探究向量關(guān)系問題解題策略：（1）“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素向量關(guān)系存在，用向量的坐標(biāo)運算，轉(zhuǎn)化直線與圓錐曲線交點坐標(biāo)的函數(shù)式，利用設(shè)而不求思想，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則向量關(guān)系存在存在；否則，向量關(guān)系不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法.
【典例指引】
類型一 探究向量式是否為定值
例1 【2015高考四川，文20】如圖，橢圓E：(a>b>0)的離心率是，點P(0，1)在短軸CD上，且＝－1
(Ⅰ)求橢圓E的方程；
(Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點，過點P的動直線與橢圓交于A、B兩點.是否存在常數(shù)λ，使得為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由.
【解析】
類型二 探究向量式是否成立
例2. 【2014高考湖南卷文第20題】如圖5，為坐標(biāo)原點，雙曲線和橢圓均過點，且以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形.
(1)求的方程；
(2)是否存在直線，使得與交于兩點，與只有一個公共點，且？證明你的結(jié)論.
【解析】
類型三 探究向量式成立的條件
例3【2013年高考，天津卷理】設(shè)橢圓的左焦點為F, 離心率為, 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 設(shè)A, B分別為橢圓的左右頂點, 是否存在過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點，且, 若存在，求k的值，不存在，說明理由..
【解析】
類型四 利用向量探究曲線過定點
例4. (2012福建理19)如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率。過的直線交橢圓于兩點，且的周長為8。
（Ⅰ）求橢圓的方程。
（Ⅱ）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點。試探究：
在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。
【解析】
【擴(kuò)展鏈接】
設(shè)圓錐曲線C的焦點F在x軸上，過焦點F且斜率為的直線交曲線于兩點，若，則.
在圓錐曲線中，過焦點F不垂直于坐標(biāo)軸的弦為，其垂直平分線和焦點所在的坐標(biāo)軸交于，則.
3.已知橢圓的兩個焦點分別為和（），過點的直線與橢圓相交于兩點，若，則直線一定過或.
4.如果平面內(nèi)有三點不共線，設(shè).
【新題展示】
1．【2019湖北恩施2月質(zhì)檢】已知拋物線：的焦點為，其準(zhǔn)線：與軸的交點為，過點的直線與拋物線交于兩點．
（1）求拋物線的方程；
（2）點關(guān)于軸的對稱點為，證明：存在實數(shù)，使得．
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線為直線：，可求出，進(jìn)而可得拋物線方程；
（2）先設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理，求出直線恒過定點，進(jìn)而可證明結(jié)論成立．
2．【2019黑龍江齊齊哈爾一?！恳阎獮樽鴺?biāo)原點，橢圓：的左、右焦點分別為，．過焦點且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為3，直線與橢圓相切．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在直線：與橢圓相交于兩點，使得？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由！
【思路引導(dǎo)】
（1）由題意列出關(guān)于a，b的關(guān)系式，解得a，b即可．
（2）將直線與橢圓聯(lián)立，將向量數(shù)量積的運算用坐標(biāo)形式表示，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系確定k的取值范圍．
3．【2019安徽江南十校3月檢測】設(shè)是坐標(biāo)原點，圓：，橢圓的焦點在軸上，左、右頂點分別為，，離心率為，短軸長為4．平行軸的直線與橢圓和圓在軸右側(cè)的交點分別為，，直線與軸交于點，直線與軸交于點．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)時，求的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得到關(guān)于的方程，求得結(jié)果；（2）解法一：假設(shè)方程和坐標(biāo)，利用得到和的坐標(biāo)，從而將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，求得范圍；解法二：假設(shè)方程和坐標(biāo)，與橢圓方程聯(lián)立解出點坐標(biāo)，進(jìn)一步推導(dǎo)出坐標(biāo)，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，求得范圍．
4．【2019河北衡水中學(xué)摸底】已知點是拋物線的焦點，若點在拋物線上，且
求拋物線的方程；
動直線與拋物線相交于兩點，問：在軸上是否存在定點其中，使得向量與向量共線其中為坐標(biāo)原點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【思路引導(dǎo)】
求得拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，運用拋物線的定義可得的坐標(biāo)，代入拋物線方程，解得，進(jìn)而得到拋物線的方程；在軸上假設(shè)存在定點其中，使得與向量共線，可得軸平分，設(shè)，，聯(lián)立和，根據(jù)恒成立，運用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡整理可得的方程，求得，可得結(jié)論．
【同步訓(xùn)練】
