一、教學(xué)目標(biāo)
1.理解并掌握弧度制的定義，并能熟練的進行角度制與弧度制的換算，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)；
2.掌握運用弧度制表示的弧長公式，扇形面積公式；
3.通過弧度制的學(xué)習(xí)使學(xué)生理解并認(rèn)識到，角度制與弧度制都是對角度量的方法，二者是辯證統(tǒng)一的，而不是孤立，割裂的關(guān)系，提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點
重點：理解弧度的定義，熟練掌握弧度與角度的換算.
難點：理解弧度的定義，孤度制的產(chǎn)生過程和所蘊含的數(shù)學(xué)思想.

三、教學(xué)過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境
生活中在度量時，會用到不同的單位制.比如，度量長度可以用米、英尺、碼等不同的單位制；度量質(zhì)量可以用千克、磅等不同的單位制.

思考：角的度量單位是什么呢？換算的進制是多少呢？它是否也能用不同的單位制呢？是否可以用十進制的實數(shù)來度量角的大小呢？
師生活動：教師展示生活中常見的度量工具，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考角度的單位除了度還有哪種形式，引入本節(jié)課的內(nèi)容.
設(shè)計意圖：通過直觀觀察，結(jié)合身邊的事物引出數(shù)學(xué)知識，學(xué)生會感到親切、生動、真實、易于接受. 同時，能使他們體會到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在我們身邊，我們生活在充滿數(shù)學(xué)信息的現(xiàn)實世界中. 能促進學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光去觀察和認(rèn)識周圍的事物，有效的促進知識的遷移.
（二）探究新知
任務(wù)1：回顧角度制的概念.
思考：學(xué)過哪些度量角的單位？
答：度、分、秒.
思考：1°是如何定義的呢？
答：將一個圓的圓周分成360等份，每一份的圓弧所對的角叫做1°的角，即規(guī)定圓周的1360所對的角為1度的角.這種度量角的單位制叫做角度制.
思考：度、分、秒又如何換算呢？
答：度與分、分與秒之間一律采用六十進制.即1°=60′，1′=60″.
師生活動：小組內(nèi)交流，并匯報展示.
設(shè)計意圖：通過回顧之前的知識，為本節(jié)課要突破和學(xué)習(xí)的重點知識內(nèi)容做準(zhǔn)備.
任務(wù)2：探究弧度制的概念
探究：弧度制是用弧長來度量圓心角的嗎？弧長可以度量角嗎？
答：如圖5.1-9，射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)到OB所形成角α.在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OA上的一點P（不同于點O）的軌跡是一條圓弧，這條圓弧對應(yīng)圓心角α.
設(shè)α=n°，OP=r，點P所形成的圓弧長為l.
思考：圓心角α確定時，弧長l確定嗎？弧長和圓心角有什么關(guān)系呢？
答：由初中所學(xué)知識可知：l=nπr180.于是lr=nπ180.
探究：如圖5.1-10，在射線OA上任取一點Q（不同于點O），OQ=r1在旋轉(zhuǎn)過程中，點Q所形成的圓弧QQ1的長為l1，l1與r1的比值是多少？你能得出什么結(jié)論？
答：當(dāng)圓心角α不變時，lr=nπ180為定值.
所以，圓心角α所對的弧長與半徑的比值只與角的大小有關(guān).也就是說，這個比值隨α確定而唯一確定.
所以可以用圓的弧長與半徑的比值度量圓心角，而這種度量像度量長度那樣，用十進制的實數(shù)來度量角的大小.這就是度量角的另一種單位制——弧度制.
規(guī)定：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示，讀作弧度.
思考：2弧度角怎樣表示呢，5弧度角呢，α弧度角呢？
答：根據(jù)上述規(guī)定，在半徑為r的圓中，弧長為l所對的圓心角為αrad，那么α=lr.
其中，α的正負(fù)由角α的終邊旋轉(zhuǎn)方向決定，即逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù).
口訣：逆正順負(fù).
思考：任意角α的弧度數(shù)怎么表示呢？
答：當(dāng)角的終邊旋轉(zhuǎn)一周后繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，就可以得到弧度數(shù)大于2π或小于?2π的角.這樣就可以得到弧度為任意大小的角.
一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是 0.
任務(wù)3：探究角度制與弧度制的相互換算
思考：角度制、弧度制都是角的度量制，它們之間如何換算呢?
答：因為周角的弧度數(shù)是2π，而在角度制下的度數(shù)是360，所以
360°=2πrad，180°=πrad
180°=πrad
1°=π180rad≈0.01745rad
1rad=180π0≈57.3°
思考：在弧度制下，與角α終邊相同的角如何表示？終邊在坐標(biāo)軸上的角如何表示？
答：與角α終邊相同的角：β丨β=α+2kπ，k∈Z，
終邊在x軸上：α丨α=kπ，k∈Z，
終邊在y軸上：α丨α=π2+kπ，k∈Z.
探究：填寫下列特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表：
注意：用弧度制表示角時，“弧度”二字或“rad”通常略去不寫，而只寫該角對應(yīng)的弧度數(shù).如α=2表示α是2rad的角.
思考：任意一個實數(shù)都可以表示角嗎？這種表示是唯一的嗎？
答：對于任意一個實數(shù)α滿足ir=α，那么l=αr，此時α絕對值的大小確定，再由α的旋轉(zhuǎn)方向確定α的正負(fù)符號，所以任意一個實數(shù)都可以表示唯一確定的角.這樣就在角的集合與實數(shù)集R之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系.
