目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc13283" 題型一：三大補(bǔ)充函數(shù)：對(duì)勾函數(shù) PAGEREF _Tc13283 \h 1
\l "_Tc22442" 題型二：三大補(bǔ)充函數(shù)：復(fù)雜分式型“反比例”函數(shù) PAGEREF _Tc22442 \h 4
\l "_Tc27579" 題型三：三大補(bǔ)充函數(shù)：雙曲函數(shù)（雙刀函數(shù)） PAGEREF _Tc27579 \h 6
\l "_Tc9414" 題型四：一元三次函數(shù) PAGEREF _Tc9414 \h 9
\l "_Tc32669" 題型五：高斯取整函數(shù) PAGEREF _Tc32669 \h 12
\l "_Tc27683" 題型六：絕對(duì)值函數(shù) PAGEREF _Tc27683 \h 15
\l "_Tc17054" 題型七：對(duì)數(shù)絕對(duì)值型 PAGEREF _Tc17054 \h 19
\l "_Tc29041" 題型八：對(duì)數(shù)無理型 PAGEREF _Tc29041 \h 22
\l "_Tc31455" 題型九：對(duì)數(shù)反比例型 PAGEREF _Tc31455 \h 24
\l "_Tc22227" 題型十：指數(shù)反比例型 PAGEREF _Tc22227 \h 26
\l "_Tc27757" 題型十一：抽象函數(shù)模型：過原點(diǎn)直線型 PAGEREF _Tc27757 \h 28
\l "_Tc14516" 題型十二：抽象函數(shù)模型：不過原點(diǎn)直線型 PAGEREF _Tc14516 \h 30
\l "_Tc20559" 題型十三：抽象函數(shù)模型：正切型 PAGEREF _Tc20559 \h 33
\l "_Tc26908" 題型十四：抽象函數(shù)模型：一元二次型 PAGEREF _Tc26908 \h 35
\l "_Tc16651" 題型十五：抽象函數(shù)模型：一元三次函數(shù)型 PAGEREF _Tc16651 \h 37
\l "_Tc20144" 題型十六：抽象函數(shù)模型：余弦或者雙曲余弦模型 PAGEREF _Tc20144 \h 39
題型一：三大補(bǔ)充函數(shù)：對(duì)勾函數(shù)
對(duì)勾函數(shù)：圖像特征
形如稱為對(duì)勾函數(shù)
1.有“漸近線”：y=ax
2.“拐點(diǎn)”：解方程（即第一象限均值不等式取等處）
1.（2022秋·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最大值是 .
【答案】
【分析】令，討論的取值范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)的最大值與最小值，使且恒成立，進(jìn)而確定的取值范圍以及的取值范圍，即求.
【詳解】令
I.當(dāng)時(shí)，函數(shù)顯然單調(diào)遞增，
所以，，
由題意可得，
這與矛盾，故舍去；
II，當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
①.當(dāng)時(shí)，即，所以，
由題意可得，
這與矛盾（舍去）.
②．當(dāng)時(shí)，即，
所以，
，由題意得，a.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
所以，故，
而 ，故，b.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，
故，而，故.
③．當(dāng)時(shí)，即，所以，，
由題意可得，這與矛盾，
綜上所述：.故答案為：
2.（2022·安徽合肥·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，關(guān)于x的不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則正數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】將函數(shù)解析式變形，結(jié)合打勾函數(shù)的圖像與性質(zhì)可求得的值域，進(jìn)而結(jié)合不等式可知；因?yàn)椴坏仁街挥幸粋€(gè)解，因而計(jì)算后與比較即可確定這個(gè)解為；進(jìn)而由不等式成立條件可得正數(shù)a的取值范圍.
【詳解】函數(shù)，結(jié)合打勾函數(shù)性質(zhì)可知，，
關(guān)于x的不等式，因?yàn)榍笳龜?shù)a的取值范圍，因而，化簡(jiǎn)不等式可得，
所以，即則，因?yàn)殛P(guān)于x的不等式只有一個(gè)整數(shù)解，
所以由以上數(shù)據(jù)可知整數(shù)解為，所以，
解得，所以故答案為：.
