一、解答題
1．（2021·江蘇鹽城·九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=90o，利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
(1)①作∠BAC的平分線(xiàn)，交BC于點(diǎn)O；②以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓；
(2)在你所作的圖中，判斷AC與⊙O的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；
(3)若AB=6，BC=8，求⊙O的半徑．
2．（2021·江蘇泰州·九年級(jí)期中）如圖，在△AEF中，點(diǎn)O是AF上的一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，AO為半徑的⊙O與△AEF的三邊分別交于點(diǎn)B、C、D． 給出下列信息：①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；③直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn) ．
(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題．你選擇的條件是 ，結(jié)論是 （只要填寫(xiě)序號(hào)），并說(shuō)明理由 ．
(2)在（1）的情況下，若AO＝2，DF＝42，求BF的長(zhǎng) ．
3．（2021·江蘇淮安·九年級(jí)期中）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D、E、F．已知∠A＝100°，∠C＝20°，
(1)則∠DFE的度數(shù)＝__________°．
(2)連接OA、OC，則∠AOC的度數(shù)＝__________°．
(3)連接DE，若△ABC的周長(zhǎng)為20cm，AC＝6cm，求DE的長(zhǎng)．
4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期中）平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)AC上運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，PA為半徑作⊙P．
(1)當(dāng)⊙P與邊CD相切時(shí)，AP＝ ；
(2)當(dāng)⊙P與邊BC相切時(shí)，求AP的長(zhǎng)；
(3)請(qǐng)根據(jù)AP的取值范圍探索⊙P與平行四邊形ABCD四邊公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
5．（2022·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，AB⊥CD,連接AC,OD.
(1)求證：∠BOD=2∠A;
(2)連接DB,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DB,交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DO,交AC于點(diǎn)F，若F為AC的中點(diǎn)，求證：直線(xiàn)CE為⊙O的切線(xiàn)．
6．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，D、E在⊙O上，C是AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且∠CEB=∠D．
(1)判斷直線(xiàn)CE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)若∠D=35°，則∠C的度數(shù)為_(kāi)_____°．
7．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期中）如圖，已知AB是⊙P的直徑，點(diǎn)C在⊙P上，D為⊙P外一點(diǎn)，且∠ADC＝90°，2∠B＋∠DAB＝180°
(1)試說(shuō)明：直線(xiàn)CD為⊙P的切線(xiàn)．
(2)若∠B＝30°，AD＝2，求CD的長(zhǎng)．
8．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期中）數(shù)學(xué)課上老師提出問(wèn)題：“在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，E是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上一點(diǎn)，以P為圓心，PE為半徑作⊙P，當(dāng)BP等于多少時(shí)，⊙P與矩形ABCD的邊相切？”．
小明的思路是：解題應(yīng)分類(lèi)討論，顯然⊙P不可能與邊AB及BC所在直線(xiàn)相切，只需討論⊙P與邊AD及CD相切兩種情形．請(qǐng)你根據(jù)小明所畫(huà)的圖形解決下列問(wèn)題：
(1)如圖1，當(dāng)⊙P與AD相切于點(diǎn)T時(shí)，求BP的長(zhǎng)；
(2)如圖2，當(dāng)⊙P與CD相切時(shí)，
①求BP的長(zhǎng)；
②若點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)BC移動(dòng)，連接AQ，M是AQ的中點(diǎn)，則在點(diǎn)Q的移動(dòng)過(guò)程中，直接寫(xiě)出點(diǎn)M在⊙P內(nèi)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____．
9．（2021·江蘇·蘇州市第十六中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A和動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圓O．點(diǎn)C在點(diǎn)P右側(cè)，PC＝4，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)m⊥l，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥m于點(diǎn)D，交AB右側(cè)的圓弧于點(diǎn)E．在射線(xiàn)CD上取點(diǎn)F，使DF＝32CD，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF．設(shè)AQ＝3x．
(1)用關(guān)于x的代數(shù)式表示BQ＝ ，DF＝ ．
(2)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長(zhǎng)．
(3)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，作直線(xiàn)BG交⊙O于點(diǎn)N，若BN的弦心距為2，求AP的長(zhǎng)．
10．（2016·江蘇鹽城·九年級(jí)期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，作OD∥BC與過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)交于點(diǎn)D，連接DC并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若AE＝6，CE＝23，求線(xiàn)段CE、BE與劣弧BC所圍成的圖形面積．
11．（2021·江蘇·南京鄭和外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在△ABE中，AB＝AE，以AB為直徑作⊙O，與邊BE交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AE，垂足為D．
（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的長(zhǎng)．
12．（2021·江蘇常州·九年級(jí)期中）△ABC中，∠C＝90° ，
（1）如圖1，點(diǎn)O在斜邊AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的圓⊙O交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，與邊AC相切于點(diǎn)F，求證：∠1＝∠2；
（2）在圖2中作⊙M，使它滿(mǎn)足下列條件：①圓心在邊AB上； ②經(jīng)過(guò)點(diǎn)B；③與邊AC相切(尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)．
13．（2021·江蘇南通·九年級(jí)期中）如圖，⊙O是△GDP的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為A、B、H，切線(xiàn)EF與⊙O相切于點(diǎn)C，分別交PA、PB于點(diǎn)E、F．
（1）若△PEF的周長(zhǎng)為12，求線(xiàn)段PA的長(zhǎng)；
（2）若∠G＝90°，GD=3，GP=4，求⊙O半徑．
14．（2021·江蘇常州·九年級(jí)期中）如圖，⊙O的直徑BE為4，∠BAE的平分線(xiàn)AD交⊙O于點(diǎn)D，交BE于點(diǎn)F，C是BE延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且FC＝AC．
（1）求BD的長(zhǎng)．
（2）求證：AC是⊙O的切線(xiàn)．
15．（2021·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)期中）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，∠ABC=60°，∠ACB=70°．
（1）求∠BOC的度數(shù)．
（2）求∠EDF的度數(shù)．
16．（2021·江蘇南京·九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線(xiàn)AD上，⊙P與直線(xiàn)AB相切，切點(diǎn)為E．
（1）求證：⊙P與直線(xiàn)AC相切．
（2）當(dāng)⊙P是△ABC內(nèi)切圓時(shí)，求⊙P的半徑．
17．（2021·江蘇南京·九年級(jí)期中）已知四邊形ABCD中，AD//BC，BC=6，∠B=60°，∠C=90°，AB=m，
以BC為直徑作⊙O．
（1）如圖①，⊙O與AD邊相切，切點(diǎn)為E，求m的值；
（2）就m的取值范圍討論⊙O與邊AB、AD除點(diǎn)B外的公共點(diǎn)總個(gè)數(shù)的情況（直接寫(xiě)出答案）．
