一般地,如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值與最小值．
求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟
(1)求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；
(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b)；
(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值．
【例1】（2024屆山西省晉中市平遙縣高三沖刺調(diào)研）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，令，，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，且，
，
所以由零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間存在唯一的，使
又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋?br>，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.
（2）函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，證明如下：
函數(shù)，，則，
若，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，
，
結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
若，則，，則，
若，因?yàn)?，所以?br>綜上，函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
(二) 求函數(shù)在非閉區(qū)間上的最值
求函數(shù)在非閉區(qū)間上的最值,一般通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值來(lái)確定,若函數(shù)在某一區(qū)間上有唯一極值點(diǎn),則該點(diǎn)處的極值一定是函數(shù)的最值.
【例2】（2024屆青海省部分學(xué)校高三下學(xué)期協(xié)作考試模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）.
(1)當(dāng)時(shí)，求的最值；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，，都有.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，
易知在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以有最小值，無(wú)最大值.
（2）證明：.令，則，
所以在上單調(diào)遞增.
又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
即當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以，.
令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，且，
即且，
即對(duì)任意的，，都有.
(三) 含單參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題
含單參數(shù)的函數(shù)的最值一般不通過(guò)比值求解,而是先討論函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性求出最值．含參函數(shù)在區(qū)間上的最值通常有兩類：一是動(dòng)極值點(diǎn)定區(qū)間,二是定極值點(diǎn)動(dòng)區(qū)間,這兩類問(wèn)題一般根據(jù)區(qū)間與極值點(diǎn)的位置關(guān)系來(lái)分類討論．
【例3】（2024屆廣東省東莞中學(xué)、廣州二中等高三下學(xué)期六校聯(lián)考）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【解析】（1）的定義域?yàn)?，
求導(dǎo)數(shù)，得 ，
若，則，此時(shí)在上單調(diào)遞增，
若，則由得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)， ，在上單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)，的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間，
若，減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，
函數(shù)的最大值為，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，
函數(shù)的最大值為，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
函數(shù)的最大值為，
由，得，
若時(shí)，函數(shù)的最大值為，
若時(shí)，函數(shù)的最大值為，
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為.
(四) 把不等式恒成立或有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題
有些不等式恒成立或有解問(wèn)題,常通過(guò)分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題,常用結(jié)論是：若的值域?yàn)?則恒成立,有解.
【例4】（2024屆湖南省岳陽(yáng)市湘陰縣第一中學(xué)高三下學(xué)期期中）已知函數(shù)（為常數(shù)），是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；
(3)求證：.
【解析】（1）由題意得：，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，
所以，解得：，
則，
令，則，令，則，
所以是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，
所以；
（2）由（1）得，定義域?yàn)椋?br>所以問(wèn)題等價(jià)于在上恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，，則，
令，，則，
所以時(shí)，，在遞增，
所以，所以，
所以在遞增，
所以，所以，
所以實(shí)數(shù)的最大值為2；
（3）由（2）得：時(shí)，，即，
整理得，
令，則，即，
時(shí)，，時(shí)，，
…，
時(shí)，，
將以上不等式兩端分別相加得：
，
即.
(五) 含雙參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題
含雙參數(shù)的函數(shù)的最值一般與恒成立問(wèn)題有關(guān)，通常是先通過(guò)函數(shù)的最值把問(wèn)題兩個(gè)參數(shù)的等式或不等式，再把其中一個(gè)參數(shù)看作自變量，構(gòu)造函數(shù)求解．
【例5】（2023屆河南省安陽(yáng)市高三上學(xué)期名校調(diào)研）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，若，求b的最小值．
【解析】 (1)當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令有，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)時(shí)，由（1）若，則有解即可，即有解，即有解，設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故，故當(dāng).故b的最小值為
(六) 根據(jù)恒成立,求整數(shù)a的最大值
根據(jù)恒成立,求整數(shù)a的最大值,通常情況是有最小值,但無(wú)法求出,這種情況下一般設(shè)出函數(shù)的極值點(diǎn),把最小值轉(zhuǎn)化為關(guān)于極值點(diǎn)的式子,根據(jù)極值所在范圍,確定最小值的大致范圍,由此確定整數(shù)a的最大值.
