1.了解正多邊形的概念；
2.理解正多邊形與圓的關(guān)系，并能進行有關(guān)計算.
生活中，各邊相等，各角也相等的多邊形形象處處可見.
認真觀察這些圖形它們有什么共同特點？
各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.
如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形.
思考 能否說各邊相等(或各角相等）的多邊形是正多邊形？舉例說明.
操作1 已知⊙O，（1）怎樣把一個圓進行四等分？（2）順次連接各等分點，得到一個什么圖形？
● O
理由如下：∵直徑所對圓周角等于90°，
或者根據(jù)等弧所對圓周角相等.
∴四邊形ABCD是矩形.
∵AC和BD相等且互相平分，
∴四邊形ABCD是正方形.
操作2 已知⊙O，（1）用量角器把⊙O五等分，依次連接各等分點，得五邊形ABCDE；（2）五邊形ABCDE是正五邊形嗎？為什么？
∴AB=BC=CD=DE=EA，
同理∠B=∠C=∠D=∠E，
∴ 五邊形ABCD是正五邊形.
證明：點A、B、C、D、E把⊙O五等分.
操作3 你能用同樣的方法.用量角器把⊙O六等分，依次連接各等分點，得正六邊形ABCDEF.
操作4 如圖，點A、B、C、D、E、F把⊙O六等分．(1)在一張透明紙上畫與下圖形狀、大小相同的圖形，并把它們疊合在一起；(2)把所畫圖形繞點O旋轉(zhuǎn)60°，你發(fā)現(xiàn)了什么？再旋轉(zhuǎn)60°呢？
旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖完全重合
六邊形ABCDEF是正六邊形
定義：一般地，用量角器把一個圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點就得到這個圓的內(nèi)接正n邊形，這個圓是這個正n邊形的外接圓.
正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心.外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.
任何正多邊形都有一個外接圓.
例 如圖，正六邊形ABCDEF的半徑為4. 求這個正六邊形的周長和面積.
變式： 如圖點O是正六邊形ABCDEF的中心，點O到正六邊形一邊的距離是2，求這個正六邊形的周長和面積.
完成下表中正多邊形的計算：
2.正多邊形的每個內(nèi)角:
1.正多邊形的中心角: 每一條邊所對的圓心角.
3.正多邊形的每個外角:
添加輔助線的方法：連半徑，作邊心距
任何正多邊形都有一個外接圓
把圓分成n(n＞2）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形.
1.下列說法錯誤的是( )A. 各邊都相等的多邊形是正多邊形；B. 等邊三角形是正多邊形；C. 各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形；D. 菱形不一定是正多邊形.
2.下列圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對的圓心角最大的圖形是(　　)A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形
3.正多邊形的一邊所對的中心角與該多邊形的一個內(nèi)角的關(guān)系為(　　)A．兩角互余 B．兩角互補C．兩角互余或互補 D．不能確定
5. 如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O，若☉O的周長等于6π，則正六邊形的邊長為_______.
6.如圖，正五邊形ABCDE的兩條對角線BD、CE相交于點P，則∠BPC的度數(shù)為_______.
8. 已知△OAB是以正多邊形相鄰的兩個頂點A、B與它的中心O為頂點的三角形．若△OAB的一個內(nèi)角為70°，則該正多邊形的邊數(shù)為_______.
解：若∠BOA=70°，則不存在這樣的正多邊形.若∠OAB=∠OBA=70°，則∠BOA=180°-70°-70°=40°，360°÷40°=9，所以是正九邊形.
9.如圖，正三角形ABC的外接圓的半徑為6.
求:（1）△ABC的邊長；
（2）△ABC的面積.
10.求證：正五邊形的對角線相等.
已知：五邊形ABCDE是正五邊形.求證：BD=CE.
1. 在等邊三角形ABC中，E、F、G、H、L、K分別是各邊三等分點，試說明六邊形EFGHLK是正六邊形．
證明：∵在等邊三角形ABC中，E、F、G、H、L、K分別是各邊三等分點∴∠A=∠B=∠C=60°， AE=EF=BF=BG=GH=HC=CL=LK=AK∴△AEK、△BFG、△CLH都是等邊三角形 EF=FG=GH=HL=LK=KE∴∠AEK=∠AKE=∠CLH=∠CHL=∠BGF=∠BFG=60°∴ ∠EFG=∠FGH =∠GHJ =∠HLK=∠LKE=∠KEF=120°又∵EF=FG=GH=HL=LK=KE∴六邊形EFGHLK是正六邊形．

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2.6 正多邊形與圓

版本： 蘇科版

年級： 九年級上冊

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