（三）應(yīng)用舉例
例1：（1）把135°、240°、60°30′化成弧度.
（2）將3.14rad、π4rad、5π3rad換算成角度.
解：（1）135°=135×π180=3π4rad
240°=240×π180=4π3rad
因為60°30′=1352，
所以60°30′=1352×π180rad=38πrad.
（2）3.14rad=3.14×180π≈179.909°
π4rad=π4×180π=45°
5π3rad=5π3×180π=300°.
總結(jié)：角度與弧度的換算
①角度轉(zhuǎn)弧度：弧度=角度×π180
②弧度轉(zhuǎn)角度：角度=弧度×180π
例2：利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式：
（1）l=αR；（2）S=12αR2；（3）S=12lR.
其中R是圓的半徑，α0＜α＜2π為圓心角，l是扇形的弧長，S是扇形的面積.
證明：由公式α=lr可得：l=αR
下面證明（2）（3）.
半徑為R，圓心角為n°的扇形的弧長公式和面積公式分別是l=nπR180，S=nπR2360
將n°轉(zhuǎn)化為弧度得：α=nπ180，所以S=12αR2
將l=αR代入上式得：S=12lR.
總結(jié)：扇形的弧長和面積公式的求解策略：
（1）記公式：弧度制下扇形的面積公式是S=12αR2=12lR
（其中l(wèi)是扇形的弧長，R是扇形的半徑，α是扇形圓心角的弧度數(shù)，0＜α＜2π）.
(2)找關(guān)鍵：涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、而積等的計算問題，關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量，然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解.
例3：(1)時間經(jīng)過4?(時)，時針、分針各轉(zhuǎn)了多少度?各等于多少弧度?
(2)有人說，鐘的時針和分針一天內(nèi)會重合24次.你認(rèn)為這種說法是否正確?請說明理由．
提示：從午夜零時算起，假設(shè)分針走了tmin會與時針重合，一天內(nèi)分針和時針會重合n次，利用分針與時針轉(zhuǎn)動的速度，建立t關(guān)于n的函數(shù)解析式，并求解.
解：(1)經(jīng)過4小時，時針轉(zhuǎn)了?30°×4=?120°，分針轉(zhuǎn)了?4×360°=?1440°，
?120°=?120×π180=?2π3弧度；
?1440°=?1440×π180=?8π弧度.
(2)分針每比時針多走一圈便會重合一次，設(shè)分針走了tmin會和時針重合，并且是第n此重合，則：
2π60?t?2π12×60?t=2πn；
∴n=11720t，n∈N?；
最后一次相遇經(jīng)過了24×60=1440min；
∴此時n=22，即時針和分針相遇22次；
∴重合24次的說法不正確．
例4：已知扇形的周長為30．
(1)若該扇形的半徑為10，求該扇形的圓心角α，弧長l及面積S；
(2)求該扇形面積S的最大值及此時扇形的半徑．
解：設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，
(1)則l+2r=30，r=10，則弧長l=10，則圓心角α= lr=1010=1，
所以扇形的面積S=12×10×10=50；
(2)由題設(shè)可得l=30?2r，
則扇形的面積為S=12lr=12×(30?2r)r=?r2+15r，
則當(dāng)r=?b2a=152時，扇形面積取得最大值，
即S=?1522+15×152=2254，此時扇形半徑為152．
設(shè)計意圖：通過例題，讓學(xué)生體會弧度制與角度制的相互轉(zhuǎn)化，學(xué)會公式解決簡單的實際問題.
（四）課堂練習(xí)
1.3π4對應(yīng)的角度為( )
A. 75°B. 125°C. 135°D. 155°
解：∵1rad=180π°，∴3π4=(3π4×180π)°=135°，故選C．
2.角90°化為弧度制等于( )
A. π3B. π2C. π4D. π6
解：90°=π×90°180°=π2．故選：B．
3.圓O的半徑為R，A，B是圓弧上的兩個點，則下列命題不正確的是( )
A. 若線段AB=R，則∠AOB=1弧度
B. 若圓弧上劣弧AB的長為R，則∠AOB=1弧度
C. 若AB是直徑，則∠AOB=π弧度
D. 若線段AB= 3R，則∠AOB=23π弧度
解：∵圓O的半徑為R，AB=R，∴∠AOB=π180°×60°=π3弧度，故A錯誤；
∵圓弧上劣弧AB的長為R，∴∠AOB=RR=1弧度，故B正確；
∵AB是直徑，∴∠AOB=π180°×180°=π弧度，故C正確；
∵線段AB= 3R，則∠AOB=π180°×120°=2π3弧度，故D正確．
故選A．
4.一個扇形的弧長與面積都等于6，這個扇形圓心角的弧度數(shù)是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
解：設(shè)扇形的半徑為r，圓心角為α，
根據(jù)扇形面積公式S=12lr得6=12×6×r，∴r=2．
又扇形弧長公式l=rα，∴α=lr=3．
5.已知扇形的圓心角為π3，半徑為2，則扇形的弧長為( )．
A. π3B. 2π3C. π6D. 4+2π3
解：∵扇形的圓心角為α=π3，半徑為r=2，∴扇形的弧長l=αr=π3×2=2π3．故選：B．
6.已知扇形的圓心角為α，所在圓的半徑為r.
(1)若α=60°，r=3，求扇形的弧長;
(2)若扇形的周長為16，當(dāng)α為多少弧度時，該扇形面積最大?并求出最大面積．
解：設(shè)扇形的弧長為l．
(1)∵α=60°=π3，r=3，∴l(xiāng)=|α|r=π3×3=π．
(2)由題設(shè)條件知，l+2r=16，l=16?2r(0

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5.1.2 弧度制

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