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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc171325335" 題型一： 不等式證明1：無參基礎(chǔ)思維型 PAGEREF _Tc171325335 \h 1
\l "_Tc171325336" 題型二： 不等式證明2：有參數(shù)型基礎(chǔ)證明 PAGEREF _Tc171325336 \h 4
\l "_Tc171325337" 題型三：極值點(diǎn)偏移：和型 PAGEREF _Tc171325337 \h 6
\l "_Tc171325338" 題型四：極值點(diǎn)偏移：積型 PAGEREF _Tc171325338 \h 8
\l "_Tc171325339" 題型五：極值點(diǎn)偏移：含參型 PAGEREF _Tc171325339 \h 12
\l "_Tc171325340" 題型六：極值點(diǎn)偏移：平方型 PAGEREF _Tc171325340 \h 15
\l "_Tc171325341" 題型七：極值點(diǎn)偏移：非對稱型 PAGEREF _Tc171325341 \h 18
\l "_Tc171325342" 題型八：比值代換型證明 PAGEREF _Tc171325342 \h 21
\l "_Tc171325343" 題型九：三零點(diǎn)型不等式證明 PAGEREF _Tc171325343 \h 24
\l "_Tc171325344" 題型十：三角函數(shù)型不等式證明 PAGEREF _Tc171325344 \h 27
\l "_Tc171325345" 題型十一： 零點(diǎn)與求參 PAGEREF _Tc171325345 \h 29
\l "_Tc171325346" 題型十二：三個(gè)零點(diǎn)型求參 PAGEREF _Tc171325346 \h 32
\l "_Tc171325347" 題型十三：恒成立求參：三角函數(shù)型 PAGEREF _Tc171325347 \h 34
\l "_Tc171325348" 題型十四：恒成立求參：整數(shù)解型 PAGEREF _Tc171325348 \h 37
\l "_Tc171325349" 題型十五：能成立求參：雙變量型 PAGEREF _Tc171325349 \h 42
題型一： 不等式證明1：無參基礎(chǔ)思維型
證明不等式基礎(chǔ)思維：
1.移項(xiàng)到一側(cè)，證明函數(shù)的最值大于0（小于0）證明法
2.恒等變形，再證明新恒等式法。
1.（四川省金太陽普通高中高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)）已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性.
（2）當(dāng)時(shí)，證明：.
【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析
【分析】
（1）求導(dǎo)得，分類討論參數(shù)范圍可求的單調(diào)性；
（2）將不等式變形得，構(gòu)造函數(shù)，通過求出最值，證明即可得證.
（1）
的定義域?yàn)椋?br>若，恒有，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
若，令，得，
若，恒有在上單調(diào)遞增，
若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）
證明：當(dāng)時(shí)，，
令函數(shù)，則，
令函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以，從而，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故，因?yàn)椋?br>所以，故.
2.已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
（2）若，求證：在上恒成立.
【答案】（1）答案見詳解（2）證明見詳解
【分析】
（1）求導(dǎo)得，令導(dǎo)數(shù)為0，得，再分類討論與的位置關(guān)系即可求解；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，令，設(shè)法證明即可.
（1）
由得，
令得，，
當(dāng)時(shí)，，對恒成立，在單減；
當(dāng)時(shí)，，對恒成立，在單增；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，單減；當(dāng)，，單增；
綜上所述，當(dāng)，在單減；當(dāng)，在單增；當(dāng)，當(dāng)，單減；當(dāng)，單增；
（2）若，則，在上恒成立，即對恒成立，令，則，
令得，當(dāng)時(shí)，，單增；
當(dāng)時(shí)，，單減，
所以，令，則，又，即，故，構(gòu)造函數(shù)，
又，設(shè)，，當(dāng)，，單增，當(dāng)，，單減，故（得證），
所以，，令，在單增，，所以，所以在上恒成立.
3.（2022·河南南陽·南陽中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，求證：．
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析．
【分析】（1）求導(dǎo)后，對分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得結(jié)果；
（2），利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值大于即可得證明不等式成立.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，可得，令，可得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上所述：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
（2）證明：當(dāng)時(shí)，，
令，
，令，
因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>所以在R上單調(diào)遞增，，
由零點(diǎn)存在性定理可得存在，使得，即，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得，
所以，即，得證．
題型二： 不等式證明2：有參數(shù)型基礎(chǔ)證明
有參數(shù)型不等式證明：
通過參數(shù)范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，然后利用最值放縮證明不等式
1.（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．
(1)當(dāng)，求在點(diǎn)處的切線方程；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，；
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式得到直線方程即可；
（2）先證明在上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為，再由導(dǎo)數(shù)求出最小值結(jié)合基本不等式和對數(shù)的運(yùn)算證明即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
則，即，
所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.
（2）因?yàn)椋?br>因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，也為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以為單調(diào)遞增函數(shù)，又，且，
所以在上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為，
當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)；
所以，
由可得，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，，
2.（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先根據(jù)題設(shè)條件將問題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)時(shí)，即可.
【詳解】（1）定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；
時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2），且時(shí)，，
令，下證即可.
