專題10.3 二項(xiàng)式定理（舉一反三）（新高考專用）（含答案） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc9365" 【題型1 求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)】 PAGEREF _Tc9365 \h 3
\l "_Tc8693" 【題型2 求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)系數(shù)】 PAGEREF _Tc8693 \h 4
\l "_Tc8922" 【題型3 兩個(gè)二項(xiàng)式之積問題】 PAGEREF _Tc8922 \h 5
\l "_Tc31757" 【題型4 三項(xiàng)展開式問題】 PAGEREF _Tc31757 \h 7
\l "_Tc18432" 【題型5 二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和問題】 PAGEREF _Tc18432 \h 8
\l "_Tc23537" 【題型6 二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題】 PAGEREF _Tc23537 \h 10
\l "_Tc32113" 【題型7 整除和余數(shù)問題】 PAGEREF _Tc32113 \h 11
\l "_Tc29415" 【題型8 近似計(jì)算問題】 PAGEREF _Tc29415 \h 13
\l "_Tc28374" 【題型9 證明組合恒等式】 PAGEREF _Tc28374 \h 14
\l "_Tc26501" 【題型10 二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和】 PAGEREF _Tc26501 \h 16
\l "_Tc29622" 【題型11 楊輝三角】 PAGEREF _Tc29622 \h 20
1、二項(xiàng)式定理
【知識(shí)點(diǎn)1 二項(xiàng)式定理】
1．二項(xiàng)式定理
一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有
=++++++.(*)
公式(*)叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)(k∈{0,1,2,
,n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)，叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第k+1項(xiàng)：=.
(2)二項(xiàng)展開式的規(guī)律
①二項(xiàng)展開式一共有(n+1)項(xiàng).
②(n+1)項(xiàng)按a的降冪b的升冪排列.
③每一項(xiàng)中a和b的冪指數(shù)之和為n.
2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
【知識(shí)點(diǎn)2 展開式中的通項(xiàng)問題】
1．求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的解題策略
求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；
求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k+1，代回通項(xiàng)公式即可.
2．兩個(gè)二項(xiàng)式之積、三項(xiàng)展開式問題的解題策略
(1)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，
但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏；也可利用排列組合的知識(shí)求解.
(2)對(duì)于三項(xiàng)式問題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決，或利用展開式的原理求解.
【知識(shí)點(diǎn)3 二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和問題】
1．賦值法
“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展
開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法.
2．系數(shù)之和問題的解題策略
若，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)之和為
，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為.
3．展開式的逆用
根據(jù)所給式子的特點(diǎn)結(jié)合二項(xiàng)式展開式的要求，使之具備二項(xiàng)式定理右邊的結(jié)構(gòu)，然后逆用二項(xiàng)式定
理求解.
【知識(shí)點(diǎn)4 二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)問題】
1．二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，展開式中第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，展開式中第
和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)開式中第最大，最大值為或.
【方法技巧與總結(jié)】
1．.
2．.
【題型1 求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)】
【例1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）2x?13x8的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）
A．112B．56C．?56D．?112
【解題思路】求出2x?13x8的展開式的通項(xiàng)可得答案.
【解答過程】2x?13x8的展開式的通項(xiàng)Tr+1=C8r2x8?r?13xr=?1r×28?r×C8rx8?4r3，
由8?4r3=0，得r=6，
所以2x?13x8的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為?16×28?6×C86=112．
故選：A.
【變式1-1】（2024·遼寧錦州·模擬預(yù)測(cè)）二項(xiàng)式3?x+12x12的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（）
A．5564B．?552C．?5564D．552
【解題思路】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得展開式中的常數(shù)項(xiàng).
【解答過程】二項(xiàng)式3?x+12x12展開式的通項(xiàng)公式為
C12r?12xr??x1312?r=?112?r?12r?C12r?x4?43r.
令4?43r=0?r=3，
所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為?19?123?C123=?123?C123=?18×220=?552
故選：B.
【變式1-2】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知x2?a3xn（其中a>0）的展開式中的第7項(xiàng)為7，則展開式中的有理項(xiàng)共有（）
A．6項(xiàng)B．5項(xiàng)C．4項(xiàng)D．3項(xiàng)
【解題思路】運(yùn)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得n、a的值，結(jié)合有理項(xiàng)的定義賦值求解即可.
【解答過程】展開式的第7項(xiàng)為T7=Cn6x2n?6?a3x6=?a6Cn6x2n?14，
由題意，得2n?14=0，?a6Cn6=7，（a>0），所以n=7，a=1，
則展開式的通項(xiàng)為Tk+1=?1kC7kx14?2k13xk=?1kC7kx42?7k3，k=0,1,2,?,7，
令42?7k3∈Z，則k=0,3,6，所以展開式中的有理項(xiàng)共有3項(xiàng).
故選：D.
【變式1-3】（2024·河北廊坊·模擬預(yù)測(cè)）x?2xnn∈N*的展開式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）
A．?160B．?20C．20D．160
【解題思路】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得n=6，再根據(jù)通項(xiàng)公式可求出結(jié)果.
【解答過程】因?yàn)閤?2xnn∈N*的展開式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
則由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)知：展開式共有7項(xiàng)，則n=6，
則x?2x6展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C6rx6?r??2xr=(?2)rC6rx6?2r，
展開式中常數(shù)項(xiàng)，必有6?2r=0，即r=3，
所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為T4=(?2)3C63=?8×20=?160.
故選：A.
【題型2 求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)系數(shù)】
【例2】（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）在(x?2x)5的展開式中，x4項(xiàng)的系數(shù)為（）
A．?20B．20C．?40D．40
【解題思路】
由題意寫出展開式通項(xiàng)并化簡(jiǎn)，令5?r2=4，解得r=2，回代展開通項(xiàng)計(jì)算即可得解.
【解答過程】在(x?2x)5的展開式通項(xiàng)為Tr+1=C5rx5?r?2xr=C5r?2rx5?r2,0≤r≤5,r∈N?，
由題意令5?r2=4，解得r=2，所以x4項(xiàng)的系數(shù)為C52?22=10×4=40.
故選：D.
【變式2-1】（2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）1x?x10的展開式中，x2的系數(shù)等于（）
A．?45B．?10C．10D．45
【解題思路】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求出x2的系數(shù).
【解答過程】1x?x10的通項(xiàng)為Tr+1=C10r(1x)10?r(?x)r=(?1)rC10rx32r?10，
令32r?10=2，解得r=8，
所以x2項(xiàng)的系數(shù)為：(?1)8C108=45.
故選：D.
【變式2-2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）2x?1x27展開式中含1x2項(xiàng)的系數(shù)為（）
A．420B．?420C．560D．?560
【解題思路】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解出r的值，進(jìn)而可得x?2項(xiàng)的系數(shù).
【解答過程】由題意知， 2x?1x27的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C7r2x7?r??1x2r=?1r27?rC7rx7?3r，
令7?3r=?2，得r=3，故含1x2項(xiàng)的系數(shù)為?1324C73=?16×35=?560.
故選：D.
【變式2-3】（23-24高二下·海南·期末）x2?x6的展開式中，x4的系數(shù)為（）
A．154B．52C．54D．1516
【解題思路】利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式來(lái)求指定項(xiàng)系數(shù).
【解答過程】由Tk+1=C6kx26?k?xk=?1k126?kC6kx6?k2，
當(dāng)6?k2=4，解得k=4，
所以x4的系數(shù)為?14122C64=14×15=154，
故選：A.
【題型3 兩個(gè)二項(xiàng)式之積問題】
【例3】（2024·山西長(zhǎng)治·模擬預(yù)測(cè)）x+2yx?y5的展開式中x3y3的系數(shù)是（）
A．﹣10B．0C．10D．30
【解題思路】根據(jù)乘法的分配律以及二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.
【解答過程】依題意可知，含x3y3的項(xiàng)是x×C53×x2×?y3+2y×C52×x3×?y2
=?10x3y3+20x3y3=10x3y3，
所以x3y3的系數(shù)是10.
故選：C.
