目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc11735" 題型一：命題概念及命題真假 PAGEREF _Tc11735 \h 1
\l "_Tc28306" 題型二：充分不必要條件 PAGEREF _Tc28306 \h 3
\l "_Tc25773" 題型三：充分條件求參 PAGEREF _Tc25773 \h 5
\l "_Tc23845" 題型四：必要不充分條件 PAGEREF _Tc23845 \h 7
\l "_Tc6710" 題型五：必要條件求參 PAGEREF _Tc6710 \h 9
\l "_Tc22200" 題型六：充要條件 PAGEREF _Tc22200 \h 11
\l "_Tc1376" 題型七：充要條件求參型 PAGEREF _Tc1376 \h 13
\l "_Tc3275" 題型八：“地圖型”條件的判定 PAGEREF _Tc3275 \h 14
\l "_Tc15509" 題型九：充要條件綜合應(yīng)用 PAGEREF _Tc15509 \h 16
\l "_Tc6795" 題型十：命題的否定 PAGEREF _Tc6795 \h 21
\l "_Tc14938" 題型十一：全稱與特稱命題真假求參 PAGEREF _Tc14938 \h 22
\l "_Tc26824" 題型十二：新定義型簡(jiǎn)易邏輯壓軸題 PAGEREF _Tc26824 \h 24
題型一：命題概念及命題真假
判斷命題的真假：
直接法：應(yīng)用所學(xué)過的基本事實(shí)和定理進(jìn)行判斷
2.反例法：舉出命題所涉及到的知識(shí)中的反例即可。
1．（23-24高三·上?！つM）已知命題：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命題，給出下列命題，其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
①中的元素都不是的元素；②中有不屬于的元素；
③中有的元素；④中的元素不都是的元素.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由題意可得集合不是的子集．由此結(jié)合子集的定義與集合的運(yùn)算性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】根據(jù)命題"非空集合的元素都是集合的元素"是假命題，可得不是的子集
對(duì)于①，集合雖然不是所有元素都在中，但有可能有屬于的元素，因此①是假命題；
對(duì)于②，因?yàn)椴皇堑淖蛹?，所以必定有不屬于的元素，故②是真命題；同理不能確定有沒有的元素，故③是假命題；
對(duì)于④，由子集的定義可得，既然不是的子集，那么必定有一些不屬于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命題.
故選：B.
2．（2022·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）下列四個(gè)命題中，是假命題的是（ ）
A．，且
B．，使得
C．若x＞0，y＞0，則
D．若，則的最小值為1
【答案】A
【分析】A舉反例，B找一個(gè)滿足條件的，C基本不等式的應(yīng)用，D分離常數(shù)結(jié)合基本不等式.
【詳解】解析：選A.對(duì)于A，，且對(duì)x＜0時(shí)不成立；
對(duì)于B，當(dāng)x＝1時(shí)，x2＋1＝2，2x＝2，成立，正確；
對(duì)于C，若x＞0，y＞0，則，化為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；
對(duì)于D，，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故y的最小值為1，D正確.
故選：A
3．（23-24高三·上海閔行·階段練習(xí)）已知是非空數(shù)集，如果對(duì)任意，，都有，，則稱是封閉集.給出兩個(gè)命題：命題：若非空集合，是封閉集，則是封閉集；命題：若非空集合，是封閉集，且，則是封閉集.則（ ）
A．命題真命題真B．命題真命題假
C．命題假命題真D．命題假命題假
【答案】C
【分析】對(duì)命題舉反例說明即可；對(duì)于命題：設(shè)，由是封閉集，可得，從而判斷為正確；
【詳解】對(duì)命題：令，則集合是封閉集，
故，
但，故不是封閉集，故命題假；
對(duì)于命題：設(shè)，則有，又因?yàn)榧鲜欠忾]集，
所以，
同理可得，
所以，
所以是封閉集，故命題真；
故選：C
4．（22-23高三·上海浦東新·模擬）十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想：“當(dāng)整數(shù)時(shí)，關(guān)于，，的方程沒有正整數(shù)解”．經(jīng)歷百多年，于二十世紀(jì)九十年代中期由美國數(shù)學(xué)家安德魯懷爾斯證明了費(fèi)馬猜想，使它終成為費(fèi)馬大定理根據(jù)前面敘述，則下列命題正確的個(gè)數(shù)為（ ）
（1）存在至少一組正整數(shù)組是關(guān)于，，的方程的解；
（2）關(guān)于，的方程有正有理數(shù)解；
（3）關(guān)于，的方程沒有正有理數(shù)解；
（4）當(dāng)整數(shù)時(shí)關(guān)于，，的方程有正實(shí)數(shù)解
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】當(dāng)整數(shù)時(shí)方程沒有正整數(shù)解，（1）錯(cuò)誤，，沒有正有理數(shù)解，（2）錯(cuò)誤，（3）正確，當(dāng)，滿足條件，（4）正確，得到答案.
【詳解】當(dāng)整數(shù)時(shí)，關(guān)于，，的方程沒有正整數(shù)解，故方程沒有正整數(shù)解，（1）錯(cuò)誤；
沒有正整數(shù)解.即，，沒有正有理數(shù)解，（2）錯(cuò)誤，（3）正確；
方程，當(dāng)，滿足條件，故有正實(shí)數(shù)解，（4）正確.
