線方程得到設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點M的坐標(biāo)求得參數(shù)即可；
（2）由條件可得，可設(shè)出直線的方程，代入雙曲線方程求得點的坐標(biāo)可求得。

12.已知點P是圓F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一點，點F2與點F1關(guān)于原點對稱，線段PF2的垂直平分線分別與PF1，PF2交于M，N兩點．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）過點G（0， ）的動直線l與點的軌跡C交于A，B兩點，在y軸上是否存在定點Q，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【思路點撥】（1）由圓的方程求出F1、F2的坐標(biāo)，結(jié)合題意可得點M的軌跡C為以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，并求得a，c的值，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）直線l的方程可設(shè)為 ，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A，B橫坐標(biāo)的和與積，假設(shè)在y軸上是否存在定點Q（0，m），使以AB為直徑的圓恒過這個點，可得 ，即 ．利用向量的坐標(biāo)運算即可求得m值，即定點Q得坐標(biāo)．
【詳細(xì)解析】（1）由圓F1：（x﹣1）2+y2=8，得F1（1，0），則F2（﹣1，0），
由題意得 ，
∴點M的軌跡C為以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，
∵
∴點M的軌跡C的方程為；

相關(guān)試卷

高考數(shù)學(xué)壓軸題講義專題3.7三點共線證法多，斜率向量均可做專題練習(xí)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學(xué)壓軸題講義專題3.7三點共線證法多，斜率向量均可做專題練習(xí)(原卷版+解析)，共36頁。

高考數(shù)學(xué)壓軸題講義專題2.14等或不等解存在，轉(zhuǎn)化值域可實現(xiàn)專題練習(xí)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學(xué)壓軸題講義專題2.14等或不等解存在，轉(zhuǎn)化值域可實現(xiàn)專題練習(xí)(原卷版+解析)，共33頁。

高考數(shù)學(xué)壓軸題講義專題2.4極值計算先判斷，單調(diào)原則不能撼專題練習(xí)(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學(xué)壓軸題講義專題2.4極值計算先判斷，單調(diào)原則不能撼專題練習(xí)(原卷版+解析)，共24頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高考數(shù)學(xué)壓軸題講義專題1.1初識極值點偏移專題練習(xí)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)壓軸題講義專題1.1初識極值點偏移專題練習(xí)(原卷版+解析)
高考數(shù)學(xué)壓軸難題歸納總結(jié)培優(yōu)專題3.10 判斷點在圓內(nèi)外向量應(yīng)用最厲害 (含解析)

高考數(shù)學(xué)壓軸難題歸納總結(jié)培優(yōu)專題3.10 判斷點在圓內(nèi)外向量應(yīng)用最厲害 (含解析)
專題3.10 判斷點在圓內(nèi)外，向量應(yīng)用最厲害-2020屆高考數(shù)學(xué)壓軸題講義(解答題)（原卷版）

專題3.10 判斷點在圓內(nèi)外，向量應(yīng)用最厲害-2020屆高考數(shù)學(xué)壓軸題講義(解答題)（原卷版）
專題3.10 判斷點在圓內(nèi)外，向量應(yīng)用最厲害-2020屆高考數(shù)學(xué)壓軸題講義(解答題)（解析版）

專題3.10 判斷點在圓內(nèi)外，向量應(yīng)用最厲害-2020屆高考數(shù)學(xué)壓軸題講義(解答題)（解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部