【變式3-1】（2024·西藏·模擬預(yù)測(cè)）在yx?2xyx+y6的展開式中，x2y4的系數(shù)為（）
A．?4B．4C．?8D．8
【解題思路】根據(jù)x+y6展開式通項(xiàng)公式得到x3y3，xy5的系數(shù)分別為C63，C65，從而得到x2y4的系數(shù)為C63?2C65=8．
【解答過程】在x+y6的展開式中，通項(xiàng)公式為Tr+1=C6rx6?ryr，
故x3y3，xy5的系數(shù)分別為C63，C65，
所以在yx?2xyx+y6的展開式中，x2y4的系數(shù)為C63?2C65=8．
故選：D．
【變式3-2】（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）1+x+x2(1?x)10的展開式中x2的系數(shù)（）
A．28B．35C．36D．56
【解題思路】先求出(1?x)10的展開式的通項(xiàng)，再分別求出展開式中x2項(xiàng)、x項(xiàng)的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，即可求得的(1+x+x2)(1?x)10展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)．
【解答過程】根據(jù)題意，二項(xiàng)式(1?x)10的展開式的通項(xiàng)Tr+1=C10r110?r(?x)r，
其中x2項(xiàng)為，T2+1=C102110?2(?x)2=45x2，
x項(xiàng)為，T1+1=C101110?1(?x)1=?10x，
常數(shù)項(xiàng)為，T0+1=C100110(?x)0=1，
所以展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為1×45+1×(?10)+1×1=36．
故選：C．
【變式3-3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知ax+12x?17的展開式中x3的系數(shù)為448，則該展開式中x2的系數(shù)為（）
A．56B．?98C．106D．?112
【解題思路】求出二項(xiàng)式2x?17的展開式的通項(xiàng)，由給定系數(shù)求出a，再求出x2的系數(shù).
【解答過程】依題意，ax+12x?17=ax2x?17+2x?17，
二項(xiàng)式2x?17的展開式的通項(xiàng)Tr+1=C7r2x7?r??1r，
于是?aC75×22+C74×23=?84a+280=448，解得a=?2，
所以ax+12x?17的展開式中x2的系數(shù)為?2C76×2?C75×22=?28?84=?112.
故選：D.
【題型4 三項(xiàng)展開式問題】
【例4】（2024·新疆喀什·三模）x2+x+15展開式中，x3的系數(shù)為（）
A．20B．30C．25D．40
【解題思路】分不含x2項(xiàng)和含有一個(gè)x2項(xiàng)兩種情況求解．
【解答過程】(x2+x+1)5展開式中，x3的項(xiàng)為C53x3?12+C51x2?C41x?13=30x3，
則x3的系數(shù)為30．
故選：B．
【變式4-1】（2024·河北滄州·二模）在(x?2y+3z)6的展開式中，xy2z3項(xiàng)的系數(shù)為（）
A．6480B．2160C．60D．?2160
【解題思路】根據(jù)條件，利用組合知識(shí)，即可求出結(jié)果.
【解答過程】(x?2y+3z)6相當(dāng)于6個(gè)因式x?2y+3z相乘，其中一個(gè)因式取x，有C61種取法，
余下5個(gè)因式中有2個(gè)取?2y，有C52種取法，最后3個(gè)因式中全部取3z，有C33種取法，故(x?2y+3z)6展開式中xy2z3的系數(shù)為C61×1×C52×(?2)2×C33×33=6480.
故選：A.
【變式4-2】（2024·新疆烏魯木齊·一模）x2?x+y5的展開式中x5y2的系數(shù)為（）
A．?30B．?20C．20D．30
【解題思路】利用二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答過程】x2?x+y5=x2?x+y5，
其展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C5rx2?x5?ryr，
令r=2，則T3=C52x2?x3y2，
而x2?x3的展開式的通項(xiàng)公式為：
Tk+1'=C3kx23?k??xk=?1kC3kx6?k，
令k=1，則x2?x+y5的展開式中x5y2的系數(shù)為:
C52×?11×C31=?30,
故選：A.
【變式4-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在x+1?2x26的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）
A．721B．-61C．181D．-59
【解題思路】先求出展開式的通項(xiàng)公式Tr+1= C6rx+16?r?2x2r=C6r?2rx+16?rx?2r,其中x+66?r的展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1= C6?rkx6?r?k，令x的冪指數(shù)等于0，求得r，k的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值.
【解答過程】∵x+1?2x26=x+1?2x26的展開式的通項(xiàng)公式為
Tr+1= C6rx+16?r?2x2r=C6r?2rx+16?rx?2r，
其中x+66?r的展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1= C6?rkx6?r?k，
當(dāng)r=0時(shí)，6?r?k=0，∴k=6，常數(shù)項(xiàng)為C60C66?20；
當(dāng)r=1時(shí)，6?r?k=2，∴k=3，常數(shù)項(xiàng)為C61C53?2；
當(dāng)r=2時(shí)，6?r?k=4，∴k=0，常數(shù)項(xiàng)為C62C40?22；
故常數(shù)項(xiàng)為C60C66?20+C61C53?2+C62C40?22=?59.
故選：D.
【題型5 二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和問題】
【例5】（2024·安徽阜陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在二項(xiàng)式x?12x6的展開式中，下列說法正確的是（）
A．常數(shù)項(xiàng)為154B．各項(xiàng)的系數(shù)和為64
C．第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D．奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為?32
【解題思路】對(duì)于A，由二項(xiàng)式展開式，通過賦值即可得解；對(duì)于B，直接賦值即可得解；對(duì)于C，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于D，由奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可判斷.
【解答過程】對(duì)于A，x?12x6的展開式通項(xiàng)為Tr+1=C6r?(x)6?r??12xr=C6r??12r?x6?3r2，
當(dāng)r=2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為C62??122=154，選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，令x=1，得各項(xiàng)的系數(shù)和為1?126=164，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，展開式共7項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大應(yīng)為第4項(xiàng)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，依題意奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為C60+C62+C64+C66=262=32，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：A.
【變式5-1】（2024·四川樂山·三模）設(shè)(x+2024)(2x?1)2023=a0+a1x+a2x2+?+a2024x2024，則a12+a222+a323+?+a202422024=（）
A．1B．?1C．2024D．?2024
【解題思路】令x=0求得a0，令x=12即可求得a0+a12+a222+a323+…+a202422024的值．
【解答過程】由(x+2024)(2x?1)2023=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024，令x=0，得a0=?2024；
令x=12，得a0+a12+a222+a323+…+a202422024=0，
所以a12+a222+a323+…+a202422024=?a0=2024．
故選：C．
【變式5-2】（23-24高二上·福建漳州·階段練習(xí)）多項(xiàng)式ax+16的x2項(xiàng)系數(shù)比x3項(xiàng)系數(shù)多35，則其各項(xiàng)系數(shù)之和為（）
A．1B．243C．64D．0
【解題思路】利用二項(xiàng)展開式表示x2項(xiàng)系數(shù)比x3項(xiàng)系數(shù)多35求出a的值，然后令x=1，即求出各項(xiàng)系數(shù)之和.
【解答過程】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式Tr+1=C6r?a6?r?x6?r，
當(dāng)r=4時(shí)，x2的系數(shù)為C64?a2，
當(dāng)r=3時(shí)，x3的系數(shù)為C63?a3，
因?yàn)槎囗?xiàng)式ax+16的x2項(xiàng)系數(shù)比x3項(xiàng)系數(shù)多35，
所以15a2?20a3=35，解得a=?1，
所以1?x6其各項(xiàng)系數(shù)之和，即當(dāng)x=1時(shí)，系數(shù)和為0，
故選：D.
【變式5-3】（2024·廣東江門·一模）已知1+x4+1+x5+?+1+x11=a0+a12+x+a22+x2+?+a112+x11，則a0+a2+a4+?+a10的值是（）
A．680B．?680C．1360D．?1360
【解題思路】利用賦值法，分別令x=?1和x=?3，將得到的兩式相加，結(jié)合等比數(shù)列的求和，即可求得答案.
【解答過程】令x=?1，則0=a0+a1+a2+?+a11，即a0+a1+a2+?+a11=0
令x=?3，則?24+?25+?+?211=a0?a1+a2?a3+??a11，
即a0?a1+a2?a3+??a11=(?2)4[1?(?2)8]1?(?2)=?1360，
兩式相加可得a0+a2+a4+?+a10=?13602=?680，
故選：B.