故選：C
5．（21-22高三·上?！つM）給出以下命題：①若，且，則；②，是的必要條件；③，則是為純虛數(shù)的充要條件；④，若，則或．
其中正確的命題有（ ）．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】①根據(jù)虛數(shù)不能比較大小判斷；②舉例，結(jié)合實(shí)數(shù)能比較大小判斷；③舉例判斷；④直接利用復(fù)數(shù)的乘法判斷.
【詳解】①因?yàn)槎际翘摂?shù)，而虛數(shù)不能比較大小，故錯(cuò)誤；
②因?yàn)椋?，滿足，由于虛數(shù)不能比較大小，所以推不出，不充分，當(dāng)，則為實(shí)數(shù)，所以，必要，故正確；
③因?yàn)椋?，滿足，推不出為純虛數(shù)，故不充分，故錯(cuò)誤；
④因?yàn)?，設(shè)，則，所以，所以，所以，兩式相加整理得：，則或，所以或，故正確
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查有關(guān)復(fù)數(shù)的命題的真假判斷，還考查了理解辨析，分析求解問題的能力，屬于中檔題.
6.（2024年新高考2）已知命題p：，；命題q：，，則（ ）
A. p和q都是真命題B. 和q都是真命題
C. p和都是真命題D. 和都是真命題
【答案】B
【解析】
【分析】對(duì)于兩個(gè)命題而言，可分別取、，再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.
【詳解】對(duì)于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，
對(duì)于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，
綜上，和都是真命題.
故選：B.
題型二：充分不必要條件
充分條件的判斷方法
(1)判定p是q的充分條件要先分清什么是p，什么是q，即轉(zhuǎn)化成p?q問題．
(2)除了用定義判斷充分條件還可以利用集合間的關(guān)系判斷，若p構(gòu)成的集合為A，q構(gòu)成的集合為B，A?B，則p是q的充分條件
1．（2023·江蘇蘇州·模擬）記方程①：，方程②：，方程③：，其中是正實(shí)數(shù).若成等比數(shù)列，則“方程③無實(shí)根”的一個(gè)充分條件是（ ）
A．方程①有實(shí)根，且②有實(shí)根B．方程①有實(shí)根，且②無實(shí)根
C．方程①無實(shí)根，且②有實(shí)根D．方程①無實(shí)根，且②無實(shí)根
【答案】B
【分析】根據(jù)判別式以及充分條件的定義逐項(xiàng)分析.
【詳解】由題意，，其中；
對(duì)于A，如果有實(shí)根，則，如果有實(shí)根，
則，有可能大于等于，
則，即有可能大于等于0，即由①②不能推出③無實(shí)根，A不是充分條件；
對(duì)于B，有，則必有，即，方程無實(shí)根，
所以B是③無實(shí)根的充分條件；
對(duì)于C，有，，方程③有實(shí)根，C不是方程③無實(shí)根的充分條件；
對(duì)于D，有，q的值不確定，有可能小于，也有可能大于，
不能保證方程③無實(shí)根，例如，則，，
所以D不是方程③無實(shí)根的充分條件；
故選：B.
2．（2023·上海普陀·二模）設(shè)為實(shí)數(shù)，則“”的一個(gè)充分非必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由充分非必要條件定義，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷各項(xiàng)與推出關(guān)系即可.
【詳解】由，則，可得，可推出，反向推不出，滿足；
由，則，推不出，反向可推出，不滿足；
由，則或或，推不出，反向可推出，不滿足；
由，則，推不出，反向可推出，不滿足；
故選：A
3．（2023·江西·二模）記全集為U，為p的否定，為q的否定，且的必要條件是q的必要條件，則（ ）
A．存在q的必要條件是q的充分條件B．
C．任意q的必要條件是的必要條件D．存在的充分條件是p的必要條件
【答案】D
【分析】利用反證法否定選項(xiàng)A；分別舉反例否定選項(xiàng)B，C；舉例驗(yàn)證選項(xiàng)D正確.
【詳解】令的必要條件為k，則q的必要條件為k，即，
選項(xiàng)A：若存在q的必要條件是q的充分條件，則，則.判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：由下圖可得.判斷錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：如下圖得，，
則q的必要條件m不是的必要條件.判斷錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：如下圖得：，
則存在的充分條件是p的必要條件.判斷正確.
故選：D
4．（23-24高三·湖南長沙·階段練習(xí)）已知集合，，則是的（ ）
A．充分條件B．必要條件
C．既不是充分條件也不是必要條件D．充分必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義，結(jié)合子集的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然，
當(dāng)時(shí)，也可以，不一定成立，
所以是的充分條件，
故選：A
5．（23-24高三·湖北襄陽·階段練習(xí)）若集合，，則的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，集合之間的關(guān)系，不等式的性質(zhì)即可得出答案.
【詳解】因?yàn)榧?，?br>若，利用數(shù)軸，可求，
故的一個(gè)充分不必要條件是.
故選：D.
題型三：充分條件求參
用充分不必要、必要不充分及充要條件求參數(shù)值(范圍)的一般步驟
(1)根據(jù)已知將充分不必要條件、必要不充分條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系．
(2)根據(jù)集合間的關(guān)系構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程(組)或不等式(組)求解．
(3)充分必要條件與集合包含之間的關(guān)系．
命題對(duì)應(yīng)集合，命題對(duì)應(yīng)集合是，則是的充分條件，是的必要條件，是的充要條件，是的充分不必要條件?，是的必要不充分條件?．
1．（23-24高三·江蘇連云港·開學(xué)考試）若不等式的一個(gè)充分條件為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先解，得到，再利用條件即可求出結(jié)果.