【例6】（2024屆山東省日照市高三下學(xué)期三模）已知函數(shù)，，.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)，，求正整數(shù)的最大值.
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
①當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)，時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立，
設(shè)，，則，
當(dāng)時(shí)，有，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，
則存在唯一的，使得，即，
當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋?
所以正整數(shù)的最大值是3.
【例1】（2024屆湖南省岳陽(yáng)市汨羅市高三下學(xué)期5月月考）函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的最大值；
(2)若在恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>可知的定義域?yàn)?，且?br>由，解得；由，解得．
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的最大值為．
（2）因?yàn)樵诤愠闪ⅲ?br>等價(jià)于在恒成立．
設(shè)，，
則，
當(dāng)時(shí)，則，且，可得，
所以；
當(dāng)時(shí)，則，
設(shè)，則，
可知在遞增，且．
則，使得．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
可知函數(shù)在遞增，在遞減，在遞增．
由，得，且．
可得，
且，則，
又因?yàn)椋芍?dāng)時(shí)，，
所以的取值范圍是．
【例2】（2024屆云南省昆明市第一中學(xué)高三考前適應(yīng)性訓(xùn)練）已知函數(shù)，．
(1)求的最小值；
(2)證明：．
【解析】（1）的定義域?yàn)?，?br>令解得，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為增函數(shù)，
故當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
故，故．
（2），，則，
故當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減；
故．
又因?yàn)椋裕ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”），
所以．
【例3】（2024屆河南省信陽(yáng)市高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期三模）已知函數(shù)
(1)若恒成立，求a的值；
(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，求a的取值范圍.
【解析】（1），
①當(dāng)時(shí)，，不符合題意.
②當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值；
若恒成立，則，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，即的解為.
所以.
（2）當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，不妨設(shè)，
若，則，不符合題意；
若，則，
由（2）可知，只需，即，解得，
即a的取值范圍為.
【例4】（2024屆廣東省廣州市高中畢業(yè)班沖刺訓(xùn)練二）已知函數(shù)（）.
(1)求在區(qū)間上的最大值與最小值；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：.
【解析】（1）解：（）（），
令，則，
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，.
當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
而，.所以
綜上所述，當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，所以，.
（2）方法一：隱零點(diǎn)法
因?yàn)椋?，所以，欲證，只需證明，
設(shè)，（），，
令，易知在上單調(diào)遞增，
而，，
所以由零點(diǎn)的存在性定理可知，存在唯一的使得，
即，因此，，
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增；
所以
所以，因此.
方法二：（同構(gòu)）
因?yàn)?，，所以，欲證，只需證明，
只需證明，
因此構(gòu)造函數(shù)（），
，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增：
所以，所以，
所以，
因此.
【例5】（2024屆江蘇省宿遷市高三下學(xué)期三模）已知函數(shù)．
(1)若曲線在處的切線的方程為，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，
由曲線在處的切線的方程為，得，
所以，
設(shè)，，
所以函數(shù)是上的遞增函數(shù)，又，
所以方程有唯一解，
所以，，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，代入直線方程得．
（2），定義域?yàn)椋?br>，
設(shè)，所以，
所以在上遞減，又，，
所以當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)遞減，
所以函數(shù)的最大值 ，
又，
所以，
所以，
因?yàn)楹愠闪?，即恒成立?br>設(shè)，則，所以遞增，
所以，即恒成立，
因?yàn)樵谏线f減，且，
所以只需恒成立，即，
又，所以．
【例6】（山西省晉城5月第四次調(diào)研考）函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若只有一個(gè)解，則當(dāng)時(shí)，求使成立的最大整數(shù)k.
【解析】（1）函數(shù)，定義域?yàn)?，則，
因?yàn)?，設(shè)，，
則令得，，，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，
單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，
綜上所述：的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）若即只有一個(gè)解，
因?yàn)槭狗匠坛闪ⅲ灾挥?是的解，
當(dāng)時(shí)，無(wú)非零解，
設(shè)，則，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，
所以最小值為，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故定有零點(diǎn)，又因?yàn)闊o(wú)非零解，有零點(diǎn)應(yīng)還是0，
所以，所以，則，
，得，，，
所以，得，
設(shè)，則，
令，則，
因?yàn)闀r(shí)，，所以，則在單調(diào)遞增，
又，
所以使得，所以，且，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以最小值，且，
得，
又因?yàn)椋?，因?yàn)椋?br>所以，故整數(shù)的最大值為2.