1．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的上下兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1與y軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點，△MNF2的面積為，橢圓C的離心率為
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知O為坐標(biāo)原點，直線l：y=kx+m與y軸交于點P，與橢圓C交于A，B兩個不同的點，若存在實數(shù)λ，使得+λ=4，求m的取值范圍．
【思路點撥】（1）根據(jù)已知設(shè)橢圓的焦距2c，當(dāng)y=c時，|MN|=|x1﹣x2|=，由題意得，△MNF2的面積為|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得a、b即可．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，y0），分類討論：當(dāng)m=0時，利用橢圓的對稱性即可得出；m≠0時，直線AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量相等，代入計算即可得出．
【詳細(xì)解析】
2.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個焦點，P（1，）是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知動直線l過點F2，且與橢圓C交于A、B兩點，試問x軸上是否存在定點Q，使得?=﹣恒成立？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【思路點撥】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)及等差數(shù)列性質(zhì)得出a=c，把P點坐標(biāo)代入橢圓方程列方程組解出a，b得出橢圓方程；
（2）設(shè)Q（m，0），討論直線l的斜率，求出A，B坐標(biāo)，列方程解出m．
【詳細(xì)解析】
3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的一個焦點為F1（﹣，0），M（1，y）（y＞0）為橢圓上的一點，△MOF1的面積為．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點T在圓x2+y2=1上，是否存在過點 A（2，0）的直線l交橢圓C于點 B，使=（+）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
【思路點撥】（1）由已知列式c=，，∴，得a2，b2即可；
（2）設(shè)直線l的方程為：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）．
由得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）﹣4k=，
=（+）=，得T（）代入 圓C1，可得化為176k4﹣24k2﹣5=0可求得k．
【詳細(xì)解析】
4.已知橢圓的兩個焦點為，是橢圓上一點，若，．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線l過右焦點（不與x軸重合）且與橢圓相交于不同的兩點A，B，在x軸上是否存在一個定點P（x0，0），使得的值為定值？若存在，寫出P點的坐標(biāo)（不必求出定值）；若不存在，說明理由．
【思路點撥】（1）根據(jù)橢圓的定義及勾股定理即可求得a=3，c=，b2=a2﹣c2=4，即可求得橢圓方程；
（2）方法一：設(shè)直線l：x=my+，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，?=t 則（4x02﹣36）m2+9x02﹣18x0+29=t（4m2+9），比較系數(shù)，即可求得x0=，在x軸上存在一個定點P（，0），使得?的值為定值（﹣）；
方法二：分類討論，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l：y=k（x﹣），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，令?=t 則（9x02﹣18x0+29）k2+4x02﹣36=t（4+9k2），9x02﹣18x0+29=9 t且4x02﹣36=4t，即可求得x0=，此時t的值為﹣．
【詳細(xì)解析】
5.如圖已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，以橢圓的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點M，N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求?的最小值，并求此時圓T的方程．
【思路點撥】（1）運用橢圓的離心率公式和頂點坐標(biāo)，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得橢圓方程；
（2）設(shè)M（m，n），由對稱性可得N（m，﹣n），代入橢圓方程，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的二次函數(shù)，配方，結(jié)合橢圓的范圍，可得最小值，進(jìn)而得到M的坐標(biāo)，可得圓的方程．
【詳細(xì)解析】
6.已知橢圓的離心率，以上頂點和右焦點為直徑端點的圓與直線x+y﹣2=0相切．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）對于直線l：y=x+m和點Q（0，3），橢圓C上是否存在不同的兩點A與B關(guān)于直線l對稱，且3?=32，若存在實數(shù)m的值，若不存在，說明理由．
【思路點撥】（1）由橢圓的離心率，得b=c，寫出以上頂點和右焦點為直徑端點的圓的方程，再由點到直線的距離列式求得b，c的值，結(jié)合隱含條件求得a，則橢圓方程可求；
（2）由題意設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB方程為：y=﹣x+n．聯(lián)立消y整理可得：3x2﹣4nx+2n2﹣2=0，由△＞0解得n的范圍．再由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點坐標(biāo)公式求得直線AB之中點坐標(biāo)，代入直線AB，再由點P在直線l上求得m的范圍，最后由3?=32求得m的值．