3.．（2023·高三單元測(cè)試）已知函數(shù)，若存在，使得，則正整數(shù)的最大值為 .
【答案】4
【分析】根據(jù)單調(diào)性得到，要使正整數(shù)盡可能大，則可以是，得到答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故，
要使正整數(shù)盡可能大，則可以是，故的最大值為4.
故答案為：4.
4.（2022·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，長(zhǎng)為的三條線段均可以構(gòu)成三角形，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，分類討論可得最小值和最大值，由題意可得最小值的2倍大于最大值，解不等式即可得到所求的范圍．
【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減．
當(dāng)即時(shí)，，為減區(qū)間，即有的最大值為；
最小值為．
由題意可得只要滿足，解得；
當(dāng)且即時(shí)，，為減區(qū)間，，為增區(qū)間，
即有的最大值為；最小值為．
由題意可得只要滿足，解得，所以；
當(dāng)且（1）即時(shí)，，為減區(qū)間，，為增區(qū)間，
即有的最大值為；最小值為．
由題意可得只要滿足，解得，所以；
當(dāng)，即時(shí)，，為增區(qū)間，即有的最小值為；
最大值為．
由題意可得只要滿足，解得．
綜上可得，的取值范圍是．
故答案為：．
題型二：三大補(bǔ)充函數(shù)：復(fù)雜分式型“反比例”函數(shù)
反比例與分式型函數(shù)
解分式不等式，一般是移項(xiàng)（一側(cè)為零），通分，化商為積，化為一元二次求解，或者高次不等式，再用穿線法求解
形如：。對(duì)稱中為P，其中
①；
②
③一、三或者二、四象限，通過 計(jì)算判斷
1.（2022·湖北武漢·高三校聯(lián)考模擬）已知函數(shù)為奇函數(shù)，與的圖像有8個(gè)交點(diǎn)，分別為，則 .
【答案】16
【分析】由為奇函數(shù)可得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，分離常數(shù)可知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，繼而可得與圖像的8個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，可求，結(jié)果可得.
【詳解】為奇函數(shù)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱與圖像的8個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
,,,可得
同理可知
故答案為：
2.（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）函數(shù)的值域是或，則此函數(shù)的定義域?yàn)? .
【答案】
【分析】利用反函數(shù),可將原函數(shù)化為,(其中或),求出的值域即得的定義域.
【詳解】，其中或，
當(dāng)時(shí),是減函數(shù),此時(shí)，
當(dāng)時(shí),是減函數(shù),此時(shí)，
∴函數(shù)的定義域?yàn)?
故答案為：.
3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，其中且，函數(shù)，且對(duì)任意，都有，則的值是 ．
【答案】或3.
【分析】先判斷區(qū)間與的關(guān)系可得，再分析時(shí)定義域與值域的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可確定定義域與值域的區(qū)間端點(diǎn)的不等式，進(jìn)而求得和即可.最后分析當(dāng)時(shí)，，從而確定定義域與值域的關(guān)系，列不等式求解即可
【詳解】先判斷區(qū)間與的關(guān)系，因?yàn)?，故?因?yàn)楫?dāng)，即時(shí)，由題意，當(dāng)時(shí)，，故不成立；故.
再分析區(qū)間與的關(guān)系，因?yàn)?，故?
①當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間上為減函數(shù)，故當(dāng)， ，因?yàn)?，而，故此時(shí)，即，因?yàn)?，故即，故，解得，因?yàn)?，?此時(shí)區(qū)間在左側(cè)，在右側(cè).故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，故，所?，此時(shí)，故，解得，因?yàn)?，故?br>②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，易得，故此時(shí)且，即且，所以，故，故，即，，因?yàn)?，故?br>綜上所述，或3。故答案為：或3.
4.（2023·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，若函數(shù)在的最大值為2，則實(shí)數(shù)的值為 .
【答案】或2
【解析】由題意可得三個(gè)非負(fù)端點(diǎn)值，分別令它們?yōu)樽畲笾?求，再驗(yàn)證是否符合題設(shè)即可求的值.