，再令，則，
顯然在上遞增，則，
即在上遞增，
故，即在上單調(diào)遞增，
故，問題得證
3.（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：．
【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）要證明，只要證即可，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得最值即可證明．
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以要證，只要證明即可，
即要證，等價(jià)于（*）．
令，則，
在區(qū)間上，單調(diào)遞減；
在區(qū)間上，單調(diào)遞增，
所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），
所以（*）成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
又在上單調(diào)遞增，，
所以存在，使得成立．綜上所述，原不等式成立．
題型三：極值點(diǎn)偏移：和型
處理極值點(diǎn)偏移問題中的類似于的問題的基本步驟如下：
①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；
②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可得恒正或恒負(fù)；
③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；
④根據(jù)與所處的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得到與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.
1.（22-23高三·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)若對任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)設(shè)是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且．求證：
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）先判斷不成立，當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合最值可得參數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)，可得恒成立，從而可證不等式.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，即，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
所以．
由恒成立可知，所以．
又因?yàn)?，所以的取值范圍為?br>（2）因?yàn)?，所以，即?br>令，由題意可知，存在不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)，，使得．
由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
不妨設(shè)，則．
設(shè)，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即在區(qū)間上恒成立．
因?yàn)?，所以?
因?yàn)椋裕?
又因?yàn)?，，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，即．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立問題，可轉(zhuǎn)化函數(shù)的最值問題，而極值點(diǎn)偏移問題，通過可構(gòu)建新函數(shù)，并利用原函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
2.（22-23高三·陜西安康）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求的取值范圍，并證明.
【答案】(1)；(2)，證明見解析.
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及最值，分類討論即可判定的取值范圍，構(gòu)造差函數(shù)證明即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，易知，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：；
（2）由已知可得，
①若，則，，
即在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，
又時(shí)，，所以函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)；
②若時(shí)，，顯然不符合題意；
③若時(shí)，令，
當(dāng)時(shí)，令或，令，
即在上單調(diào)遞減，和上單調(diào)遞增，
函數(shù)極小值為，函數(shù)極大值為，
此時(shí)函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，令或，令，
即在上單調(diào)遞減，和上單調(diào)遞增，
函數(shù)極大值為，函數(shù)極小值為，
此時(shí)函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
綜上所述，時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則一正一負(fù)，
不妨令，設(shè)，
令，即在R上單調(diào)遞增，
所以，，
故時(shí)，有，時(shí)，有，
即，所以，
則，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故，證畢.
3.（2023·河南平頂山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
(1)求a的取值范圍；
(2)設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【分析】（1）等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，求出函數(shù)的最小值利用零點(diǎn)存在性定理分析即得解；
（2）不妨設(shè)，等價(jià)于證明，再利用極值點(diǎn)偏移的方法證明.
【詳解】（1）解：由，得，
設(shè)，則，，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又因?yàn)?，所以?br> ，
，所以a的取值范圍是．
（2）證明：不妨設(shè)，由（1）知，則，，，
又在上單調(diào)遞增，所以等價(jià)于，即．
設(shè)，則．
設(shè)，則，
設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，?br>所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以?br>所以，即原命題得證．
題型四：極值點(diǎn)偏移：積型
處理極值點(diǎn)偏移問題中的類似于的問題的基本步驟如下：
①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；
②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得恒正或恒負(fù)；
③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；
④根據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.
1.（22-23高三上·北京房山·期中）已知函數(shù)
(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，
①求的取值范圍；
②求證：．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)①；②證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)正負(fù)即可得到的單調(diào)區(qū)間；
（2）①將問題轉(zhuǎn)化為與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果；
②由①可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可求得，進(jìn)而得到，即，根據(jù)的范圍和單調(diào)性可得結(jié)論.
【詳解】（1）定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）①若是的兩個(gè)不同零點(diǎn)，則與在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
由（1）知：，又，
在的圖象如下圖所示，
由圖象可知：，，即的取值范圍為.
②不妨設(shè)，由①知：，
，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞減，，，
又，，又，；
，，在上單調(diào)遞增，
，則.
2.（2024·廣東湛江·一模）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若方程有兩個(gè)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并證明：．
【答案】(1)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，(2)見解析
【分析】（1）求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由，得，設(shè)，畫出的圖象可得；由，設(shè)，對求導(dǎo)可得，又，再由在上單調(diào)遞減，可得，即可證明.
【詳解】（1）由題意可得，所以，
的定義域?yàn)椋?br>又，由，得，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
（2）由，得，設(shè)，
，由，得，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
又，，且當(dāng)趨近于正無窮，趨近于，
的圖象如下圖，
所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根，
證明：不妨設(shè)，則，，
設(shè)，
，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以，即，
又，所以，
又，，在上單調(diào)遞減，所以，
故.
3.（23-24高三 ·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若有唯一極值，求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，若，，求證：.
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析極值點(diǎn)情況即可得解.
（2）由（1）的信息可設(shè)，再構(gòu)造函數(shù)，探討函數(shù)的單調(diào)性推理即得.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，若，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，不符合題意；
若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意；
若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，2是函數(shù)的極大值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)，
所以的取值范圍是.
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由，，不妨令，
要證，只證，即證，就證，
令，求導(dǎo)得
，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
而，則，即，又，
因此，顯然，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，
所以.
