知識(shí)點(diǎn)1 正、余弦定理及應(yīng)用
1、正、余弦定理與變形
【注意】若已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，可用正弦定理．在根據(jù)另一邊所對(duì)角的正弦值確定角的值時(shí)，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意結(jié)合“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊”及三角形內(nèi)角和定理去考慮問(wèn)題．
2、解三角形中的常用結(jié)論
（1）三角形內(nèi)角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2).
（2）三角形中的三角函數(shù)關(guān)系
= 1 \* GB3 ①sin(A＋B)＝sin C； = 2 \* GB3 ②cs(A＋B)＝－cs C； = 3 \* GB3 ③sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)； = 4 \* GB3 ④cs eq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
（3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；b＝acs C＋ccs A；c＝bcs A＋acs B.
（4）三角形中的大角對(duì)大邊：在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B.
3、三角形常用面積公式
（1）S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)；
（2）S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A；
（3）S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑)．
知識(shí)點(diǎn)2 解三角形的實(shí)際應(yīng)用
【注意】（1）方位角和方向角本質(zhì)上是一樣的，方向角是方位角的一種表達(dá)形式，是同一問(wèn)題中對(duì)角的不同描述．
（2）將三角形的解還原為實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意實(shí)際問(wèn)題中的單位、近似值要求，同時(shí)還要注意所求的結(jié)果是否符合實(shí)際情況．
重難點(diǎn)01 解三角形中的最值范圍問(wèn)題
1、三角形中的最值、范圍問(wèn)題的解題策略
（1）定基本量：根據(jù)題意或幾何圖形厘清三角形中邊、角的關(guān)系，利用正、余弦定理求出相關(guān)的邊、角或邊角關(guān)系，并選擇相關(guān)的邊、角作為基本量，確定基本量的范圍．
（2）構(gòu)建函數(shù)：根據(jù)正、余弦定理或三角恒等變換將待求范圍的變量用關(guān)于基本量的函數(shù)解析式表示．
（3）求最值：利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求最值．
2、求解三角形中的最值、范圍問(wèn)題的注意點(diǎn)
（1）涉及求范圍的問(wèn)題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進(jìn)行求解，已知邊的范圍求角的范圍時(shí)可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
（2）注意題目中的隱含條件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大邊對(duì)大角等．
類(lèi)型1 角或三角函數(shù)值的最值范圍
【典例1】（23-24高三下·山西·模擬預(yù)測(cè)）鈍角中，角的對(duì)邊分別為，，，若，則的最大值是 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?br>又因?yàn)?，可得，所以，則或.
當(dāng)時(shí)，可得，與是鈍角三角形矛盾，所以，
由，則，可得，
所以
，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.
【典例2】（23-24高三下·福建廈門(mén)·三模）記銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】因?yàn)?，所以?br>由余弦定理可得：，
可得，在銳角中，由余弦定理可得：
，
因?yàn)椋?，即，所以?br>所以，所以.
類(lèi)型2 邊或周長(zhǎng)的最值范圍
【典例1】（23-24高三下·江蘇·月考）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知
（1）若求的大小；
（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由題意，在中，，
由余弦定理得，
∴，，
∵，
∴，
或（舍），
∵，，．
（2）由題意及（1）得，在中，，
由正弦定理得，，
為銳角三角形，
解得：，
，
∴的取值范圍為．
【典例2】（23-24高三下·安徽淮北·二模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知
（1）試判斷的形狀；
（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.
【答案】（1）是直角三角形；（2）
【解析】（1）由，可得，所以，
即，所以，
又由余弦定理得，可得，所以，
所以是直角三角形
（2）由（1）知，是直角三角形，且，可得，
所以周長(zhǎng)為，
因?yàn)?，可得?br>所以，當(dāng)時(shí)，即為等腰直角三角形，周長(zhǎng)有最大值為.
類(lèi)型3 三角形面積的最值范圍
【典例1】（23-24高三下·廣東茂名·一模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且.