1．（2024屆浙江省稽陽(yáng)聯(lián)誼學(xué)校高三下學(xué)期4月聯(lián)考）已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；
(2)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)為函數(shù)的極大值點(diǎn)，求證：.
2.（2024屆廣東省茂名市高州市高三一模）設(shè)函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
3.（2024屆遼寧省鳳城市第一中學(xué)高三下學(xué)期期初考）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)求證：.
4.（2024屆河北省高三學(xué)生全過(guò)程縱向評(píng)價(jià)六）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.
5．（2024屆河北省保定市九縣一中三模）已知函數(shù).
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若恒成立，求的取值集合.
6．（2024屆重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)高三下學(xué)期5月模擬）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最值；
(2)若，設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，該曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：
7.（2024屆河北省秦皇島市青龍縣第一中學(xué)高三下學(xué)期5月模擬）已知，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
8.（2024屆遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三下學(xué)期考前練）已知函數(shù)（）
9．（2024屆陜西省西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三適應(yīng)性訓(xùn)練）已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在內(nèi)點(diǎn)處的切線斜率為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)①當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；
②證明：．
10．（2024屆四川省南充高中高三下學(xué)期月考）已知函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)有相同的最大值，求的值.
11．（2024屆山東省菏澤市高三下學(xué)期二模）已知函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，且在處的切線方程為，記．（參考數(shù)據(jù)：）．
(1)求的解析式；
(2)求的單調(diào)區(qū)間和最大值．
12．（2024屆湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三下學(xué)期5月高考適應(yīng)性考試）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；
(2)討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
13．（2024屆安徽省鼎尖名校聯(lián)盟高三下學(xué)期5月聯(lián)考）已知函數(shù).
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)若，求函數(shù)在上的最值.
14．（2024屆湖北省武漢市華中師范大學(xué)附屬中學(xué)高三五月適應(yīng)性考試）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有最大值，求實(shí)數(shù)的值．
15．（2024屆四川省南充市高三三診）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；
(2)①求證：有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)的極值點(diǎn)為，若.求證：
16．（2024屆江蘇省連云港市厲莊高級(jí)中學(xué)高三考前模擬）已知函數(shù)（，且）．
(1)若，求函數(shù)的最小值；
(2)若，證明：．
專題4 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn),函數(shù)的最值是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),有些復(fù)雜的函數(shù)的最值,只能借助導(dǎo)數(shù)來(lái)求,高考?？碱}型一是給出確定函數(shù)或含有參數(shù)的函數(shù)求最值,二是求解不等式恒成立問(wèn)題,常常利用函數(shù)的最值來(lái)求解,此類問(wèn)題一般難度較大,多以壓軸題形式出現(xiàn).
(一) 求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
一般地,如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值與最小值．
求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟
(1)求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；
(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a),f(b)；
(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值．
【例1】（2024屆山西省晉中市平遙縣高三沖刺調(diào)研）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，令，，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，且，
，
所以由零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間存在唯一的，使
又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋?br>，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.
（2）函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，證明如下：
函數(shù)，，則，
若，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，
，
結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
若，則，，則，
若，因?yàn)?，所以?br>綜上，函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
(二) 求函數(shù)在非閉區(qū)間上的最值
求函數(shù)在非閉區(qū)間上的最值,一般通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值來(lái)確定,若函數(shù)在某一區(qū)間上有唯一極值點(diǎn),則該點(diǎn)處的極值一定是函數(shù)的最值.
【例2】（2024屆青海省部分學(xué)校高三下學(xué)期協(xié)作考試模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）.
(1)當(dāng)時(shí)，求的最值；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，，都有.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，
易知在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以有最小值，無(wú)最大值.
（2）證明：.令，則，
所以在上單調(diào)遞增.