題型五：極值點(diǎn)偏移：含參型
含參型極值點(diǎn)偏移：
1.消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；
2.以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個(gè)變元的新的函數(shù).
1.（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)．若函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．
(1)求a的取值范圍；
(2)證明：．
【答案】(1)；
(2)證明見詳解.
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理計(jì)算即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值即可證明.
【詳解】（1）由題意可知：，
若，則恒成立，即單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)不等零點(diǎn)，
故，
顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以若要符合題意，需，
此時(shí)有，且，
令，
而，
即在上遞減，故，
所以，
又，
故在區(qū)間和上函數(shù)存在各一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，
綜上；
（2）結(jié)合（1），不妨令，
構(gòu)造函數(shù)，
則，
即單調(diào)遞減，所以，
即，
因?yàn)?，所以?br>由（1）知在上單調(diào)遞增，所以由，
故.
2.（22-23高按·四川瀘州）已知函數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)當(dāng)，，且，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)零點(diǎn)利用參變分離整理可得，構(gòu)建新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值；（2）根據(jù)極值點(diǎn)偏離，構(gòu)建新函數(shù)（），先利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，再結(jié)合單調(diào)性分析證明.
【詳解】（1）令，即，則
函數(shù)在上有零點(diǎn)等價(jià)于方程在上有解，
設(shè)，則，
故函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故
所以a的范圍是.
（2）因?yàn)?，故?br>因?yàn)椋缘茫?br>故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)
因?yàn)椋?br>所以不妨設(shè)，，
設(shè)（），
故，
所以在上是增函數(shù)，
所以，即，
故，即，
因?yàn)?，，且?br>所以，
因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，
所以，故.
3.（21-22高三·河南鄭州·）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若，且，證明：
【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析
【分析】（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論時(shí)，時(shí)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)及正負(fù)可得極值和單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）可設(shè)，，要證，只要證，即證，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，又，即證，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得證.
【詳解】（1），
①時(shí)，因?yàn)?，所以?br>函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間，無極值；
②當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，
此時(shí)函數(shù)的極小值為，無極大值.
綜上所述，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間，無極值；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，
極小值為，無極大值.
（2）因?yàn)?，由?）可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
不妨設(shè)，則，
要證，只要證，即證，
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
又，即證，
構(gòu)造函數(shù)，即，.
，
因?yàn)椋?，，即?br>所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，
而，故，
所以，即，所以成立.
題型六：極值點(diǎn)偏移：平方型
對于平方型，可以應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：
①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；
②將所得含對數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；
③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.
1.（2024·吉林·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，的直角頂點(diǎn)在軸上，另一個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)圖象上
(1)當(dāng)頂點(diǎn)在軸上方時(shí)，求 以軸為旋轉(zhuǎn)軸，邊和邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體的體積的最大值；
(2)已知函數(shù)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根.
（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍;
（ii）證明：.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）證明過程見詳解.
【分析】（1）先確定所求幾何體何時(shí)能取到最大值，寫出函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求最大值；
（2）（i）根據(jù)題意知，，進(jìn)行同構(gòu)，將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，再進(jìn)行分離參數(shù)，研究的單調(diào)性和極值，即可求出a的取值范圍.
（ii）由知，先證，即極值點(diǎn)偏移問題，構(gòu)造函數(shù)，求，在單調(diào)遞增，，得，從而可得即，再由的單調(diào)性，即可得到.
【詳解】（1）因?yàn)樵谳S上方，所以：；
為直角三角形，所以當(dāng)軸時(shí)，所得圓錐的體積才可能最大.
設(shè)，則，（）.
設(shè)（），則，由.
因?yàn)椋裕?br>所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.
從而：.
（2）（i）因?yàn)?，即，即?br> 令，所以，
因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以即，
所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于有兩個(gè)不等實(shí)根，
令，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由洛必達(dá)法則知；所以.
（ii）由（i）知，，令，，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，，所以，即在單調(diào)遞增，，所以.因?yàn)椋?，又因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，，且在上單調(diào)遞減，
所以，即，所以，所以.
2.（22-23高三·遼寧·模擬）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若（e是自然對數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.
【答案】(1)結(jié)論見解析；(2)證明見解析.
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再按分類探討的正負(fù)作答.
（2）等價(jià)變形給定等式，結(jié)合時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，由，，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)、均值不等式推理作答.
【詳解】（1）
函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得則，由得，
若，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
若，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由，兩邊取對數(shù)得，即，
由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，而，時(shí)，恒成立，
因此當(dāng)時(shí)，存在且，滿足，
若，則成立；
若，則，記，，
則，
即有函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，
于是，
而，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，
又，則有，則，
所以.
3.（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：
(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；
【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)和分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由可得，是方程的兩不等實(shí)根，從而可將問題轉(zhuǎn)化為是方程的兩不等實(shí)根，即可得到和的范圍，原不等式等價(jià)于，即極值點(diǎn)偏移問題，根據(jù)對稱化構(gòu)造（解法1）或?qū)?shù)均值不等式（解法2）等方法即可證出．
【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?
由得：，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由得，由得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）因?yàn)槭欠匠痰膬刹坏葘?shí)根，，
即是方程的兩不等實(shí)根，
令，則，即是方程的兩不等實(shí)根.