【題型6 二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題】
【例6】（2024·四川雅安·一模）(1?x)10的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是（）
A．第4項(xiàng)B．第5項(xiàng)C．第6項(xiàng)D．第7項(xiàng)
【解題思路】利用二項(xiàng)式定理求得(1?x)10的展開通項(xiàng)公式，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【解答過程】依題意，(1?x)10的展開通項(xiàng)公式為Tr+1=C10r(?x)r=(?1)rC10rxr0≤r≤10,r∈N，其系數(shù)為(?1)rC10r，
當(dāng)r為奇數(shù)時(shí)，(?1)rC10r才能取得最小值，
又由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，C105是C10r的最大項(xiàng)，
所以當(dāng)r=5時(shí)，(?1)rC10r取得最小值，即第6項(xiàng)的系數(shù)最小.
故選：C．
【變式6-1】（2024·江西南昌·三模）若2x2?1xn的展開式中有且僅有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的是（）
A．第二項(xiàng)B．第三項(xiàng)C．第四項(xiàng)D．第五項(xiàng)
【解題思路】先利用二項(xiàng)式系數(shù)的增減性求出n的值，再根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式求解即可.
【解答過程】因?yàn)?x2?1xn的展開式中有且僅有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
所以n2+1=5，解得n=8，
則2x2?1x8的展開式通項(xiàng)為Tk+1=C8k2x28?k?1xk=C8k×28?k×?1k×x16?3k k=0,1,2,3,4,5,6,7,8，
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，系數(shù)為負(fù)數(shù)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，系數(shù)為正數(shù)，
所以展開式中系數(shù)最大時(shí)，k為偶數(shù)，
由展開式通項(xiàng)可知T1=C8028x16=256x16，T3=C8226x10=1792x10，T5=C8424x4=1120x4，
T7=C8622x?2=112x?2，T9=C8820x?8=x?8，
所以展開式中系數(shù)最大的是第三項(xiàng)，
故選：B.
【變式6-2】（2024·遼寧丹東·二模）在x?1n的二項(xiàng)展開式中，僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=（）
A．5B．6C．7D．8
【解題思路】根據(jù)若n為偶數(shù)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的是中間一項(xiàng)即第n2+1項(xiàng)，若n為奇數(shù)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的是中間兩項(xiàng)，即第n?12項(xiàng)和第n+12項(xiàng)求解.
【解答過程】因?yàn)樵趚?1n的二項(xiàng)展開式中，僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，
所以n2+1=4，
解得n=6，
故選：B.
【變式6-3】（23-24高三上·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）已知x?2xn的展開式中只有第5項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該展開式中各項(xiàng)系數(shù)的最小值為（）
A．?448B．?1024C．?1792D．?5376
【解題思路】先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得n=8，再結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求各項(xiàng)系數(shù)ar=?2rC8r，分析列式求系數(shù)最小項(xiàng)時(shí)r的值，代入求系數(shù)的最小值.
【解答過程】∵展開式中只有第5項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=8
∴展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C8rx8?r?2xr=?2rC8rx8?3r2,r=0,1,...,8
則該展開式中各項(xiàng)系數(shù)ar=?2rC8r,r=0,1,...,8
若求系數(shù)的最小值，則r為奇數(shù)且ar?ar+2≤0ar?ar?2≤0，即?2rC8r??2r+2C8r+2≤0?2rC8r??2r?2C8r?2≤0，解得r=5
∴系數(shù)的最小值為a5=?25C85=?1792
故選：C.
【題型7 整除和余數(shù)問題】
【例7】（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）若Cn1x+Cn2x2+???+Cnnxn能被7整除，則x，n的一組值可能為（）
A．x=4，n=6B．x=4，n=8
C．x=5，n=7D．x=6，n=9
【解題思路】利用二項(xiàng)式定理得展開式，對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【解答過程】Cn1x+Cn2x2+???+Cnnxn=1+xn?1，
當(dāng)x=4，n=6時(shí)，1+xn?1=56?1=53?153+1=124×126能被7整除；
當(dāng)x=4，n=8時(shí)，1+xn?1=58?1=52?152+154+1=24×26×626不能被7整除；
當(dāng)x=5，n=7時(shí)，1+xn?1=67?1=7?17?1不能被7整除；
當(dāng)x=6，n=9時(shí)，1+xn?1=79?1不能被7整除．
故選：A．
【變式7-1】（2024·湖南懷化·二模）若(2x+1)100=a0+a1x+a2x2+?+a100x100，則2a1+a3+?+a99?3被8整除的余數(shù)為（）
A．4B．5C．6D．7
【解題思路】根據(jù)題意，給自變量x賦值，取x=1和x=?1，兩個(gè)式子相減，得到2a1+a3+a5+?+a99的值，將2a1+a3+a5+?+a99?3構(gòu)造成一個(gè)新的二項(xiàng)式，根據(jù)二項(xiàng)展開式可以看出被8整除的結(jié)果，得到余數(shù)．
【解答過程】在已知等式中，取x=1得a0+a1+a2+?+a100=3100，
取x=?1得a0?a1+a2??+a100=1，
兩式相減得2(a1+a3+a5+?+a99)=3100?1，
即2a1+a3+a5+?+a99?3=3100?4，
因?yàn)?100?4=950?4=8+150?4
=C500?850+C501?849+?+C50r?850?r+?+C501?8+C500?4
=C500?850+C501?849+?+C50r?850?r+?+C501?8?3
=C500?850+C501?849+?+C50r?850?r+?+C501?8?8+5,r∈N
因?yàn)镃500?850+C501?849+?+C50r?850?r+?+C501?8?8能被8整除，
所以C500?850+C501?849+?+C50r?850?r+?+C501?8?8+5被8整除的余數(shù)為5，
即2a1+a3+a5+?+a99?3被8整除的余數(shù)為5，
故選：B.
【變式7-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究，對(duì)于兩個(gè)整數(shù)a,b，若它們除以正整數(shù)m所得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為a≡bmdm．若a=C171×6+C172×62+?+C1717×617,a≡bmd8，則b的值可以是（）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理變形，求出a除以8的余數(shù)即可得解.
【解答過程】依題意，a=C171×6+C172×62+?+C1717×617=(1+6)17?1=(8?1)17?1
C170×817?C171×816+?+C1716×8?C1717?1=C170×817?C171×816+?+C1716×8?2，
顯然C170×817?C171×816+?+C1716×8是8的整數(shù)倍，因此a除以8的余數(shù)是6，
而2021，2022，2023，2024除以8的余數(shù)分別為5，6，7，0，
所以b的值可以是2022.
故選：B.
【變式7-3】（2024·貴州黔南·二模）我國(guó)農(nóng)歷用“鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬”這12種動(dòng)物按順序輪流代表各年的生肖年號(hào)，今年2024年是龍年.那么從今年起的1314+1年后是（）
A．虎年B．馬年C．龍年D．羊年
【解題思路】借助二項(xiàng)式的展開式計(jì)算即可得.
【解答過程】由1314=12+114=C1401214+C1411213+?+C1413121+C1414
=12C1401213+C1411212+?+C1413+1，
故1314除以12的余數(shù)為1，故1314+1除以12的余數(shù)為2，
故1314+1年后是馬年.
故選：B.
【題型8 近似計(jì)算問題】
【例8】（2024·湖南·二模）某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為3%，某人存入大額存款a0元，按照復(fù)利計(jì)算10年后得到的本利和為a10，下列各數(shù)中與a10a0最接近的是（）
A．1.31B．1.32C．1.33D．1.34
【解題思路】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)展開式計(jì)算可得答案.
【解答過程】存入大額存款a0元，按照復(fù)利計(jì)算，
可得每年末本利和是以為a0首項(xiàng)，1+3%為公比的等比數(shù)列，
所以a0(1+3%)10=a10，
可得a10a0=(1+3%)10=C100×0.0310+C101×0.039+?+C108×0.032+C109×0.03+C1010≈1.34，
故選：D.
【變式8-1】（2024·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為3%，小張于2024年初存入大額存款10萬(wàn)元，按照復(fù)利計(jì)算8年后他能得到的本利和約為（）（單位：萬(wàn)元，結(jié)果保留一位小數(shù)）
A．12.6B．12.7C．12.8D．12.9
【解題思路】根據(jù)復(fù)利可知每年末本息和構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式及二項(xiàng)式定理求解即可.
【解答過程】存入大額存款10萬(wàn)元，按照復(fù)利計(jì)算，
每年末本利和是以10為首項(xiàng)，1+3%為公比的等比數(shù)列，
所以本利和S=10(1+3%)8=10C80+C81×0.031+C82×0.032+?+C87×0.037+C88≈12.7．
故選：B．
【變式8-2】（2024·北京西城·二模）某放射性物質(zhì)的質(zhì)量每年比前一年衰減5%，其初始質(zhì)量為m0，10年后的質(zhì)量為m′，則下列各數(shù)中與m′m0最接近的是（）
A．70%B．65%
C．60%D．55%
【解題思路】根據(jù)二項(xiàng)式定理即可估算近似值.