【詳細(xì)解析】
7.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A、B，且長軸長為8，T為橢圓上一點，直線TA、TB的斜率之積為﹣．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)O為原點，過點M（0，2）的動直線與橢圓C交于P、Q兩點，求?+?的取值范圍．
【思路點撥】（1）求得直線TA，TB的斜率，由?=﹣，即可求得橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線PQ方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)，求函數(shù)的單調(diào)性，即可求得?+?的取值范圍．
【詳細(xì)解析】
8.已知拋物線E：x2=4y的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點．
（1）若點M在線段AB上運動，原點O關(guān)于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值；
（2）過A，B分別作拋物線E的切線l1，l2，若l1與l2交于點P，求的值．
【思路點撥】（1）由題意設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得四邊形OACB面積的最小值；
（2）求導(dǎo)，利用點斜式方程，求得求得切線l1，l2的方程，聯(lián)立求得P點坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，即可求得的值．
【詳細(xì)解析】
9.已知點P（4，4），圓C：（x﹣m）2+y2=5（m＜3）與橢圓E：+=1（a＞b＞0）有一個公共點A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1與圓C相切．
（1）求m的值與橢圓E的方程；
（2）設(shè)Q為橢圓E上的一個動點，求?的取值范圍．
【思路點撥】（1）先利用點A在圓上求出m，再利用直線PF1與圓C相切求出直線PF1與的方程以及c，再利用點A在橢圓上求出2a，即可求出橢圓E的方程；
（2）先把用點Q的坐標(biāo)表示出來，再利用Q為橢圓E上的一個動點以及基本不等式即可求出的取值范圍．
【詳細(xì)解析】
10.若橢圓E1：與橢圓E2：滿足，則稱這兩個橢圓相似，m叫相似比．若橢圓M1與橢圓相似且過點．
（1）求橢圓M1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點P（﹣2，0）作斜率不為零的直線l與橢圓M1交于不同兩點A、B，F(xiàn)為橢圓M1的右焦點，直線AF、BF分別交橢圓M1于點G、H，設(shè)，，求λ1+λ2的取值范圍．
【思路點撥】（1）根據(jù)題意，設(shè)橢圓M1的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由“橢圓相似”的性質(zhì)分析可得，，解可得a2、b2的值，代入橢圓的方程即可得答案；
（2）設(shè)直線l的斜率為k，以及A、B、G、H的坐標(biāo)，可以表示、的坐標(biāo)，分“AG與x軸不垂直”和“AG與x軸垂直”兩種情況，求出直線AG的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系的分析可得λ1+λ2范圍，即可得答案．
【詳細(xì)解析】
11.已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，左、右焦點分別為圓F1、F2，M是C上一點，|MF1|=2，且||||=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)過點P（4，1）的動直線l與橢圓C相交于不同兩點A、B時，線段AB上取點Q，且Q滿足||||=||||，證明點Q總在某定直線上，并求出該定直線的方程．
【思路點撥】（1）由已知得a=2c，且∠F1MF2=60°，由余弦定理求出c=1，即可求得a，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓C的方程可求；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+（1﹣4k），代入橢圓方程，得（3+4k2）x2+（8k﹣32k2）x+64k2﹣32k﹣8=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合已知向量等式即可證明點Q總在某定直線上，并求出該定直線方程．
【詳細(xì)解析】
12.如圖，橢圓E：，點P（0，1）在短軸CD上，且
（1） 求橢圓E的方程及離心率；
（2） 設(shè)O為坐標(biāo)原點，過點P的動直線與橢圓交于A，B兩點．是否存在常數(shù)λ，使得為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．
【思路點撥】（1）由已知可得點C，D的坐標(biāo)分別為（0，﹣b），（0，b）．結(jié)合?=﹣2列式求得b，則橢圓方程可求，進(jìn)一步求出c可得橢圓的離心率；
（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得A，B橫坐標(biāo)的和與積?+λ?，可知當(dāng)λ=2時，?+λ?=﹣7為定值．當(dāng)直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD，仍有?+λ?=?+2?=﹣3﹣4=﹣7，故存在常數(shù)λ=2，使得?+λ?為定值﹣7．
【詳細(xì)解析】
【題型綜述】
探究向量關(guān)系問題解題策略：（1）“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素向量關(guān)系存在，用向量的坐標(biāo)運算，轉(zhuǎn)化直線與圓錐曲線交點坐標(biāo)的函數(shù)式，利用設(shè)而不求思想，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則向量關(guān)系存在存在；否則，向量關(guān)系不存在.(2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法.