令，則，所以在上遞增，在上遞減，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且.
所以0，即0.令，要證，只需證，
解法1（對稱化構(gòu)造）：令，
則，令，
則，
所以在上遞增，，所以h，所以，
所以，所以，即，所以.
解法2（對數(shù)均值不等式）：先證，令，
只需證，只需證，
令，
所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)?，所以?br>所以，即，所以.
題型七：極值點(diǎn)偏移：非對稱型
1.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分類討論的取值情況，從而可求解.
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論可知，從而求出，，然后設(shè)并構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解，然后再構(gòu)造函數(shù)證明，從而求解.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
（2）因?yàn)槭呛膬蓚€(gè)零點(diǎn)，由（1）知，
因?yàn)?，設(shè)，則，
當(dāng)，，當(dāng)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．
又因?yàn)椋遥?br>所以，．
首先證明：．
由題意，得，設(shè)，則
兩式相除，得．
要證，只要證，即證．
只要證，即證．
設(shè)，．
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增．
所以，即證得①．
其次證明：．設(shè)，．
因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減．
所以，
即．
所以②．
由①②可證得．
2.（22-23高三·福建福州）已知函數(shù)（）．
(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（），求證：．
【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)的不同取值范圍，對的符號(hào)進(jìn)行討論即可；
（2）由已知及（1）中單調(diào)性，可知，且，故只需證明，再借助不等式性質(zhì)和放縮，即可證出.
【詳解】（1）由已知，的定義域?yàn)?，?br>①當(dāng)時(shí)，，恒成立，
∴此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（），
則由（1）知，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
且，，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（*）
∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴只需證明，即有.
下面證明，
設(shè)
，，
設(shè)，則，
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增，
∴，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又∵，∴，
即，
∴由（*）知，，∴，即.
又∵，，
∴，原命題得證.
3.（21-22高三·浙江·模擬）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)的圖象與的圖象交于，兩點(diǎn)，證明：.
【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為
(2)證明見詳解
【分析】（1）求導(dǎo)，分別解不等式，可得；
（2）由，，兩式相減得：，然后將原不等式的證明問題轉(zhuǎn)化為，再通過換元將二元問題化為一元問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，由單調(diào)性可證.
【詳解】（1）的定義域?yàn)?br>令，解得
令，解得
所以的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為
（2）由（1）得
由題知，
兩式相減整理可得：
所以要證明成立，只需證明
因?yàn)椋灾恍枳C明
令，則只需證明，
即證
令
記
則
易知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增
故，即
所以，原不等式成立.
題型八：比值代換型證明
應(yīng)用對數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：
①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；
②將所得含對數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；
③利用對數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.
構(gòu)造對數(shù)不等式時(shí)，比值代換是常見經(jīng)驗(yàn)思維：
1.一般當(dāng)有對數(shù)差時(shí)，可以運(yùn)算得到對數(shù)真數(shù)商，這是常見的比值代換形式
2.兩個(gè)極值點(diǎn)（或者零點(diǎn)），可代入得到兩個(gè)“對稱”方程
3.適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危蓸?gòu)造出“比值”型整體變量。
1.（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校校考二模）已知函數(shù)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)已知函數(shù)，存在，證明：．
【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增。(2)證明見解析
【分析】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可.
（2）由可得，結(jié)合（1）可得，聯(lián)立兩者可得，運(yùn)用比值代換法，設(shè)，轉(zhuǎn)化為求證,即可證明.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，令，則，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，?br>即：，，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（2）由（1），得，
又，即，所以．不妨設(shè)，所以．
由（1）得當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，
故，所以，
所以，故．下證．即證：，
設(shè)，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，故，即，所以，即，
所以，得證．
2.（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.
【答案】(1)在上單調(diào)遞增(2)，證明見解析
【分析】（1）對求導(dǎo)，根據(jù)的符號(hào)得出的單調(diào)性；
（2）由題意可知有兩解，求出的過原點(diǎn)的切線斜率即可得出的范圍，設(shè)，根據(jù)分析法構(gòu)造關(guān)于的不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式恒成立即可，
【詳解】（1）時(shí)，，故，
在上單調(diào)遞增.
（2）關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根,，即有兩不同實(shí)根，，得，
令，，令，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
時(shí)，取得最大值，且，得圖象如圖：.
，則，
即當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)根，，兩根滿足，，
兩式相加得：，兩式相減地，上述兩式相除得，
不妨設(shè)，要證：，只需證：,即證，
設(shè)，令，則，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，且,，即，.
3.（21-22高三·重慶·模擬）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).
(1)求的最值；
(2)證明：.