【解答過程】由題意可知m′=m01?5%10?m′m0=1?5%10=1?C101×0.05+C102×0.052?C103×0.053+?+C1010×0.0510
≈1?0.5+45×0.052=61.25%
故選：C.
【變式8-3】（2024·江西南昌·一模）二項(xiàng)式定理，又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓提出.二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪，即廣義二項(xiàng)式定理：
對(duì)于任意實(shí)數(shù)α，1+xα=1+α1!?x+αα?12!?x2+???+αα?1???α?k+1k!?xk+???
當(dāng)x比較小的時(shí)候，取廣義二項(xiàng)式定理展開式的前兩項(xiàng)可得：1+xa≈1+α?x，并且x的值越小，所得結(jié)果就越接近真實(shí)數(shù)據(jù).用這個(gè)方法計(jì)算5的近似值，可以這樣操作：
5=4+1=41+14=21+14≈2×1+12×14=2.25.
用這樣的方法，估計(jì)325的近似值約為（）
A．2.922B．2.926C．2.928D．2.930
【解題思路】變形325=3×31?227=3×1+?22713，然后根據(jù)題中的方法計(jì)算即可.
【解答過程】325=327?2=3271?227=3×31?227=3×1+?22713≈3×1+13×?227≈2.926.
故選：B.
【題型9 證明組合恒等式】
【例9】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）k=02n(?1)kC2kkC4n?2k2n?k=22nC2nn ．
【解題思路】構(gòu)造函數(shù)f(x)=1?4x?12，即有f(x)f(?x)=1?42x2?12由f(x)=k=0∞C2kkxk，可得f(x)f(?x)中x2n的系數(shù)為：k=02n(?1)kC2kkC4n?2k2n?k，而1?42x2?12展開式中x2n的系數(shù)為22nC2nn，即可證明.
【解答過程】記f(x)=1?4x?12，則f(?x)=1+4x?12，
所以f(x)f(?x)=1?4x?12?1+4x?12=1?42x2?12
由于f(x)=k=0∞C2kkxk，
所以f(?x)=k=0∞?1kC2kkxk
所以f(x)f(?x)中x2n的系數(shù)為：k=02n(?1)kC2kkC2(2n?k)2n?k=k=02n(?1)kC2kkC4n?2k2n?k，
而1?42x2?12展開式中x2n的系數(shù)為22nC2nn，
所以k=02n(?1)kC2kkC4n?2k2n?k=22nC2nn成立.
【變式9-1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求證：C2n+102?C2n+112+C2n+122?C2n+132+?+?12n+1?C2n+12n+12=0 ．
【解題思路】利用恒等式1+x2n+1?1?x2n+1=1?x22n+1及二項(xiàng)式定理，左右展開后對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相同，利用組合數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可.
【解答過程】考慮恒等式：1+x2n+1?1?x2n+1=1?x22n+1，
有1+C2n+11x+C2n+12x2+?+C2n+12n+1x2n+11?C2n+11x+C2n+12x2+?+?12n+1?C2n+12n+1x2n+1
=C2n+10?C2n+11x2+C2n+12x4+?+?12n+1C2n+12n+1x22n+1．
左邊展開式中x2n+1的系數(shù)為：
C2n+10??12n+1?C2n+12n+1+C2n+11??12n?C2n+12n+?+C2n+12n??11?C2n+11+C2n+12n+1??10?C2n+10 =?C2n+102+C2n+112?C2n+122+?+?12n+1?C2n+12n+12，
而右邊展開式中x2n+1項(xiàng)的系數(shù)為零．
所以?C2n+102+C2n+112?C2n+122+?+?12n+1?C2n+12n+12=0.
即得所證等式．
【變式9-2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求證：k=02n?1kCmkCm2n?k=?1nCmn.
【解題思路】根據(jù)1?xm1+xm=1?x2m，利用二項(xiàng)式定理分別求出等式左右兩邊含x2n的項(xiàng)的系數(shù)即可證明.
【解答過程】證明：∵ 1?xm1+xm=k=0mCmk?1kxk?r=0mCmrxr，
當(dāng)r=2n?k0≤k≤2n時(shí)，1?xm1+xm展開式中x2n的系數(shù)為k=02n?1kCmkCm2n?k，
又1?x2m=i=0m?1iCmix2i，
當(dāng)i=n時(shí)，1?x2m展開式中x2n的系數(shù)為?1nCmn，
∵ 1?xm1+xm=1?x2m，
∴ k=02n?1kCmkCm2n?k=?1nCmn.
【變式9-3】（24-25高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)fn(x)=(1+λx)n=a0+a1x+ a2x2+?+anxn，其中λ∈R．
(1)若n=8，a7=1024，求ai(i=0,1,2,3,?,8)的最大值；
(2)若λ=?1，求證：k=0nCnkknxkfn?k(x)=x．
【解題思路】（1）由二項(xiàng)式定理求得a7，從而求得λ，然后設(shè)at最大，解不等式組at≥at+1at≥at?1求解；
（2）用fn(x)寫出等式左邊的和式，然后由組合數(shù)公式Cnkkn=Cn?1k?1化簡(jiǎn)變形后再由二項(xiàng)式定理可證．
【解答過程】（1）：f8(x)=(1+λx)8 =a0+a1x+a2x2+?+a8x8，a7=C87λ7=1024，
∴λ7=128，∴λ=2．
不妨設(shè)at為ai(i=0,1,2,3,?,8)中的最大值，則at≥at?1,at≥at+1,∴C8t2t≥C8t?12t?1,C8t2t≥C8t+12t+1,
∴t≤6,t≥5,∴t=5或6．
ai中最大值為a5=a6=C8525=C8626=1792．
（2）證明：若λ=?1，fn(x)=(1?x)n，k=0nCnkknxkfn?k(x) =Cn00nx0(1?x)n+Cn11n?x1(1?x)n?2
+?+Cnnnnxn(1?x)0．
因?yàn)镃nkkn=n!k!(n?k)!?kn =(n?1)!(k?1)!?(n?k)! =(n?1)!(k?1)![(n?1)?(k?1)]! =Cn?1k?1，
所以k=0nCnkknxkfn?k(x) =0+Cn?10x1(1?x)n?1+Cn?12x2(1?x)n?2+? +Cn?1n?1?xn(1?x)0
=xCn?10x0(1?x)n?1+Cn?11x1(1?x)n?2+?+Cn?1n?1xn?1(1?x)0 =x[x+(1?x)]n?1=x．
故得證．
【題型10 二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和】
【例10】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)2x2?17x6=a0xm0+a1xm1+a2xm2+?+a6xm6，則m0+m1+m2+?+m6=（）
A．21B．64C．78D．156
【解題思路】首先寫出展開式的通項(xiàng)，再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算可得；
【解答過程】解：2x2?17x6的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C6k?26?k??17k?x12?3k，k=0,1,2,?,6，
所以m0+m1+m2+?+m6=12×7?3×1+2+?+6=84?3×1+6×62=21.
故選：A.
【變式10-1】（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知2?xnn≥2,n∈N，展開式中x的系數(shù)為fn，則2f(2)+22f(3)+23f(4)+??+22019f(2020)等于（）
A．2019110B．2019505C．10091010D．1009505
【解題思路】由題知fn=Cn2?2n?2，進(jìn)而整理化簡(jiǎn)，并根據(jù)裂項(xiàng)求和法計(jì)算即可得答案.
