四川省成都市石室中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次數(shù)學(xué)周考試題（Word版附答案）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1 已知復(fù)數(shù)滿足，則（）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
設(shè)，則，
由，則，
化簡得，
則，解得，
則，
所以.
故選：C.
2. 已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）
A. 0.35B. 0.25C. 0.20D. 0.15
【答案】B
【解析】
三次投籃共有20種，
恰有兩次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5種
∴該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為
故選：B
3. 如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，點E為中點，若直線與所成的角為，則三棱錐的體積等于（）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
如圖，
∵，點為的中點，
∴，，
∵，，兩兩垂直，，
∴平面，取BD的中點F，連接EF，
∴為直線與所成的角，且，
由題意可知，，設(shè)，連接AF，
則，
在中，由余弦定理，得，
即，解得，即
∴三棱錐的體積．
故選：．
4. 已知平面平面，．下列結(jié)論中正確的是（）
A. 若直線平面，則B. 若平面平面，則
C. 若直線直線，則D. 若平面直線，則
【答案】D
【解析】
A，若，，則或，故A錯誤；
B，若，，則或與相交，故B錯誤；
C，若，，，必須，利用面面垂直的性質(zhì)定理可知，故C錯誤；
D，若，，即，利用面面垂直的判定定理知，故D正確；
故選：D.
5. 如圖，在長方體中，，點B到平面距離為（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】

由題意得點到平面距離為三棱錐的高，
設(shè)點到平面距離為，取中點，連接，
因為為長方體，所以，所以，
，，，
所以，，解得.
故選：C.
6. 自1972年慕尼黑奧運會將射箭運動重新列入奧運會項目以來，這項運動逐漸受到越來越多年輕人的喜愛．已知甲、乙兩位射箭運動員射中10環(huán)的概率均為，且甲、乙兩人射箭的結(jié)果互不影響，若兩人各射箭一次，則甲、乙兩人中至少有一人射中10環(huán)的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
記“甲射中10環(huán)”為事件，“乙射中10環(huán)”為事件，，
甲、乙兩人中至少有一人射中10環(huán)的概率為：
.
故選：D．
7. 若正實數(shù)滿足，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由題意若，則，所以，但這與矛盾，
所以不可能存在這種情況，
若，則，所以，即，但這與矛盾，
所以不可能存在這種情況，
所以只能，則則，所以，對比選項可知只有C正確.
故選：C.
8. 如圖，三棱柱滿足棱長都相等且平面，D是棱的中點，E是棱上的動點．設(shè)，隨著x增大，平面BDE與平面ABC的夾角是（）
A. 先增大再減小B. 減小
C. 增大D. 先減小再增大
【答案】D
【解析】
以中點為坐標(biāo)原點，分別為軸，并垂直向上作軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)所有棱長均為2，則，,，，設(shè)平面BDE法向量,
則，令有，
故.
又平面ABC的法向量，故平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角的余弦值
，又，故在上單增，上單減，
即隨著x增大先變大后變小，所以隨著x增大先變小后變大.
故選：D.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.拋擲質(zhì)地均勻的骰子兩次，事件“第一次出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件“第二次出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件“兩次都出現(xiàn)偶數(shù)點”，則（）
A.包含 B.與相互獨立
C.與互為對立事件 D.與互斥但不對立
【答案】.ABD
【解析】
由題意得包含，A正確.因為，所以與相互獨立，B正確.因為與不可能同時發(fā)生，且不是必然事件，所以與互斥但不對立，C錯誤，D正確.
10. 如圖，在底面為正方形的四棱錐中，平面，直線與平面所成角的正切值為，則下列說法正確的是（）
A. 異面直線與所成的角為 B. 異面直線與所成的角為
C. 直線與平面所成的角為 D. 點到平面的距離為
【答案】ABD
【解析】
A選項，平面，直線與平面所成角, ，
以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
則，設(shè)直線與所成的角大小為，則，
故，A正確；
B選項，設(shè)直線與所成的角大小為，則，
故，B正確；
C選項，
可取為平面的法向量，
設(shè)直線與平面所成的角大小為，
則，
故直線與平面所成的角為，C正確；

因為四邊形為正方形，所以⊥，
又平面，平面，故，
因為，平面，
所以⊥平面，故可取為平面的法向量，
故點到面的距離，D正確.
故選：ABD
11. 已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（ ABC ）
A. 的圖象關(guān)于點對稱 B. 是以8為周期的周期函數(shù)
C. D.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡的橫線上.
12. 如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長為_______________.