又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
即當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以，.
令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，且，
即且，
即對(duì)任意的，，都有.
(三) 含單參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題
含單參數(shù)的函數(shù)的最值一般不通過(guò)比值求解,而是先討論函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性求出最值．含參函數(shù)在區(qū)間上的最值通常有兩類：一是動(dòng)極值點(diǎn)定區(qū)間,二是定極值點(diǎn)動(dòng)區(qū)間,這兩類問(wèn)題一般根據(jù)區(qū)間與極值點(diǎn)的位置關(guān)系來(lái)分類討論．
【例3】（2024屆廣東省東莞中學(xué)、廣州二中等高三下學(xué)期六校聯(lián)考）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【解析】（1）的定義域?yàn)?，
求導(dǎo)數(shù)，得 ，
若，則，此時(shí)在上單調(diào)遞增，
若，則由得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)， ，在上單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)，的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間，
若，減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，
函數(shù)的最大值為，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，
函數(shù)的最大值為，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
函數(shù)的最大值為，
由，得，
若時(shí)，函數(shù)的最大值為，
若時(shí)，函數(shù)的最大值為，
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為.
(四) 把不等式恒成立或有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題
有些不等式恒成立或有解問(wèn)題,常通過(guò)分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題,常用結(jié)論是：若的值域?yàn)?則恒成立,有解.
【例4】（2024屆湖南省岳陽(yáng)市湘陰縣第一中學(xué)高三下學(xué)期期中）已知函數(shù)（為常數(shù)），是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；
(3)求證：.
【解析】（1）由題意得：，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，
所以，解得：，
則，
令，則，令，則，
所以是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，
所以；
（2）由（1）得，定義域?yàn)椋?br>所以問(wèn)題等價(jià)于在上恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，，則，
令，，則，
所以時(shí)，，在遞增，
所以，所以，
所以在遞增，
所以，所以，
所以實(shí)數(shù)的最大值為2；
（3）由（2）得：時(shí)，，即，
整理得，
令，則，即，
時(shí)，，時(shí)，，
…，
時(shí)，，
將以上不等式兩端分別相加得：
，
即.
(五) 含雙參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題
含雙參數(shù)的函數(shù)的最值一般與恒成立問(wèn)題有關(guān)，通常是先通過(guò)函數(shù)的最值把問(wèn)題兩個(gè)參數(shù)的等式或不等式，再把其中一個(gè)參數(shù)看作自變量，構(gòu)造函數(shù)求解．
【例5】（2023屆河南省安陽(yáng)市高三上學(xué)期名校調(diào)研）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，若，求b的最小值．
【解析】 (1)當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令有，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)時(shí)，由（1）若，則有解即可，即有解，即有解，設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故，故當(dāng).故b的最小值為
(六) 根據(jù)恒成立,求整數(shù)a的最大值
根據(jù)恒成立,求整數(shù)a的最大值,通常情況是有最小值,但無(wú)法求出,這種情況下一般設(shè)出函數(shù)的極值點(diǎn),把最小值轉(zhuǎn)化為關(guān)于極值點(diǎn)的式子,根據(jù)極值所在范圍,確定最小值的大致范圍,由此確定整數(shù)a的最大值.
【例6】（2024屆山東省日照市高三下學(xué)期三模）已知函數(shù)，，.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)，，求正整數(shù)的最大值.
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
①當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)，時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立，
設(shè)，，則，
當(dāng)時(shí)，有，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，
則存在唯一的，使得，即，
當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋?
所以正整數(shù)的最大值是3.