【解答過程】∵2?xnn≥2,n∈N，展開式中x的系數(shù)為fn=Cn2?2n?2，
∴則2f(2)+22f(3)+23f(4)+?+22019f(2020)=21+22C32?2+23C42?22+?+22019C20202?22018
=2+2C32+2C42+?+2C20202=2+23×22+24×32+?+22000×20192 =2+43×2+44×3+?+42020×2019 =2+4×12?13+13?14+?+12019?12020
=2+4×12?12020=2019505，
故選：B．
【變式10-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)n∈N?，在數(shù)列an中，a1=1，前n項(xiàng)和為Sn=2an+1?1．
(1)求an的通項(xiàng)公式．
(2)在等差數(shù)列bn中，b1=a1,b2=2a2，證明：i=1nai?bi≥n2n2+n+14．
【解題思路】（1）本題可以通過題中的一般項(xiàng)an與前n 項(xiàng)和Sn的關(guān)系式，利用公式Sn?Sn?1=an來(lái)推導(dǎo)an和an?1的關(guān)系，從而得出an的通項(xiàng)公式；
（2）先由題意得出bn的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求出i=1nai?bi的求和公式，將n=1，n=2，n≥3分別代入到i=1nai?bi和n2n2+n+14利用二項(xiàng)式定理化簡(jiǎn)，即可得證結(jié)果.
【解答過程】（1）當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)镾1=2a2?1，且S1=a1=1，所以1=2a2?1，解得a2=32．
當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn=2an+1?2，得Sn?1=2an?2．
兩式相減，得Sn?Sn?1=2an+1?2an．
因?yàn)镾n?Sn?1=an，所以an+1=32ann≥2．
又a2=32a1，所以an是首項(xiàng)為1，公比為32的等比數(shù)列．
故an的通項(xiàng)公式為an=32n?1,n∈N*．
（2）由已知，得b1=a1=1,b2=2a2=3，
所以等差數(shù)列bn的公差d=3?1=2，
故bn的通項(xiàng)公式為bn=1+2n?1=2n?1,n∈N*．
則i=1nai?bi=1?320+3?321+5?322+?+2n?3?32n?2+2n?1?32n?1，
則32i=1nai?bi=1?321+3?322+5?323+?+2n?3?32n?1+2n?1?32n．
兩式錯(cuò)位相減，得?12i=1nai?bi=1+2321+322+323+…+32n?1?2n?1?32n
=1+31?32n?11?32?2n?1?32n=?5?2n?532n，
所以i=1nai?bi=10+22n?5?32n．
當(dāng)n=1時(shí)，a1?b1=1,n2n2+n+14=1；
當(dāng)n=2時(shí)，i=12ai?bi=a1b1+a2b2=1+32×3=112，n2n2+n+14=112．
此時(shí)i=1nai?bi=n2n2+n+14．
當(dāng)n≥3時(shí)，32n=1+12n>Cn0+Cn1?12+Cn2?122=1+n2+nn?18=n2+3n+88，
所以i=1nai?bi>10+2n?5n2+3n+84= n2n2+n+14．
故對(duì)任意n∈N*，都有i=1nai?bi≥n2n2+n+14．
【變式10-3】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a,b∈Z，a≠0.如果存在q∈Z使得b=aq，那么就說b可被a整除（或a整除b），記做a|b且稱b是a的倍數(shù)，a是b的約數(shù)（也可稱為除數(shù)、因數(shù)）．b不能被a整除就記做a?b．由整除的定義，不難得出整除的下面幾條性質(zhì)：①若a|b，b|c，則a|c；②a，b互質(zhì)，若a|c，b|c，則ab|c；③若a|bi，則a|i=1ncibi，其中ci∈Z,i=1,2,3,?,n.
(1)若數(shù)列an滿足，an=2n?1，其前n項(xiàng)和為Sn，證明：279|S3000；
(2)若n為奇數(shù)，求證：an+bn能被a+b整除；
(3)對(duì)于整數(shù)n與k，F(xiàn)n,k=r=1nr2k?1，求證：Fn,1可整除Fn,k.
【解題思路】（1）利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求得S3000=23000?1，再結(jié)合二項(xiàng)式定理以及整除性質(zhì)②即可得出證明；
（2）由二項(xiàng)展開式可得n為奇數(shù)時(shí)，滿足an+bn=a+b?bn+bn=Cn0a+bn+Cn1a+bn?1?b+?+Cnn?1a+b?bn?1，可得結(jié)論；
（3）分別對(duì)整數(shù)n為奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行分類討論，利用Fn,1表達(dá)式將Fn,k的表達(dá)式化簡(jiǎn)成含有Fn,1的式子，再結(jié)合（2）中的結(jié)論即可證明Fn,1可整除Fn,k.
【解答過程】（1）因?yàn)閍n=2n?1，可知數(shù)列an是以a1=1為首項(xiàng)，公比為q=2的等比數(shù)列；
所以S3000=1?230001?2=23000?1，
而279=31×9，且31與9互質(zhì)；
易知S3000=23000?1=23×1000?1=81000?1=9?11000?1
=C1000091000?C100019999+??C10009999+C10001000?11000?1
=C1000091000?C100019999+??C10009999，
所以9|S3000；
S3000=23000?1=25×600?1=32600?1=31+1600?1
=C600031600+C600131599+?+C60059931+C600600?1=C600031600+C600131599+?+C60059931，
所以31|S3000；
結(jié)合整除性質(zhì)②可知：279|S3000；
（2）因?yàn)閍n+bn=a+b?bn+bn=Cn0a+bn+Cn1a+bn?1?b+?+Cnn?1a+b?bn?1+ Cnn?bn+bn，
且n為奇數(shù)，所以an+bn=a+b?bn+bn=Cn0a+bn+Cn1a+bn?1?b+?+Cnn?1a+b?bn?1；
因此an+bn能被a+b整除.
（3）易知Fn,1=r=1nr=1+2+3+?+n=nn+12.
當(dāng)n=2m時(shí)，F(xiàn)2m,1=r=12mr=m2m+1，
F2m,k=r=12mr2k?1=r=1mr2k?1+r=m+12mr2k?1=r=1mr2k?1+r=1m2m+1?r2k?1
=r=1mr2k?1+2m+1?r2k?1，
上式中r+2m+1?r=2m+1，由（2）知，F(xiàn)2m,k能被2m+1整除，
另一方面，F(xiàn)2m,k=r=12mr2k?1=r=1m?1r2k?1+m2k?1+r=m+12m?1r2k?1+2m2k?1
=r=1m?1r2k?1+r=1m?12m?r2k?1+m2k?1+2m2k?1=r=1m?1r2k?1+2m?r2k?1+m2k?1+2m2k?1，
上式中r+2m?r=2m，所以F2m,k也能被m整除，且m與2m+1互質(zhì)，
所以F2m,k能被m2m+1整除，即F2m,k能被F2m,1整除.
類似可證當(dāng)n=2m+1時(shí)，F(xiàn)2m+1,1=r=12m+1r=m+12m+1，
F2m+1,k=r=12m+1r2k?1=r=1mr2k?1+m+12k?1+r=m+22m+1r2k?1
=r=1mr2k?1+r=1m2m+2?r2k?1+m+12k?1=r=1mr2k?1+2m+2?r2k?1+m+12k?1，
顯然r+2m+2?r=2m+2=2m+1，由（2）知，F(xiàn)2m+1,k能被m+1整除；
另一方面，F(xiàn)2m+1,k=r=12m+1r2k?1=r=1mr2k?1+r=m+12mr2k?1+2m+12k?1
=r=1mr2k?1+r=1m2m+1?r2k?1+2m+12k?1=r=1mr2k?1+2m+1?r2k?1+2m+12k?1，
所以F2m+1,k能被2m+1整除；且m+1與2m+1互質(zhì).
F2m+1,k能被F2m+1,1整除.
綜上可知Fn,k能被Fn,1整除.
【題型11 楊輝三角】
【例11】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）如圖所示的“分?jǐn)?shù)楊輝三角形”被我們稱為萊布尼茨三角形，是將楊輝三角形中的Cnr換成1(n+1)Cnr得到的，根據(jù)萊布尼茨三角形，下列結(jié)論正確的是（）

A．1nCnr+1nCnr+1=1(n?1)Cn+1rB．1nCnr+1nCnr+1=1(n?1)Cn?1r
C．1(n+1)Cnr+1(n+1)Cnr+1=1nCn+1rD．1(n+1)Cnr+1(n+1)Cnr+1=1nCn?1r
【解題思路】觀察萊布尼茨三角形，得出規(guī)律即可判斷得解.
【解答過程】觀察萊布尼茨三角形，知每一個(gè)數(shù)等于下一層與它緊挨的兩個(gè)數(shù)之和，
因此1(n+1)Cnr+1(n+1)Cnr+1=1nCn?1r，即D正確，ABC錯(cuò)誤.
故選：D.