【詳解】由，得到，
又不等式的一個(gè)充分條件為，所以，
故選：C.
2．（21-22高三·全國·課后作業(yè)）已知不等式成立的充分條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】D
【分析】由題意知，根據(jù)子集關(guān)系列式解得參數(shù)范圍即可.
【詳解】由題意得，
所以，且等號(hào)不能同時(shí)成立，解得.
故選：D.
3．（19-20高下·北京·開學(xué)考試）“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】根據(jù)充分條件與必要條件的判斷，看條件與結(jié)論之間能否互推，條件能推結(jié)論，充分性成立，結(jié)論能推條件，必要性成立，由此即可求解.
【詳解】若方程表示雙曲線，
則或，
所以“”是“方程表示雙曲線”的充分而不必要條件.
故選：A
【點(diǎn)睛】本題以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及充分必要條件的判斷，考查理解辨析能力，屬于基礎(chǔ)題.
4．（20-21高三·浙江紹興·模擬）中，角，，的對(duì)邊分別為，，，則“”是“為銳角”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充分必要條件D．既非充分又非必要條件
【答案】A
【解析】由題知:,結(jié)合余弦定理,可推出為銳角,反之無法推出,因此“”是“為銳角”的充分非必要條件.
【詳解】①在中,若,
則,即,
,
,
為銳角,
即“”“為銳角”,
②若為銳角,則,即,
無法推出,
所以“為銳角”“”,
綜上所述:“”是“為銳角”的充分非必要條件,
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件的判定,結(jié)合了基本不等式及余弦定理等相關(guān)知識(shí),綜合性較強(qiáng).
5．（2023高三·全國·專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式成立的充分條件是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出不等式的解集，利用充分條件的定義，結(jié)合集合的包含關(guān)系列式求解即得.
【詳解】依題意，，解不等式，得，
由不等式成立的充分條件是，得，
于是，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：D
題型四：必要不充分條件
充分不必要條件判斷
(1)判斷p是q的什么條件，主要判斷若p成立時(shí)，能否推出q成立，反過來，若q成立時(shí)，能否推出p成立；若p?q為真，則p是q的充分條件，若q?p為真，則p是q的必要條件．
(2)也可利用集合的關(guān)系判斷，如條件甲“x∈A”，條件乙“x∈B”，若A?B，則甲是乙的必要條件．
1．（22-23高三·四川綿陽·階段練習(xí)）下列“若, 則”形式的命題中，是的必要條件的有（ ）個(gè)
① 若是偶數(shù), 則是偶數(shù)
②若，則方程有實(shí)根
③若四邊形的對(duì)角線互相垂直, 則這個(gè)四邊形是菱形
④若，則
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根據(jù)必要條件的概念找出符合要求的選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于①，是偶數(shù)，不能保證，均是偶數(shù)，也有可能都是奇數(shù)，故①不符合題意；
對(duì)于②，若方程，則需滿足，即，可推出，故②符合題意；
對(duì)于③，若四邊形是菱形，則四邊形對(duì)角線互相垂直，故③符合題意；
對(duì)于④，若，則，故④符合題意.
故選：D.
2．（2022·黑龍江·一模）已知a，，則“”的一個(gè)必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用否定ACD選項(xiàng)，進(jìn)而得答案.
【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故不是的必要條件，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，成立，反之，不成立，故是的必要條件，故正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，但此時(shí)，故不是的必要條件，故錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，但此時(shí)，故故不是的必要條件，故錯(cuò)誤.
故選：B
3．（2021·江西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件D．充要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充分性和必要性的判斷方法來判斷即可．
【詳解】當(dāng)時(shí)，若，不能推出，不滿足充分性；
當(dāng)，則，有，滿足必要性；
所以“”是“”的必要不充分條件．
故選：B
4．（20-21高三·全國·單元測(cè)試）已知，為任意實(shí)數(shù)，則的必要不充分條件是（ ）
A．且B．或
C．且D．或
【答案】B
【分析】由充分必要條件的定義及特例即得.
【詳解】由且可推出，故A錯(cuò)誤；
若或不成立即且，則，即不成立，所以由可得或；令，滿足或，不成立即由或推不出，故B正確；
令，成立，顯然且不成立，或也不成立，故CD錯(cuò)誤.
故選：B
5．（20-21高三·浦東新·階段練習(xí)）已知，，則是的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．非充分非必要條件
【答案】B
【分析】直接利用不等式的性質(zhì)判斷充分條件和必要條件.
【詳解】解：對(duì)于命題，可得到，但是與9沒有關(guān)系，
當(dāng)命題，整理，
即得到，故是的必要不充分條件.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)以及利用等價(jià)法判斷必要不充分條件，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力，屬于
題型五：必要條件求參
若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件
p?q且qp
p是q的必要不充分條件
pq且q?p
p是q的充要條件
p?q
p是q的必要條件
pq且qp
1．（22-23高三·湖南衡陽·階段練習(xí)）“方程的曲線是橢圓”的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A．“”B．“”
C．“”D．“”且“”
【答案】C
【分析】由橢圓的定義可列出滿足的不等式組，從而求出的取值范圍，再結(jié)合選項(xiàng)選出必要不充分條件．
【詳解】因?yàn)榉匠痰那€是橢圓，
則由橢圓的定義可知：，解得：且，
所以“方程的曲線是橢圓”的充要條件為“且”，
“”推不出“且”，反之可推出，
所以“”是方程“的曲線是橢圓”的必要不充分條件．
所以“方程的曲線是橢圓”的必要不充分條件是：“”．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查必要不充分條件的判斷，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意利用集合的關(guān)系進(jìn)行解題.