（1）求的大?。?br>（2）若是邊的中點(diǎn)，且，求面積的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，，
由正弦定理可得，
，，
，，，即，即；
（2）依題意，，
，，，
即，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即，面積的最大值為.
【典例2】（23-24高三下·湖北武漢·二模）在中，角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）求；
（2）已知，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，
由正弦定理得，
，即，
所以，
∵，∴，∴，
∵，∴；
（2）由正弦定理，得，
∴
，
又∵，為銳角，∴的最大值為，
∴的最大值為.
重難點(diǎn)02 解三角形角平分線(xiàn)的應(yīng)用
如圖，在?ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所對(duì)的邊分別問(wèn)a，b，c
（1）利用角度的倍數(shù)關(guān)系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD
（2）內(nèi)角平分線(xiàn)定理：AD為?ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線(xiàn)，則ABAC=BDDC.
說(shuō)明：三角形內(nèi)角平分線(xiàn)性質(zhì)定理將分對(duì)邊所成的線(xiàn)段比轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu)，就可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類(lèi)問(wèn)題，運(yùn)用向量知識(shí)解決起來(lái)都較為簡(jiǎn)捷。
（3）等面積法：因?yàn)镾?ABD+S?ACD=S?ABC，所以12c?ADsinA2+12b?ADsinA2=12bcsinA，
所以b+cAD=2bc csA2，整理的：AD=2bccsA2b+c（角平分線(xiàn)長(zhǎng)公式）
【典例1】（23-24高三下·江西·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其外接圓的半徑為，且．
（1）求角；
（2）若的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，，求的面積．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
即，
，故，
，即，
又，則．
（2）由（1）可知，，又外接圓的半徑為；
由正弦定理可知，所以，
因?yàn)槭堑钠椒志€(xiàn)，故，
又，由，
可得，即．①
由余弦定理可知，，即．②
由①②可知．所以，
又，則，
所以.
【典例2】（23-24高三下·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
（1）求證：；
（2）若的角平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，且，，求BD的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【解析】（1）在中，由余弦定理及，
得，即，
由正弦定理，得，
即，
由，得，則，
因此，即，則，
所以．
（2）由，得，由，得．
在，中，由正弦定理，得，
則，解得，從而，
又，
由余弦定理，得，解得，
所以BD的長(zhǎng)為.
重難點(diǎn)03 解三角形中線(xiàn)的應(yīng)用
1、中線(xiàn)長(zhǎng)定理：在?ABC中，AD是邊BC上的中線(xiàn)，則AB2+AC2=2(BD2+AD2)
【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中
2、向量法：AD2=14b2+c2+2bccsA
【點(diǎn)睛】適用于已知中線(xiàn)求面積（已知BDCD的值也適用）.
【典例1】（23-24高三下·山西·三模）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為已知的外接圓半徑是邊的中點(diǎn)，則長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由的外接圓半徑，得，
由和得，
又，解得，所以.
因?yàn)橹?，是邊的中點(diǎn)，所以,
于是
.故選：D.
【典例2】（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·三模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且邊上中線(xiàn)長(zhǎng)為1，則最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意得，所以，
又，且D是的中點(diǎn)，所以，
在中，，
在中，，
所以，
即，得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故選：A
一、利用正、余弦定理求解三角形的邊角問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：
1、選定理.
（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；
（2）已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊所對(duì)的角，利用正弦定理；
（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；
（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；
（5）已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求另一邊，利用余弦定理；
2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，則式子一般比較復(fù)雜，要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡(jiǎn).
3、得結(jié)論：利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)（如大邊對(duì)大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等），并注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等。
【典例1】（23-24高三下·浙江金華·三模）在中，角的對(duì)邊分別為，，.若，，，則為（ ）
A．1B．2C．3D．1或3
【答案】C
【解析】由余弦定理得,
即，即，解得或（舍）.故選：C.
【典例2】（23-24高三下·江蘇·二模）設(shè)鈍角三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，，，則 .