18．（2021·江蘇鹽城·九年級(jí)期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)分別交AB，AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，F(xiàn)，連接BD．
（1）求證：AF⊥EF；
（2）若AC=6，CF=2，求⊙O的半徑．
19．（2021·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，直角坐標(biāo)系中，以M（6，0）為圓心的⊙M交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C、D．
（1）若C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），求點(diǎn)A坐標(biāo)．
（2）在（1）的條件下，在⊙M上，是否存在點(diǎn)P，使∠CPM＝45°，若存在，求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P．
（3）過(guò)C作⊙M的切線(xiàn)CE，過(guò)A作AN⊥CE于F，交⊙M于N，當(dāng)⊙M的半徑大小發(fā)生變化時(shí)．AN的長(zhǎng)度是否變化？若變化，求變化范圍，若不變，證明并求值．
20．（2021·江蘇南通·九年級(jí)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠ACB的平分線(xiàn)與AB交于點(diǎn)E，與⊙O交于點(diǎn)D，P為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且∠PCB＝∠PAC．
（1）試判斷直線(xiàn)PC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半徑及AD的長(zhǎng)．
21．（2022·江蘇宿遷·九年級(jí)期末）如圖，已知AB⊥MN于點(diǎn)B，且AB＝10cm，將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α（0≤α≤360°）得到線(xiàn)段BC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥MN于點(diǎn)D，⊙O是△BCD的內(nèi)切圓，直線(xiàn)AO、BC相交于點(diǎn)H．
(1)若α＝60°，則CD＝ cm．
(2)若AO⊥BC
①點(diǎn)H與⊙O的位置關(guān)系是
A．點(diǎn)H在⊙O外
B．點(diǎn)H在⊙O上
C．點(diǎn)H在⊙O內(nèi)
②求線(xiàn)段AO的長(zhǎng)度．
(3)線(xiàn)段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，求點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．
22．（2022·江蘇·景山中學(xué)八年級(jí)期末）如圖所示，AB為⊙O的直徑，在△ABC中，AB=BC，AC交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．
(1)證明DE是⊙O的切線(xiàn)；
(2)AD=8，P為⊙O上一點(diǎn)，P到弦AD的最大距離為8．
①尺規(guī)作圖作出此時(shí)的P點(diǎn)，保留作圖痕跡；
②求DE的長(zhǎng)．
23．（2022·江蘇南京·九年級(jí)期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°，連接OC，交AB于點(diǎn)E．過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．
(1)求證：OC∥AD；
(2)若AE＝25，CE＝2，求⊙O的半徑．
24．（2022·江蘇連云港·九年級(jí)期末）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB⊥AC,BC交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F．
(1)求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；
(2)若∠F=30°,BF=2，求△ABC外接圓的半徑．
25．（2022·江蘇宿遷·九年級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，連接OP，過(guò)點(diǎn)B作BC∥OP交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且AB＝10，BC＝6．
(1)PC與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？為什么？
(2)求CE的長(zhǎng)．
26．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期末）如圖：已知線(xiàn)段AM=5，射線(xiàn)AS垂直于A(yíng)M，點(diǎn)N在射線(xiàn)AS上，設(shè)AN=n，點(diǎn)P在經(jīng)過(guò)點(diǎn)N且平行于A(yíng)M的直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，∠PAM的平分線(xiàn)交直線(xiàn)NP于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QB∥AP，交線(xiàn)段AM于點(diǎn)B，連接PB交AQ于點(diǎn)C，以Q為圓心，QC為半徑作圓．
(1)求證：PB與⊙Q相切；
(2)已知⊙Q的半徑為3，當(dāng)AM所求直線(xiàn)與⊙Q相切時(shí)，求n的值及PA的長(zhǎng)；
(3)當(dāng)n=2時(shí)，若⊙Q與線(xiàn)段AM只有一個(gè)公共點(diǎn)，則⊙Q的半徑的取值范圍是______．
27．（2022·江蘇江蘇·九年級(jí)期末）如圖，四邊形OAEC是平行四邊形，以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓交CE于D，延長(zhǎng)CO交⊙O于B，連接AD、AB，AB是⊙O的切線(xiàn)．
(1)求證：AD是⊙O的切線(xiàn)．
(2)若⊙O的半徑為4，AB=8，求平行四邊形OAEC的面積．
28．（2022·江蘇連云港·九年級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，BD切⊙O于點(diǎn)B，C是圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，交AB于點(diǎn)P，與DO的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，且ED∥AC，連接CD．
（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若AB=12，OP：AP=1：2，求PC的長(zhǎng)．
29．（2021·江蘇常州·九年級(jí)期末）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P以3cm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以4cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圓．
（1）當(dāng)t＝1時(shí)，⊙M的半徑是 cm，⊙M與直線(xiàn)CD的位置關(guān)系是 ；
（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中．
①圓心M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是 cm；
②當(dāng)⊙M與直線(xiàn)AD相切時(shí)，求t的值．
（3）連接PD，交⊙M于點(diǎn)N，如圖2，當(dāng)∠APD＝∠NBQ時(shí)，求t的值．
30．（2021·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)期末）如圖1，已知矩形ABCD中AB=23，AD=3，點(diǎn)E為射線(xiàn)BC上一點(diǎn)，連接DE，以DE為直徑作⊙O
（1）如圖2，當(dāng)BE=1時(shí)，求證：AB是⊙O的切線(xiàn)
（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，連接AE交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，求證：CF=CD
（3）當(dāng)點(diǎn)E在射線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中CF長(zhǎng)度是否存在最小值？若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出CF長(zhǎng)度的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】
專(zhuān)題2.6直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系大題專(zhuān)練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）
一、解答題
1．（2021·江蘇鹽城·九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=90o，利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
(1)①作∠BAC的平分線(xiàn)，交BC于點(diǎn)O；②以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓；
(2)在你所作的圖中，判斷AC與⊙O的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；
(3)若AB=6，BC=8，求⊙O的半徑．
【答案】(1)①見(jiàn)解析②見(jiàn)解析
(2)AC與⊙O相切，理由見(jiàn)解析
(3)3
【分析】（1）根據(jù)題意直接作圖即可；
（2）根據(jù)（1）中作圖方法得出AO平分∠BAC，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出OE=OB，利用切線(xiàn)的判定方法證明即可；
（3）設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)三角形等面積法列出一元一次方程求解即可．
（1）
解：如圖所示
（2）
AC與⊙O相切，

