寧夏回族自治區(qū)西吉中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（時間：120分鐘滿分：150分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.若集合，，則（）
A.B.C.D.
2.下列命題為真命題的是（）
A.若，則B.若，則
C.若，則D.若，則
3.已知函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，.則（）
A.0B.C.1D.
4.隨機變量的分布列如下表：
若，則（）
A.B.C.D.
5.函數(shù)的圖象大致為（）
A.B.
C.D.
6.假設(shè)甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學(xué)習(xí)，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上進步2%，而乙疏于學(xué)習(xí)，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上退步1%.那么，大約需要經(jīng)過（）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（參考數(shù)據(jù)：，，）
A.85B.100C.150D.225
7.某市抽調(diào)5位老師分赴3所山區(qū)學(xué)校支教，要求每位老師只能去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少安排一位老師.由于工作需要，甲、乙兩位老師必須安排在不同的學(xué)校，則不同的分派方法的種數(shù)是（）
A.124B.246C.114D.108
8.已知函數(shù)（且），若函數(shù)的值域為，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.下列運算結(jié)果為1的有（）
AB.C.D.
10.下列說法中正確的是（）
A.函數(shù)的值域為
B.函數(shù)的零點所在區(qū)間為
C.函數(shù)與互為反函數(shù)
D.函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)
11.設(shè)甲袋中有3個白球和4個紅球，乙袋中有1個白球和2個紅球，則（）
A.從甲袋中每次任取一個球不放回，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到紅球的概率為
B.從甲袋中隨機取出了3個球，恰好是2個白球1個紅球的概率為
C.從乙袋中每次任取一個球并放回，連續(xù)取6次，則取得紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為4
D.從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球，則從乙袋中取出的是2個紅球的概率為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.在二項式展開式中，常數(shù)項為__________.
13.若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______.
14.定義：表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若，，，則實數(shù)a的取值范圍是__________.
四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.已知二次函數(shù)的圖象過點，且不等式的解集為.
（1）求的解析式；
（2）設(shè)，若在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.
16.甲、乙兩人進行知識答題比賽，每答對一題加20分，答錯一題減20分，且賽前兩人初始積分均為60分，兩人答題相互獨立.已知甲答對每題的概率均為，乙答對每題的概率均為，且某道題兩人都答對的概率為，都答錯的概率為.
（1）求，的值；
（2）乙回答3題后，記乙的積分為，求的分布列和期望.
17.已知函數(shù).
（1）試判斷的奇偶性，并說明理由；
（2）試判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）求在上的值域.
18.已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求的值域；
（2）若最小值為-3，求m的值；
（3）在（2）的條件下，若不等式有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.
19.“愛國，是人世間最深層、最持久的情感，是一個人立德之源、立功之本.”在中華民族幾千年綿延發(fā)展的歷史長河中，愛國主義始終是激昂的主旋律.愛國汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發(fā)動機進行科技改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技改造投入x（億元）與科技改造直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：
當(dāng)時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：；模型②：；當(dāng)時，確定y與x滿足的線性回歸方程為：.
（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時模型①、②的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測對“東方紅”款汽車發(fā)動機科技改造的投入為17億元時的直接收益.
（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，.）
（2）為鼓勵科技創(chuàng)新，當(dāng)科技改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼收益10億元，以回歸方程為預(yù)測依據(jù)，比較科技改造投入17億元與20億元時公司實際收益的大?。?br>（附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式；）
（3）科技改造后，“東方紅”款汽車發(fā)動機的熱效率X大幅提高，X服從正態(tài)分布，公司對科技改造團隊的獎勵方案如下：若發(fā)動機的熱效率不超過50%，不予獎勵；若發(fā)動機的熱效率超過50%但不超過53%，每臺發(fā)動機獎勵2萬元；若發(fā)動機的熱效率超過53%，每臺發(fā)動機獎勵5萬元.求每臺發(fā)動機獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望.
（附：隨機變量服從正態(tài)分布，則，.）
參考答案
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.【答案】B
【解析】
【分析】解指數(shù)不等式化簡集合A，再利用交集的定義直接求解.
【詳解】集合，而，
所以.
故選：B
2.【答案】C
【解析】
【分析】對于ABD：舉反例分析判斷；對于C：根據(jù)不等式的性質(zhì)分析判斷.