【答案】
【解析】由余弦定理得，，
而由，得，
因?yàn)槭氢g角三角形，且，故A為銳角，所以，
所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，即，，由大邊對(duì)大角得：最大角為C，
，故C為銳角，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，即，，由大邊對(duì)大角得：最大角為B，
，故B是鈍角，符合題意.
【典例3】（23-24高三下·廣東江門(mén)·二模）是內(nèi)一點(diǎn)，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)，因?yàn)椋裕?br>在中，由正弦定理可得，
則，即，
即，解得．故選：D
二、判定三角形形狀的兩種常用途徑
1、角化邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過(guò)代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；
2、邊化角：通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷
【典例1】（23-24高三下·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為 .
【答案】等腰三角形或直角三角形.
【解析】因?yàn)?，可得?br>由正弦定理和余弦定理，可得，
整理得，即，
即，可得，
所以或，所以是等腰三角形或直角三角形.
【典例2】（23-24高三下·河北秦皇島·三模）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則（ ）
A．為直角三角形B．為銳角三角形
C．為鈍角三角形D．的形狀無(wú)法確定
【答案】A
【解析】由，可得，
則，
，
，
即，
由，故只能為銳角，可得，
因?yàn)椋裕?故選：A.
三、三角形的面積及應(yīng)用
1、三角形面積公式的使用原則：對(duì)于面積公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是使用哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式；
2、與面積有關(guān)的問(wèn)題：一般要用到正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化；
3、三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=(a+b)2-2ab將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩邊之和的問(wèn)題。
【典例1】（23-24高三下·重慶·三模）（多選）在中，角的對(duì)邊為若，則的面積可以是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】AC
【解析】由余弦定理得:，
即或4，故面積或.故選：AC.
【典例2】（23-24高三下·福建莆田·三模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
（1）證明：.
（2）若，，求的面積.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）或
【解析】（1）根據(jù)正弦定理知，
整理得，
因?yàn)椋裕?br>由正弦定理可得；
（2）因?yàn)椋裕?br>由余弦定理可得，即，
則，
因?yàn)?，所以，所以?br>則，即，解得或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的面積，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的面積.
所以的面積為或.
四、利用正弦定理解三角形的外接圓
利用正弦定理：可求解三角形外接圓的半徑。
若要求三角形外接圓半徑的范圍，一般將用含角的式子表示，再通過(guò)三角函數(shù)的范圍來(lái)求半徑的范圍。
【典例1】（23-24高三下·云南·月考）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，記的面積為，已知，，，求外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑之比為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋裕?br>即，
由余弦定理，得，
，，
在三角形中，則或(舍)，故，
由余弦定理，，所以，
由正弦定理，，則，
因?yàn)椋?br>所以，所以.故選：B.
【典例2】（23-24高三下·河南·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，且.
（1）求；
（2）如圖所示，為平面上一點(diǎn)，與構(gòu)成一個(gè)四邊形，且，若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理得，，
所以，
所以，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所?
（2）在中，由余弦定理得，，
因?yàn)椋?br>所以四邊形存在一個(gè)外接圓，
所以圓的直徑為，
因?yàn)?，即，?dāng)AD為圓O直徑時(shí)取等號(hào)，
故的最大值為.
五、利用解三角形解決測(cè)量距離問(wèn)題
1、解決方法：選擇合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而利用正、余弦定理求解。
2、求距離問(wèn)題的注意事項(xiàng)
（1）選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的量．
（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．
【典例1】（23-24高三下·吉林·二模）如圖，位于某海域處的甲船獲悉，在其北偏東 方向處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救. 甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東，且與甲船相距的處的乙船，已知遇險(xiǎn)漁船在乙船的正東方向，那么乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意知，，
由正弦定理得，
所以.
故乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)需要航行的距離為.故選：B.
