專題7.5 空間向量的概念與運(yùn)算（舉一反三）（新高考專用）（含答案） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc1069" 【題型1 空間向量的線性運(yùn)算】 PAGEREF _Tc1069 \h 4
\l "_Tc19461" 【題型2 空間共線向量定理的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc19461 \h 6
\l "_Tc6756" 【題型3 空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用】 PAGEREF _Tc6756 \h 8
\l "_Tc17277" 【題型4 空間向量基本定理及其應(yīng)用】 PAGEREF _Tc17277 \h 11
\l "_Tc14786" 【題型5 證明三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面】 PAGEREF _Tc14786 \h 14
\l "_Tc14263" 【題型6 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算】 PAGEREF _Tc14263 \h 17
1、空間向量的概念與運(yùn)算
【知識(shí)點(diǎn)1 空間向量的有關(guān)概念】
1．空間向量的概念
(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．
(2)長度或模：向量的大?。?
(3)表示方法：
①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq \(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(4)幾類特殊的空間向量
【知識(shí)點(diǎn)2 空間向量的線性運(yùn)算】
1．空間向量的線性運(yùn)算
2．共線向量定理
(1)共線向量定理
對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.
(2)共線向量定理的用途：
①判定兩條直線平行；
②證明三點(diǎn)共線.
【知識(shí)點(diǎn)3 空間向量的數(shù)量積】
1．空間向量的夾角
(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．
(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.
特別地，當(dāng)〈a，b〉＝eq \f(π,2)時(shí)，a⊥b.
2．空間向量的數(shù)量積
3．空間向量夾角的計(jì)算
求兩個(gè)向量的夾角：利用公式＝求，進(jìn)而確定．
4．空間向量數(shù)量積的計(jì)算
求空間向量數(shù)量積的步驟：
(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．
(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．
(3)代入求解．
【知識(shí)點(diǎn)4 空間向量基本定理及其應(yīng)用】
1．空間向量基本定理
如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．
2．用基底表示向量的步驟:
(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底．
(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合
相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡，最后求出結(jié)果．
(3)下結(jié)論：利用空間的一個(gè)基底{，，}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含
有，，，不能含有其他形式的向量．
3．證明平行、共線、共面問題
(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.
(2)如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.
4．求夾角、證明垂直問題
(1)θ為a，b的夾角，則cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.
5．求距離(長度)問題
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(a·a)( eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))) )．
6．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:
(1)平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題；
(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；
(3)幾何中求距離(長度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用向量的數(shù)量積可以求得．
【知識(shí)點(diǎn)5 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算】
1．空間向量的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)，上式可簡記作a＝(x，y，z)．
2．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
【方法技巧與總結(jié)】
1．三點(diǎn)共線：在平面中A,B,C三點(diǎn)共線(其中x+y=1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).
2．四點(diǎn)共面：在空間中P,A,B,C四點(diǎn)共面(其中x+y+z=1)，O為空間中任意一點(diǎn).
【題型1 空間向量的線性運(yùn)算】
【例1】（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，化簡AB?AD+CC1=（）
A．BD1B．DB1C．AC1D．CA1
【解題思路】由空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合長方體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行運(yùn)算.
【解答過程】由長方體的結(jié)構(gòu)特征，有CC1=BB1，
則AB?AD+CC1=DB+CC1=DB+BB1=DB1.
故選：B.
【變式1-1】（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）設(shè)A、B、C、D為空間中的四個(gè)點(diǎn)，則“AD=AB+AC”是“A、B、C、D四點(diǎn)共圓”的（）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
【解題思路】根據(jù)共面的性質(zhì)，結(jié)合空間向量的加法和減法的幾何意義、充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷即可.
【解答過程】由 AD=AB+AC?AD?AB=AC?BD=AC，
當(dāng)“A、B、C、D四點(diǎn)在同一條直線上時(shí)， A, B, C, D四點(diǎn)不共圓，
若A、B、C、D四點(diǎn)共圓，當(dāng)ABCD 是矩形時(shí)，此時(shí)AC，BD為圓的直徑,滿足AD=AB+AC，而當(dāng)ABCD 不是矩形時(shí)，顯然AC，BD不是圓的直徑，此時(shí)AD≠AB+AC.