【典例指引】
類型一 探究向量式是否為定值
例1 【2015高考四川，文20】如圖，橢圓E：(a>b>0)的離心率是，點P(0，1)在短軸CD上，且＝－1
(Ⅰ)求橢圓E的方程；
(Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點，過點P的動直線與橢圓交于A、B兩點.是否存在常數(shù)λ，使得為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由.

類型二 探究向量式是否成立
例2. 【2014高考湖南卷文第20題】如圖5，為坐標(biāo)原點，雙曲線和橢圓均過點，且以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形.
(1)求的方程；
(2)是否存在直線，使得與交于兩點，與只有一個公共點，且？證明你的結(jié)論.
是,聯(lián)立直線與橢圓可得
,因為直線與橢圓只有一個交點,
所以,化簡可得,因此
,
于是,即,所以,
綜上不存在符合題目條件的直線.學(xué)&科網(wǎng)
類型三 探究向量式成立的條件
例3【2013年高考，天津卷理】設(shè)橢圓的左焦點為F, 離心率為, 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 設(shè)A, B分別為橢圓的左右頂點, 是否存在過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點，且, 若存在，求k的值，不存在，說明理由..
=，
由已知得=8，解得.學(xué)&科網(wǎng)
類型四 利用向量探究曲線過定點
例4. (2012福建理19)如圖，橢圓的左焦點為，右焦點為，離心率。過的直線交橢圓于兩點，且的周長為8。
（Ⅰ）求橢圓的方程。
（Ⅱ）設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點。試探究：
在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

(法3) 由得，
∵動直線與橢圓有且只要一個交點，∴且△=0，
即，化簡得 ①
此時==，==，∴(,),
由得(4，).學(xué)&科網(wǎng)
假設(shè)平面內(nèi)存在定點滿足條件，由圖形對稱性知，點必在軸上,
【擴(kuò)展鏈接】
設(shè)圓錐曲線C的焦點F在x軸上，過焦點F且斜率為的直線交曲線于兩點，若，則.
在圓錐曲線中，過焦點F不垂直于坐標(biāo)軸的弦為，其垂直平分線和焦點所在的坐標(biāo)軸交于，則.
3.已知橢圓的兩個焦點分別為和（），過點的直線與橢圓相交于兩點，若，則直線一定過或.
4.如果平面內(nèi)有三點不共線，設(shè).
