一、單選題
1．若命題：，則命題為（ ）
A．B．
C．D．
2．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．命題．若的一個充分不必要條件是，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
4．設集合，，，則集合中元素的個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
5．若，，，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，且，則的最小值為（ ）
A．4B．6C．8D．10
8．定義集合運算；將稱為集合A與集合的對稱差，命題甲：；命題乙：則下列說法正確的是（ ）
A．甲乙都是真命題B．只有甲是真命題
C．只有乙是真命題D．甲乙都不是真命題
二、多選題
9．若集合，，滿足，則實數(shù)的值可能是（ ）
A．B．C．0D．1
10．已知關于的不等式的解集為，則（ ）
A．B．不等式的解集是
C．D．不等式的解集為
11．對于集合，給出以下結論，其中正確的結論是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
三、填空題
12．已知命題，，且為真命題時的取值集合為．設為非空集合，且是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍為 ．
13．若一個直角三角形的斜邊長等于，當這個直角三角形周長取最大值時，其面積為 ．
14．若規(guī)定集合的子集為的第個子集，其中，則的第211個子集的真子集個數(shù)為 .
四、解答題
15．設正實數(shù)滿足，不等式恒成立，求的最大值．
16．已知全集，集合，
(1)若，求
(2)若“”是“x∈Q”充分不必要條件，求實數(shù) a的取值范圍．
17．已知集合為非空數(shù)集，定義：，．
(1)若集合，直接寫出集合，；
(2)若集合，，且，求證：；
(3)若集合，，記為集合中元素的個數(shù)，求的最大值．
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，寫出結論即可.
【詳解】命題是一個存在性命題，說明存在使的正數(shù)，
則它的否定是：不存在使的正數(shù)，
即對任意的正數(shù)都不能成立，
由以上的分析，可得為：，
故選：C.
2．C
【分析】根據(jù)，可求得，則得，從而可求解.
【詳解】由題意可知，只需，解得，故C正確.
故選：C.
3．D
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行求解即可．
【詳解】因為的一個充分不必要條件是，
則是的真子集，
，
故選：D．
4．B
【分析】分別在集合中取，由此可求得所有可能的取值，進而得到結果.
【詳解】當，時，；當，時，；
當，或時，；當，時，；
當，或，時，；當，時，；
，故中元素的個數(shù)為個.
故選：B.
5．A
【分析】利用作差法比較的大小，再結合中間值比較即可.
【詳解】易知，
因為，，所以，
則，即.
因為，，所以.
綜上，.
故選：A
6．C
【分析】先根據(jù)不等式的解集可得的關系及的符號，再根據(jù)一元二次不等式的解法即可得解.
【詳解】由的解集為，可得，且方程的解為，
所以，則，所以，即，又，
所以，解得，即關于的不等式的解集為.
故選：C.
7．C
【分析】根據(jù)已知等式，應用常值代換法應用基本不等式求和的最小值即可.
【詳解】
（當且僅當，時取等號）.
故選:C.
8．B
【分析】根據(jù)對稱差集合的定義和集合的運算將變形即可判斷命題甲；對于乙，畫出和的圖示即可判斷.
【詳解】對于甲，
，故命題甲正確；
對于乙，如圖所示：
所以，，故命題乙不正確.
故選：.
【點睛】關鍵點點睛：對于集合新定義問題，關鍵是理解新定義，利用韋恩圖結合集合的運算，利用數(shù)形結合判斷.
9．BCD
【分析】先用列舉法表示集合，再由得出，對進行分類討論即可確定的值.
【詳解】因為，所以，
因為，
所以當時，，滿足，即符合題意；
當時，，要滿足，則有或，解得或；
綜上所述，的值可能是.
故選：BCD.
10．BC
【分析】利用一元二次不等式的解集用表示，再逐項分析判斷即得.
【詳解】對于A，由不等式的解集為，得是方程的兩個根，且，A錯誤；
對于B，，則，
不等式，即，解得，B正確；
對于C，，C正確；
對于D，不等式，即，整理得，解得或，D錯誤.
故選：BC
11．AC
【分析】分別將各選項中式子或者集合變形，判斷是否能變形成與集合M中元素一樣的特征.
【詳解】對于A，，則恒有，
即，則，故A選項正確；
對于B，，若，則存在使得，
即，又和同奇或同偶，
若和都是奇數(shù)，則為奇數(shù)，而是偶數(shù)；
若和都是偶數(shù)，則能被4整除，而不一定能被4整除，
所以不能得到，故B選項錯誤；
如果，可設，
對于C，，
可得，故C選項正確；
對于D，，
不一定成立，不能得到，故D選項錯誤.
故選：AC
【點睛】方法點睛：
按照題目中關于集合中元素的定義，對選項中的算式進行變形整理，表示成中元素的形式，判斷是否能夠成立.
12．
【分析】化簡命題，結合條件列不等式可求的范圍.
【詳解】依題意，關于的不等式恒成立，
所以，解得，
所以實數(shù)的取值的集合．
因為是的必要不充分條件，
所以為的真子集．
又為非空集合，
所以， 得，
所以實數(shù)的取值范圍為．
故答案為：.
13．18
【分析】由題意畫出圖形，結合勾股定理并通過分析得知當最大值，這個直角三角形周長取最大值，根據(jù)基本不等式的取等條件即可求解.
【詳解】如圖所示：

在中，，
而直角三角形周長，
由勾股定理可知，
若要使最大，
只需即最大即可，
又，等號成立當且僅當，
所以，，，
等號成立當且僅當，
此時，其面積為.
故答案為：18.
14．31
【分析】結合題意先判斷出的第211個子集，再由真子集個數(shù)求解即可；
【詳解】因為，
所以由題意可得的第211個子集為，
所以其真子集個數(shù)為個，
故答案為：31
15．
【分析】利用換元法，將不等式左邊轉化為 的表達式，再多次利用基本不等式求得其最小值，從而得解.
【詳解】因為，，所以，，
令，，則，，，，
所以
，
當且僅當且且且，即，
即，時，等號成立，
又不等式恒成立，所以，即的最大值為.
16．(1)
(2)
【分析】當時，可得，則或x>7}，然后求交集即可；
由充分不必要條件與集合的包含關系可得：若“”是“x∈Q”的充分不必要條件，即?，然后考慮和兩種情況分別求解即可．
【詳解】（1）當時，，或x>7}，
因為，所以；
（2）若“”是“x∈Q”的充分不必要條件，即?，
當時，，此時，滿足?，
當時，則，解得：，且和不能同時成立，
綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為
17．(1)，
(2)證明見解析
(3)1349
【分析】(1)根據(jù)題目的定義，即可求得.
(2)根據(jù)集合相等的概念，可以證明.
(3)通過假設 ，求出對應的集合，通過，建立不等式關系，求出對應的值即可.
【詳解】（1）當，則，
（2）證明：因為集合，，且，所以中也只包含4個元素，即，剩下的元素滿足，所以.
（3）集合，，記為集合中元素的個數(shù)，設集合滿足題意，則，則，
所以，因為，由容斥原理，，
所以最小的元素為，最大的元素為，所以，即，解得，
實際上，當時滿足題意；
證明如下：設，則
，則，依題意可知，，即，所以的最小值為，所以當時，
集合中元素最多，即時滿足題意，
綜上，的最大值為.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
B
A
C
C
B
BCD
BC
題號
11









答案
AC









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