【詳解】對于選項A：若，則，故A錯誤；
對于選項B：若滿足，則，故B錯誤；
對于選項C：若，則，即，故C正確；
對于選項D：若滿足，則，故D錯誤；
故選：C.
3.【答案】D
【解析】
【分析】依題意可得是以4為周期的函數(shù)，則，從而計算可得；
【詳解】解：因為為奇函數(shù)，所以，①
將①中的替換為得.②
因為為偶函數(shù)，所以，③
由②③得，
則，所以是以4為周期的函數(shù)，
故.
故選：D
4.【答案】A
【解析】
【分析】由分布列中概率和為1和期望的值可以計算出的值，代入方差公式可以計算方差.
【詳解】解：∵，由表中數(shù)據(jù)可知，解得：.又，∴.所以.
故選：A
5.【答案】A
【解析】
【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)和特值法對不符合題意的選項加以排除，即可得出答案.
【詳解】因為，所以，定義域為；
因為，所以，
故，所以為奇函數(shù)，排除B，
當(dāng)逼近于，逼近于0，排除D，
由，，則，排除C，
故選：A.
6.【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定信息，列出方程，再利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化關(guān)系求解即可.
【詳解】令甲和乙剛開始的“日能力值”為1，天后，甲、乙的“日能力值”分別、，
依題意可得，即，兩邊取對數(shù)得，
因此，
所以大約需要經(jīng)過100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.
故選：B
7.【答案】C
【解析】
【分析】利用分布乘法計數(shù)原理，根據(jù)排列及間接法計算.
【詳解】設(shè)學(xué)校為，先把甲乙兩人安排到不同學(xué)校，有種，
不妨設(shè)甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可，
利用間接法計算，有種不同安排方法，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有6×19=114種不同安排方法.
故選：C
8.【答案】B
【解析】
【分析】分析可知當(dāng)時，，由題意可知當(dāng)時，則的值域包含，分和兩種情況，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析求解.
【詳解】當(dāng)時，則，
且，所以，
若函數(shù)的值域為，可知當(dāng)時，則的值域包含，
若，則在內(nèi)單調(diào)遞減，
可得，不合題意；
若，則在內(nèi)單調(diào)遞增，
可得，則，解得；
綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.【答案】選：CD.
10.【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)分別判斷各選項.
【詳解】A選項：函數(shù)，當(dāng)時，取最小值為1，所以函數(shù)的值域為；
B選項：因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多有一個零點，且，，所以其零點所在區(qū)間為，B選項正確；
C選項：，即，可得，所以函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，C選項正確；
D選項：函數(shù)與函數(shù)的定義域均為，，，不為同一函數(shù)，D選項錯誤；
故選：ABC.
11.【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)古典概型公式，結(jié)合組合公式，依次判斷選項.
【詳解】A.在第一次取到白球的條件下，則甲袋中還有2個白球和4個紅球，所以第二次取到紅球的概率為，故A正確；
B.從甲袋中隨機取出了3個球，恰好是2個白球1個紅球的概率，故B錯誤；
C.設(shè)紅球個數(shù)為，，則數(shù)學(xué)期望，故C正確；
D.第一種情況，若是從甲袋中取到2個白球放入乙袋，則概率，第二種情況，若是從甲袋中取到1個白球和1個紅球放入乙袋，則概率，第三種情況，若是從甲袋中取到2個紅球放入乙袋，則概率，所以從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球，則從乙袋中取出的是2個紅球的概率，故D正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.【答案】60
【解析】
【分析】
求得二項式展開式的通項為，令，即可求解，得到答案.
【詳解】由題意，二項式展開式的通項為，
令，可得，即展開式的常數(shù)項為60.
故答案為：60.
13.【答案】
【解析】
【分析】令，由題設(shè)易知在上為增函數(shù)且恒大于零，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組求的取值范圍.
【詳解】由題設(shè)，令，而為增函數(shù)，
∴要使在上是增函數(shù)，即在上為增函數(shù)且恒大于零，
，可得，
∴的取值范圍是.
故答案為：
14.【答案】
【解析】
【分析】利用給定定義構(gòu)造不等式，按分類討論并結(jié)合函數(shù)大致圖象，建立關(guān)系式求解即得.