2．（23-24高三·廣西南寧·階段練習(xí)）已知：，：，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】將是的必要不充分條件轉(zhuǎn)化為?，然后根據(jù)集合間的包含關(guān)系列不等式求解即可.
【詳解】設(shè)，，
因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以?，
所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，成立，
所以.
故選：A.
3．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成的集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意，對(duì)集合分等于空集和不等于空集兩種情況討論，分別求出符合題意的的值即可．
【詳解】由題，，?，
當(dāng)時(shí)，有，符合題意；
當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，所以或，所以.
綜上，實(shí)數(shù)的所有可能的取值組成的集合為.
故選：A.
4．（23-24高上·江蘇南通·開學(xué)考試）設(shè)，，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)充分必要條件和集合的包含關(guān)系求解即可.
【詳解】由，解得，
所以，
又由，解得，
所以，
因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，
所以集合真包含于，
所以，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，，滿足題意；
時(shí)，，滿足題意；
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選:A.
5．（22-23高三·全國·模擬）若“”是“”的必要不充分條件，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】利用必要不充分的定義進(jìn)行判斷求解即可
【詳解】由“”是“”的必要不充分條件知：是的真子集，可得知
故選：C
題型六：充要條件
充分條件與必要條件的應(yīng)用技巧
(1)應(yīng)用：可利用充分性與必要性進(jìn)行相關(guān)問題的求解，特別是求參數(shù)的值或取值范圍問題．
(2)求解步驟：先把p，q等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解．
1．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)，則“”是“在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限”的（ ）條件
A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷和選擇.
【詳解】，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為；
點(diǎn)位于第四象限的充要條件是，即；
故“”是“在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限”的充要條件.
故選：A
2．（22-23高三·全國·模擬）以下選項(xiàng)中，p是q的充要條件的是（ ）
A．p：，q：
B．p：，q：
C．p：四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直平分，q：四邊形是正方形
D．p：，q：關(guān)于x的方程有唯一解
【答案】D
【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，，，所以p推不出q，q推不出p，
所以p是q既不充分也不必要條件；
對(duì)于B，；當(dāng)時(shí)，滿足，但q推不出p，
故p是q的充分不必要條件；
對(duì)于C，若“兩條對(duì)角線互相垂直平分”成立推不出“四邊形是正方形”；
反之，若“四邊形是正方形”成立推出“兩條對(duì)角線互相垂直平分”成立，故p是q的必要不充分條件；
對(duì)于D，若，則關(guān)于x的方程有唯一解；若關(guān)于x的方程有唯一解，則，
所以，故p是q的充分必要條件.
故選：D.
3．（2023高三·全國·課后作業(yè)）關(guān)于x的方程，以下命題正確的個(gè)數(shù)為（ ）
（1）方程有二正根的充要條件是；（2）方程有二異號(hào)實(shí)根的充要條件是；（3）方程兩根均大于1的充要條件是.
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【答案】B
【分析】對(duì)于（1），舉反例，即可判斷；對(duì)于（2）方程有二異號(hào)實(shí)根可推出 ，可推出方程有二異號(hào)實(shí)根，即可判斷；對(duì)于（3），舉反例，即可判斷.
【詳解】對(duì)于（1），令滿足，但，方程無實(shí)數(shù)解，（1）錯(cuò)；
對(duì)于（2），必要性：方程，有一正根和一負(fù)根，.
充分性：由可得，所以及,
方程 有一正根和一負(fù)根，（2）對(duì)；
對(duì)于（3），令，兩根為，滿足，但不符合方程兩根均大于1，（3）錯(cuò).
故選：B
4．（22-23高三·廣東·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，則“”是“”的（ ）
A．充分必要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由題意可得為等差數(shù)列，后據(jù)此判斷與間關(guān)系可得答案.
【詳解】設(shè)首項(xiàng)為，由，可得，
則可得.
則
.故“”是“”的充分必要條件.
故選：A
5．（2021高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)為全集，、是的子集，則“存在集合使得”是“”的（ ）條件
A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】首先通過集合子集的概念與集合的運(yùn)算確定推導(dǎo)關(guān)系，然后再根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】首先由，，易知，所以充分性成立；
，即存在集合，使得，成立，所以必要性成立，因此“，”是“”的充要條件.故選：C.
題型七：充要條件求參型
沖要條件：
命題對(duì)應(yīng)集合，命題對(duì)應(yīng)集合是，則是的充分條件，是的必要條件，是的充要條件，是的充分不必要條件?，是的必要不充分條件?．
1．（21-22高二上·江蘇常州·模擬）“，”為真命題的充分必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，解得答案.
【詳解】，，即，即.
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查了充要條件，真命題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和推斷能力.
2．（23-24高三·貴州黔西·模擬）關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合一元二次方程的的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.
【詳解】由方程關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足，
解得或，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件是或.
故選：A.
3．（21-22高三·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）設(shè)集合，若集合，，則的充要條件是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】先根據(jù)集合的運(yùn)算，求得，結(jié)合，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由題意，可得，
因?yàn)?，所以，解得，反之亦成立?br>所以的充要條件是．
故選：A．
4．（20-21高三·上海崇明·階段練習(xí)）函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】計(jì)算可得，則函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是的定義域不為空集，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即不等式有解，轉(zhuǎn)化為有解，通過的最小值可得的范圍.
