湖南省長沙市長郡雙語實驗中學2023-2024學年九年級上學期第一次月考數學試題（原卷及解析版）-試卷下載-教習網

1. 下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據中心對稱圖形以及軸對稱圖形的定義逐項判斷即可，在平面內，把一個圖形繞著某個點旋轉，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形．
【詳解】解：A．該圖形不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
B．該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；
C．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
D．該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查知識點是識別中心對稱圖形以及軸對稱圖形，掌握中心對稱圖形以及軸對稱圖形的特征是解此題的關鍵．
2. 下列計算正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據完全平方公式，同底數冪的乘法，積的乘方，合并同類項等知識逐項分析即可．
【詳解】A.，故錯誤；
B.，正確；
C. ，故錯誤；
D. ，故錯誤；
故選B．
【點睛】本題考查了整式的運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．同底數的冪相乘，底數不變，指數相加；冪的乘方，底數不變，指數相乘；積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘；合并同類項時，把同類項的系數相加，所得和作為合并后的系數，字母和字母的指數不變．完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2．
3. 在平面直角坐標系中，以原點O為圓心，5為半徑作圓，點P的坐標是（4，3），則點P與⊙O的位置關系是（）
A. 點P在⊙O內B. 點P在⊙O外
C. 點P在⊙O上D. 點P在⊙O上或在⊙O外
【答案】C
【解析】
【分析】求出的長，再跟r作比較即可判斷.
【詳解】∵點P的坐標是（4，3）,
,
∴點P在⊙O上.
故選：C
【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關系.若,則點P在⊙O外；若, 則點P在⊙O上；若，則點P在⊙O內.熟練掌握判斷方法是解題的關鍵.
4. 如圖，在⊙O中，，若，則的度數是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行線的性質可得，再利用圓周角定理可以得到．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴．
故選：C．
【點睛】本題主要考查圓周角定理、平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握圓周角定理．
5. 關于拋物線，下列說法錯誤的是（）
A. 開口向上B. 與x軸有兩個重合的交點
C. 對稱軸是直線D. 當時，y隨x的增大而減小
【答案】D
【解析】
【分析】根據二次函數表達式即可判斷；
【詳解】解：∵，
∴頂點坐標，對稱軸，
∵，
∴開口向上，拋物線的頂點在x軸上，
∴A、B、C正確，
故選：D．
【點睛】本題主要考查二次函數的圖像和性質，掌握相關知識是解題的關鍵．
6. 某種商品每件的進價為30元，在某時間段內若以每件x元出售，可賣出（100－x）件．若想獲得最大利潤，則定價x應為（）
A. 35元B. 45元C. 55元D. 65元
【答案】D
【解析】
【分析】設所獲得的利潤為W，根據利潤=（售價-進價）×數量，列出W關于x的二次函數，利用二次函數的性質求解即可．
【詳解】解：設所獲得的利潤為W，
由題意得，
∵，
∴當時，W有最大值1225，
故選D．
【點睛】本題主要考查了二次函數的應用，解題的關鍵在于能夠根據題意列出利潤關于售價的二次函數．
7. 如圖，小明以拋物線為靈感，在平面直角坐標系中設計了一款高OD為14的獎杯，杯體軸截面ABC是拋物線的一部分，則杯口的口徑AC為（）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】利用待定系數法求出A、C的坐標，可求答案．
【詳解】解：當y=14時，，
解得，，
∴A（，14），C（，14），
∴AC=．
故選：C．
【點睛】本題是關于二次函數應用題，主要考查了二次函數圖象和性質，待定系數法，熟練掌握用待定系數法求點的坐標是解題的關鍵
