了解相似三角形三個(gè)判定定理的證明過(guò)程,發(fā)展推理能力.
學(xué)習(xí)重點(diǎn)
了解相似三角形三個(gè)判定定理的證明過(guò)程.
學(xué)習(xí)難點(diǎn)
了解相似三角形三個(gè)判定定理的證明過(guò)程.
課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)
復(fù)習(xí)回顧
1.判定兩個(gè)三角形全等的方法有哪些?
解:ASA,AAS,SSS,SAS.
2.判定兩個(gè)三角形相似的方法有哪些?
解:(1)兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.
(2)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.
(3)三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.
設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)回顧復(fù)習(xí)已得結(jié)論入手,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
探究新知
提問(wèn):那么我們?cè)趺醋C明相似三角形的判定是真命題呢?
定理1:兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.
如何對(duì)文字命題進(jìn)行證明?與同伴進(jìn)行交流.
學(xué)生組內(nèi)合作,互相交流討論.教師參與討論并給予指導(dǎo),通過(guò)多媒體展示證明過(guò)程.
已知:如圖1,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'.
求證:△ABC∽△A'B'C'.
圖1
證明:在△ABC的邊AB(或它的延長(zhǎng)線(xiàn))上截取AD=A'B',過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線(xiàn),交AC于點(diǎn)E(如圖2),則∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ADAB=AEAC (平行于三角形一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相交,截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例).
過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線(xiàn),交BC于點(diǎn)F,則 ADAB=CFCB (平行于三角形一邊的直線(xiàn)與其他兩邊相交,截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例).
圖2
∴ AEAC=CFCB .
∵DE∥BC,DF∥AC,
∴四邊形DFCE是平行四邊形.
∴DE=CF.∴ AEAC=DECB .∴ ADAB=AEAC=DEBC .
而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,∴ △ADE∽△ABC .
∵∠A=∠A',∠ADE=∠B=∠B',AD=A'B',∴△ ADE ≌△ A'B'C' .∴△ABC∽△A'B'C'.
設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)證明,我們可以得到命題1是一個(gè)真命題,從而得出相似三角形判定定理1:兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.
推理證明
1.可以類(lèi)比前面的證明方法,來(lái)繼續(xù)證明定理2:兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.
教師引導(dǎo)學(xué)生自主探索證明思路和證明方法.
已知:如圖,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',ABA'B'=ACA'C'.
求證:△ABC∽△A'B'C'.
證明:在△ABC的邊AB(或它的延長(zhǎng)線(xiàn))上截取AD=A'B',過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線(xiàn),交AC于點(diǎn)E,則∠B=∠ADE,∠C=∠AED,
∴△ABC∽△ADE(兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似).
∴ABAD=ACAE.
∵ABA'B'=ACA'C,AD=A'B',
∴ABAD=ACA'C'.
∴ACAE=ACA'C'.
∴AE=A'C'.
而∠A=∠A',
∴△ADE≌△A'B'C'.
∴△ABC∽△A'B'C'.
2.讓學(xué)生獨(dú)立完成三邊成比例的兩個(gè)三角形相似的證明.從而得到相似三角形判定定理3:三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.
已知:如圖,在△ABC和△A'B'C'中,ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'.
求證:△ABC∽△A'B'C'.
證明:在△ABC的邊AB,AC(或它們的延長(zhǎng)線(xiàn))上分別截取AD=A'B',AE=A'C',連接DE.
∵ABA'B'=ACA'C',AD=A'B',AE=A'C',
∴ABAD=ACAE.
而∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE(兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似).
∴ABAD=BCDE.
又ABA'B'=BCB'C',AD=A'B'.
∴ABAD=BCB'C'.
∴BCDE=BCB'C'.
∴DE=B'C'.
∴△ADE≌△A'B'C'.
∴△ABC∽△A'B'C'.
設(shè)計(jì)意圖:鼓勵(lì)學(xué)生積極思考,模仿前面的證明過(guò)程進(jìn)行證明.可讓學(xué)生板書(shū)過(guò)程,或老師在學(xué)生中尋找具有代表性資源,通過(guò)投影修正過(guò)程中存在的問(wèn)題.
鞏固訓(xùn)練
1.判斷題:
(1)所有的等邊三角形都相似. ( ? )
(2)所有的直角三角形都相似.( ? )
(3)所有的等腰三角形都相似.( ? )
(4)所有的等腰直角三角形都相似.( ? )
2.如圖,AD⊥BC于點(diǎn)D,CE⊥AB于點(diǎn)E,且交AD于點(diǎn)F,你能從中找出幾對(duì)相似三角形?
解:6對(duì).△AFE∽△CFD,△ABD∽△CBE,△DCF∽△DAB,△AEF∽△CEB,△AEF∽△ADB,△CDF∽△CFB.
3.如圖,在正方形網(wǎng)格上△A1B1C1和△A2B2C2,它們相似嗎?
解:相似.
由圖可知,A1B1=22+22=22,B1C1=22+62=210,A1C1=4,A2B2=12+12=2,B2C2=32+12=10,A2C2=2.
∴A1B1A2B2=B1C1B2C2=A1C1A2C2=2.
∴△A1B1C1∽△A2B2C2.
設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)上面的練習(xí),靈活運(yùn)用三種判定定理判斷兩個(gè)三角形是否相似,加深對(duì)相似三角形判定定理的理解,提高運(yùn)用判定定理解決問(wèn)題的能力.
課堂小結(jié)
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),你學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)和方法?
相似三角形的判定定理的選擇:
1.已知有一角相等,可選判定定理1和2;
2.已知有兩邊對(duì)應(yīng)成比例,可選判定定理2和3.
設(shè)計(jì)意圖:鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程,談?wù)勛约旱氖斋@與感想,讓學(xué)生學(xué)會(huì)疏理、歸納和總結(jié).
課堂8分鐘.
1.教材第102頁(yè)習(xí)題4.9第1,2,3,4題.
2.七彩作業(yè).
*4.5 相似三角形判定定理的證明
相似三角形的判定定理的選擇:
1.已知有一角相等,可選判定定理1和2;
2.已知有兩邊對(duì)應(yīng)成比例,可選判定定理2和3.
教學(xué)反思


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5 相似三角形判定定理的證明

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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