【例1】（2024屆湖南省岳陽(yáng)市汨羅市高三下學(xué)期5月月考）函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的最大值；
(2)若在恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>可知的定義域?yàn)?，且?br>由，解得；由，解得．
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的最大值為．
（2）因?yàn)樵诤愠闪ⅲ?br>等價(jià)于在恒成立．
設(shè)，，
則，
當(dāng)時(shí)，則，且，可得，
所以；
當(dāng)時(shí)，則，
設(shè)，則，
可知在遞增，且．
則，使得．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
可知函數(shù)在遞增，在遞減，在遞增．
由，得，且．
可得，
且，則，
又因?yàn)?，可知?dāng)時(shí)，，
所以的取值范圍是．
【例2】（2024屆云南省昆明市第一中學(xué)高三考前適應(yīng)性訓(xùn)練）已知函數(shù)，．
(1)求的最小值；
(2)證明：．
【解析】（1）的定義域?yàn)?，?br>令解得，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為增函數(shù)，
故當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
故，故．
（2），，則，
故當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減；
故．
又因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”），
所以．
【例3】（2024屆河南省信陽(yáng)市高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期三模）已知函數(shù)
(1)若恒成立，求a的值；
(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，求a的取值范圍.
【解析】（1），
①當(dāng)時(shí)，，不符合題意.
②當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值；
若恒成立，則，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，即的解為.
所以.
（2）當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，不妨設(shè)，
若，則，不符合題意；
若，則，
由（2）可知，只需，即，解得，
即a的取值范圍為.
【例4】（2024屆廣東省廣州市高中畢業(yè)班沖刺訓(xùn)練二）已知函數(shù)（）.
(1)求在區(qū)間上的最大值與最小值；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：.
【解析】（1）解：（）（），
令，則，
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，.
當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
而，.所以
綜上所述，當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，所以，.
（2）方法一：隱零點(diǎn)法
因?yàn)?，，所以，欲證，只需證明，
設(shè)，（），，
令，易知在上單調(diào)遞增，
而，，
所以由零點(diǎn)的存在性定理可知，存在唯一的使得，
即，因此，，
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增；
所以
所以，因此.
方法二：（同構(gòu)）
因?yàn)?，，所以，欲證，只需證明，
只需證明，
因此構(gòu)造函數(shù)（），
，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增：
所以，所以，
所以，
因此.
【例5】（2024屆江蘇省宿遷市高三下學(xué)期三模）已知函數(shù)．
(1)若曲線在處的切線的方程為，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，
由曲線在處的切線的方程為，得，
所以，
設(shè)，，
所以函數(shù)是上的遞增函數(shù)，又，
所以方程有唯一解，
所以，，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，代入直線方程得．
（2），定義域?yàn)椋?br>，
設(shè)，所以，
所以在上遞減，又，，
所以當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)遞減，
所以函數(shù)的最大值 ，
又，
所以，
所以，
因?yàn)楹愠闪?，即恒成立?br>設(shè)，則，所以遞增，
所以，即恒成立，
因?yàn)樵谏线f減，且，
所以只需恒成立，即，
又，所以．
【例6】（山西省晉城5月第四次調(diào)研考）函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若只有一個(gè)解，則當(dāng)時(shí)，求使成立的最大整數(shù)k.
【解析】（1）函數(shù)，定義域?yàn)?，則，
因?yàn)?，設(shè)，，
則令得，，，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，
單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，
綜上所述：的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）若即只有一個(gè)解，
因?yàn)槭狗匠坛闪?，所以只?是的解，
當(dāng)時(shí)，無(wú)非零解，
設(shè)，則，
當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，
所以最小值為，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故定有零點(diǎn)，又因?yàn)闊o(wú)非零解，有零點(diǎn)應(yīng)還是0，
所以，所以，則，
，得，，，
所以，得，
設(shè)，則，
令，則，
因?yàn)闀r(shí)，，所以，則在單調(diào)遞增，
又，
所以使得，所以，且，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以最小值，且，
得，
又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?br>所以，故整數(shù)的最大值為2.
1．（2024屆浙江省稽陽(yáng)聯(lián)誼學(xué)校高三下學(xué)期4月聯(lián)考）已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；
(2)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)為函數(shù)的極大值點(diǎn)，求證：.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>則，記
由，可得在單調(diào)遞增，且，
故時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，
則的最小值為.
（2）若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則在上恒成立，
，
令，則，且可知，
下證時(shí)，，
由關(guān)于單調(diào)遞增，則，
令，則，
故在上單調(diào)遞增，且，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
綜上所述，時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增.