8. 如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B的坐標為，將繞著點B順時針旋轉，得到，則點C的坐標是（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】過點作，由題意可得：，，再利用含30度直角三角形的性質，求解即可．
【詳解】解：過點作，如下圖：

則
由題意可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∴點的坐標為，
故選：B
【點睛】此題考查了旋轉的性質，坐標與圖形，含30度直角三角形的性質，以及勾股定理，解題的關鍵是作輔助線，構造出直角三角形，熟練掌握相關基礎性質．
9. 已知拋物線y＝x2+bx+c的部分圖象如圖所示，若y＜0，則x的取值范圍是（）

A. ﹣1＜x＜4B. ﹣1＜x＜3C. x＜﹣1或x＞4D. x＜﹣1或x＞3
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出點（-1，0）關于對稱軸x=1的對稱點，進而結合圖象可得當y＜0時x的取值范圍．
【詳解】解：根據圖象可知，拋物線的對稱軸為x=1，拋物線與x軸的一個交點為（-1，0），
則（-1，0）關于x=1對稱的點為（3，0），
即拋物線與x軸另一個交點為（3，0），
所以y＜0時，x的取值范圍是-1＜x＜3．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點的知識，解答本題的關鍵是求出拋物線與x軸的另一個交點坐標．
10. 已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示．有下列結論：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0；⑤（a+c）2＜b2．其中，正確結論的個數是（）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】拋物線有兩個交點，＞0，①正確；拋物線開口、對稱軸和y軸的交點可以判斷出a＞0，b＜0，c＜0，②正確；③中沒有b，可以用對稱軸，即b=-2a，替換掉b，把x=-2代入函數，可得8a+c＞0；③正確；④中a的系數為9，可以考慮到把x=3代入后得到，其對應的y值小于0，故④正確；考慮到⑤中出現(xiàn)兩個平方，且系數都為1，把x=±1代入后相乘可得到（a+b+c）（a+b-c）=＞0，所以⑤正確．
【詳解】解：拋物線與x軸有兩個不同的交點，因此b2﹣4ac＞0，故①正確；
拋物線開口向上，因此a＞0，對稱軸為x＝1＞0，a、b異號，因此b＜0，拋物線與y軸交在負半軸，因此c＜0，所以abc＞0，故②正確；
由圖象可知，當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＞0，又對稱軸x＝﹣＝1，即，b＝﹣2a，所以8a+c＞0，故③正確；
當x＝3時，y＝9a+3b+c＜0，因此④正確；
當x＝1時，y＝a+b+c＜0，當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，所以（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，即（a+c）2﹣b2＞0，也就是（a+c）2＞b2，故⑤錯誤，
綜上所述，正確結論有：①②③④
故選：C．
【點睛】本題考查了由二次函數的圖像來確認系數的正負性及大小關系，這類題是中考的熱點題，考生應多多總結．
二．填空題（本題共6題，每小題3分，共18分）
11. 某公司招聘員工一名，某應聘者進行了三項素質測試，其中創(chuàng)新能力為70分，綜合知識為80分，語言表達為90分，如果將這三項成績按計入總成績，則他的總成績?yōu)開________分．
【答案】79
【解析】
【分析】根據加權平均數，則該應聘者的總成績=創(chuàng)新能力×所占的比值+綜合知識×所占的比值+語言表達×所占的比值，即可求得答案．
【詳解】解：根據題意，該應聘者的總成績是：70×+80×+90×=79（分），
故答案為：79．
【點睛】此題考查了加權平均數，解題的關鍵是熟記加權平均數的計算方法．
12. 在二次函數y=x2-2x-3中，當0≦x≦3時，y的最大值是_______
【答案】6
【解析】
【分析】先找到二次函數的對稱軸，根據距離對稱軸的距離可判斷y的大小．
【詳解】解：∵y=x2-2x+3=（x-1）2+2，
∴二次函數的對稱軸是x=1，
在x=1的右側，y隨著x的增大而增大，
∴當x=3時，y最大=6．
故答案為6．
【點睛】本題主要考查二次函數的最值，熟悉掌握是關鍵.