【新題展示】
1．【2019湖北恩施2月質(zhì)檢】已知拋物線：的焦點為，其準(zhǔn)線：與軸的交點為，過點的直線與拋物線交于兩點．
（1）求拋物線的方程；
（2）點關(guān)于軸的對稱點為，證明：存在實數(shù)，使得．
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線為直線：，可求出，進(jìn)而可得拋物線方程；
（2）先設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理，求出直線恒過定點，進(jìn)而可證明結(jié)論成立．
【解析】
（1）因為拋物線：的準(zhǔn)線為直線：，
所以，解得．
所以拋物線的方程為．
（2）易知點的坐標(biāo)為，據(jù)此可設(shè)直線的方程為，，．
聯(lián)立整理得，故
因為點關(guān)于軸的對稱點為，，所以．
則直線的方程為，
得，
得，
即．
令，得，
得．
所以直線恒過定點．
所以點在直線上，所以不妨令．
因為，
所以，
所以，
所以．
所以存在實數(shù)，使得，命題得證．
2．【2019黑龍江齊齊哈爾一?！恳阎獮樽鴺?biāo)原點，橢圓：的左、右焦點分別為，．過焦點且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為3，直線與橢圓相切．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在直線：與橢圓相交于兩點，使得？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由！
【思路引導(dǎo)】
（1）由題意列出關(guān)于a，b的關(guān)系式，解得a，b即可．
（2）將直線與橢圓聯(lián)立，將向量數(shù)量積的運算用坐標(biāo)形式表示，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系確定k的取值范圍．
【解析】
（1）在中，令，得，解得．
由垂徑長（即過焦點且垂直于實軸的直線與橢圓相交所得的弦長）為3，
得，
所以．①
因為直線：與橢圓相切，則．②
將②代入①，得．
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)點，．
由（1）知，則直線的方程為．
聯(lián)立得，
則恒成立．
所以，，
．
因為，
所以．即．
即 ，
得，得，
即，
解得；
∴直線存在，且的取值范圍是．
3．【2019安徽江南十校3月檢測】設(shè)是坐標(biāo)原點，圓：，橢圓的焦點在軸上，左、右頂點分別為，，離心率為，短軸長為4．平行軸的直線與橢圓和圓在軸右側(cè)的交點分別為，，直線與軸交于點，直線與軸交于點．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)時，求的取值范圍．
【思路引導(dǎo)】
（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得到關(guān)于的方程，求得結(jié)果；（2）解法一：假設(shè)方程和坐標(biāo)，利用得到和的坐標(biāo)，從而將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，求得范圍；解法二：假設(shè)方程和坐標(biāo)，與橢圓方程聯(lián)立解出點坐標(biāo)，進(jìn)一步推導(dǎo)出坐標(biāo)，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，求得范圍．
【解析】
（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
由題意得，解得
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）解法一：設(shè)且，，，，
設(shè)，共線，

得，同理得

解法二：設(shè)，，
聯(lián)立得：
，
，令得
又由，令得
又軸

4．【2019河北衡水中學(xué)摸底】已知點是拋物線的焦點，若點在拋物線上，且
求拋物線的方程；
動直線與拋物線相交于兩點，問：在軸上是否存在定點其中，使得向量與向量共線其中為坐標(biāo)原點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【思路引導(dǎo)】
求得拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，運用拋物線的定義可得的坐標(biāo)，代入拋物線方程，解得，進(jìn)而得到拋物線的方程；在軸上假設(shè)存在定點其中，使得與向量共線，可得軸平分，設(shè)，，聯(lián)立和，根據(jù)恒成立，運用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡整理可得的方程，求得，可得結(jié)論．
【解析】
拋物線C：的焦點為，
準(zhǔn)線方程為，
即有，即，
則，解得，
則拋物線的方程為；
在x軸上假設(shè)存在定點其中，
使得與向量共線，
由，均為單位向量，且它們的和向量與共線，
可得x軸平分，
設(shè)，，
聯(lián)立和，
得，
恒成立．
，
設(shè)直線DA、DB的斜率分別為，，
則由得，
，
，
聯(lián)立，得，
故存在滿足題意，
綜上，在x軸上存在一點，使得x軸平分，
即與向量共線．
【同步訓(xùn)練】
1．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的上下兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1與y軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點，△MNF2的面積為，橢圓C的離心率為
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知O為坐標(biāo)原點，直線l：y=kx+m與y軸交于點P，與橢圓C交于A，B兩個不同的點，若存在實數(shù)λ，使得+λ=4，求m的取值范圍．
【思路點撥】（1）根據(jù)已知設(shè)橢圓的焦距2c，當(dāng)y=c時，|MN|=|x1﹣x2|=，由題意得，△MNF2的面積為|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得a、b即可．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，y0），分類討論：當(dāng)m=0時，利用橢圓的對稱性即可得出；m≠0時，直線AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量相等，代入計算即可得出．
（2）當(dāng)m=0時，則P（0，0），由橢圓的對稱性得，
∴m=0時，存在實數(shù)λ，使得+λ=4，
當(dāng)m≠0時，由+λ=4，得，
∵A、B、p三點共線，∴1+λ=4，?λ=3?