（3），記
，，
易知在上單調(diào)遞增，且x趨于0時(shí)，趨于，，
所以存在唯一，使得，
故在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，其中，
根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增且，得，
又，所以，
因?yàn)楫?dāng)x趨于0時(shí)，趨于，所以存在唯一極大值點(diǎn)，滿足，
又，則，
由，故，
，
令，，
則，趨于0時(shí)，，時(shí)，，
所以，即.
2.（2024屆廣東省茂名市高州市高三一模）設(shè)函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
所以不等式轉(zhuǎn)化為，在上恒成立.
令，
所以.
當(dāng)時(shí)，恒成立.
若，則在上恒成立，
在上單調(diào)遞增，
故，符合題意；
若，令函數(shù)，
則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，.
所以，，
故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
則，不符合題意.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（2）因?yàn)?，?br>令，即，
所以.
令，，
則.
令，得.
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，
即當(dāng)時(shí)，取得極小值.
又因?yàn)?，?br>所以.
所以.
當(dāng)取得極大值，
即當(dāng)時(shí)，取得極大值.
又因?yàn)?，?br>所以.
所以，
所以當(dāng)，.
所以.
又因?yàn)椋?br>所以時(shí)，在上存在零點(diǎn)，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
3.（2024屆遼寧省鳳城市第一中學(xué)高三下學(xué)期期初考）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)求證：.
【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，
記，，
所以在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞增，且，
所以.
（2）要證，
只需證明：對(duì)于恒成立，
令，則，
當(dāng)時(shí)，令，
則，在上單調(diào)遞增，
即在上為增函數(shù)，
又因?yàn)?，?br>所以存在使得，由，
得即即即，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以，所以，
即.
4.（2024屆河北省高三學(xué)生全過(guò)程縱向評(píng)價(jià)六）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，所以，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，即，無(wú)極小值.
（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，
即當(dāng)時(shí)，恒成立，
即在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，解得，
設(shè)，，
則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，
因?yàn)?，，，?br>當(dāng)，即時(shí)在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以恒成立，
當(dāng)時(shí)使得，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
所以，則，解得，
綜上可得，即的取值范圍為.
5．（2024屆河北省保定市九縣一中三模）已知函數(shù).
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若恒成立，求的取值集合.
【解析】（1）由，得，定義域?yàn)椋?br>則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）由，，得，
若，則顯然，不符合題意，
若，令，解得，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
，
則，即，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)滿足時(shí)，，
所以的取值集合為.
6．（2024屆重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)高三下學(xué)期5月模擬）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最值；
(2)若，設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，該曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：
【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)?
所以，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)，函數(shù)無(wú)最值.
當(dāng)時(shí)，，，
則，在單調(diào)遞增；
，在單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在處取得最大值，最大值為，無(wú)最小值.
（2）因?yàn)?，所以函?shù)，則
曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，
則切線斜率為，
切線方程為：.
則，
令
，
所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
的最大值為，
所以，
即.
7.（2024屆河北省秦皇島市青龍縣第一中學(xué)高三下學(xué)期5月模擬）已知，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
【解析】（1）因?yàn)?，所以，則.
因?yàn)?，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.
令，得，又，所以，所以.
（2）由（1）可知，令，解得，所以在上單調(diào)遞增.
令，解得，所以 在上單調(diào)遞減，
又，，，
所以在上的值域?yàn)?
8.（2024屆遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三下學(xué)期考前練）已知函數(shù)（）
【解析】（1），
因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，
所以，所以；
（2）對(duì)任意，不等式恒成立，
即，
即在上恒成立，
令，
則，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，
所以存在使得，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
又因，則，
所以正整數(shù)a的最大值為.
9．（2024屆陜西省西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三適應(yīng)性訓(xùn)練）已知函數(shù)
(1)若函數(shù)在內(nèi)點(diǎn)處的切線斜率為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)①當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；
②證明：．
【解析】（1）設(shè)點(diǎn).
由于，則，得，
則，且，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（2）①，
則，記，
則
易知在上單調(diào)遞減，且,
，即，
所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.
因?yàn)椋?br>所以時(shí)，，在單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.
②由①可知，時(shí)恒成立，即恒成立.
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
又，所以，
取，則，
，得證.