13. 將拋物線y＝3（x﹣2）2+1向左平移2個單位，再向下平移1個單位，則所得拋物線的表達式為_____．
【答案】y＝3x2
【解析】
【分析】直接利用拋物線平移規(guī)律：上加下減，左加右減進而得出平移后解析式．
【詳解】解：∵將拋物線y＝3（x﹣2）2+1向左平移2個單位，再向下平移1個單位，
∴平移后的拋物線的解析式為：y＝3（x﹣2+2）2+1﹣1，即y＝3x2，
故答案為：y＝3x2．
【點睛】本題考查了二次函數圖象的平移，其規(guī)律是是：將二次函數解析式轉化成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k，確定其頂點坐標(h，k)，在原有函數的基礎上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”，掌握平移規(guī)律是解題關鍵．
14. 如圖，BD是∠ABC的角平分線，DE⊥AB于E，ABC的面積是27cm2，AB＝8cm，BC＝10cm，則DE＝________cm．
【答案】3
【解析】
【分析】作DF⊥BC于F，設DE為x，根據角平分線的性質得到DE＝DF＝x，根據三角形的面積公式列出方程，解方程即可．
【詳解】作DF⊥BC于F，
設DE為x，
∵BD是∠ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF＝x，
∴×AB×DE＋×BC×DF＝27，即4x＋5x＝27，
解得，x＝3，
故答案為：3．
【點睛】本題考查的是角平分線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．
15. 如圖，四邊形內接于，延長交于點，連接，若，，則的大小為 _____．
【答案】50
【解析】
【分析】根據圓周角定理得到，求出，根據圓內接四邊形的性質得到，計算即可．
【詳解】解：是的直徑，
，
，
四邊形內接于，
，
，
故答案為：50．
【點睛】本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理，掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．
16. 在⊙O中，直徑AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，則弦CD的長為_____．
【答案】
【解析】
【分析】連接OD，根據垂徑定理可求出PD的長，進而求出CD的長即可.
【詳解】連接OD，
∵直徑AB＝4，OD為半徑，
∴OD=2，
∵弦CD⊥AB于P，OP＝，
∴PD= =，CD=2PD，
∴CD=2，
故答案為2
【點睛】本題考查垂徑定理，垂直于弦的直徑，平分弦并平分這條弦所對的兩條弧，熟練掌握垂徑定理是解題關鍵.
三．解答題（本大題共9個小題，第17、18、19每小題6分，第20、21題8分，第22、23每小題9分，第24、25每小題10分，共72分）
17. 計算：
【答案】
【解析】
【分析】根據零指數冪，二次根式的化簡、絕對值、負指數冪進行計算即可．
【詳解】解：原式
【點睛】本題主要考查零指數冪，二次根式的化簡、絕對值、負指數冪，正確計算是解題的關鍵．
18. 先化簡：，再取一個你認為合理的x值，代入求原式的值．
【答案】，當時，原式
【解析】
【分析】先化簡分式，再代入合適的值求解即可；
【詳解】解：原式
，
當時，原式．
說明：x除不能取外，取其它值均可．
【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，正確化簡分式是解題的關鍵．
19. 如圖，在平面直角坐標系內，三個頂點的坐標分別為（正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度）．

（1）以坐標原點O為旋轉中心，將逆時針旋轉，得到，請畫出，寫出點的坐標；
（2）求面積
【答案】（1）圖見解析，點的坐標為
（2）
【解析】
【分析】（1）根據題意畫出，進而即可得；
（2）用A、B、C三點所在矩形面積減去以矩形三個頂點為直角的三角形面積即為所求；
【小問1詳解】
解：如圖，即為所求，點的坐標為；
【小問2詳解】
．
【點睛】本題主要考查圖形的旋轉，正確理解題意是解題的關鍵．
20. 如圖，D是等邊三角形ABC內一點，將線段AD繞點A順時針旋轉60°，得到線段AE，連接CD，BE．
（1）求證：EB=DC；
（2）連接DE，若∠BED=50°，求∠ADC的度數．
【答案】（1）證明見解析；（2）110°
【解析】
【分析】（1）根據等邊三角形的性質可得∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋轉的性質可得∠DAE＝60°，AE＝AD，利用SAS即可證出≌，從而證出結論；