【詳解】由給定的定義知，為滿足的整數(shù)解的和，
當(dāng)時，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)和的大致圖象，如圖：
，，，，
因此的解集包含，，不符合題意；
當(dāng)時，，由，解得或，
在內(nèi)有3個整數(shù)解1，2，3，即，因此，符合題意；
當(dāng)時，作出函數(shù)和的大致圖象，如圖，
若，又，且，所以不等式的整數(shù)解為1，2，3.
只需滿足，即，解得.
所以時，實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)，代入點的坐標(biāo)求出的值，即可求出函數(shù)解析式；
（2）首先表示出，從而確定其對稱軸，依題意得到或，解得即可
【小問1詳解】
因為不等式的解集為，
所以和1為關(guān)于的方程的兩根，且二次函數(shù)的開口向上，
則可設(shè)，，
即，
由的圖象過點，可得，解得，
所以，即.
【小問2詳解】
因為，對稱軸，
因為在上是單調(diào)函數(shù)，所以或，解得或，
即實數(shù)的取值范圍.
16.【答案】（1），
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）借助相互獨立事件的乘法公式可得方程組，解出該方程組即可得；
（2）得出的所有可能取值后計算相應(yīng)概率即可得分布列，借助分布列計算即可得其期望.
【小問1詳解】
由題意可得，解得；
【小問2詳解】
的可能取值為0，40，80，120，
，，
，，
則其分布列為：
.
17.【答案】（1）偶函數(shù)，理由見解析
（2）單調(diào)遞增，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；
（2）根據(jù)題意，由函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷；
（3）根據(jù)題意，由函數(shù)的單調(diào)性代入計算，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
是偶函數(shù).
易得，其定義域為.
因為，所以是偶函數(shù).
【小問2詳解】
在上單調(diào)遞增.
證明如下，任取，則
，
因為，所以，則，
所以，
則，故在上單調(diào)遞增.
【小問3詳解】
由（2）得在上單調(diào)遞增，
所以，
，
故在上的值域為.
18.【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間求值域問題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可；
（2）分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可；
（3）利用分離參數(shù)法將問題轉(zhuǎn)化為有解，利用基本不等式計算的最小值解不等式即可.
【小問1詳解】
設(shè)，
∵，∴，，
其對稱軸方程為，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
故所求值域為；
【小問2詳解】
∵函數(shù)的最小值為-3，，
若，在上單調(diào)遞增，沒有最小值；
若時，可知時，y取得最小值；
即，解得或（舍去），
綜上，；
【小問3詳解】
由題意，有實數(shù)解，
即，可得，
要使此不等式有解，只需即可，
∵（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
，
∴，解得，
即實數(shù)a的取值范圍為.
20.【答案】（1）回歸模型②刻畫的擬合效果更好，72.93億元；（2）答案見解析；（3）2.4305萬元.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)公式比較可得模型①的小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好.根據(jù)模型②的回歸方程計算可得結(jié)果；
（2）用最小二乘法求出當(dāng)時，y與x滿足的線性回歸方程，再通過計算比較可得答案；
（3）根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性和兩個特殊區(qū)間的概率求出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式計算可得結(jié)果.
【詳解】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，有182.4>79.2，即，
所以模型①的小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好.
所以當(dāng)億元時，科技改造直接收益的預(yù)測值為
（億元）；
（2）由已知可得：，，
所以，
所以當(dāng)億元時，y與x滿足的線性回歸方程為：，
所以當(dāng)億元時，科技改造直接收益的預(yù)測值，
所以當(dāng)億元時，實際收益的預(yù)測值為69.3+10=79.3億元>72.93億元，
所以技改造投入20億元時，公司的實際收益的更大；
（3）因為，
所以，
，
因為，
所以，
所以，
設(shè)每臺發(fā)動機獲得的獎勵為Y（萬元），則Y的分布列為：
所以每臺發(fā)動機獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望為：（萬元）.
-1
0
1
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
13
22
31
42
50
56
58
68.5
68
675
66
66
回歸模型
模型①
模型②
回歸方程
182.4
79.2
0
40
80
120
0
2
5
0.0228
0.8185
0.1587

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多