【典例2】（23-24高三上·廣東廣州·月考）如圖，、兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且、兩點(diǎn)均不可到達(dá)．現(xiàn)需測(cè)、兩點(diǎn)間的距離，測(cè)量者在河對(duì)岸選定兩點(diǎn)、，測(cè)得，同時(shí)在、兩點(diǎn)分別測(cè)得，，，則、兩點(diǎn)間的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
是等邊三角形，；
中，，，，
由正弦定理得，，
，，
中，由余弦定理得，
，即、兩點(diǎn)間的距離為．故選：D．
六、求解高度問(wèn)題應(yīng)注意的三個(gè)問(wèn)題
1、要理解仰角、俯角的定義；
2、在實(shí)際問(wèn)題中可能遇到空間與平面（底面）同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形；
3、注意山或塔垂直于底面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題。
【典例1】（23-24高三下·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）海寶塔位于銀川市興慶區(qū)，始建于北朝晚期，是一座方形樓閣式磚塔，內(nèi)有木梯可盤(pán)旋登至頂層，極目遠(yuǎn)眺，巍巍賀蘭山，綿綿黃河水，塞上江南景色盡收眼底.如圖所示，為了測(cè)量海寶塔的高度，某同學(xué)（身高173cm）在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，然后沿點(diǎn)向塔的正前方走了38m到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，?jù)此可估計(jì)海寶塔的高度約為 m.（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）

【答案】
【解析】如圖，設(shè)海寶塔塔底中心為點(diǎn)，與交于點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
由題意知，m，m，
所以，則，
在中，m，
又是的外角，即有，
所以，
在中，m，設(shè)m，則m，
在中，由勾股定理得，
即，整理得，解得或（舍），
所以m，所以m，
即海寶塔的高度為m.
【典例2】（23-24高三下·廣東湛江·二模）財(cái)富匯大廈坐落在廣東省湛江市經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)，是湛江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)的標(biāo)志性建筑，同時(shí)也是已建成的粵西第一高樓.為測(cè)量財(cái)富匯大廈的高度，小張選取了大廈的一個(gè)最高點(diǎn)A，點(diǎn)A在大廈底部的射影為點(diǎn)O，兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)B、C與O在同一水平面上，他測(cè)得米，，在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為（），在點(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°，則財(cái)富匯大廈的高度 米.
【答案】204
【解析】設(shè)米，因?yàn)樵邳c(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為，所以，所以.
因?yàn)樵邳c(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°，所以米.
由余弦定理，可得，
即，解得.

易錯(cuò)點(diǎn)1 利用正弦定理解三角形時(shí)，若已知三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，易忽視三角形解的個(gè)數(shù)。
點(diǎn)撥：正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個(gè)重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，正弦定理能夠解決兩類(lèi)問(wèn)題（1）已知兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時(shí)有且只有一解。（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其它的邊和角,這是由于正弦函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)，此時(shí)三角形解的情況可能是無(wú)解、一解、兩解，可通過(guò)幾何法來(lái)作出判斷三角形解的個(gè)數(shù)。
【典例1】（23-24高三上·河北正定·月考）在中，已知，，則角B等于（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】A
【解析】，由正弦定理可得，，
由可得，，則故選：A
【典例2】（23-24高三上·安徽·月考）（多選）在中，角所對(duì)的邊分別為，那么在下列給出的各組條件中，能確定三角形有唯一解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】BD
【解析】選項(xiàng)A，點(diǎn)A到邊BC的距離是1，∵，∴三角形有兩解；
選項(xiàng)B，點(diǎn)A到邊BC的距離是2與b相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；
選項(xiàng)C，點(diǎn)A到邊BC的距離是，三角形無(wú)解；
選項(xiàng)D，根據(jù)已知可解出，，
∴三角形有唯一解.故選：BD.
易錯(cuò)點(diǎn)2 解三角形時(shí)，在中忽視的解
點(diǎn)撥：解題時(shí)容易習(xí)慣性約去相同的項(xiàng)，沒(méi)有注意到約分的條件，當(dāng)此時(shí)，可以左右兩邊約去，從而造成漏解，所以考生在平時(shí)解題養(yǎng)成習(xí)慣，什么時(shí)候可以約，要牢記。
【典例1】（23-24高三下·山東·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則 ．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?，所以?br>即，由正弦定理可得，
所以，所以，
所以，
即，
因?yàn)椋?，所?