【變式11-1】（2024·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項(xiàng)式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．第6行的第7個(gè)數(shù)、第7行的第7個(gè)數(shù)及第8行的第7個(gè)數(shù)之和等于第9行的第8個(gè)數(shù)
B．第2023行中第1012個(gè)數(shù)和第1013個(gè)數(shù)相等
C．記“楊輝三角”第n行的第i個(gè)數(shù)為ai，則i=1n+12i?1ai=3n
D．第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為2:3
【解題思路】根據(jù)二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).
【解答過程】第6行的第7個(gè)數(shù)為1，第7行的第7個(gè)數(shù)為7，第8行的第7個(gè)數(shù)為28，
它們之和等于36，第9行的第8個(gè)數(shù)是C97=36，A正確；
第2023行是二項(xiàng)式a+b2023的展開式的系數(shù)，
故第2023行中第1012個(gè)數(shù)為C20231011，第1013個(gè)數(shù)為C20231012，又C20231011=C20231012，B正確；
“楊輝三角”第n行是二項(xiàng)式a+bn的展開式的系數(shù)，所以ai=Cni?1，
i=1n+12i?1ai=i=1n+12i?1?Cni?1=20Cn0+21Cn1+22Cn2+?+2n?1?Cnn?1+2nCnn=1+2n=3n，C正確；
第34行是二項(xiàng)式a+b34的展開式的系數(shù)，所以第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為C3414:C3415=3:4，D不正確.
故選：D.
【變式11-2】（23-24高二下·山東菏澤·期末）在(1+x+x2)n=Dn0+Dn1x+Dn2x2+?+Dnrxr+?+Dn2n?1x2n?1+Dn2nx2n中，把Dn0，Dn1，Dn2…，Dn2n稱為三項(xiàng)式系數(shù).
(1)當(dāng)n=2時(shí)，寫出三項(xiàng)式系數(shù)D20，D21，D22，D23，D24的值；
(2)a+bnn∈N的展開式中，系數(shù)可用楊輝三角形數(shù)陣表示，如圖，當(dāng)0≤n≤4，n∈N時(shí)，類似楊輝三角形數(shù)陣表，請(qǐng)列出三項(xiàng)式的n次系數(shù)的數(shù)陣表；
(3)求D20160C20160?D20161C20161+D20162C20162?D20163C20163+?+D20162016C20162016的值（用組合數(shù)作答）.
【解題思路】（1）寫出展開式，即可得到相應(yīng)的系數(shù)；
（2）寫出(1+x+x2)n（0≤n≤4，n∈N）的展開式，即可得解；
（3）由(1+x+x2)2016?(x?1)2016表示出x2016系數(shù)，再由(1+x+x2)2016?(x?1)2016=(x3?1)2016，計(jì)算出x2016系數(shù)，即可得解.
【解答過程】（1）因?yàn)?x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1，
所以D20=1，D21=2，D22=3，D23=2，D24=1；
（2）因?yàn)?+x+x20=1，
1+x+x21=1+x+x2，
1+x+x22=1+2x+3x2+2x3+x4，
1+x+x23=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6，
1+x+x24=1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8，
所以三項(xiàng)式的n（0≤n≤4，n∈N）次系數(shù)的數(shù)陣表如下：
（3）(1+x+x2)2016?(x?1)2016
=(D20160+D20161x+D20162x2+?+D2016rxr+D20164031x4031+D20164032x4032)×
C20160x2016?C20161x2015+C20162x2014?C20163x2013+?+(?1)rC2016rx2016?r+??C20162015x+C20162016，
其中x2016系數(shù)為D20160C20160?D20161C20161+D20162C20162?D20163C20163+?+D20162016C20162016，
又(1+x+x2)2016?(x?1)2016=(x3?1)2016
而二項(xiàng)式(x3?1)2016的通項(xiàng)Tr+1=(?1)rC2016r(x3)2016?r（0≤r≤2016且r∈N），
由3×2016?r=2016，解得r=1344，
所以x2016系數(shù)為C20161344=C2016672，
由代數(shù)式恒成立，
所以D20160C20160?D20161C20161+D20162C20162?D20163C20163+?+D20162016C20162016=C20161344=C2016672.
【變式11-3】（2025·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)）楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家?教育家，楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要研究成果.楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，圖1為楊輝三角的部分內(nèi)容，圖2為楊輝三角的改寫形式
(1)求圖2中第10行的各數(shù)之和；
(2)從圖2第2行開始，取每一行的第3個(gè)數(shù)一直取到第15行的第3個(gè)數(shù)，求取出的所有數(shù)之和；
(3)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個(gè)相鄰的數(shù)之比為3:8:14？若存在，試求出這三個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解題思路】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求和即可；
（2）根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值即可；
（3）假設(shè)存在，根據(jù)條件建立方程組求解，即可得解.
【解答過程】（1）第10行的各數(shù)之和為：C100+C101+C102+?+C1010=210=1024.
（2）楊輝三角中第2行到第15行各行第3個(gè)數(shù)之和為：
C22+C32+C42+C52+?+C152=C33+C32+C42+C52+?+C152=C163
=16×15×143×2×1=560.
（3）存在，理由如下：
設(shè)在第n行存在連續(xù)三項(xiàng)Cnk?1,Cnk,Cnk+1，其中n∈N?且n≥2,k∈N?且k≥2，
有Cnk?1Cn4=38且CnkCnk=814，化簡(jiǎn)得kn?k+1=38且k+1n?k=814，
即3n+3=11k22k?8n+14=0，解得k=3,n=10，
所以C102=45,C103=120,C104=210，
故這三個(gè)數(shù)依次是45,120,210.
一、單選題
1．（2024·江西·一模）(2x2+3x3)(x?1)7的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）
A．147B．?147C．63D．?63
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式定理求出(x?1)7展開式中x2,x3項(xiàng)即可列式計(jì)算即得
【解答過程】二項(xiàng)式(x?1)7展開式中x2,x3項(xiàng)分別為C75x2(?1)5,C74x3(?1)4，
所以(2x2+3x3)(x?1)7的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為2C75(?1)5+3C74(?1)4=63．
故選：C.
2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）2x+1x5+x?15的展開式中x的系數(shù)為（）
A．30B．40C．70D．80
【解題思路】利用二項(xiàng)式定理，寫出通項(xiàng)公式直接求解即可
【解答過程】2x+1x5展開式的通項(xiàng)Tk+1=C5k(2x)5?k1xk=C5k?25?k?x5?2k(k=0,1,?,5)，
令5?2k=1,即k=2，此時(shí)T3=C52?23?x=80x，
x?15展開式的通項(xiàng)Tr+1=C5rx5?r?1r=C5r?1rx5?r2(r=0,1,?,5)，
令5?r2=1，即r=3，此時(shí)T4=C53(?1)3x=?10x，
所以展開式中x的系數(shù)為80?10=70.
故選：C.
3．（23-24高二下·云南麗江·階段練習(xí)）在1+x61+1y4的展開式中，x3y2的系數(shù)為（）
A．200B．180C．150D．120
【解題思路】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式進(jìn)行合理賦值即可得到答案.
【解答過程】1+x6的展開式的二項(xiàng)式通項(xiàng)為Tr+1=C6rxr，令r=3，則T4=C63x3=20x3．
1+1y4的展開式的二項(xiàng)式通項(xiàng)為Tk+1=C4k1yk，
令k=2，可得T3=C421y2=6y2．
故x3y2項(xiàng)的系數(shù)為20×6=120．
故選：D.
4．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）22024被9除的余數(shù)為（）
A．1B．4C．5D．8
【解題思路】化簡(jiǎn)得出22024=4×(9?1)674，應(yīng)用二項(xiàng)式展開式根據(jù)整除即可計(jì)算求出余數(shù).
【解答過程】22024=4×22022=4×8674=4×(9?1)674
=4C6740×9674×10?C6741×9673×11+??C674673×91×1673+C674674×90×1674,
其中4C6740×9674×10?C6741×9673×11+…?C674673×91×1673是9的整數(shù)倍.
故22024被9除的余數(shù)為4.
故選：B.
5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在(x+1)(x+2)(x+m)(x+n)的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是7，則m+n=（）
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】利用多項(xiàng)式乘法法則對(duì)式子展開，合并同類項(xiàng)即可得到系數(shù)的值.
【解答過程】由題意可知展開式中含x3的項(xiàng)：x3+2x3+mx3+nx3=(1+2+m+n)x3=7x3
∴m+n=4,
故選：D.