故選: D.
【變式1-2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知四面體ABCD中，G是BD的中點(diǎn)，則CA+12AB+AD=（）
A．AGB．CGC．BGD．CB
【解題思路】根據(jù)已知條件作出圖形，利用空間向量的加法法則即可得解.
【解答過程】因?yàn)樗拿骟wABCD中，G是BD的中點(diǎn)，
所以CA+12AB+AD=CA+AG=CG.
故選：B.
【變式1-3】（23-24高二下·江蘇徐州·期中）在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，CM=MD1，CQ=4QA1，則（）
A．AM=13AB+23AD+AA1B．AM=12AB+13AD+12AA1
C．AQ=14AB+14AD+34AA1D．AQ=15AB+15AD+45AA1
【解題思路】借助空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可得.
【解答過程】AM=AB+BC+CM=AB+AD+12CD+CC1
=AB+AD?12AB+12AA1=12AB+AD+12AA1，故A、B錯(cuò)誤；
AQ=AA1+A1Q=AA1+15A1C=AA1+15A1D1+D1C1+C1C
=AA1+15AD+AB?AA1=15AB+15AD+45AA1，故C錯(cuò)誤、D正確.
故選：D.
【題型2 空間共線向量定理的應(yīng)用】
【例2】（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測(cè)）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+e2+e3，BC=e1+λe2+μe3，且A,B,C三點(diǎn)共線，則λ+μ=（）
A．0B．1C．2D．3
【解題思路】根據(jù)向量共線設(shè)AB=xBC，從而得到方程組，求出λ=1μ=1，得到答案.
【解答過程】因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以AB=xBC，
即e1+e2+e3=xe1+xλe2+xμe3，故x=1xλ=1xμ=1，解得λ=1μ=1，
所以λ+μ=1+1=2.
故選：C.
【變式2-1】（23-24高二上·北京·期中）已知MA,MB是空間兩個(gè)不共線的向量，MC=5MA?3MB，那么必有（）
A．MA,MC共線B．MB,MC共線
C．MA,MB,MC共面D．MA,MB,MC不共面
【解題思路】利用空間向量的共線定理與共面定理.
【解答過程】若MA,MC共線，則MC=λMAλ∈R，
又MC=5MA?3MB?λMA=5MA?3MB?5?λ3MA=MB，則MA,MB共線，
與條件矛盾，故A錯(cuò)誤；
同理若MB,MC共線，則MC=λMBλ∈R，
又MC=5MA?3MB?λMB=5MA?3MB?λ+35MB=MA，則MA,MB共線，
與條件矛盾，故B錯(cuò)誤；
根據(jù)空間向量的共面定理可知MA,MB,MC共面，即C正確，D錯(cuò)誤.
故選：C.
【變式2-2】（23-24高二上·安徽·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A0,0,1，B1,2,3，Cm,n,2，若向量AB與向量BC共線，則m的值為（）
A．0B．12C．1D．32
【解題思路】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系直接求解可得.
【解答過程】根據(jù)題意：AB=1,2,2，BC=m?1,n?2,?1，
AB與BC共線，所以BC=λAB?m?1,n?2,?1=λ1,2,2，
可得λ=?12，m=12．
故選：B.
【變式2-3】（23-24高二上·遼寧大連·期末）在四面體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，G為平面BCD的重心．若AG與平面BCE交于點(diǎn)F，則AFAG=（）
A．12B．23C．34D．45
【解題思路】根據(jù)共線定理及空間向量線性運(yùn)算可得結(jié)果.
【解答過程】如圖：連接DG交BC于H，則H為BC中點(diǎn)，連接AH,EH,AG,
因?yàn)锳G?平面AHD，EH?平面AHD，設(shè)AG∩EH=K，則K∈EH,K∈AG，
又EH?平面BCE，所以K∈平面BCE，故K為AG與平面BCE的交點(diǎn)，
又因?yàn)锳G與平面BCE交于點(diǎn)F，所以F與K重合，
又E為AD的中點(diǎn)，G為平面BCD的重心，
因?yàn)辄c(diǎn)A，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線，則AF=mAG=mAD+DG=mAD+23DH
=mAD+23×DB+DC2=mAD+13×AB?AD+AC?AD
=13mAD+AB+AC
又因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線，則AF=xAH+yAE,x+y=1，
AF=xAH+yAE=x2AB+AC+y2AD,
所以m3=x2x+y=1m3=y2，解得m=34，即AF=34AG，故AFAG=34.