【典例2】（23-24高三下·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且，的面積為，則（ ）
A．4B．C．4或D．或
【答案】C
【解析】由及余弦定理得．
若，則，，故，，
所以，所以．
若，則，，
由正弦定理得．
因?yàn)椋?，?br>所以，，，
所以，
，
所以，所以，解得．
綜上，或．故選：C．
易錯(cuò)點(diǎn)3 忽視對(duì)角的討論
點(diǎn)撥：當(dāng)解題過(guò)程中出現(xiàn)類(lèi)似于sin2A=sin2B這樣的情況要注意結(jié)合三角形內(nèi)角范圍進(jìn)行討論，另外當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)銳角三角形時(shí)一定要注意條件之間的相互“限制”。
【典例1】（23-24高三下·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以?br>由正弦定理得，即，
又，所以，
所以，即，
所以或（舍去），所以，
又，解得，
所以，所以，
即的取值范圍為．故選:D．
【典例2】（23-24高三下·重慶·月考）銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）求；
（2）若邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為，求的面積.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，
又，
所以，所以，
所以或，
若，則，與為銳角三角形矛盾，舍去，
從而，則，
又，所以.
（2）由余弦定理，得，即①，
設(shè)的中點(diǎn)為，則，兩邊同時(shí)平方可得：，
即：，即：②，
由①可得：，
于是：的面積.
易錯(cuò)點(diǎn)4 忽視解三角形時(shí)使用正弦定理邊角互化，要注意是否使用齊次式，能否消去2R
點(diǎn)撥：使用正弦定理進(jìn)行邊角互化時(shí)要注意只有齊次式才可以消掉2R，若非齊次式要注意只能將齊次部分消去2R，或者使用其他方式進(jìn)行邊角互化。
【典例1】（23-24高三下·廣東廣州·月考）在中，分別為角的對(duì)邊，若，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】,
所以，設(shè)外接圓的半徑為，
由正弦定理可得：
.故選：D.
【典例2】（23-24高三下·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）在銳角三角形中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則 ．
【答案】
【解析】由，
得，
，
即，整理得，
由余弦定理，所以，
又，且，可得，
解得或（舍），
因?yàn)椋裕?br>易錯(cuò)點(diǎn)5 實(shí)際問(wèn)題中題意不明致誤
點(diǎn)撥：實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用中有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)也是容易忽視和混淆的。要注意理解仰角、俯角、方向角、方位角、坡度的具體含義。
【典例1】（23-24高三上·山東煙臺(tái)·期中）某數(shù)學(xué)興趣小組欲測(cè)量一下校內(nèi)旗桿頂部M和教學(xué)樓M?頂部N之間的距離，已知旗桿AM高15m，教學(xué)樓BN高21m，在與A,B同一水平面C處測(cè)得的旗桿頂部M的仰角為，教學(xué)樓頂部N的仰角為，，則M,N之間的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
在中，，∴，
在中，
∴，
在中，，
由余弦定理得，
，
∴,
在Rt中，，
由勾股定理得，,故選：D.
【典例2】（23-24高三下·山東臨沂·一模）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺(tái)，在的正東方.某次演習(xí)時(shí)，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀(guān)測(cè)回報(bào)兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)，則炮臺(tái)與彈著點(diǎn)的距離為（ ）
A．7公里B．8公里C．9公里D．10公里
【答案】D
【解析】依題意設(shè)炮彈第一次命中點(diǎn)為，則，，
，，
在中，
即，解得，
所以，
又為銳角，解得（負(fù)值舍去），
在中，定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
變形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝2R
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
名稱(chēng)
意義
圖形表示
仰角與俯角
在目標(biāo)視線(xiàn)與水平視線(xiàn)所成的角中，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)eq \a\vs4\al(上)方的叫做仰角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)eq \a\vs4\al(下)方的叫做俯角
方位角
從某點(diǎn)的指eq \a\vs4\al(北)方向線(xiàn)起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線(xiàn)之間的夾角叫做方位角，方位角θ的范圍是0°≤θ

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