證明：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，
∵∠ABC=90°， AO平分∠BAC，
∴OE=OB，
又∵OE⊥AC，OB為圓的半徑，
∴AC與⊙O相切；
（3）
設(shè)⊙O的半徑為r，
∵SΔABC=SΔAOB+SΔAOC
又∵AB=6，BC=8，∠ABC=90°
∴AC=10
∴12AB×BC=12AC×r+12AB×r
∴12×6×8=12×10×r+12×6×r
∴r=3
即⊙O的半徑為3．
【點(diǎn)睛】題目主要考查基本的作圖方法及角平分線(xiàn)的性質(zhì)，切線(xiàn)的判定，一元一次方程的應(yīng)用等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
2．（2021·江蘇泰州·九年級(jí)期中）如圖，在△AEF中，點(diǎn)O是AF上的一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，AO為半徑的⊙O與△AEF的三邊分別交于點(diǎn)B、C、D． 給出下列信息：①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；③直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn) ．
(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題．你選擇的條件是 ，結(jié)論是 （只要填寫(xiě)序號(hào)），并說(shuō)明理由 ．
(2)在（1）的情況下，若AO＝2，DF＝42，求BF的長(zhǎng) ．
【答案】(1)①②，③（答案不唯一）理由見(jiàn)解析
(2)4
【分析】（1）根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)與判定任選2個(gè)作為條件，剩下的一個(gè)作為結(jié)論；
（2）連接DO，在直角三角形ODF中利用勾股定理得OD2+DF2=OF2，即可求解．
（1）
解：選擇條件是①AD平分∠EAF；②∠AEF＝90°；結(jié)論是③直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)．理由如下，
連接DO，∵ AD平分∠EAF；
∴∠EAD=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠EAD，
∴ AE∥OD，
∵ ∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)．
故答案為：①②，③
選擇條件是①AD平分∠EAF；③直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)；結(jié)論是②∠AEF＝90°．理由如下，
∵連接DO，∵ AD平分∠EAF；
∴∠EAD=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠EAD，
∴ AE∥OD，
∵直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)．
∴OD⊥EF，
∴AE⊥EF，
∴ ∠AEF=90°，
選擇條件是②∠AEF＝90°；③直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)；結(jié)論是①AD平分∠EAF．理由如下，
∵連接DO，∵直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)，∠AEF=90°，
∴OD⊥EF，AE⊥EF，
∴ AE∥OD，
∴∠ODA=∠EAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠EAD=∠OAD，
∴AD平分∠EAF；
（2）
連接DO，∵直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)，
∴OD⊥EF，
在直角三角形ODF中，由勾股定理得OD2+DF2=OF2，
∵AO＝2，DF＝42，
∴OD=AO=BO=2，
∴22+422=OF2，
解得OF=6，
∴BF=OF?OB=6?2=4．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握切線(xiàn)的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·江蘇淮安·九年級(jí)期中）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D、E、F．已知∠A＝100°，∠C＝20°，
(1)則∠DFE的度數(shù)＝__________°．
(2)連接OA、OC，則∠AOC的度數(shù)＝__________°．
(3)連接DE，若△ABC的周長(zhǎng)為20cm，AC＝6cm，求DE的長(zhǎng)．
【答案】(1)60
(2)120
(3)4cm
【分析】（1）由已知中∠A=100°，∠C=20°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得∠B的大小，結(jié)合切線(xiàn)的性質(zhì)，可得∠DOE的度數(shù)，再由圓周角定理即可得到∠DFE的度數(shù)．
（2）根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理，可得∠FAO=∠DAO=12∠DAF=50°，∠FCO=∠ECO=12∠ECF=10°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（3）根據(jù)題意以及切線(xiàn)長(zhǎng)定理求得BE=4，證明△BDE是等邊三角形即可求解．
(1)
解：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D、E、F
∴∠BDO=∠BEO=90°
∴∠BDO+∠BEO=180°
∵∠B=180°-∠A-∠C=180-100°-20°=60°，
∴∠DOE=180°-∠B=180°-60°=120°，
又∵DE=DE，
∴∠DFE=12∠DOE=60°，
故答案為：60；
(2)
如圖，連接OA,OC,OF，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D、E、F，
∴CE=CF，AD=AF，
∴∠FAO=∠DAO=12∠DAF=50°，∠FCO=∠ECO=12∠ECF=10°，
∴∠AOC=180°-∠FAO-∠FCO=120°，
故答案為：120；
(3)
如圖，連接DE，
∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是D、E、F，
∴CE=CF，AD=AF，BD=BE，
設(shè)AD=AF=a，BD=BE=b，CE=CF=c，
∵△ABC的周長(zhǎng)為20cm，AC＝6cm，
∴2a+b+c=20 cm，a+c=6cm，
∴b=4cm，即BD=BE=4cm，
∵BD=BE， ∠B=60°，
∴△BDE是等邊三角形，
∴DE=BD=4cm．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線(xiàn)的性質(zhì)，切線(xiàn)長(zhǎng)定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，掌握切線(xiàn)長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期中）平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)AC上運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，PA為半徑作⊙P．
(1)當(dāng)⊙P與邊CD相切時(shí)，AP＝ ；
(2)當(dāng)⊙P與邊BC相切時(shí)，求AP的長(zhǎng)；
(3)請(qǐng)根據(jù)AP的取值范圍探索⊙P與平行四邊形ABCD四邊公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【答案】(1)2
(2)1.5
(3)當(dāng)0＜AP＜1.5和3.125＜AP≤4時(shí)，2個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)AP＝1.5和AP＝3.125時(shí)，3個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)1.5＜AP＜3.125時(shí)，4個(gè)公共點(diǎn)