6．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若3x?1xn的二項(xiàng)展開式中，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則其展開式中1x5的系數(shù)為（）
A．8B．28C．70D．252
【解題思路】先確定n值，再由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解x?5項(xiàng)的系數(shù)即可.
【解答過程】因?yàn)槎?xiàng)展開式中當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，
即二項(xiàng)式系數(shù)Cn0,Cn1,?,Cnn中第5個(gè)即Cn4最大，
所以由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，
展開式中共9項(xiàng)，n=8，又3x?1xn=3x12?x?18，
則3x12?x?18二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式
Tr+1=C8r3x128?r?x?1r=C8r(?1)r38?rx8?3r2，r=0,1,2,?,n.
令8?3r2=?5,r=6，所以1x5的系數(shù)為C86?32=9C82=252．
故選：D．
7．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知a=1+C2012+C20222+C20323+?+C2020220，則a被10除所得的余數(shù)為（）
A．9B．3C．1D．0E．均不是
【解題思路】由題意可得a=1+220=10?110，將其展開式寫出后可得a=10C100109?C101108+??C109+1，即可得解.
【解答過程】a=1+C2012+C20222+C20323+?+C2020220=1+220=320=910=10?110，
由10?110=C1001010?C101109+??C10910+C1010=10C100109?C101108+??C109+1，
故a被10除所得的余數(shù)為1.
故選：C.
8．（23-24高二下·云南·期中）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對(duì)楊輝三角做了廣泛的研究，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．1+C51+C62+C73=C83
B．第6行?第7行?第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第8個(gè)數(shù)
C．第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為2:11
D．第2020行的第1010個(gè)數(shù)最大
【解題思路】對(duì)于ABC選項(xiàng)，都可以對(duì)照?qǐng)D表與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系，即可得到判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，則需要找到二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律分析即可或直接運(yùn)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)直接判斷，如第2020行的二項(xiàng)式系數(shù)是C2020k，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)最大的是C20201010，從而判斷是第1011項(xiàng)．
【解答過程】對(duì)于A：因?yàn)?+C51+C62+C73=1+5+6×52×1+7×6×53×2×1=56,C83=8×7×63×2×1=56，所以1+C51+C62+C73=C83，故A正確；
對(duì)于B：第6行，第7行，第8行的第7個(gè)數(shù)字分別為：1,7,28，其和為1+7+28=36；而第9行第8個(gè)數(shù)字就是36，故B正確；
對(duì)于C：依題意：第12行從左到右第2個(gè)數(shù)為C121=12，第12行從左到右第3個(gè)數(shù)為C122=66，所以第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為12:66=2:11，故C正確；
對(duì)于D：由圖可知：第n行有n+1個(gè)數(shù)字，如果n是偶數(shù)，則第n2+1（最中間的）個(gè)數(shù)字最大；如果n是奇數(shù)，則第n+12和第n+12+1個(gè)數(shù)字最大，并且這兩個(gè)數(shù)字一樣大，所以第2020行的第1011個(gè)數(shù)最大，故D錯(cuò)誤.
故選:D.
二、多選題
9．（2024·山西臨汾·三模）在2x?3x8的展開式中（）
A．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128
B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)
C．有理項(xiàng)共有兩項(xiàng)
D．所有項(xiàng)的系數(shù)的和為38
【解題思路】先求出二項(xiàng)式系數(shù)和，奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和，即可確定A；二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，即為中間項(xiàng)，可確定B；整理出通項(xiàng)公式Tk+1=C8k2x8?k?3xk=?1k?28?kC8kx43k?8，再對(duì)k賦值，即可確定C；令x=1，可求出所有項(xiàng)的系數(shù)的和，從而確定D.
【解答過程】對(duì)于A,二項(xiàng)式系數(shù)和為，則所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為282=128，故A正確；
對(duì)于B, 二項(xiàng)式系數(shù)最大為C84，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，故B正確；
對(duì)于C,Tk+1=C8k2x8?k?3xk=?1k?28?kC8kx43k?80≤k≤8,k∈N，Tk+1為有理項(xiàng)，k可取的值為0,3,6，所以有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D,令x=1，則所有項(xiàng)系數(shù)和為21?318=1，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若x2+x?210=a0+a1x+a2x2+a3x3+?+a20x20，則（）
A．a(chǎn)0=1024B．a(chǎn)1=1
C．a(chǎn)19=10D．a(chǎn)1+a3+a5+?+a19=?512
【解題思路】利用賦值法一一計(jì)算可判定A、D選項(xiàng)；利用二項(xiàng)式定理可判定B、C選項(xiàng).
【解答過程】對(duì)于A，令x=0，則a0=?210=1024，故A正確；
對(duì)于D，令x=1?a0+a1+?+a20=0，
令x=?1?a0?a1+a2?a3+?+a18?a19+a20=1024，
兩式相減得a1+a3+a5+?+a19=?512，故D正確；
易知x2+x?210=x?110x+210，
而x?110中的常數(shù)項(xiàng)為1，含x項(xiàng)為C109x×?19=?10x，
含x9項(xiàng)為C101x9×?1=?10x9，含x10項(xiàng)為x10，
同理x+210中的常數(shù)項(xiàng)為1024，含x項(xiàng)為C109x×29=5120x，
含x9項(xiàng)為C101x9×2=20x9，含x10項(xiàng)為x10，
所以a1=1×5120+?10×1024=?5120，故B錯(cuò)誤；
a19=?10×1+1×20=10，故C正確.
故選：ACD.
11．（2024·山西·三模）已知函數(shù)fx=4x?112=a0+a1x+a2x2+???+a12x12，則（）
A．a(chǎn)3=43×C123B．fx展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C126
C．a(chǎn)1+a2+a3+???+a12=312D．f5的個(gè)位數(shù)字是1
【解題思路】對(duì)于A：根據(jù)二項(xiàng)展開式分析求解；對(duì)于B：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)分析求解；對(duì)于C：利用賦值法，令x=0、x=1即可得結(jié)果；對(duì)于D：因?yàn)閒5=20?112，結(jié)合二項(xiàng)展開式分析求解.
【解答過程】對(duì)于選項(xiàng)A：4x?112的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C12r4x12?r??1r=?1r?412?r?C12r?x12?r,r=0,1,2,???,12，
令r=9，可得T4=?19?43?C129?x3=?43×C123?x3，
所以a3=?43×C123，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閚=12為偶數(shù)，可知二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為C126，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：令x=0，可得a0=1；
令x=1，可得a0+a1+a2+???+a12=312；
所以a1+a2+a3+???+a12=312?1，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閒5=20?112，
且20?112的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C12k?2012?k??1k,k=0,1,2,???,12，
可知當(dāng)k=0,1,2,???,11，Tk+1均為20的倍數(shù)，即個(gè)位數(shù)為0，
當(dāng)k=12時(shí)，T13=1，所以f5的個(gè)位數(shù)字是1，故D正確；
故選：BD.
三、填空題
12．（2024·河北保定·三模）在(x+ax2)6(a>0)的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為75，則a= 5 .
【解題思路】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求出結(jié)果.
【解答過程】x+ax26的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C6r?x6?r?ax2r=ar?C6r?x6?3r，
令6?3r=0，解得r=2，
所以常數(shù)項(xiàng)為C62?a2=15a2=75，又a>0，解得a=5.
故答案為：5.
13．（2024·四川攀枝花·三模）若(1?2x)n(n∈N?)的展開式中x3的系數(shù)為?80，則展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 32 ．（以數(shù)字作答）
【解題思路】直接利用二項(xiàng)式的展開式求出結(jié)果．
【解答過程】根據(jù)(1?2x)n(n∈N?)的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=Cnr?(?2)r?xr，
當(dāng)r＝3時(shí)，?Cn3?23=?80，解得n=5；
故所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為25=32．
故答案為：32．
14．（2024·福建寧德·三模）中國(guó)古代歷法是中國(guó)勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶，《尚書·堯典》記載“期三百有六旬有六日，以閏月定四時(shí)成歲”，指出閏年有366天.元代郭守敬創(chuàng)造了中國(guó)古代最精密的歷法——《授時(shí)歷》，規(guī)定一年為365.2425天，和現(xiàn)行公歷格里高利歷是一樣的，但比它早了300多年.現(xiàn)行公歷閏年是如下確定的:①能被4整除，但不能被100整除;②能被400整除，滿足以上兩個(gè)條件之一的年份均為閏年，則公元1110年，距上一個(gè)閏年的年數(shù)為 5 .