（2）根據等邊三角形的判定定理可得為等邊三角形，從而得出∠AED=60°，由（1）中全等可得∠AEB＝∠ADC，求出∠AEB即可求出結論．
【詳解】解：（1）∵是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC．
∵線段AD繞點A順時針旋轉60°，得到線段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在和中，
∵，
∴≌．
∴EB＝DC．
（2）如圖，
由（1）得∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴為等邊三角形．
∴∠AED＝60°，
由（1）得≌，
∴∠AEB＝∠ADC．
∵∠BED＝50°，
∴∠AEB=∠AED+∠BED=110°，
∴∠ADC=110°．
【點睛】此題考查的是等邊三角形的判定及性質、全等三角形的判定及性質和旋轉的性質，掌握等邊三角形的判定及性質、全等三角形的判定及性質和旋轉的性質是解決此題的關鍵．
21. 如圖，已知拋物線經過點和點兩點．
（1）求拋物線的解析式和頂點坐標；
（2）點P為拋物線上一點，若，求出此時點P的坐標．
【答案】（1）y=x2-2x-3；（1，-4）；
（2）（-2，5）或（4，5）
【解析】
【分析】（1）把A、B兩點坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法可求得其解析式，再化為頂點式即可求得其頂點坐標；
（２）設P（x，y），根據三角形的面積公式以及S△PAB=10，即可算出y的值，代入拋物線解析式即可得出點P的坐標．
【小問1詳解】
∵拋物線y=x2+bx+c經過A（-1，0）、B（3，0）兩點，
∴，解得，
∴拋物線解析式為y=x2-2x-3=，
∴頂點坐標為（1，-4）；
【小問2詳解】
∵A（-1，0）、B（3，0），
∴AB=4．
設P（x，y），則S△PAB=AB?|y|=2|y|=10，
∴|y|=5，
∴y=±5．
①當y=5時，x2-2x-3=5，解得：x1=-2，x2=4，
此時P點坐標為（-2，5）或（4，5）；
②當y=-5時，x2-2x-3=-5，方程無解；
綜上所述，P點坐標為（-2，5）或（4，5）．
【點睛】本題考查了二次函數的綜合問題，涉及待定系數法求函數解析式、三角形的面積公式以及二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握有關知識點是解題的關鍵．
22. 某電腦經銷商計劃購進一批電腦機箱和液晶顯示器，若購電腦機箱10臺和液液晶顯示器8臺，共需要資金7000元；若購進電腦機箱2臺和液示器5臺，共需要資金4120元．
（1）每臺電腦機箱、液晶顯示器的進價各是多少元？
（2）該經銷商購進這兩種商品共50臺，而可用于購買這兩種商品的資金不超過22240元．根據市場行情，銷售電腦機箱、液晶顯示器一臺分別可獲利10元和160元．該經銷商希望銷售完這兩種商品，所獲利潤不少于4100元．試問：該經銷商有哪幾種進貨方案？哪種方案獲利最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）每臺電腦機箱、液晶顯示器的進價各是60元，800元；
（2）利潤最大為4400元．
【解析】
【分析】（1）設每臺電腦機箱的進價是x元，液晶顯示器的進價是y元，根據“若購進電腦機箱10臺和液晶顯示器8臺，共需要資金7000元；若購進電腦機箱2臺和液晶顯示器5臺，共需要資金4120元”即可列方程組求解；
（2）設購進電腦機箱z臺，根據“可用于購買這兩種商品的資金不超過22240元，所獲利潤不少于4100元”即可列不等式組求解.
【詳解】解：（1）設每臺電腦機箱、液晶顯示器的進價各是x，y元，
根據題意得：，
解得：，
答：每臺電腦機箱、液晶顯示器的進價各是60元，800元；
（2）設該經銷商購進電腦機箱m臺，購進液晶顯示器（50-m）臺，
根據題意得：，
解得：24≤m≤26，
因為m要為整數，所以m可以取24、25、26，
從而得出有三種進貨方式：①電腦箱：24臺，液晶顯示器：26臺，
②電腦箱：25臺，液晶顯示器：25臺；
③電腦箱：26臺，液晶顯示器：24臺．
∴方案一的利潤：24×10+26×160=4400，
方案二的利潤：25×10+25×160=4250，
方案三的利潤：26×10+24×160=4100，
∴方案一的利潤最大為4400元．
答：該經銷商有3種進貨方案：①進24臺電腦機箱，26臺液晶顯示器；②進25臺電腦機箱，25臺液晶顯示器；③進26臺電腦機箱，24臺液晶顯示器．第①種方案利潤最大為4400元．
【點睛】考點：方案問題，方案問題是初中數學的重點，在中考中極為常見，一般難度不大，需熟練掌握.