【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB⊥AC，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)求出AP；
(2)根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到PE⊥BC，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出AP；
(3)根據(jù)勾股定理求出OP過(guò)點(diǎn)D時(shí)AP的長(zhǎng)，結(jié)合圖形得到OP與平行四邊形ABCD四邊公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
(1)
解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，BC＝AD＝5，
∵AB⊥AC，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，
∴AC＝BC2?AB2＝52?32＝4，
當(dāng)⊙P與邊CD相切時(shí)，AC為⊙P的直徑，
∴AP＝2．
故答案為：2．
(2)
如圖2，當(dāng)⊙P與邊BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E，連接PE，
則PE⊥BC，
∵AB⊥AC，點(diǎn)P在邊AC上，
∴⊙P與AB相切，
∵⊙P與BC相切于點(diǎn)E，
∴BE＝AB＝3，EC＝2，
設(shè)AP＝x，則PE＝x，PC＝4﹣x，
在 Rt△PCE 中，由勾股定理得 x2+4＝（4﹣x）2，
解得，x＝1.5，即AP＝1.5．
故答案為：1.5．
(3)
如圖3，當(dāng)⊙P過(guò)點(diǎn)D時(shí)，連接PD，
設(shè)AP＝x，則PD＝x，PC＝4﹣x，
在Rt△PCD中，由勾股定理得（4﹣x）2+9＝x2，
解得x＝3.125，即AP＝3.125，
則⊙P與平行四邊形ABCD四邊公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況如下：
當(dāng)0＜AP＜1.5和3.125＜AP≤4時(shí)，2個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)AP＝1.5和AP＝3.125時(shí)，3個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)1.5＜AP＜3.125時(shí)，4個(gè)公共點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查的是直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，掌握切線(xiàn)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，AB⊥CD,連接AC,OD.
(1)求證：∠BOD=2∠A;
(2)連接DB,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DB,交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DO,交AC于點(diǎn)F，若F為AC的中點(diǎn)，求證：直線(xiàn)CE為⊙O的切線(xiàn)．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）設(shè)AB交CD于點(diǎn)H，連接OC，證明Rt△COH?Rt△DOH ，故可得∠COH=∠DOH ，于是BC=BD ，即可得到∠BOD=2∠A；
（2）連接AD，解出∠COB=60°，根據(jù)AB為直徑得到∠ADB=90°，進(jìn)而得到∠ABD=60°，即可證明OC∥DB，故可證明直線(xiàn)CE為⊙O的切線(xiàn)．
（1）
證明：設(shè)AB交CD于點(diǎn)H，連接OC，
由題可知，
∴OC=OD，∠OHC=∠OHD=90°，
∵OH=OH，
∴Rt△COH?Rt△DOH(HL)，
∴∠COH=∠DOH，
∴BC=BD，
∴∠COB=∠BOD，
∵∠COB=2∠A，
∴∠BOD=2∠A；
（2）
證明：
連接AD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
同理可得：∠OAC=∠OCA,∠OCD=∠ODC，
∵點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，
∴∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA=∠OCD=∠ODC，
∵∠OAD+∠ODA+∠OAC+∠OCA+∠OCD+∠ODC=180°，
∴∠OAD=∠ODA=∠OAC=∠OCA=∠OCD=∠ODC=30°，
∴∠COB=2∠CAO=2×30°=60°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90?∠DAO=90°?30°=60°，
∴∠ABD=∠COB=60°，
∴OC∥DE，
∵CE⊥BE，
∴CE⊥OC，
∴直線(xiàn)CE為⊙O的切線(xiàn)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角相等，圓周角定理，直線(xiàn)平行的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和公式，證明三角形全等以及證明平行線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，D、E在⊙O上，C是AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且∠CEB=∠D．
(1)判斷直線(xiàn)CE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)若∠D=35°，則∠C的度數(shù)為_(kāi)_____°．
【答案】(1)CE與⊙O相切，理由見(jiàn)解析
(2)20
【分析】（1）連接OE，由圓周角定理證得∠EAB+∠EBA=90°，由已知和等腰三角形的性質(zhì)證得∠EAB=∠CEB，∠OEB=∠OBE，進(jìn)而證得∠OEC=90°，根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可證得CE與⊙O相切；
（2）先求出∠CEB=∠EAB=35°，進(jìn)而求出∠EBA=55°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠C．
(1)
證明：CE與⊙O相切，理由如下：
連接OE，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∵∠EAB=∠D，∠CEB=∠D，
∴∠EAB=∠CEB，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OEC=∠OEB+∠CEB=∠EBA+∠EAB =90°，
∵OE是⊙O的半徑，
∴CE與⊙O相切；
(2)
解：由（1）知∠EAB+∠EBA=90°，
∵∠EAB=∠D=35°，
∴∠EBA=90°-35°=55°，∠CEB=∠D=35°，
∵∠EBA=∠CEB+∠C，
∴∠C=∠EBA-∠CEB=55°-35°=20°，
故答案為：20．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線(xiàn)的判定，圓周角定理，三角形的外角定理，根據(jù)圓周角定理∠CEB=∠EAB是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
7．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期中）如圖，已知AB是⊙P的直徑，點(diǎn)C在⊙P上，D為⊙P外一點(diǎn)，且∠ADC＝90°，2∠B＋∠DAB＝180°
(1)試說(shuō)明：直線(xiàn)CD為⊙P的切線(xiàn)．
(2)若∠B＝30°，AD＝2，求CD的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)23
【分析】（1）連接PC，則∠APC＝2∠B，可證PC∥DA，證得PC⊥CD，則結(jié)論得證；
（2）連接AC，根據(jù)∠B=30°，等腰三角形外角性質(zhì)∠CPA=2∠B=60°，再證△APC為等邊三角形，可求∠DCA=90°-∠ACP=90°-60°=30°，AD＝2，∠ADC＝90°，利用30°直角三角形性質(zhì)得出AC=2AD=4，然后根據(jù)勾股定理CD==AC2?AD2=42?22=23即可．