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，
由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0，且x1+x2=，x1x2=．
由得x1=﹣3x2學(xué)&科網(wǎng)
3（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，?m2k2+m2﹣k2﹣4=0，
顯然m2=1不成立，∴
∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．
解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．學(xué)&科網(wǎng)
綜上所述，m的取值范圍為（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}
2.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個焦點，P（1，）是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知動直線l過點F2，且與橢圓C交于A、B兩點，試問x軸上是否存在定點Q，使得?=﹣恒成立？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【思路點撥】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)及等差數(shù)列性質(zhì)得出a=c，把P點坐標(biāo)代入橢圓方程列方程組解出a，b得出橢圓方程；
（2）設(shè)Q（m，0），討論直線l的斜率，求出A，B坐標(biāo)，列方程解出m．

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的一個焦點為F1（﹣，0），M（1，y）（y＞0）為橢圓上的一點，△MOF1的面積為．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點T在圓x2+y2=1上，是否存在過點 A（2，0）的直線l交橢圓C于點 B，使=（+）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
【思路點撥】（1）由已知列式c=，，∴，得a2，b2即可；
（2）設(shè)直線l的方程為：y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）．
由得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）﹣4k=，
=（+）=，得T（）代入 圓C1，可得化為176k4﹣24k2﹣5=0可求得k．
4.已知橢圓的兩個焦點為，是橢圓上一點，若，．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線l過右焦點（不與x軸重合）且與橢圓相交于不同的兩點A，B，在x軸上是否存在一個定點P（x0，0），使得的值為定值？若存在，寫出P點的坐標(biāo)（不必求出定值）；若不存在，說明理由．
【思路點撥】（1）根據(jù)橢圓的定義及勾股定理即可求得a=3，c=，b2=a2﹣c2=4，即可求得橢圓方程；
（2）方法一：設(shè)直線l：x=my+，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，?=t 則（4x02﹣36）m2+9x02﹣18x0+29=t（4m2+9），比較系數(shù)，即可求得x0=，在x軸上存在一個定點P（，0），使得?的值為定值（﹣）；
方法二：分類討論，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l：y=k（x﹣），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，令?=t 則（9x02﹣18x0+29）k2+4x02﹣36=t（4+9k2），9x02﹣18x0+29=9 t且4x02﹣36=4t，即可求得x0=，此時t的值為﹣．
解法二：當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)直線l方程為：y=k（x﹣），代入橢圓方程并消元整理得：
（9k2+4）x2﹣18k2x+45k2﹣36=0…①
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則是方程①的兩個解，由韋達(dá)定理得：
x1+x2=，x1x2=，
y1y2=k2（x1﹣）（x2﹣）=k2（ x1x2﹣（x1+x2）+5）=﹣，
?=（x1﹣x0，y1）?（x2﹣x0，y2）=（ x1﹣x0）（ x2﹣x0）+y1y2=x1x2﹣x0（x1+x2）+x02+y1y2，
=，學(xué)&科網(wǎng)
令?=t 則（9x02﹣18x0+29）k2+4x02﹣36=t（4+9k2），
9x02﹣18x0+29=9 t且 4x02﹣36=4t，
解得：x0=，此時t的值為﹣，
當(dāng)直線l與x軸垂直時，l的方程為：x=，代入橢圓方程解得：A（，﹣），B（，），
?=（﹣，﹣）?（﹣，）=﹣=﹣，
