2025年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷04（新高考專用）（含答案） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1.本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。
3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。
4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第I卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。
1．（5分）（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z=1+1i3，i為虛數(shù)單位，則z的虛部為（）
A．2iB．?2iC．2D．?2
【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法和乘方的運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義進(jìn)行求解即可.
【解答過(guò)程】1+1i3=1?i2i=(1?i)3=1+3×12??i+3×1×?i2+?i3=1?3i?3+i=?2?2i，
因此復(fù)數(shù)1+1i3的虛部為?2.
故選：D.
2．（5分）（2024·天津和平·二模）若x∈R，下列選項(xiàng)中，使“x20；
當(dāng)t∈ e,+∞時(shí)，p′t0有公共切線，則實(shí)數(shù)a的最大值為 2e ．
【解題思路】先設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)得到切線方程，斜率截距對(duì)應(yīng)相等，得到1?lna=14x22+lnx2,構(gòu)造函數(shù)?x=14x2+lnx，轉(zhuǎn)化為存在性問(wèn)題，最終求最值即可.
【解答過(guò)程】設(shè)曲線fx=x2與gx=lnaxa>0的切點(diǎn)分別為x1,x12，x2,lnax2，
∵f′x=2x，g′x=1x，∴k1=2x1，k2=1x2，
∴y?x12=2x1x?x1，y?lnax2=1x2x?x2，
∴2x1=1x2x12+lnax2?1=0，14x22+lnax2?1=0，即1?lna=14x22+lnx2，
令?x=14x2+lnx，則?′x=2x2?12x3，
當(dāng)00恒成立，
?x在x∈0,π2上單調(diào)遞增，則?x≥?0=0，符合題意.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為?∞,1.
17．（15分）（2024·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD與平面ABC1D1都是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BCD=∠BC1D1=120°，側(cè)面BCC1B1的面積為15.
(1)求平行六面體ABCD?A1B1C1D1的體積；
(2)求平面BCC1B1與平面CDD1C1的夾角的余弦值.
【解題思路】（1）連接AC，AC1，根據(jù)菱形的性質(zhì)、余弦定理，結(jié)合線面垂直的判定定理、三角形面積公式、棱柱的體積公式進(jìn)行求解即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.
【解答過(guò)程】（1）連接AC，AC1，
因?yàn)榈酌鍭BCD與平面ABC1D1均為菱形，且∠BCD=∠BC1D1=120°，
所以△ABC與△ABC1均為等邊三角形，
取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OC1，則OC⊥AB，OC1⊥AB，則OC=OC1=3，
因?yàn)閭?cè)面BCC1B1的面積為15，
所以△BCC1的面積為152，則12×2×2sin∠CBC1=152，
所以sin∠CBC1=154，則cs∠CBC1=14.
在△BCC1中，CC12=22+22?2×2×2×14=6，則CC1=6，
所以O(shè)C2+OC12=CC12，所以O(shè)C⊥OC1.
因?yàn)锳B∩OC=O，AB,OC?平面ABCD，
所以O(shè)C1⊥平面ABCD，
故平行六面體ABCD?A1B1C1D1的體積V=SABCD?OC1=2×2sin60°×3=6.
（2）由（1）可知，AB,OC,OC1兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B,OC,OC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O?xyz.
則B(1,0,0)，C(0,3,0)，C1(0,0,3)，D(?2,3,0)，
BC=(?1,3,0)，CC1=(0,?3,3)，CD=(?2,0,0)，
設(shè)平面BCC1B1的法向量為m=x1,y1,z1，
由BC?m=0,CC1?m=0,得?x1+3y1=0,?3y1+3z1=0,取y1=1，則m=(3,1,1).
設(shè)平面CDD1C1的法向量為n=x2,y2,z2，，
由CD?n=0,CC1?n=0,得?2x2=0,?3y2+3z2=0,取y2=1，則n=(0,1,1)，
于是cs?m,n?=m?n|m||n|=25×2=105.
設(shè)平面BCC1B1與平面CDD1C1的夾角為θ，
所以csθ=|cs?m,n?|=105.
18．（17分）（2024·遼寧錦州·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩名圍棋學(xué)員進(jìn)行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為α，乙獲勝的概率為β，兩人平局的概率為γα+β+γ=1,α>0,β>0,γ≥0，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)若α=25,β=25,γ=15，求進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽的概率；
(2)當(dāng)γ=0時(shí)，
（i）若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望EX的最大值；
（ii）若比賽不限制局?jǐn)?shù)，求“甲學(xué)員贏得比賽”的概率（用α,β表示）．
【解題思路】（1）用事件A,B,C分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”，“平局”，記“進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽”為事件N，則事件N包括事件：ABAA,BAAA,ACCA,CACA,CCAA共5種，即可求解；
（2）（i）由題意得X的所有可能取值為：2,4,5，求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列及求出數(shù)學(xué)期望，并求出最大值；
（ii）由（1）得前兩局比賽結(jié)果可能有：AA,BB,AB,BA，其中事件AA表示“甲學(xué)員贏得比賽”，事件BB表示“乙學(xué)員贏得比賽”，事件AB,BA表示“甲、乙兩名學(xué)員各得1分”，當(dāng)甲、乙兩名學(xué)員得分總數(shù)相同時(shí)，甲學(xué)員贏得比賽的概率與比賽一開(kāi)始甲學(xué)員贏得比賽的概率相同，所以P(M)=P(AA)?1+P(BB)?0+P(AB)?P(M)+P(BA)?P(M)即可求解．
【解答過(guò)程】（1）用事件A,B,C分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”，“平局”，
則P(A)=α=25,P(B)=β=25,P(C)=γ=15，
記“進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽”為事件N，
則事件N包括事件：ABAA,BAAA,ACCA,CACA,CCAA共5種，
所以P(N)=PABAA+PBAAA+PACCA+PCACA+PCCAA
=2PBPAPAPA+3PCPCPAPA
=2×254+3×152×252=44625．
（2）（i）因?yàn)棣?0，所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即α+β=1，
由題意得X的所有可能取值為：2,4,5，
P(X=2)=α2+β2，
P(X=4)=αβ+βαα2+αβ+βαβ2=2αβα2+β2，
P(X=5)=αβ+βα?αβ+βα?1=4α2β2，
所以X的分布列為：
所以X的期望為：
E(X)=2α2+β2+8αβα2+β2+20α2β2
=21?2αβ+8αβ1?2αβ+20α2β2
=4α2β2+4αβ+2
因?yàn)棣?β=1≥2αβ，所以αβ≤14，
等號(hào)成立時(shí)，α=β=12，所以0

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