【答案】
【解析】
依題意，，得，
由底面為矩形，，，得，顯然，
又
，
因此，所以.
故答案為：
13. 三棱錐中，平面，則該三棱錐的外接球表面積等于______.
【答案】
【解析】
如圖：
將三棱錐補成長方體，則三棱錐的外接球和長方體的外接球是一致的.
設(shè)長方體外接球半徑為，則：，所以
14. 已知函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則的取值的集合為______.
【答案】
【解析】
由可知，，得，
所以，
又函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以，即，所以，
所以，的可能取值為.
當(dāng)時，由解得，
經(jīng)檢驗，時不滿足題意；
當(dāng)時，由解得，
經(jīng)檢驗，時滿足題意
所以，的可能取值為.
故答案為：
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分13分）
近年來，我國居民體重“超標(biāo)”成規(guī)模增長趨勢，其對人群的心血管安全構(gòu)成威脅，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)衡量人體胖瘦程度是否健康，中國成人的數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)是：為偏瘦；為正常；為偏胖；為肥胖．下面是社區(qū)醫(yī)院為了解居民體重現(xiàn)狀，隨機抽取了100名居民體檢數(shù)據(jù)，將其值分成以下五組：，，，，，得到相應(yīng)的頻率分布直方圖如圖．
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，求a的值，并估計該社區(qū)居民身體質(zhì)量指數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)；
（Ⅱ）現(xiàn)從樣本中利用分層抽樣的方法在，兩組中抽取6名居民，再從這6人中隨機抽取2人，求抽取到2人的值不在同一組的概率．
解：（Ⅰ）由題設(shè)條件可得，解得，
又前三組頻率之和為，
前四組的頻率之和為，
故樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)在內(nèi)，
設(shè)分位數(shù)為x，則有，解得，
即該社區(qū)居民身體質(zhì)量指數(shù)的樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為26.5．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知的頻數(shù)為，的頻數(shù)為，
可得兩組人數(shù)比值為1：2，按照分層抽樣抽取6人，則在，分別抽取2人和4人，記這組兩個樣本編號為a，b，這組編號為1，2，3，4，
故從6人隨機抽取2人所有可能樣本構(gòu)成的樣本空間為
，
共15種組合；
設(shè)事件A為“抽取到兩人的值不在同一組”，
則，共8種，故，
即從這6個人中隨機抽取2人，抽取到2人的值不在同一組的概率為．
16.（本小題滿分15分）
如圖，直三棱柱中，是邊長為2的正三角形，O為的中點.
（1）證明：平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【小問1詳解】
是正三角形，為的中點，，
又是直三棱柱，平面，
又平面，，
又平面，平面.
【小問2詳解】
依題意，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
是邊長為2的正三角形，則，
則，，，，．
，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
取，則，故，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
取，則，故，
設(shè)平面與平面夾角為，
則，
平面與平面夾角的余弦值為.
17.（本小題滿分15分）
在正四棱柱中，為中點，直線與平面交于點．
（1）證明：為的中點；
（2）若直線與平面所成的角為，求的長．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【小問1詳解】
如圖，連接，，在正四棱柱中，
由與平行且相等得是平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，是中點，
所以是的中點；
【小問2詳解】
以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)（），
則，，，，
，，
設(shè)平面的一個法向量是，則
，取，得，
因為直線與平面所成的角為，
所以，解得（負(fù)值舍去），
所以的長為．
18.（本小題滿分17分）
已知中，角的對邊分別是，.
（1）若，求的值；
（2）若的平分線交于點，且，求周長的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）已知中，角，，的對邊分別是，，，.
若，所以，整理得：，
整理得：，解得.
（2）的平分線交于點，且，
利用三角形的面積：
所以，
整理得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
所以，解得，
所以周長的最小值為.
19.（本小題滿分17分）
如圖①，在直角梯形中，，，.將沿折起，使平面平面，連，得如圖②的幾何體.
（1）求證：平面平面；
（2）若，二面角的平面角的正切值為，在棱上是否存在點使二面角的平面角的余弦值為，若存在，請求出的值，若不存在，說明理由.
【解析】
（1）∵平面平面，平面平面，
又，∴平面，∴，又，
∴平面，平面，∴平面平面.
（2）由（1）知平面，，.
∴為二面角的平面角，
又平面，∴，，∴，.
在①，∴，令，則，
解得.即，.在①中作，垂足.
①
則可得，.
∵平面平面，∴平面，
過作，以為原點，，，分別為軸軸軸建立如圖直角坐標(biāo)系，則
②
，，，.
設(shè)，.
設(shè)平面的法向量為，則
，∴，取，，即，
設(shè)平面的法向量為，則
取，，.即.
.解得（舍去），或.
∴.

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