【答案】(1)，無最小值(2)見解析
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則在內(nèi)必不單調(diào)，得，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最值．
（2）由題意轉(zhuǎn)化為證明，不妨設(shè)，令，只需證明，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可作出證明．
【詳解】（1），有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，∴在內(nèi)必不單調(diào)，故，
令，解得，∴在上單增，上單減，
∴，無最小值．
（2）由題知兩式相減得，即，
故要證，即證，即證，
不妨設(shè)，令，則只需證，設(shè)，則，
設(shè)，則，∴在上單減，∴，∴在上單增，
∴，即在時(shí)恒成立，原不等式得證．
題型九：三零點(diǎn)型不等式證明
三個(gè)零點(diǎn)型不等式證明常見思維，關(guān)鍵是問題的轉(zhuǎn)化．證明不等式問題第一步轉(zhuǎn)化是消元，把三個(gè)根用一個(gè)變量表示，第二步構(gòu)造新函數(shù)，證明的最小值，第三步由導(dǎo)數(shù)求得極小值點(diǎn)的范圍，并對變形，第四步換元，最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于的多項(xiàng)式不等式，問題易于解決．
（廣東省華附、省實(shí)、廣雅、深中2021屆高三上學(xué)期四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）
已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若且，證明：，；
（3）記方程的三個(gè)實(shí)根為，，，若，證明：.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見解析；（3）證明見解析.
【分析】
（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分別解出和即可得出單調(diào)區(qū)間；
（2）易得，不等式轉(zhuǎn)化為，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得在單調(diào)遞增，可化為證，由，可得只需證，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明；
（3）令，則，由（1）可知單調(diào)性，可判斷，可知，，即，，構(gòu)造函數(shù)，可知的兩個(gè)零點(diǎn)為，易知，由可證.
解：（1）的定義域是，，
令，解得或，，，
則由可解得或，由可解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）令，則，
由解得，由解得，
則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，即，
欲證：，，即證：，，
令，則，，，，故在單調(diào)遞增，
，故只需證，，，即，，，，故，
則不等式等價(jià)于，整理得，
令，則，則在單調(diào)遞增，
，即，即，綜上可得：，；
（3）令，則，由（1）可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
由題易知，，故，
因?yàn)?，故存在，使得，由?）可知，，
故，，
令，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
即的兩個(gè)零點(diǎn)為，易知，故，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，.
2.（浙江省舟山中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，
①求的取值范圍；
②求證：．
【答案】（1）（2）① ；②證明見解析【分析】
（1）令，求出，然后判斷單調(diào)性即可求解；
（2）①：由（1）知，時(shí)，，在單調(diào)遞增，不合題意；由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得在和內(nèi)分別有唯一的零點(diǎn)記為，，則，在上單增，在上單減，在上單增，又由函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可得有三個(gè)零點(diǎn)，符合題意；
②：記的三個(gè)零點(diǎn)大小為，即，又，則當(dāng)時(shí)，成立，所以，即，化簡，得，進(jìn)而即可證明.
（1）解：，令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以的最小值為，即函數(shù)的最小值為；
（2）解：①：由（1）知，時(shí)，，在單調(diào)遞增，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，，，
所以在和內(nèi)分別有唯一的零點(diǎn)記為，，則，
所以在上單增，在上單減，在上單增．
易知，1為的一個(gè)零點(diǎn)，，，又，，
所以有三個(gè)零點(diǎn)，符合題意．綜上，．
②證明：不妨記的三個(gè)零點(diǎn)大小為，即．
又，即．
所以當(dāng)時(shí)，成立．即當(dāng)，則，且，又在有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
所以，即．化簡，得，
所以．即．
3.已知，關(guān)于x的方程的不同實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)為k.
（1）求k分別為1，2，3時(shí)，m的相應(yīng)取值范圍；
（2）若方程的三個(gè)不同的根從小到大依次為，求證：.
【答案】（1）時(shí)，；時(shí)，或；時(shí)，；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由于時(shí)，均有且只有一解，因此只要考慮時(shí)，的解的個(gè)數(shù)，由一元二次方程的分布可得；
（2）由（1）知，把用替換，其中，由韋達(dá)定理求得，不等式轉(zhuǎn)化為.構(gòu)造函數(shù)，求得的最小值，求，確定在上有極小值點(diǎn)，然后證明即可．換元設(shè)，不等式轉(zhuǎn)化為，首先，因此只要證明，注意，，證明成立即可．
【詳解】
解：（1）注意到無論m為何實(shí)數(shù)，時(shí)，均有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，只需考慮方程的根的個(gè)數(shù)．
時(shí)，，時(shí)，，
時(shí)，或，則或；時(shí)，，即，此時(shí)，，，滿足題意．
（2）由（1），，注意到，則..
只需證明：.令，即需證明..
則為增函數(shù)，而，，
則在上存在零點(diǎn)，則時(shí)，；時(shí)，.
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，
則
令，只需證明
注意到，只需證明，
，則，令，顯然，，所以成立，所以原不等式成立．
題型十：三角函數(shù)型不等式證明
對于含有三角函數(shù)型不等式證明：
1.證明思路和普通不等式一樣。
2.充分利用正余弦的有界性
1.（河南省開封市杞縣高中2023屆高三文科數(shù)學(xué)第一次摸底試題）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）求得，令，求得，即可求解；
（2）令，求得，令，
分和兩種情況求得函數(shù)的最大值，即可證得.
(1)解：由題意，函數(shù)，可得，
令，即，即，解得，
即在的單調(diào)遞減區(qū)間是.