（1）
連接PC，
∵PC＝PB，
∴∠B＝∠PCB，
∴∠APC＝2∠B，
∵2∠B+∠DAB＝180°，
∴∠DAP+∠APC＝180°，
∴PC∥DA，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DCP＝90°，
即DC⊥CP，
∴直線(xiàn)CD為⊙P的切線(xiàn)；
（2）
連接AC，
∵∠B=30°，
∴∠CPA=2∠B=60°，
∵AP=CP，∠CPA=60°，
∴△APC為等邊三角形，
∵∠DCP=90°，
∴∠DCA=90°-∠ACP=90°-60°=30°，
∵AD＝2，∠ADC＝90°，
∴AC=2AD=4，
∴CD==AC2?AD2=42?22=23．
【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的判定、平行線(xiàn)判定與性質(zhì)，勾股定理、等腰三角形性質(zhì)，外角性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題．
8．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期中）數(shù)學(xué)課上老師提出問(wèn)題：“在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，E是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上一點(diǎn)，以P為圓心，PE為半徑作⊙P，當(dāng)BP等于多少時(shí)，⊙P與矩形ABCD的邊相切？”．
小明的思路是：解題應(yīng)分類(lèi)討論，顯然⊙P不可能與邊AB及BC所在直線(xiàn)相切，只需討論⊙P與邊AD及CD相切兩種情形．請(qǐng)你根據(jù)小明所畫(huà)的圖形解決下列問(wèn)題：
(1)如圖1，當(dāng)⊙P與AD相切于點(diǎn)T時(shí)，求BP的長(zhǎng)；
(2)如圖2，當(dāng)⊙P與CD相切時(shí)，
①求BP的長(zhǎng)；
②若點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)BC移動(dòng)，連接AQ，M是AQ的中點(diǎn)，則在點(diǎn)Q的移動(dòng)過(guò)程中，直接寫(xiě)出點(diǎn)M在⊙P內(nèi)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】(1)BP=23
(2)①4.8；②9.6
【分析】（1）連接PT，由⊙P與AD相切于點(diǎn)T，可得四邊形ABPT是矩形，即得PT=AB=4=PE，在Rt△BPE中，用勾股定理即得BP=23；
（2）①由⊙P與CD相切，有PC=PE，設(shè)BP=x，則PC=PE=10-x，在Rt△BPE中，由勾股定理得x2+22=（10-x）2，即可解得BP=4.8；②點(diǎn)M在⊙P內(nèi)的路徑為EM，過(guò)P作PN⊥EM于N，由EM是△ABQ的中位線(xiàn)，可得四邊形BPNE是矩形，即知EN=BP=4.8，故EM=2EN=9.6．
(1)
連接PT，如圖：
∵⊙P與AD相切于點(diǎn)T，
∴∠ATP=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABPT是矩形，
∴PT=AB=4=PE，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴BE=12AB=2，
在Rt△BPE中，BP=PE2?BE2=42?22=23；
(2)
①∵⊙P與CD相切，
∴PC=PE，
設(shè)BP=x，則PC=PE=10-x，
在Rt△BPE中，BP2+BE2=PE2，
∴x2+22=（10-x）2，
解得x=4.8，
∴BP=4.8；
②點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)BC移動(dòng)，M是AQ的中點(diǎn)，點(diǎn)M在⊙P內(nèi)的路徑為EM，過(guò)P作PN⊥EM于N，如圖：
由題可知，EM是△ABQ的中位線(xiàn)，
∴EM∥BQ，
∴∠BEM=90°=∠B，
∵PN⊥EM，
∴∠PNE=90°，EM=2EN，
∴四邊形BPNE是矩形，
∴EN=BP=4.8，
∴EM=2EN=9.6．
故答案為：9.6．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形與圓的綜合應(yīng)用，涉及直線(xiàn)和圓相切、勾股定理、動(dòng)點(diǎn)軌跡等，解題的關(guān)鍵是理解M的軌跡是△ABQ的中位線(xiàn)．
9．（2021·江蘇·蘇州市第十六中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A和動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圓O．點(diǎn)C在點(diǎn)P右側(cè)，PC＝4，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)m⊥l，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥m于點(diǎn)D，交AB右側(cè)的圓弧于點(diǎn)E．在射線(xiàn)CD上取點(diǎn)F，使DF＝32CD，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF．設(shè)AQ＝3x．
(1)用關(guān)于x的代數(shù)式表示BQ＝ ，DF＝ ．
(2)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長(zhǎng)．
(3)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，作直線(xiàn)BG交⊙O于點(diǎn)N，若BN的弦心距為2，求AP的長(zhǎng)．
【答案】(1)5x，3x
(2)9
(3)122
【分析】（1）設(shè)AB交OD于點(diǎn)H，根據(jù)AQ：AB＝3：4，AQ＝3x．可得AB=4x，再由勾股定理可得BQ=5x ，再由∠BAQ＝90°，可得BQ為直徑，從而得到AH=12AB=2x ，進(jìn)而得到CD=2x，再由DF＝32CD，可得DF=3x，即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AQ于點(diǎn)M，根據(jù)題意可得CQ=6x+4，再證得OD=MC，根據(jù)BQ為直徑，可得QM=AM=12AQ=32x，從而得到DE=2x+4，然后根據(jù)矩形的面積，即可求解；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥EG于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥BN于點(diǎn)K，連接NQ，設(shè)直線(xiàn)BG交直線(xiàn)l于點(diǎn)I，則OK=2，∠NQB=90°，點(diǎn)K為BN的中點(diǎn)，可先證明∠JBG=45°，從而得到∠NIQ=45°，進(jìn)而得到IN=NQ=4，AI=AB=4x，即可求解．
(1)
解：如圖，設(shè)AB交OD于點(diǎn)H，
在Rt△ABQ中，
∵AQ：AB＝3：4，AQ＝3x．
∴AB=4x，
∴BQ=AB2+AQ2=5x ，
∵m⊥l，OD⊥m，
∴OD∥l，CD=AH，
∵∠BAQ＝90°，
∴BQ為直徑，
∴OB=OQ，
∴BHAH=OBOQ=1 ，即AH=12AB=2x ，
∴CD=2x，
∵DF＝32CD，
∴DF=3x；
(2)
解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AQ于點(diǎn)M，
∵AP=AQ=3x，PC=4，
∴CQ=6x+4，
∵AB⊥AQ，
∴OM∥AB，
∵DE⊥DF，
∴OD=MC，
∵∠BAQ＝90°，
∴BQ為直徑，
∴OB=OQ，
∴QM=AM=12AQ=32x ，
∴OD=MC=32x+3x+4=92x+4 ，
∵OE=12BQ=52x ，
∴DE=2x+4，
∵矩形DEGF的面積等于90，
∴DE×DF=3x2x+4=90 ，
解得：x1=3,x2=?5 （舍去），
∴AP=3x=9；
(3)
解：過(guò)點(diǎn)B作BJ⊥EG于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)O作OK⊥BN于點(diǎn)K，連接NQ，設(shè)直線(xiàn)BG交直線(xiàn)l于點(diǎn)I，則OK=2，∠NQB=90°，點(diǎn)K為BN的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)O為BQ的中點(diǎn)，