∴當(dāng)直線l與x軸垂直時，?也為定值﹣，
綜上，在x軸上存在一個定點P（，0），使得?的值為定值（﹣）．
5.如圖已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，以橢圓的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點M，N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求?的最小值，并求此時圓T的方程．
【思路點撥】（1）運用橢圓的離心率公式和頂點坐標(biāo)，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得橢圓方程；
（2）設(shè)M（m，n），由對稱性可得N（m，﹣n），代入橢圓方程，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的二次函數(shù)，配方，結(jié)合橢圓的范圍，可得最小值，進(jìn)而得到M的坐標(biāo)，可得圓的方程．

6.已知橢圓的離心率，以上頂點和右焦點為直徑端點的圓與直線x+y﹣2=0相切．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）對于直線l：y=x+m和點Q（0，3），橢圓C上是否存在不同的兩點A與B關(guān)于直線l對稱，且3?=32，若存在實數(shù)m的值，若不存在，說明理由．
【思路點撥】（1）由橢圓的離心率，得b=c，寫出以上頂點和右焦點為直徑端點的圓的方程，再由點到直線的距離列式求得b，c的值，結(jié)合隱含條件求得a，則橢圓方程可求；
（2）由題意設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB方程為：y=﹣x+n．聯(lián)立消y整理可得：3x2﹣4nx+2n2﹣2=0，由△＞0解得n的范圍．再由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點坐標(biāo)公式求得直線AB之中點坐標(biāo)，代入直線AB，再由點P在直線l上求得m的范圍，最后由3?=32求得m的值．
（2）由題意設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB方程為：y=﹣x+n．
聯(lián)立消y整理可得：3x2﹣4nx+2n2﹣2=0，
由△=（﹣4n）2﹣12（2n2﹣2）=24﹣8n2＞0，解得．
，，學(xué)&科網(wǎng)
設(shè)直線AB之中點為P（x0，y0），則，
由點P在直線AB上得：，
又點P在直線l上，∴，則…①．
又，，
∴
=，
解得：或m=﹣1…②學(xué)&科網(wǎng)
綜合①②，知m的值為．
7.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A、B，且長軸長為8，T為橢圓上一點，直線TA、TB的斜率之積為﹣．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)O為原點，過點M（0，2）的動直線與橢圓C交于P、Q兩點，求?+?的取值范圍．
【思路點撥】（1）求得直線TA，TB的斜率，由?=﹣，即可求得橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線PQ方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)，求函數(shù)的單調(diào)性，即可求得?+?的取值范圍．
==﹣20+．…（8分）
﹣20＜?+?≤﹣，…（10分）學(xué)&科網(wǎng)
當(dāng)直線PQ斜率不存在時?+?的值為﹣20，
綜上所述?+?的取值范圍為[﹣20，﹣]．…（12分）
8.已知拋物線E：x2=4y的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點．
（1）若點M在線段AB上運動，原點O關(guān)于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值；
（2）過A，B分別作拋物線E的切線l1，l2，若l1與l2交于點P，求的值．
【思路點撥】（1）由題意設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得四邊形OACB面積的最小值；
（2）求導(dǎo)，利用點斜式方程，求得求得切線l1，l2的方程，聯(lián)立求得P點坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，即可求得的值．

9.已知點P（4，4），圓C：（x﹣m）2+y2=5（m＜3）與橢圓E：+=1（a＞b＞0）有一個公共點A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1與圓C相切．
（1）求m的值與橢圓E的方程；
（2）設(shè)Q為橢圓E上的一個動點，求?的取值范圍．
【思路點撥】（1）先利用點A在圓上求出m，再利用直線PF1與圓C相切求出直線PF1與的方程以及c，再利用點A在橢圓上求出2a，即可求出橢圓E的方程；