(2)解：令，可得，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減，
即，所以，
從而在上單調(diào)遞減，即恒成立；
當(dāng)時(shí)，由（1）知，的極大值點(diǎn)滿足，這些極大值點(diǎn)使得的分子值不變，但分母隨x的增大而增大且，
所以當(dāng)時(shí)，，恒成立．
綜上可得，當(dāng)時(shí)，得證．
2.（云南民族大學(xué)附屬中學(xué)2022屆高三高考押題卷二數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)，，其中.
(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，證明：.
【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析
【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）要證，只要證，由于時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值大于零即可
（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2），，即證：，即證：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，令，則在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增綜上所述：，即
3.已知函數(shù)的圖象在原點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)證明：.
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【分析】（1）由原點(diǎn)處的切線方程有，，即可求參數(shù)a、b，進(jìn)而寫出的解析式；
（2）由題設(shè)只需證恒成立，令利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而確定各單調(diào)區(qū)間上的函數(shù)符號(hào)，即可證結(jié)論.
(1)由在原點(diǎn)處的切線方程為且，
∴，， 解得，，∴.
(2)證明：要證，即證，
令，則，，，
令，則，，
當(dāng)時(shí)，，
∴在上是增函數(shù)，，即.
∴在上是增函數(shù)，則.
當(dāng)時(shí)，，，
∴，在上的增函數(shù)，.即，
∴在上單調(diào)遞減，則.當(dāng)時(shí)，.
綜上，在定義域R上恒有，即.
題型十一： 零點(diǎn)與求參
函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．
(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
1.（23-24高三·廣東清遠(yuǎn)·模擬）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，．
(1)設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)為，且在點(diǎn)處的切線相同，若，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
(2)在（1）的條件下，求證：；
(3)若，，函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).
【分析】（1）根據(jù)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，由求解.
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最小值，結(jié)合（1）的信息推理即得.
（3）求出函數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)的意義分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)的的范圍.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)曲線的公共點(diǎn)，
求導(dǎo)得，依題意，，
即，由，得，，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
（2）由（1）知，設(shè)，，
求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在上遞減，在上遞增，
因此，
即當(dāng)時(shí)，，所以.
（3）依題意，，定義域?yàn)椋?br>由，得，令，
由函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，得直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此，而，且當(dāng)時(shí)，恒有，
則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
2.（23-24高三上·西藏林芝·期末）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在處取得極值，不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析(2)(3)
【分析】
（1）求導(dǎo)，然后分和討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先根據(jù)求出，再將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求其最小值即；
（3）將函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，觀察圖象可得答案.
【詳解】（1）由已知，
當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，得，函數(shù)單調(diào)遞增，
令，得，函數(shù)單調(diào)遞減，
綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）若函數(shù)在處取得極值，則，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，
則不等式恒成立即恒成立，
整理得在上恒成立，所以，設(shè)，則，
令，得，單調(diào)遞減，令，得，單調(diào)遞增，
所以，所以；
（3）令，可得，
若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
則函數(shù)和函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)函數(shù)和函數(shù)的圖象相切時(shí)，
因?yàn)楹瘮?shù)和函數(shù)均過點(diǎn)，則為切點(diǎn)，
又，
則切線方程為，故，即
如圖，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
觀察圖象可得：當(dāng)函數(shù)和函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)有且，
即且，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
3.（22-23高三上·福建福州·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）對的方法進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出在點(diǎn)處的切線方程；
（2）對進(jìn)行求導(dǎo)，然后對進(jìn)行分類討論研究圖像，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】（1）時(shí)，，。，，
所以切線方程為，即
（2）當(dāng)時(shí)，∵，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，
從而至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，∵，
∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)需要滿足：解得，所以當(dāng)時(shí)，，滿足在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).
∴a的取值范圍是.
題型十二：三個(gè)零點(diǎn)型求參
1.（23-24高三·湖北省直轄縣級(jí)單位·模擬）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若關(guān)于的方程有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)極大值，極小值；(2)
【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用，解方程組即可得解析式；
對函數(shù)求導(dǎo)，令，并解導(dǎo)數(shù)不等式，分類討論即可得答案；
（2）作出函數(shù)的圖象，直線與函數(shù)圖象需有3個(gè)交點(diǎn)，即可得答案；
【詳解】（1），由題意知，解得，
故所求的解析式為；，
令，得或，列表如下：
當(dāng)時(shí)，有極大值，當(dāng)時(shí)，有極小值；
（2）由（1）知，得到當(dāng)或時(shí)，為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，∴函數(shù)的圖象大致如圖，
由圖可知當(dāng)時(shí)，與有三個(gè)交點(diǎn)，有三個(gè)零點(diǎn)，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
2.（23-24高三·云南玉溪·模擬）設(shè)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在處的切線方程后結(jié)合其過的點(diǎn)可求實(shí)數(shù)的值.
（2）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由，得，且.
令，則，
所以曲線在處的切線方程為.代入解得.
（2）由（1）知，令，解得或，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，
由此可知在處取得極大值，在處取得極小值，
因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即方程有三個(gè)根，
而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，
故，所以.
3.（2022高三·河南南陽·專題練習(xí)）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若關(guān)于的方程有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用，解方程即可得答案；
（2）作出函數(shù)的圖象，直線與函數(shù)圖象需有3個(gè)交點(diǎn)，即可得答案.