【詳解】解：，
則，
則函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是的定義域不為空集，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
不等式有解，即有解，
，
.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和分析能力，是基礎(chǔ)題.
5．（22-23高二上·江蘇連云港·模擬）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，若“an＜an+1（n∈N*）”的充要條件是“a＜M”，則M的值等于（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解析】由數(shù)列的通項(xiàng)公式分別驗(yàn)算成立的充分條件和必要條件可得答案.
【詳解】解：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，
必要性：若，則恒成立，即對(duì)任意恒成立，則；
充分性：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，
即.
∴“”的充要條件是“”，
∴的值等于.
故選：C.
【知識(shí)點(diǎn)】本題主要考查充分條件、必要條件和數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生的綜合分析能力和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.
題型八：“地圖型”條件的判定
多重復(fù)雜的充分必要條件之間傳遞變化判斷， 可以借助類似如下“地圖”一樣來判斷 。
判斷方法是，根據(jù)箭頭是否能“往返”或者“轉(zhuǎn)圈”推導(dǎo)，以此判斷沖分析與必要性
1．（22-23高三·上海浦東新·階段練習(xí)）已知是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，現(xiàn)有下列命題：①s是q的充要條件；②是q的充分不必要條件；③r是q的必要不充分條件；④r是s的充分不必要條件.正確的命題序號(hào)是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
【答案】B
【分析】根據(jù)條件及充分條件和必要條件的的確定之間的關(guān)系，然后逐一判斷命題①②③④即可.
【詳解】因?yàn)槭堑牡某浞植槐匾獥l件，所以，推不出，
因?yàn)槭堑牡某浞謼l件，所以，
因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以，
因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以，
因?yàn)?，，所以，又，，所以是的充要條件，命題①正確，
因?yàn)?，，，所以?br>推不出，故是的充分不必要條件，②正確；
因?yàn)椋?，所以，是的充分條件，命題③錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，所以，又?br>所以是的充要條件，命題④錯(cuò)誤；
故選：B.
2．（23-24高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知是的充分條件，是的充分不必要條件，是的必要條件，是的必要條件，現(xiàn)有下列命題：①是的必要不充分條件；②是的充分不必要條件；③是的充分不必要條件；④是的充要條件.正確的命題序號(hào)是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【分析】根據(jù)題意以及充分條件和必要條件的定義確定之間的關(guān)系，然后逐一判斷命題①②③④的正確性即可.
【詳解】因?yàn)槭堑牡某浞謼l件，所以.因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，，
因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以.因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以，
所以由，，可得，
則是的充要條件，命題①錯(cuò)誤；
則是的充要條件，命題②錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，所以，，故是的充分不必要條件，命題③正確；
易得，，所以是的必要不充分條件，命題④錯(cuò)誤，
故選：C.
3．（2021·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)甲是乙的充分不必要條件，乙是丙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，則甲是丁的 （ ） 條件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】記甲、乙、丙、丁各自對(duì)應(yīng)的條件構(gòu)成的集合分別為，，，，根據(jù)題目條件得到集合之間的關(guān)系，并推出?D，，所以甲是丁的充分不必要條件.
【詳解】記甲、乙、丙、丁各自對(duì)應(yīng)的條件構(gòu)成的集合分別為A，，，，
由甲是乙的充分不必要條件得，?B，
由乙是丙的充要條件得，，
由丁是丙的必要不充分條件得，?D，
所以?D，，故甲是丁的充分不必要條件.
故選：A.
4．（22-23高上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）若命題甲是命題乙的充分非必要條件，命題丙是命題乙的必要非充分條件，命題丁是命題丙的充要條件，則命題丁是命題甲的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，設(shè)命題甲為集合A，命題乙為集合B，命題丙為集合C，命題丁為集合D，轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系，可探求命題之間的關(guān)系，判斷命題丁能否推出命題甲，及命題甲能否推出命題丁，即可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)命題甲為集合A，命題乙為集合B，命題丙為集合C，命題丁為集合D；
命題甲是命題乙的充分非必要條件；命題丙是命題乙的必要非充分條件命題乙是命題丙的充分非必要條件，命題丁是命題丙的充要條件，綜上得到，可知，及命題甲是命題丁的充分非必要條件命題丁是命題甲的必要非充分條件，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件，必要條件，真子集，屬于中檔題.
5．（22-23高三·黑龍江牡丹江·課后作業(yè)）設(shè)甲是乙的必要條件；丙是乙的充分但不必要條件，那么（ ）
A．丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件
B．丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件
C．丙是甲的充要條件
D．丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件
【答案】A
【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.
【詳解】因?yàn)榧资且业谋匾獥l件，
所以乙是甲的充分條件，即乙推出甲；
因?yàn)楸且业某浞值槐匾獥l件，則丙推出乙，乙推不出丙，
所以丙推出甲，甲推不出丙，
即丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件，
故選：A
題型九：充要條件綜合應(yīng)用
充要條件：
命題對(duì)應(yīng)集合，命題對(duì)應(yīng)集合是，則是的充分條件，是的必要條件，是的充要條件，是的充分不必要條件?，是的必要不充分條件?．
1．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，x軸上方兩點(diǎn)A，B在橢圓上，與平行，交于P.過P且傾斜角為的直線從上到下依次交橢圓于S，T.若，則“為定值”是“為定值”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不必要也不充分條件
【答案】D
【分析】先求出的軌跡，其軌跡方程為，取，結(jié)合特殊情形可得“當(dāng)取定值， 是定值”是錯(cuò)誤的；再由 是定值可得，從而可判斷當(dāng)取定值， 是定值”是錯(cuò)誤的，從而可得正確的選項(xiàng).