【詳解】，由題意知：，
∴時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；
若時(shí)，或，而有，有，故與題設(shè)矛盾；
若時(shí)，或，而有，所以只有時(shí)成立；
若時(shí)，或，而有，所以只有時(shí)成立；
綜上有：或，
故答案為：或2
題型三：三大補(bǔ)充函數(shù)：雙曲函數(shù)（雙刀函數(shù)）
雙刀函數(shù)
（兩支各自增），或者 （兩支各自減）
1.有“漸近線”：y=ax與y=-ax
2.“零點(diǎn)”：解方程（即方程等0處）

1.（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集是 .
【答案】
【分析】求出是奇函數(shù)，且在定義域上是單減函數(shù)，變形再利用單調(diào)性解不等式可得解.
【詳解】，
是奇函數(shù)，又是上的減函數(shù)，是上的增函數(shù)，
由函數(shù)單調(diào)性質(zhì)得是上的減函數(shù).
,則，由奇函數(shù)得
且是上的減函數(shù). ， ，又
不等式的解集是故答案為：
2.（2023春·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知奇函數(shù)，有三個(gè)零點(diǎn)，則t的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由為奇函數(shù)求出的值，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)和單調(diào)性和極值點(diǎn)，由有三個(gè)零點(diǎn)，求t的取值范圍.
【詳解】若，，函數(shù)沒有三個(gè)零點(diǎn)，所以，
為奇函數(shù)，則，即，
得，
設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)镽，，為偶函數(shù)，
，是R上的增函數(shù)，且，
則，解得；，解得，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，由，則有，
所以，，
由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，
若，則，單調(diào)遞減，沒有三個(gè)零點(diǎn)；
若，令，則方程，即，
判別式，方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，設(shè)兩根為且，則有，，所以，
令，，由，則且，
，即，即，解得，得；
，即，即，解得或，得或，
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，則有，，
由函數(shù)的單調(diào)性和遞增速度可知，時(shí)，存在，的圖像如圖所示，

此時(shí)奇函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).綜上可知，t的取值范圍為.故答案為：
3.（2023春·遼寧鐵嶺·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)若，則 ．
【答案】3
【分析】利用，求得的值.
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則，則，故有，又由，則，故答案為：3.
春·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)校考）已知函數(shù)，則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】令，分析函數(shù)的定義域、奇偶性與單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式，解之即可.
【詳解】設(shè)，則函數(shù)是定義域?yàn)椋?br>因?yàn)?，故函?shù)為奇函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)、、、均為上的增函數(shù)，
故函數(shù)為上的增函數(shù)，
因?yàn)椋?br>由可得，
可得，
所以，，即，解得.
因此，不等式的解集為.
故答案為：.
題型四：一元三次函數(shù)
一元三次函數(shù)：
所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心，
設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．
1.．給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心．若函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用題中給出的定義，得到的拐點(diǎn)為，從而得到的對(duì)稱中心為，即，由此分析計(jì)算即可．
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，則，，
令，解得，且，由題意可知，的拐點(diǎn)為，故的對(duì)稱中心為，
所以，
所以．故選：A．
2.已知函數(shù) fx=ax3+3x2+1，若至少存在兩個(gè)實(shí)數(shù) m，使得 f-m，f1，fm+2 成等差數(shù)列，則過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線 y=fx 的切線可以作
A. 3 條B. 2 條C. 1 條D. 0 條
【答案】B【解析】至少存在兩個(gè)實(shí)數(shù) m，使得 f-m，f1，fm+2 成等差數(shù)列，
可得 f-m+f2+m=2f1=2a+4，即有 fx 的圖象關(guān)于點(diǎn) 1,a+4 對(duì)稱， fx 的導(dǎo)數(shù)為 f?x=3ax2+6x，
f?x=6ax+6，由 f?x=0，可得 x=-1a，由 f-1a+x+f-1a-x 為常數(shù)，可得 -1a=1，解得 a=-1．
即有 fx=-x3+3x2+1，f?x=-3x2+6x，設(shè)切點(diǎn)為 t,-t3+3t2+1，可得切線的斜率為 -3t2+6t=-t3+3t2+1t，化為 2t3-3t2+1=0，設(shè) gt=2t3-3t2+1，g?t=6t2-6t，
當(dāng) 0

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