【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值，
所以，解得，得到解析式為，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以所求函數(shù)解析式為.
（2）由（1）可知
令，得或
當(dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下表：
因此，當(dāng)時(shí)，有極大值，當(dāng)時(shí)，有極小值，所以大致圖象如圖所示，
又因?yàn)橛腥齻€(gè)零點(diǎn)，即有三個(gè)實(shí)數(shù)解，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
題型十三：恒成立求參：三角函數(shù)型
不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集 ．
1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得，即，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)求出即可；
（2）由題意，當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有．令，利用二階求導(dǎo)討論函數(shù)的性質(zhì)，求出、即可.
【詳解】（1）由題意知，即．令，則．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
從而，故．
（2）由題意知．當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有．
令，則．令，則．
∵，∴，故，因此單調(diào)遞減，
從而，因此單調(diào)遞增，從而，，
由，解得；由，解得．綜上：．
2.（2023·河南洛陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求的最值；
(2)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)最小值為，無最大值。(2)
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義域，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求解函數(shù)的最值；
（2）首先化簡不等式，轉(zhuǎn)化為不等式，再參變分離為對任意的恒成立，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的最值問題，即可求解.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，無最大值．
（2）當(dāng)時(shí)，不等式，
即對任意的恒成立，令，
則，當(dāng)時(shí)，，則，則，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增，則．
當(dāng)時(shí)，，令，
則，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，
且，，
由零點(diǎn)存在性定理知，，使得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，
因?yàn)椋?，即，又，所以，又，所以?br>所以，所以單調(diào)遞減，所以．
綜上，，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是
3.（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)校考期中）已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，判斷當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，在恒成立，求的最大值.
【答案】(1)在上單調(diào)遞增(2)
【分析】（1）根據(jù)切線求得，然后利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.
（2）利用分離常數(shù)法化簡不等式，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍，進(jìn)而求得的最大值.
【詳解】（1），，
若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，，不等式，即，
試題在區(qū)間上恒成立.設(shè)，，
，所以在上單調(diào)遞增，
，所以存在，使得，
所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，
，
，所以，而，所以，所以的最大值為.
題型十四：恒成立求參：整數(shù)解型
解決不等式恒成立問題，常用方法有：
將原不等式變形整理，分離參數(shù)，繼而構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題解決；
（2）直接構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)的最值，使得最小值恒大于(或大于等于)0或恒小于（或小于等于）0，解不等式即可.
1.（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.
(1)若在不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若在恒成立，求實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值.
【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意可知在有變號(hào)零點(diǎn)，由此結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可求得答案；
（2）法一：采用分離參數(shù)法，將原不等式變?yōu)榧礊樵诤愠闪ⅲ瑯?gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，即可求得答案；
法二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求得函數(shù)最小值，結(jié)合解不等式即可求得答案.
【詳解】（1）；
因?yàn)樵诓皇菃握{(diào)函數(shù)，所以在有變號(hào)零點(diǎn)；
因?yàn)楹愠闪?，令，則在有變號(hào)零點(diǎn)；
因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增，
因?yàn)?，?dāng)?shù)闹第吔裏o限大時(shí)，趨近于正無限大，a為待定的參數(shù)，
故趨近于正無限大，故只需，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）（法一）令，因?yàn)樵诤愠闪?，所以在單調(diào)遞減，
所以，所以在恒成立，即為在恒成立，
令，則
，令，則在恒成立，
所以在單調(diào)遞減；因?yàn)椋?br>所以有唯一零點(diǎn)，且
當(dāng)時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞減；
所以；所以實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值為.
（法二）由（1）得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以成立.當(dāng)時(shí)，存在，使得
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
所以，
令得；解之得.綜上，，
所以實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值為.
2.（2023下·天津?yàn)I海新·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.
(1)若，求m的值及函數(shù)的極值；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性：
(3)若對定義域內(nèi)的任意x，都有恒成立，求整數(shù)m的最小值.
【答案】(1)，極大值為，無極小值(2)答案見解析(3)1
【分析】（1）由可求出，然后對函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值；
（2）對函數(shù)求導(dǎo)后，分和兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）方法一：將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出后得，再構(gòu)造函數(shù)，對其求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，從而可求出的單調(diào)區(qū)間，求出其最大值，進(jìn)而可求出整數(shù)m的最小值；方法二：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，有最大值，則將問題轉(zhuǎn)化為需要即可，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)?，，則，解得.
當(dāng)時(shí)，，.
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
所以在時(shí)取得極大值且極大值為，無極小值．
（2）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
（3）解法一：若對定義域內(nèi)的任意x，都有恒成立，
所以，即在上恒成立，
即在上恒成立，設(shè)，則.
設(shè)，則所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，，所以，使得，?
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
因?yàn)椋怨收麛?shù)m的最小值為1
解法二：若對定義域內(nèi)的任意x，都有恒成立，
由（2）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，顯然不符合對定義域內(nèi)的任意x，都有恒成立
由（2）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以有最大值.
若對定義域內(nèi)的任意x，都有恒成立，只需要即可.