【詳解】設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，為橢圓的半焦距，
故，故
，
設(shè)直線，則到該直線的距離為，故，
如圖，設(shè)直線的傾斜角為，過作的垂線，垂足為，
則，故，設(shè)，故，同理.
設(shè)的傾斜角為，則，，因?yàn)?，故?br>所以，所以，同理，
故，故的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，其長半軸長為，短半軸長為，故的軌跡方程為：，其中.取，,而，故不是定值即不是定值.
故“當(dāng)取定值， 是定值”是錯(cuò)誤的.
又直線的參數(shù)方程為：，設(shè)，
由整理得到：，
故，而，故，
所以，若為定值，則為定值，
而，故當(dāng)變化時(shí)，始終為定值，又
故且，但，故，
所以，
但此時(shí)隨的變化而變化，不是定值，
故“當(dāng)取定值，是定值”是錯(cuò)誤的.故選：D.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于圓錐曲線中的動(dòng)態(tài)問題，注意利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)去研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡，對(duì)于是否為定值的問題，注意構(gòu)建不同變量之間的關(guān)系，結(jié)合特例來處理是否為定值的問題.
2．（21-22高二下·重慶·）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t“”是“是周期為2的周期函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．既不充分又不必要條件D．充要條件
【答案】A
【分析】通過可以得出，反過來不可以，反例見詳解.
【詳解】由得，，
所以，，即.
所以“”是“是周期為2的周期函數(shù)”的充分條件.
如下圖是一個(gè)周期為得函數(shù)，
得不出，
所以“”是“是周期為2的周期函數(shù)”的不必要條件.
所以“”是“是周期為2的周期函數(shù)”的充分不必要條件.
故選：A.
3．（2022廣東茂名·二模）設(shè)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，“”是“”的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，再分別判斷充分性和必要性得到答案.
【詳解】定義域?yàn)椋?br>，函數(shù)為奇函數(shù)
易知：在上單調(diào)遞增，
且
故在上單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，，充分性；
當(dāng)時(shí)，即，必要性；
故選：
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，充分必要條件，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.
4．（22-23高三·上海浦東新·階段練習(xí)）已知不等式的解集為，不等式的解集為，其中、是非零常數(shù)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
【答案】A
【分析】對(duì)、的符號(hào)以及、是否相等分情況討論，得出的充要條件，即可判斷出“”是“”的充要條件關(guān)系.
【詳解】（1）若，.
①若，不等式即為，則，不等式即為，得，，；
②若，不妨設(shè)，不等式即為，則，不等式即為，得，，則；
（2）同理可知，當(dāng)，時(shí)，，不一定為；
（3）若，.
①若，不等式即為，則，不等式即為，則，此時(shí)，；
②若，不妨設(shè)，不等式即為，則，不等式即為，則，此時(shí)，；
（4）同理，當(dāng)，時(shí)，.
綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，同時(shí)也考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用，在解題時(shí)需要對(duì)參數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類討論，考查推理能力，屬于中等題.
5．（2022·廣東·一模）已知，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】若，則，利用函數(shù)的單調(diào)性可得．反之不一定成立，例如取，．即可得出其不成立．
【詳解】解：若，則，
∴，
又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴．
反之不一定成立，“”不一定得出“”，
例如取，．則“”．
∴“”是“”的必要不充分條件．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件、必要條件的概念，還考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式及賦值法，屬于難題．
題型十：命題的否定
全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．
對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定時(shí)，首先把存在量詞改為全稱量詞，然后對(duì)判斷詞進(jìn)行否定，可以結(jié)合命題的實(shí)際意義進(jìn)行表述．
1．（22-23高三·浙江·模擬）命題“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得B．都有
C．，使得D．，都有
【答案】D
【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，即可求解.
【詳解】“，使得”是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題
故否定形式是，都有.
故選：D
2．（22-23高二下·安徽·階段練習(xí)）命題“a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一個(gè)成立”的否定為（ ）
A．a(chǎn)，b>0，a＋0，a＋0，a＋≥2和b＋≥2至少有一個(gè)成立”的否定為：
a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.
3．（22-23高一·全國·課后作業(yè)）已知全集U，M，N是U的非空子集，若(?UM)?N，則必有( )
A．M?(?UN)B．(?UN) M
C．(?UM)＝(?UN)D．M＝N
【答案】A
【分析】由題意，作出Venn圖，即可得到答案.
【詳解】由題意，作出Venn圖，如圖所示，即可得到M?(?UN)，故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的包含關(guān)系，其中解答中根據(jù)題意作出，得出集合之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.
4．（21-22高·山西運(yùn)城·模擬）已知，命題：，，則（ ）.
A．是真命題，：，
B．是真命題，：，
C．是假命題，：，
D．是假命題，：，
【答案】B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，得到，可以判斷命題的真假，再根據(jù)全稱命題的否定寫出即可.
【詳解】，∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，是真命題，
：，.
故選：B.