∴NQ=2OK=4，
∵EG⊥DE，AB⊥OD，
∴BJ=HE，JE=BH=2x，
∵GE=DF=3x，
∴GJ=x，
由（1）知H為AB的中點(diǎn)，
∴OH=12AQ=32x ，
∴BJ=HE=OE?OH=52x?32x=x ，
∴BJ=GJ，
∴∠GBJ=45°，
根據(jù)題意得：BJ∥IQ，
∴∠NIQ=45°，
∴∠IQN=45°，∠ABN =45°，
∴∠NIQ=∠IQN，∠NIQ=∠ABN，
∴IN=NQ=4，AI=AB=4x，
∴IQ=42 ，IQ=AI?AQ=4x?3x=x ，
∴x=42 ，
∴AP=3x=122 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，圓中圓周角是直角所對(duì)的弦為直徑，勾股定理，垂徑定理，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，圓中直角所對(duì)的弦為直徑，勾股定理，垂徑定理，矩形的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
10．（2016·江蘇鹽城·九年級(jí)期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，作OD∥BC與過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)交于點(diǎn)D，連接DC并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．
（1）求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若AE＝6，CE＝23，求線(xiàn)段CE、BE與劣弧BC所圍成的圖形面積．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）23﹣23π
【分析】（1）由題意可證△ADO≌△CDO，可得∠DCO＝∠DAO＝90°，即可證DE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）由題意可證△CBE∽△ACE，可求BE的長(zhǎng)，AB的長(zhǎng)，OB的長(zhǎng)，OC的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)可求∠COB＝60°，根據(jù)線(xiàn)段CE、BE與劣弧BC所圍成的圖形面積＝△COE的面積﹣扇形OBC的面積可求解．
【詳解】解：（1）證明：連接OC，
∵AD是⊙O的切線(xiàn)
∴∠DAO＝90°
∵OC＝OB
∴∠OBC＝∠OCB
∵OD∥BC
∴∠DOC＝∠OCB，∠DOA＝∠OBC
∴∠DOA＝∠DOC且AO＝CO，DO＝DO
∴△ADO≌△CDO（SAS）
∴∠DCO＝∠DAO＝90°
∵∠DCO＝90°，OC是半徑
∴DE是⊙O的切線(xiàn)；
（2）∵DE是⊙O的切線(xiàn)，AB是直徑，
∴∠ACB=∠ECO=90°,∠ACO+∠OCB=∠ECB+∠OCB,
∴∠ACO=∠ECB,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠CAB,
∴∠ECB＝∠CAB，且∠CEA＝∠CEA
∴△CBE∽△ACE
∴CEAE=BECE即236=BE23
∴BE＝2
∵AB＝AE﹣BE
∴BA＝4
∴OB＝2＝AO＝OC
∴OE＝4
∵sin∠COE＝CEOE＝234＝32
∴∠COE＝60°
∴線(xiàn)段CE、BE與劣弧BC所圍成的圖形面積＝12×2×23﹣60°×π×4360°＝23﹣23π
【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練運(yùn)用相似三角形求線(xiàn)段的長(zhǎng)度是解答本題的關(guān)鍵．
11．（2021·江蘇·南京鄭和外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在△ABE中，AB＝AE，以AB為直徑作⊙O，與邊BE交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AE，垂足為D．
（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）245
【分析】（1）連接OC，證明OC∥AE，則∠OCD＝∠CDE＝90°，由切線(xiàn)的判定定理即可證明CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）連接AC，由AB是⊙O的直徑得∠ACB＝90°，根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再由等腰三角形的性質(zhì)得EC＝BC＝6，再用面積法列方程求出CD的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：如圖，連接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵AB=AE，
∴∠E=∠B，
∴∠OCB=∠E，
∴OC∥AE，
∵CD⊥AE于點(diǎn)D，
∴∠CDE=90°，
∴∠OCD=∠CDE=90°，
∵OC是⊙O的半徑，且CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）如圖，連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BE，
∵AB=AE，
∴EC=BC=6，
∵AB=10，BC=6，
∴AC=102?62=8，
∵∠ACE=90°，CD⊥AE，AE=AB=10，
∴12AE?CD=12AC×EC=S△ACE，
∴12×10CD=12×8×6，
∴CD=245，
∴CD的長(zhǎng)為245．
．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、用面積法求值等知識(shí)與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔助線(xiàn)．
12．（2021·江蘇常州·九年級(jí)期中）△ABC中，∠C＝90° ，
（1）如圖1，點(diǎn)O在斜邊AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的圓⊙O交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，與邊AC相切于點(diǎn)F，求證：∠1＝∠2；
（2）在圖2中作⊙M，使它滿(mǎn)足下列條件：①圓心在邊AB上； ②經(jīng)過(guò)點(diǎn)B；③與邊AC相切(尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析
【分析】（1）連接OF，由OF垂直CA且等于OB，通過(guò)內(nèi)錯(cuò)角相等，△OFB為等腰三角形求得∠1=∠3=∠2
（2）利用（1）的結(jié)論，圓O與三角形ABC相切時(shí)，切點(diǎn)F在∠B的平分線(xiàn)上，所以作∠B角平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)F，再根據(jù)垂徑定理作FB的中垂線(xiàn)與AB的交點(diǎn)即為圓心．
【詳解】解:（1）如圖所示，連接OF
∵⊙O與邊AC相切于點(diǎn)F，
∴OF⊥AC.
∴∠AFO=∠C=90o
∴OF∥BC，
∴∠1=∠OFB.
∵OF=OB，
∴∠OFB=∠2，
∴∠1=∠2.
（2）如圖2所示.
【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線(xiàn)性質(zhì)和垂徑定理在尺規(guī)作圖中的應(yīng)用，掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解體的關(guān)鍵．
13．（2021·江蘇南通·九年級(jí)期中）如圖，⊙O是△GDP的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為A、B、H，切線(xiàn)EF與⊙O相切于點(diǎn)C，分別交PA、PB于點(diǎn)E、F．
（1）若△PEF的周長(zhǎng)為12，求線(xiàn)段PA的長(zhǎng)；
（2）若∠G＝90°，GD=3，GP=4，求⊙O半徑．
【答案】（1）6；（2）1
【分析】（1）由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得PA=PB，EA=EC，F(xiàn)C=FB，再由△PEF的周長(zhǎng)為12，即可得到PA+PB=12，由此即可得到答案；