10．（2024屆四川省南充高中高三下學(xué)期月考）已知函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)有相同的最大值，求的值.
【解析】（1）
①當(dāng)時(shí)，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞減.
②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增. .
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增.
（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，當(dāng) 時(shí)，取得最大值，
,易知單調(diào)遞減 ，令，，
當(dāng)時(shí)， 0，單調(diào)遞增; 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值
依題意，有，所以
令 則
由的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最大值0，即,從而可得 因此在上單調(diào)遞減，又,
所以，.
11．（2024屆山東省菏澤市高三下學(xué)期二模）已知函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，且在處的切線方程為，記．（參考數(shù)據(jù)：）．
(1)求的解析式；
(2)求的單調(diào)區(qū)間和最大值．
【解析】（1）由題意與軸的交點(diǎn)，又，
在點(diǎn)處的切線的斜率，
在點(diǎn)處的切線方程為，即切線方程為
（2）由（1）知，所以，
，
令得的變化情況列表如下，
所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為和，
，又，
，
的最大值為．
12．（2024屆湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三下學(xué)期5月高考適應(yīng)性考試）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；
(2)討論函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【解析】（1）的定義域是，
，，
當(dāng)時(shí)，，得.
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，最大值為；
（2）由，得，
令，則，
由得，
由，得，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，，，
作函數(shù)的圖象如下：
綜上：當(dāng)或時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)或時(shí)，在上沒(méi)有零點(diǎn).
13．（2024屆安徽省鼎尖名校聯(lián)盟高三下學(xué)期5月聯(lián)考）已知函數(shù).
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)若，求函數(shù)在上的最值.
【解析】（1）由函數(shù)，可得，
可得，且，所以切線的斜率為，切點(diǎn)為，
則所求切線方程為.
（2）由（1），當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而，，，
故所求最大值為，最小值為.
14．（2024屆湖北省武漢市華中師范大學(xué)附屬中學(xué)高三五月適應(yīng)性考試）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有最大值，求實(shí)數(shù)的值．
【解析】（1）
1°當(dāng)時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增。
2°當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增
時(shí)，單調(diào)遞減
綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是
（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，無(wú)最大值。
當(dāng)時(shí)，，平方有，
解得．
15．（2024屆四川省南充市高三三診）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；
(2)①求證：有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)的極值點(diǎn)為，若.求證：
【解析】（1），令，
當(dāng)時(shí)，，，
，故在上單調(diào)遞增，又，
在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
的最小值為.
（2）由（1）知，，
，故在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
又，
，
存在唯一的變號(hào)零點(diǎn)，
即有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).
②由①知：有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)且，則
當(dāng)時(shí)，，
由①知：，要證，
只需證：，
而，那么
，
令，則，
設(shè)，則，又，
所以，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
又，，在上單調(diào)遞增，
即在上單調(diào)遞增，又，，
在上單調(diào)遞增，，
綜上所述，時(shí)，
16．（2024屆江蘇省連云港市厲莊高級(jí)中學(xué)高三考前模擬）已知函數(shù)（，且）．
(1)若，求函數(shù)的最小值；
(2)若，證明：．
【解析】（1）若，則，，所以，
設(shè)則，得在上為增函數(shù)．
又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值即最小值．所以的最小值為1．
（2）因?yàn)?，，，所以?br>設(shè)，其中，得，
所以在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，
所以存在使得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
①當(dāng)時(shí)，由（1）知，由，有；
②當(dāng)時(shí)，，由在上為增函數(shù)，
有，得在上單調(diào)遞增，且，
所以存在使得，要證，
因?yàn)?，在上單調(diào)遞增，只要證，只要證，
又當(dāng)時(shí)，成立，
所以當(dāng)時(shí)，；
③當(dāng)時(shí)，，由在上為增函數(shù)，
所以，且，所以存在使得，
要證，因?yàn)?，在上單調(diào)遞減，
且時(shí)，只要證，只要證，
又，由恒成立，故成立，
所以當(dāng)時(shí)，也成立，
綜上，當(dāng)時(shí)，成立.
0
2
+
-
減函數(shù)
極小值
增函數(shù)
極大值
減函數(shù)

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