5．（20-21高二下·四川涼山·模擬）命題：的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用全稱命題的否定的概念即可求解,改量詞，否結(jié)論
【詳解】解：命題：的否定是,
故選：B
題型十一：全稱與特稱命題真假求參
求解含有量詞的命題中參數(shù)范圍的策略
對(duì)于全稱(存在)量詞命題為真的問題，實(shí)質(zhì)就是不等式恒成立(能成立)問題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值(或最小值)．
1．（23-24高三·福建泉州·模擬）命題“”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)全稱量詞命題為真命題，分離參數(shù)求解出參數(shù)范圍的充要條件，然后根據(jù)充分條件、必要條件的定義對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槊}“”為真命題，則對(duì)恒成立，
所以，所以，
所以命題“”為真命題的充分必要條件為，所以選項(xiàng)B不符合題意；
對(duì)于A選項(xiàng)，得不到，能得到，所以是的必要不充分條件，所以選項(xiàng)A符合題意；
對(duì)于C選項(xiàng)，得不到，也得不到，所以是的既不充分也不必要條件，所以選項(xiàng)C不符合題意；
對(duì)于D選項(xiàng)，能得到，得不到，所以是的充分不必要條件，所以選項(xiàng)D不符合題意.
故選：A.
2．（23-24高三·廣東茂名·模擬）已知命題“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由題意可得，解不等式即可求出答案.
【詳解】因?yàn)槊}“，使”是假命題，
所以恒成立，所以，
解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：B．
3．（23-24高三·四川成都·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，命題“存在，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為命題“任意，”為真命題，進(jìn)而得到在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得的最大值，即可求解.
【詳解】由命題“存在，”的否定為命題“任意，”，
根據(jù)題意，可得命題“任意，”為真命題，
即對(duì)任意，不等式恒成立，
所以，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，，即的最大值為，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
4．（23-24高三·浙江·階段練習(xí)）已知命題；命題，若命題均為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出為真命題時(shí)的范圍，進(jìn)一步可得答案．
【詳解】由，得，
，，
則當(dāng)時(shí)，取最小值2，所以，
命題，則，即，
若命題均為假命題，則且，即，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B.
5．（22-23高三·河北唐山·階段練習(xí)）為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)全稱命題為真命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，再利用不等式的性質(zhì)及充分不必要條件的定義即可求解.
【詳解】由為真命題，等價(jià)于在上恒成立，
所以，即可.
設(shè)，，則
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，對(duì)稱軸為，開口向上，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即，
所以的一個(gè)充分不必要條件是的真子集，則滿足條件.
故選：A.
題型十二：新定義型簡(jiǎn)易邏輯壓軸題
涉及集合新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，然后合理利用定義，結(jié)合相關(guān)的其它知識(shí)，分類討論，進(jìn)行推理判斷解決.
1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)X，Y為任意集合，映射．定義：對(duì)任意，若，則，此時(shí)的為單射．
(1)試在上給出一個(gè)非單射的映射；
(2)證明：是單射的充分必要條件是：給定任意其他集合與映射，若對(duì)任意，有，則；
(3)證明：是單射的充分必要條件是：存在映射，使對(duì)任意，有．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)證明過程見解析
(3)證明過程見解析
【分析】
（1）結(jié)合單射的定義舉出符合條件的例子即可；
（2）結(jié)合單射的定義、反證法從兩方面來說明即可；
（3）結(jié)合單射的定義、反證法從兩方面來說明即可.
【詳解】（1）由題意不妨設(shè)，當(dāng)（非0）互為相反數(shù)時(shí)，滿足題意；
（2）一方面若是單射，且，則，即（否則若，有，矛盾），
另一方面，若對(duì)任意，由可以得到，
我們用反證法證明是單射，
假設(shè)不是單射，即存在，有，
又由可以得到，即，這就產(chǎn)生了矛盾，
所以是單射，
綜上所述，命題得證；
（3）一方面若是單射，則由可得，
同理存在單射，使得，，有，
另一方面，若存在映射，使對(duì)任意，有，
我們用反證法來證明是單射，
若不是單射，即存在，有，
又若，則由題意，這與產(chǎn)生矛盾，
所以此時(shí)是單射，
綜上所述，命題得證.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：后面兩問的關(guān)鍵是結(jié)合單射的定義、反證法從兩方面來說明，由此即可順利得證.
2．（23-24高三·北京·模擬）已知集合，對(duì)于集合的非空子集，若中存在個(gè)互不相同的元素，使得均屬于，則稱集合是集合的“期待子集”.
(1)試判斷集合是否為集合的“期待子集”；（直接寫出答案，不必說明理由）
(2)如果一個(gè)集合中含有個(gè)元素，同時(shí)滿足①，②，③為偶數(shù).那么稱該集合具有性質(zhì).對(duì)于集合的非空子集，證明：集合是集合的“期待子集”的充要條件是集合具有性質(zhì).
【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)所給定義判斷即可.
（2）先證明必要性，再證明充分性，結(jié)合所給“期待子集”的定義及性質(zhì)的定義證明即可；
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>對(duì)于集合，令，解得，顯然，，
所以是集合的“期待子集”；
對(duì)于集合，令，則，
因?yàn)?，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集?br>（2）先證明必要性：
當(dāng)集合是集合的“期待子集”時(shí)，由題意，存在互不相同的，使得，
不妨設(shè)，令，，，則，即條件中的①成立；
又，所以，即條件中的②成立；
因?yàn)椋?br>所以為偶數(shù)，即條件中的③成立；
所以集合滿足條件.
