一、基本目標(biāo)
1．理解相似三角形三個(gè)判定定理的證明過程，加深對(duì)相似三角形的理解與認(rèn)識(shí)．
2．應(yīng)用相似三角形判定定理的證明解決有關(guān)問題．
二、重難點(diǎn)目標(biāo)
【教學(xué)重點(diǎn)】
相似三角形三個(gè)判定定理的證明過程．
【教學(xué)難點(diǎn)】
證明相似三角形判定定理．
環(huán)節(jié)1 自學(xué)提綱、生成問題
【5 min閱讀】
閱讀教材P99～P102的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．
【3 min反饋】
相似三角形的判定方法有哪些？
解：(1)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．
(2)三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．
(3)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．
環(huán)節(jié)2 合作探究，解決問題
活動(dòng)1 小組討論(師生互學(xué))
【例1】如圖，在△ABC中，D、E分別在AB與AC上，且AD＝5，DB＝7，AE＝6，EC＝4.
求證：△ADE∽△ACB.
【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)計(jì)算兩邊的比相等，夾角是公共角，可得兩三角形相似．
【證明】∵AD＝5，DB＝7，AE＝6，EC＝4，
∴AB＝5＋7＝12，AC＝6＋4＝10，
∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2)，eq \f(AE,AB)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，
∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB).
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB.
【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))本題考查了三角形相似的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是關(guān)鍵，利用兩邊的比相等且夾角相等證明兩三角形相似時(shí)，注意邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
【例2】如圖，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分線分別與AC、AB交于點(diǎn)D、E，連結(jié)BD.求證：△ABC∽△BDC.
【互動(dòng)探索】(引發(fā)學(xué)生思考)題中已知角的大小，可以利用兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似來判定，由線段垂直平分線的性質(zhì)，得DA＝DB，則∠ABD＝∠BAC＝40°，從而求得∠CBD＝40°，即可證出△ABC∽△BDC.
【證明】∵DE是AB的垂直平分線，
∴AD＝BD.
∵∠BAC＝40°，∴∠ABD＝40°.
∵∠ABC＝80°，
∴∠DBC＝40°，
∴∠DBC＝∠BAC.
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC.
【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))已知角的大小，而沒有給出邊長的關(guān)系，可以利用兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似來判定．
活動(dòng)2 鞏固練習(xí)(學(xué)生獨(dú)學(xué))
1．如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是CD、BC上的點(diǎn)，若∠AEF＝90°，則一定有( C )
A．△ADE∽△AEF
B．△ECF∽△AEF
C．△ADE∽△ECF
D．△AEF∽△ABF
2．如圖，已知△ABC中，P為AB上一點(diǎn)，在下列四個(gè)條件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·CB.能滿足△APC∽△ACB的條件是( D )
A．①②④B．①③④
C．②③④D．①②③
3．如圖，∠DAB＝∠CAE，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：∠D＝∠B或∠AED＝∠C或eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)，使△ABC∽△ADE.
4．如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝eq \f(2,3)，則△ABC的邊長為3.
5．如圖，△ABC中，D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)．求證：△DEF∽△CBA.
證明：∵D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn)，∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(1,2)，eq \f(DF,AC)＝eq \f(1,2)，eq \f(EF,AB)＝eq \f(1,2).∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(DF,AC)＝eq \f(EF,AB).∴△DEF∽△CBA.
活動(dòng)3 拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué))
【例3】如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，AE＝4，AB＝6，AD∶AC＝2∶3，△ABC的角平分線AF交DE于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F.
(1)請(qǐng)你直接寫出圖中所有的相似三角形；
(2)求AG與GF的比．
【互動(dòng)探索】先利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明△ADE∽△ACB，則∠ADG＝∠C，∠AEG＝∠B，再利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明△ADG∽△ACF和△AGE∽△AFB，最后利用相似比和比例的性質(zhì)求eq \f(AG,GF)的值．
【解答】(1)△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB.
(2)∵eq \f(AE,AB)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，eq \f(AD,AC)＝eq \f(2,3).
∴eq \f(AE,AB)＝eq \f(AD,AC)，
又∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADG＝∠C.
∵AF為角平分線，
∴∠DAG＝∠FAE，
∴△ADG∽△ACF，
∴eq \f(AG,AF)＝eq \f(AD,AC)＝eq \f(2,3)，
∴eq \f(AG,GF)＝2.
【互動(dòng)總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))本題主要考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．
環(huán)節(jié)3 課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似,兩邊成比例且夾角相等的,兩個(gè)三角形相似,三邊成比例的兩個(gè)三角形相似)))eq \a\vs4\al(判定定理←,相似三角形判,定定理的證明,→證明方法)
請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練！

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5 相似三角形判定定理的證明

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