【解題思路】借助二項(xiàng)式的展開式計(jì)算可得1110?1能整除4、100，不能整除400，故公元1110?1年不是閏年，而1110?5能整除4，但不能整除100，故公元1110?5年是閏年.
【解答過程】1110=12?110=C1001210?C101129+C102128???C10912+C1010
=12C100129?C101128+C102127???C109+1，
則1110?1能整除12，即能整除4，
1110=10+110=C1001010+C101109+C102108+?+C10910+C1010
=10C100109+C101108+C102107+?+C109+1
=100C100108+C101107+C102106+?+1+1，
則1110?1能整除100，
又10C100109+C101108+C102107+?+C109+1
=10C100109+C101108+?+C107×100+C108×10+C109+1
=104C100106+C101105+?+C106+120000+4500+100+1
=400×25×C100106+C101105+?+C106+400×300+4400+201，
故1110?1不能整除400，
故公元1110?1年不是閏年，
則1110?5能整除4，但不能整除100，故公元1110?5年是閏年，
則公元1110年，距上一個(gè)閏年的年數(shù)為5.
故答案為：5.
四、解答題
15．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知在2x?1xnn∈N?的展開式中，第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是25.
(1)求n的值；
(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)，并指出是第幾項(xiàng)；
【解題思路】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)之比列式求解即可；
（2）求出展開式的通項(xiàng)，再令x的指數(shù)等于零，即可得解．
【解答過程】（1）依題意可得第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cn1，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cn2，
∴Cn1Cn2=25，即nn(n?1)2×1=25，由n∈N?，解得n=6；
（2）2x?1x6展開式的通項(xiàng)為
Tr+1=C6r(2x)6?r?x?12r=(?1)r26?rC6rx6?32r (0≤r≤6,r∈N)，
令6?32r=0，解得r=4，
∴T5=22C62x0=60，
∴常數(shù)項(xiàng)為60，為第5項(xiàng).
16．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）設(shè)(3x?1)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，求：
(1)a2+a4+a6；
(2)a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7.
【解題思路】（1）先x=0代入得a0=?1，進(jìn)而分別代入x=1和x=?1后兩式相加可得a0+a2+a4+a6，從而可得a2+a4+a6的值.
（2）根據(jù)（1）可得a1+a3+a5+a7=8256，由通項(xiàng)公式Tr+1=C7r3x7?r?1r可知，當(dāng) r 為偶數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)系數(shù)為正；當(dāng) r 為奇數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)系數(shù)為負(fù)，從而得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=a1+a3+a5+a7?a0+a2+a4+a6的值.
【解答過程】（1）取 x=0,得到 a0=?1 ；
取 x=1得到 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=(3?1)7=27 ，
取x=?1得到 a0?a1+a2?a3+a4?a5+a6?a7=(?3?1)7=?47 ，
兩式相加得到 a0+a2+a4+a6=27?472=?8128 ，
所以 a2+a4+a6=?8127 .
（2）根據(jù)（1）知： a1+a3+a5+a7=27?a0+a2+a4+a6=128+8128=8256 .
(3x?1)7 展開式的通項(xiàng)為： Tr+1=C7r3x7?r?1r ，
故當(dāng) r 為偶數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)系數(shù)為正；當(dāng) r 為奇數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)系數(shù)為負(fù)，
故 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=a1+a3+a5+a7?a0+a2+a4+a6
=8256??8128=16384 .
17．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）已知x+12xn的展開式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為32．
(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
(2)求展開式中所有的有理項(xiàng)．
【解題思路】（1）首先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和的公式求n，再代入二項(xiàng)式系數(shù)最大公式，即可求解；
（2）根據(jù)通項(xiàng)公式，求有理項(xiàng).
【解答過程】（1）易知：x+12xn的展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)和為Cn0+Cn1+Cn2+C53+?+Cnn=2n
由題意有2n=32，解得n=5. 展開式共6項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)和第4項(xiàng)，
即T3=C52122x2=52x2，T4=C53123x12=54x12；
（2）二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C5r?x5?r?12xr=C5r?12r?x5?3r2r=0,1,2,…,5，
當(dāng)r=0,2,4時(shí)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)是有理項(xiàng)，
所以展開式中所有的有理項(xiàng)為T1=C50?120?x5=x5,T3=C52?122?x5?3=52x2,T5=C54?124?x5?6=516x．
18．（23-24高二下·浙江嘉興·期中）已知二項(xiàng)式x+3x2n.
(1)若它的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．
(2)若x=1,n=31，求二項(xiàng)式的值被9除的余數(shù)；
【解題思路】（1）利用二項(xiàng)式系數(shù)和公式先求n，再利用展開式通項(xiàng)公式列不等式組計(jì)算即可；
（2）將431變形為4×9?120，利用二項(xiàng)式定理計(jì)算即可.
【解答過程】（1）由題意可知2n=64?n=6，
則x+3x26的展開通項(xiàng)公式為Tr+1=C6rx6?r3x2r=3rC6rx6+r0≤r≤6,r∈N，
假設(shè)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，
則3r?C6r≥3r?1?C6r?13r?C6r≥3r+1?C6r+1?3×6!r!6?r!≥6!r?1!7?r!6!r!6?r!≥3×6!r+1!5?r!，
即3r≥17?r16?r≥3r+1，解得174≤r≤214，所以r=5，
展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)，
即T6=C65x3x25=6×35x11=1458x11；
（2）因?yàn)閤=1,n=31時(shí)，x+3x2n=431=262=4×260=4×820=4×9?120
=4×920+C201919?11+?+C201991?119+?120，
記K=920+C201919?11+?+C201991?119，顯然K能被9整除，
所以二項(xiàng)式的值被9除的余數(shù)為4.
19．（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家，他提出的楊輝三角是我國(guó)古代數(shù)學(xué)重大成就之一.圖為楊輝三角的部分內(nèi)容.設(shè)楊輝三角中第n行的第r個(gè)數(shù)為Cnr?1，觀察題圖可知，相鄰兩行中三角形的兩個(gè)腰都是由數(shù)字1組成的，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加.
(1)用公式表示出題目中敘述的規(guī)律，并加以證明.
(2)在楊輝三角中是否存在某一行，使該行中三個(gè)相鄰的數(shù)之比為3:8:14？若存在，試求出這三個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解題思路】（1）寫出Cnr=Cn?1r?1+Cn?1r，利用組合公式進(jìn)行證明；
（2）在第n行存在連續(xù)三項(xiàng)Cnk?1，Cnk，Cnk+1，得到方程組，求出k=3，n=10，得到答案.
【解答過程】（1）觀察得到Cnr=Cn?1r?1+Cn?1r．
利用組合相關(guān)公式證明如下：Cn?1r?1+Cn?1r=n?1!r?1!n?r!+n?1!r!n?1?r!=n?1!r!n?r!r+n?r=n!r!n?r!=Cnr，
故原式得證.
（2）存在，理由如下：
設(shè)在第n行存在連續(xù)三項(xiàng)Cnk?1，Cnk，Cnk+1，其中n∈N?且n≥2，k∈N?且k≥2，
有Cnk?1Cnk=38且CnkCnk+1=814，化簡(jiǎn)得kn?k+1=38且k+1n?k=814，
即3n+3=11k22k?8n+14=0，解得k=3，n=10，
故三個(gè)數(shù)依次是45，120，210.
考點(diǎn)要求
真題統(tǒng)計(jì)
考情分析
(1)能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題
2022年新高考全國(guó)I卷：第13題，5分
2023年北京卷：第5題，4分
2023年天津卷：第11題，5分
2023年上海卷：第10題，5分
2024年北京卷：第4題，4分
2024年天津卷：第11題，5分
2024年上海卷：第6題，5分
從近幾年的高考情況來(lái)看，二項(xiàng)式定理是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)、展開式的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)以及各項(xiàng)系數(shù)和等問題，往往以選擇題或填空題的形式考查，難度中等，復(fù)習(xí)時(shí)需要加強(qiáng)這方面的練習(xí)，解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活求解.
對(duì)稱性
與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等(即)
增減性
當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小，因此二項(xiàng)式系數(shù)在中間取得最大值
最大值
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，展開式的中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，展開式的中間兩項(xiàng)與的二項(xiàng)式系數(shù)，相等且最大
各二項(xiàng)式
系數(shù)的和

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