設(shè)，顯然在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，?br>所以要使，只需要整數(shù)，故整數(shù)m的最小值為1
3.（2023下·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，
(1)若，求的圖象在處的切線方程；
(2)若對任意的恒成立，求整數(shù)a的最小值；
(3)求證，
【答案】(1)。(2)1(3)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)得切線斜率，由點(diǎn)斜式即可求解直線方程，
（2）根據(jù)恒成立將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求解，
（3）由（2）的結(jié)論可得，即可由求和關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
，
所以的圖象在處的切線方程為，
（2）由可得對任意的恒成立，
記則，
由于均為的單調(diào)減函數(shù)，故在單調(diào)遞減，
且
所以存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，即，
當(dāng)單調(diào)遞增，
當(dāng)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取極大值也是最大值，，
由于均為的單調(diào)遞增，且均為正，故單調(diào)遞增，
因此，所以，
當(dāng)時(shí)，現(xiàn)證明，
設(shè)，
則當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)，故
當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以，故，
由于，所以，
所以綜上可知，故
所以整數(shù)a的最小值為1
（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，恒成立，即對任意的恒成立，
取，則，所以，
因此
4.（2023下·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)．
(1)若，求的極值；
(2)討論的單調(diào)性；
(3)若對任意，有恒成立，求整數(shù)m的最小值．
【答案】(1)極大值為，無極小值．(2)分類討論，答案見解析.(3)1
【分析】（1）求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，然后可得；
（2）求導(dǎo)，分，討論可得；
（3）參變分離，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題，記，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值所在區(qū)間可得.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>當(dāng) 時(shí)，，令，解得
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減．
所以在時(shí)取得極大值為，無極小值．
（2）因?yàn)?br>當(dāng)時(shí)，在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（3）因?yàn)閷θ我?，恒成立，所以在上恒成立?br>即在上恒成立．設(shè)，則．
設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，，所以，使得，即?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．
因?yàn)?，所以，故整?shù)的最小值為1．
題型十五：能成立求參：雙變量型
恒（能）成立問題的解法：
若在區(qū)間D上有最值，則
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
1.（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，．
(1)求的極值；
(2)若存在，對任意的，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（）
【答案】(1)極大值，極小值為(2)
【分析】（1）求出，令，得或，再列出的變化關(guān)系表，根據(jù)表格和極值的概念可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）求出在上的最小值為，則將若存在，對任意的，使得不等式成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，，轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求出代入可得解
【詳解】（1）由，
得,
令，得或，
的變化關(guān)系如下表：
由表可知，當(dāng)時(shí)，取得極大值，為，當(dāng)時(shí)，取得極小值，為.
（2）由（1）知，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，
于是若存在，對任意的，使得不等式成立，則在上恒成立，即在上恒成立，令，，則，
，因?yàn)椋?，?br>因?yàn)?，所以，所以?br>所以單調(diào)遞減，故，
于是，得，又，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
2.（2023上·山東濟(jì)寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)若直線是曲線的一條切線，求的值；
(2)若對于任意的，都存在，使成立，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】(1) 直線是曲線的一條切線,根據(jù)切點(diǎn)在切線和原函數(shù)上，斜率是切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)列式求的值即可；
(2) 把任意的，都存在，使成立轉(zhuǎn)化，在參數(shù)分離轉(zhuǎn)化為恒成立,構(gòu)造函數(shù) ，求出，進(jìn)而求出 的取值范圍.
【詳解】（1）由得,
設(shè)直線 與曲線的切點(diǎn)為,則， 解得因此的值為.
（2）由得
設(shè)，則 ,因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)樗源嬖?，使 ,
且當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；
從而 ，且當(dāng) 時(shí)， ；
當(dāng) 時(shí)， ,所以函數(shù) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此 ,由，得從而 ,
所以由對于任意的，都存在，使 成立，
得對于任意的，都有 ,即不等式在上恒成立，
即不等式 在上恒成立.設(shè) ，則
因?yàn)?，當(dāng) 時(shí)，;當(dāng) 時(shí)，;
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以 ，因此 ,
故 的取值范圍為.
3.（2023上·北京·高三北京市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)若存在，使得，求a的取值范圍．
【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng) 時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為(3)
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出曲線在點(diǎn)處切線的斜率，然后求解切線的方程即可；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況討論即可得到單調(diào)區(qū)間；
（3）將題中條件轉(zhuǎn)化為若，使得成立，再結(jié)合函數(shù)放縮得到若，使得成立，再根據(jù)（2）中的單調(diào)情況可知為與中的較大者，從而得到當(dāng)或即可滿足題意，進(jìn)而求解即可．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，得，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
（2）由，則，當(dāng)時(shí)， 恒成立，此時(shí)在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，解得，此時(shí)與的變化情況如下：
由上表可知，的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
綜上，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為．
（3）將在區(qū)間上的最大值記為，最小值記為，因?yàn)榇嬖?，使得?br>所以，使得成立，即或，當(dāng)時(shí)，，
若，使得成立，只需，由（2）可知在區(qū)間上單調(diào)或先減后增，
故為與中的較大者，所以只需當(dāng)或即可滿足題意，
即只需或，解得或 ，
綜上所述，的取值范圍是．
極大值
極小值
＋
－
＋
↗
↘
↗
3
＋
0
－
0
＋
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
-
0
+
↘
極小值
↗

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