（2）連接OA、OB、OH、OP、OD、OG，設(shè)圓的半徑為r，由S△DGP=S△DOP+S△DOG+S△POG，S△DGP=12PG?DG=6可以得到12PD+PG+GD?r=6，再利用勾股定理求出PD=PG2+DG2=5，由此進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：（1）由題意得，AP，BP，EF都是圓O的切線(xiàn)，
∴由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得PA=PB，EA=EC，F(xiàn)C=FB，
∵△PEF的周長(zhǎng)為12，
∴PF+EF+PE=PF+FC+EC+PE=PA+PB=12，
∴PA=PB=6；
（2）如圖所示，連接OA、OB、OH、OP、OD、OG，設(shè)圓的半徑為r，
∴OA=OB=OH=r，
由切線(xiàn)的性質(zhì)可得OA⊥PD，OB⊥PG，OH⊥DG，
∴S△DGP=S△DOP+S△DOG+S△POG=12PD?OA+12PG?OB+12GD?OH
=12PD+PG+GD?r，
∵∠G＝90°，GD=3，GP=4，
∴S△DGP=12PG?DG=6，PD=PG2+DG2=5，
∴12PD+PG+GD?r=6即12×3+4+5?r=6，
∴r=1，
∴⊙O的半徑為1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線(xiàn)長(zhǎng)定理，切線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握切線(xiàn)長(zhǎng)定理和切線(xiàn)的性質(zhì)．
14．（2021·江蘇常州·九年級(jí)期中）如圖，⊙O的直徑BE為4，∠BAE的平分線(xiàn)AD交⊙O于點(diǎn)D，交BE于點(diǎn)F，C是BE延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且FC＝AC．
（1）求BD的長(zhǎng)．
（2）求證：AC是⊙O的切線(xiàn)．
【答案】（1）22；（2）見(jiàn)解析
【分析】（1）連接OD，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和圓周角定理可得∠BOD=2∠BAD=90°，由勾股定理求解即可；
（2）連接OA，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角性質(zhì)可得∠CAF=∠CFA，∠OAF=∠ODF，進(jìn)而可證明OA⊥AC，根據(jù)圓的切線(xiàn)的判定即可證得結(jié)論．
【詳解】（1）解：連接OD，
∵⊙O的直徑BE為4，
∴∠BAE=90°，BO=OD=2，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BOD=2∠BAD=90°，
在Rt△BOD中，由勾股定理得：BD=22+22=22；
（2）證明：連接OA，
∵FC=AC，OA=OD，
∴∠CAF=∠CFA，∠OAF=∠ODF，
∵∠CFA=∠DFO，∠BOD=90°，
∴∠CAF+∠OAF=∠CFA+∠ODF=∠DFO+∠ODF=90°，
∴∠OAC=90°，即OA⊥AC，
∵OA為⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線(xiàn)．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義、勾股定理、對(duì)頂角相等、切線(xiàn)的判定、直角三角形的兩銳角互余等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用．
15．（2021·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)期中）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，∠ABC=60°，∠ACB=70°．
（1）求∠BOC的度數(shù)．
（2）求∠EDF的度數(shù)．
【答案】（1）115°；（2）65°
【分析】（1）由題意可知BO，CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)，則∠OBC和∠OCB的度數(shù)可求出，進(jìn)而可求出∠BOC的度數(shù)；
（2）連接OE，OF．由三角形內(nèi)角和定理可求得∠A=50°，由切線(xiàn)的性質(zhì)可知：∠OFA=90°，∠OEA=90°，從而得到∠A+∠EOF=180°，故可求得∠EOF=130°，即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：（1）∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F，
∴BO，CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)，
∴∠OBC=12∠ABC=30°，∠OCB=12∠ACB=35°，
∴∠BOC=180°-30°-35°=115°；
（2）如圖所示；連接OE，OF．
∵∠ABC=60°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-60°-70°=50°．
∵AB是圓O的切線(xiàn)，
∴∠OFA=90°．
同理∠OEA=90°．
∴∠BAC+∠EOF=180°．
∴∠EOF=130°，
∴∠EDF=12∠EOF=65°．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、三角形、四邊形的內(nèi)角和、圓周角定理，求得∠EOF的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
16．（2021·江蘇南京·九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線(xiàn)AD上，⊙P與直線(xiàn)AB相切，切點(diǎn)為E．
（1）求證：⊙P與直線(xiàn)AC相切．
（2）當(dāng)⊙P是△ABC內(nèi)切圓時(shí)，求⊙P的半徑．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）r=1.5
【分析】（1）如圖，連接PE，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AC，垂足為F，⊙P與直線(xiàn)AB相切，切點(diǎn)為E可得，PE⊥AB，由等腰三角形三線(xiàn)合一可得，∠BAD=∠CAD，即∠EAP=∠FAP，根據(jù)AAS可證△EAP?△FAP，由全等的性質(zhì)可得，PE=PF，故PF為半徑，即得證；
（2）如圖，連接BP，CP，設(shè)⊙P半徑為r，根據(jù)勾股定理求出AD，由S△ABP+S△ACP+S△BCP=S△ABC，求解即可得出答案．
【詳解】解：（1）如圖，連接PE，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AC，垂足為F，
∵⊙P與直線(xiàn)AB相切，切點(diǎn)為E，
∴PE⊥AB，
∵ 在△ABC中，AB=AC，D為AC的中點(diǎn)，
∴∠BAD=∠CAD，即∠EAP=∠FAP，
在△EAP與△FAP中，
∠AEP=∠AFP=90°∠EAP=∠FAPAP=AP，
∴△EAP?△FAP(AAS)，
∴PE=PF，
∴⊙P與直線(xiàn)AC相切；
（2）如圖，連接BP、CP，
∵AB=AC=5，BC=6，D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=3，
AD=AB2?BD2=52?32=4，
設(shè)⊙P半徑為r，
∵S△ABP+S△ACP+S△BCP=S△ABC，
∴12AB?PE+12AC?PF+12BC?PD=12BC?AD，
∴12×5r+12×5r+12×6r=12×6×4，
解得：r=1.5．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，掌握通過(guò)做輔助線(xiàn)切線(xiàn)的證明方法是解題的關(guān)鍵．
17．（2021·江蘇南京·九年級(jí)期中）已知四邊形ABCD中，AD//BC，BC=6，∠B=60°，∠C=90°，AB=m，
以BC為直徑作⊙O．
（1）如圖①，⊙O與AD邊相切，切點(diǎn)為E，求m的值；
（2）就m的取值范圍討論⊙O與邊AB、AD除點(diǎn)B外的公共點(diǎn)總個(gè)數(shù)的情況（直接寫(xiě)出答案）．
【答案】（1）m=23；（2）0