故選：C.
【題型3 空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用】
【例3】（2023·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）在四面體ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，則AC?BD的值為（）
A．7B．9C．11D．13
【解題思路】根據(jù)空間數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.
【解答過程】因?yàn)锳C=AB+BC，BD=BC+CD，
所以AC?BD=AB+BC?BC+CD=AB?BC+AB?CD+BC2+BC?CD
=16+AB?BC+AB?CD+BC?CD，
又AB+BC+CD=AD，所以AB+BC+CD2=AD2，
即AB2+BC2+CD2+2AB?BC+2AB?CD+2BC?CD=AD2，
即32+42+52+2AB?BC+2AB?CD+2BC?CD=62，
所以AB?BC+AB?CD+BC?CD=?7，
所以AC?BD=9.

故選：B.
【變式3-1】（2024·江西贛州·二模）已知球O內(nèi)切于正四棱錐P?ABCD，PA=AB=2，EF是球O的一條直徑，點(diǎn)Q為正四棱錐表面上的點(diǎn)，則QE?QF的取值范圍為（）
A．[0,2]B．[4?23,2]C．[0,4?3]D．[0,4?23]
【解題思路】根據(jù)給定條件，利用體積法求出球O半徑，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.
【解答過程】令H是正四棱錐P?ABCD底面正方形中心，則PH⊥平面ABCD，而AH=2，
則PH=PA2?AH2=2，正四棱錐P?ABCD的體積V=13×22×2=423，
正四棱錐P?ABCD的表面積S=4×34×22+22=4(3+1)，
顯然球O的球心O在線段PH上，設(shè)球半徑為r，則V=13Sr，即r=3VS=6?22，
在△POA中，∠PAOOP，又EF是球O的一條直徑，
因此QE?QF=(QO+OE)?(QO?OE)=QO2?OE2=QO2?OH2，
顯然OH≤QO≤AO，則(QE?QF)min=0，(QE?QF)max=AO2?OH2=AH2=2，
所以QE?QF的取值范圍為[0,2].
故選：A.
【變式3-2】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知圓錐MO的底面半徑為3，高為1，其中O為底面圓心，AB是底面圓的一條直徑，若點(diǎn)P在圓錐MO的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，則PA?PB的最小值為（）
A．?94B．?32C．?2D．?1
【解題思路】由PA?PB=OA?OP?OB?OP=OP2?32，OP最小時(shí)，PA?PB有最小值，求OP的最小值即可.
【解答過程】圓錐MO的底面半徑為3，高為1，其中O為底面圓心，AB是底面圓的一條直徑，
則有OA=?OB，OA=OB=3，
點(diǎn)P在圓錐MO的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，
則PA?PB=OA?OP?OB?OP=OA?OB?OA+OB?OP+OP2=OP2?32，
OP最小時(shí)，PA?PB有最小值，OP的最小值為O點(diǎn)到圓錐母線的距離，
Rt△MOA中，OA=3，OM=1，則AM=2，O點(diǎn)到MA的距離OD=OA?OMAM=32，
則OP的最小值為32，PA?PB的最小值為322?32=?94.
故選：A.
【變式3-3】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐SO的底面半徑為2，點(diǎn)P為底面圓周上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為側(cè)面（異于頂點(diǎn)和底面圓周）上任意一點(diǎn)，則OP?OQ的取值范圍為（）
A．?4,4B．?4,4C．?2,2D．?2,2
【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積公式結(jié)合夾角余弦的范圍計(jì)算即可.
【解答過程】
如圖所示，延長SQ交底面圓周于B，過Q作QG⊥底面圓于G點(diǎn)，
顯然OP?OQ=OP?OG+GQ=OP?OG=2csOP,OG?OG，
由題意可知csOP,OG∈?1,1,0

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