再證明充分性：
當(dāng)集合滿足條件時(shí)，有存在，滿足①，②，③為偶數(shù)，
記，，，
由③得，由①得，由②得，
所以，
因?yàn)?，，，所以，，均屬于?br>即集合是集合的“期待子集”
3．（2024江蘇南通·模擬）若數(shù)列滿足①，②存在常數(shù)與無關(guān)），使.則稱數(shù)列是“和諧數(shù)列”.
（1）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求證：數(shù)列是“和諧數(shù)列”；
（2）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)，公比為q的等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和，求證：數(shù)列是“和諧數(shù)列”的充要條件為.
【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析
【詳解】試題分析：（1）新定義問題，關(guān)鍵證明滿足定義中兩個(gè)條件：先確定，再依次驗(yàn)證定義中兩個(gè)條件（2）首先分清充分性與必要性，再分別給予證明，證充分性類似（1），可先證；而證必要性，需用反證法：其理由是當(dāng)時(shí)，正項(xiàng)等比數(shù)列趨向于無窮大，即不存在上界.
試題解析：（1）設(shè)公比為，則,
所以.
因?yàn)?br>=
=.
且即存在常數(shù)32,
所以，數(shù)列是“和諧數(shù)列” .
（2）充分性
設(shè)等比數(shù)列的公比，且
則.
令，則
因?yàn)?br>所以是“和諧數(shù)列”
必要性
等比數(shù)列各項(xiàng)為正，且是“和諧數(shù)列”.
因?yàn)樗裕?br>下面用反證法證明，
（1）當(dāng)則因?yàn)樗?，不存在，使?duì)恒成立;
當(dāng)，則
所以，對(duì)于給定的正數(shù)，若
因?yàn)椋?，所以?br>即當(dāng)時(shí)，有.
所以，不存在常數(shù)，使
所以，
綜上,數(shù)列是“和諧數(shù)列”的充要條件為其公比為.
4．（20-21高三·安徽合肥·階段練習(xí)）對(duì)于有限個(gè)自然數(shù)組成的集合，定義集合，記集合的元素個(gè)數(shù)為.定義變換，變換將集合變換為集合.
（1）若，求；
（2）若集合，證明：的充要條件是.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)題干中對(duì)集合和的定義，可以求出兩個(gè)集合
（2）證明充要條件要從兩方面證明，一是證明充分性，而是證明必要性，都成立則說明是充要條件
【詳解】解：（1）若集合, 則根據(jù)定義可得：.
（2）由.
充分性：設(shè)是公差為的等差數(shù)列,
則
且, 所以共有個(gè)不同的值, 即.
必要性：若,
因?yàn)?
所以中有個(gè)不同的元素：,
任意的值都與上述某一項(xiàng)相等.
又, 且.
所以, 所以是等差數(shù)列，且公差不為.
5.（2024年北京高考） 設(shè)集合．對(duì)于給定有窮數(shù)列，及序列，，定義變換：將數(shù)列的第項(xiàng)加1，得到數(shù)列；將數(shù)列的第列加，得到數(shù)列…；重復(fù)上述操作，得到數(shù)列，記為．
（1）給定數(shù)列和序列，寫出；
（2）是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個(gè)符合條件的；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，證明：“存在序列，使得為常數(shù)列”的充要條件為“”．
【答案】（1）
（2）不存在符合條件的，理由見解析
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）直接按照的定義寫出即可；
（2）利用反證法，假設(shè)存在符合條件的，由此列出方程組，進(jìn)一步說明方程組無解即可；
（3）分充分性和必要性兩方面論證.
【小問1詳解】
由題意得；
【小問2詳解】
假設(shè)存在符合條件的，可知的第項(xiàng)之和為，第項(xiàng)之和為，
則，而該方程組無解，故假設(shè)不成立，
故不存在符合條件；
【小問3詳解】
我們?cè)O(shè)序列為，特別規(guī)定.
必要性：
若存在序列，使得為常數(shù)列.
則，所以.
根據(jù)的定義，顯然有，這里，.
所以不斷使用該式就得到，，必要性得證.
充分性：
若.
由已知，為偶數(shù)，而，所以也是偶數(shù).
我們?cè)O(shè)是通過合法的序列的變換能得到的所有可能的數(shù)列中，使得最小的一個(gè).
上面已經(jīng)證明，這里，.
從而由可得.
同時(shí)，由于總是偶數(shù)，所以和的奇偶性保持不變，從而和都是偶數(shù).
下面證明不存在使得.
假設(shè)存在，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，，即.
情況1：若，則由和都是偶數(shù)，知.
對(duì)該數(shù)列連續(xù)作四次變換后，新的相比原來的減少，這與的最小性矛盾；
情況2：若，不妨設(shè).
情況2-1：如果，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾；
情況2-2：如果，則對(duì)該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾.
這就說明無論如何都會(huì)導(dǎo)致矛盾，所以對(duì)任意的都有.
假設(shè)存在使得，則是奇數(shù)，所以都是奇數(shù)，設(shè)為.
則此時(shí)對(duì)任意，由可知必有.
而和都是偶數(shù)，故集合中的四個(gè)元素之和為偶數(shù)，對(duì)該數(shù)列進(jìn)行一次變換，則該數(shù)列成為常數(shù)列，新的等于零，比原來的更小，這與的最小性矛盾.
綜上，只可能，而，故是常數(shù)列，充分性得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵在于對(duì)新定義的理解，以及對(duì)其本質(zhì)的分析.

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