23. 如圖，是的直徑，是的中點，于，交于點．
（1）求證：；
（2）若，，求的半徑．
【答案】（1）見解析（2）5
【解析】
【分析】（1）首先延長交于點，由垂徑定理可證得，又由是的中點，易證得，繼而可證得；
（2）由是的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得，然后由勾股定理求得的長，繼而求得答案．
【小問1詳解】
證明：延長交于點，
，
∴，
，
是的中點，
，
，
，
；
【小問2詳解】
解：是的直徑，
，
，，
，
在中，，
的半徑為．
【點睛】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的判定以及勾股定理，解題的關鍵是掌握在同圓中，相等的弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角為直角．
24. 綜合與探究：如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，直線與拋物線的對稱軸交于點E．將直線沿射線方向向下平移n個單位，平移后的直線與直線交于點F，與拋物線的對稱軸交于點D．

（1）求出點A，B，C的坐標，并直接寫出直線的解析式；
（2）當是以為斜邊的直角三角形時，求出n的值；
（3）直線上是否存在一點P，使以點D，E，F(xiàn)，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）點A的坐標為，點B的坐標為，點C的坐標為；直線BC的解析式為；直線AC的解析式為
（2）
（3）存在，點坐標為或
【解析】
【分析】（1）分別求出、、的坐標，再用待定系數法求直線的解析式即可；
（2）先求平移后的直線解析式為，則，再由勾股定理可得方程，求出或（舍；
（3）先求，，當、為鄰邊時，與為菱形的對角線，軸，可得，，再將點代入直線的解析式中求出的值，即可求；當為菱形的對角線時，，此時，，再將點代入直線的解析式中求出的值，即可求．
【小問1詳解】
當時，，
解得或，
，，
當時，，
，
設直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
設直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為；
【小問2詳解】
，
拋物線的對稱軸為直線，
，
平移后的直線解析式為，
，
，，，
是以為斜邊的直角三角形，
，
解得或（舍；
【小問3詳解】
存在點，使以點，，，為頂點四邊形是菱形，理由如下：
當時，解得，
，，
當、為鄰邊時，與為菱形的對角線，
，
軸，
，，
，
解得，
；
當為菱形的對角線時，，
，，
，
解得，
；
綜上所述：點坐標為或．
【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，直線平移的性質，勾股定理，菱形的性質是解題的關鍵．
25. 如圖，拋物線（a，b，c是常數，）的對稱軸為y軸，且經過和兩點，點P在該拋物線上運動，以點P為圓心的總經過定點．

（1）求a，b，c的值；
（2）求證：在點P運動的過程中，圓心P到x軸的距離始終小于半徑；
（3）設與x軸相交于兩點，當是以為底邊的等腰三角形時，求圓心P的縱坐標．
【答案】（1），
（2）見解析（3）P的縱坐標為：或
【解析】
【分析】（1）拋物線（a，b，c是常數，）的對稱軸為y軸，且經過和兩點，可得拋物線的一般式為：，則，進而即可求解；
（2）設，的半徑即可證明；
（3）設，，作于H，，故，由，則當時，，即可求解；
小問1詳解】
解：∵拋物線（a，b，c是常數，）的對稱軸為y軸，且經過和兩點，
∴拋物線的一般式為：，
∴，
解得：，
∵圖象開口向上，
∴，
∴拋物線解析式為：，
故，；
小問2詳解】
設，的半徑，
化簡得：，
∴點P在運動過程中，圓心P到x軸的距離始終小于半徑；
【小問3詳解】
設，
∵，
作于H，
則，
又∵，
則，
故，
∴，
又∵，
∴
當時，，
解得：，則；
綜上所述，P的縱坐標為：或．
【點睛】本題主要考查二次函數綜合應用、圓的性質、等腰三角形的性質、勾股定理，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．

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