相關(guān)試卷

初中數(shù)學(xué)2.1 圓測(cè)試題：

這是一份初中數(shù)學(xué)2.1 圓測(cè)試題，共186頁(yè)。

初中數(shù)學(xué)蘇科版（2024）九年級(jí)上冊(cè)2.1 圓同步練習(xí)題：

這是一份初中數(shù)學(xué)蘇科版（2024）九年級(jí)上冊(cè)2.1 圓同步練習(xí)題，共57頁(yè)。試卷主要包含了5圓的有關(guān)性質(zhì)大題專(zhuān)練，5秒時(shí)，連接BE，試說(shuō)明等內(nèi)容，歡迎下載使用。

九年級(jí)上冊(cè)2.1 圓單元測(cè)試課后復(fù)習(xí)題：

這是一份九年級(jí)上冊(cè)2.1 圓單元測(cè)試課后復(fù)習(xí)題，共28頁(yè)。試卷主要包含了7第2章對(duì)稱(chēng)圖形—圓單元測(cè)試等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專(zhuān)題2.14線(xiàn)段的有關(guān)綜合計(jì)算大題專(zhuān)練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期高效復(fù)習(xí)秘籍（蘇科版）

專(zhuān)題2.14線(xiàn)段的有關(guān)綜合計(jì)算大題專(zhuān)練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期高效復(fù)習(xí)秘籍（蘇科版）
專(zhuān)題2.4 有理數(shù)新定義問(wèn)題大題專(zhuān)練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期高效復(fù)習(xí)秘籍（蘇科版）

專(zhuān)題2.4 有理數(shù)新定義問(wèn)題大題專(zhuān)練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期高效復(fù)習(xí)秘籍（蘇科版）
初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)第十六章 二次根式16.1 二次根式優(yōu)秀課后作業(yè)題

初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)第十六章 二次根式16.1 二次根式優(yōu)秀課后作業(yè)題
數(shù)學(xué)人教版16.1 二次根式精品隨堂練習(xí)題

數(shù)學(xué)人教版16.1 二次根式精品隨堂練習(xí)題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)蘇科版（2024）九年級(jí)上冊(cè)電子課本 舊教材

2.6 正多邊形與圓

版本： 蘇科版（2024）

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部