（2）先把用點Q的坐標(biāo)表示出來，再利用Q為橢圓E上的一個動點以及基本不等式即可求出的取值范圍．
（2），設(shè)Q（x，y），
，．
∵，即x2+（3y）2=18，而x2+（3y）2≥2|x|?|3y|，
∴﹣18≤6xy≤18．學(xué)&科網(wǎng)
則（x+3y）2=x2+（3y）2+6xy=18+6xy的取值范圍是[0，36]．
∴x+3y的取值范圍是[﹣6，6]
∴x+3y﹣6的范圍只：[﹣12，0]．
即的取值范圍是[﹣12，0]．
10.若橢圓E1：與橢圓E2：滿足，則稱這兩個橢圓相似，m叫相似比．若橢圓M1與橢圓相似且過點．
（1）求橢圓M1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點P（﹣2，0）作斜率不為零的直線l與橢圓M1交于不同兩點A、B，F(xiàn)為橢圓M1的右焦點，直線AF、BF分別交橢圓M1于點G、H，設(shè)，，求λ1+λ2的取值范圍．
【思路點撥】（1）根據(jù)題意，設(shè)橢圓M1的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由“橢圓相似”的性質(zhì)思路引導(dǎo)可得，，解可得a2、b2的值，代入橢圓的方程即可得答案；
（2）設(shè)直線l的斜率為k，以及A、B、G、H的坐標(biāo)，可以表示、的坐標(biāo)，分“AG與x軸不垂直”和“AG與x軸垂直”兩種情況，求出直線AG的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由根與系數(shù)的關(guān)系的思路引導(dǎo)可得λ1+λ2范圍，即可得答案．
得，∴λ1=3﹣2x1，
當(dāng)AG與x軸垂直時，點A的橫坐標(biāo)為1，λ1=1，λ2=3﹣2x1成立，
同理可得λ2=3﹣2x2，
設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），
代入橢圓方程，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，
則，
得，，，
，
由得，
即λ1+λ2范圍為（6，10）．學(xué)&科網(wǎng)
11.已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，左、右焦點分別為圓F1、F2，M是C上一點，|MF1|=2，且||||=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)過點P（4，1）的動直線l與橢圓C相交于不同兩點A、B時，線段AB上取點Q，且Q滿足||||=||||，證明點Q總在某定直線上，并求出該定直線的方程．
【思路點撥】（1）由已知得a=2c，且∠F1MF2=60°，由余弦定理求出c=1，即可求得a，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓C的方程可求；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+（1﹣4k），代入橢圓方程，得（3+4k2）x2+（8k﹣32k2）x+64k2﹣32k﹣8=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合已知向量等式即可證明點Q總在某定直線上，并求出該定直線方程．
證明：（2）由題意可得直線l的斜率存在．
設(shè)直線l的方程為y﹣1=k（x﹣4），即y=kx+（1﹣4k），
代入橢圓方程，整理得（3+4k2）x2+（8k﹣32k2）x+64k2﹣32k﹣8=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則，．
設(shè)Q（x0，y0），由||||=||||，得：
（4﹣x1）（x0﹣x2）=（x1﹣x0）（4﹣x2）（考慮線段在x軸上的射影即可），
∴8x0=（4+x0）（x1+x2）﹣2x1x2，學(xué)&科網(wǎng)
于是，
整理得3x0﹣2=（4﹣x0）k，①
又k=，代入①式得3x0+y0﹣3=0，
∴點Q總在直線3x+y﹣3=0上．
12.如圖，橢圓E：，點P（0，1）在短軸CD上，且
（1） 求橢圓E的方程及離心率；
（2） 設(shè)O為坐標(biāo)原點，過點P的動直線與橢圓交于A，B兩點．是否存在常數(shù)λ，使得為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．
【思路點撥】（1）由已知可得點C，D的坐標(biāo)分別為（0，﹣b），（0，b）．結(jié)合?=﹣2列式求得b，則橢圓方程可求，進(jìn)一步求出c可得橢圓的離心率；
（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得A，B橫坐標(biāo)的和與積?+λ?，可知當(dāng)λ=2時，?+λ?=﹣7為定值．當(dāng)直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD，仍有?+λ?=?+2?=﹣3﹣4=﹣7，故存在常數(shù)λ=2，使得?+λ?為定值﹣7．

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