知識(shí)點(diǎn)1 向量的有關(guān)概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
2、零向量：長度為0的向量，記作.
3、單位向量：長度等于1個(gè)單位長度的向量．
4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：與任一向量平行．
5、相等向量：長度相等且方向相同的向量．
6、相反向量：長度相等且方向相反的向量．
知識(shí)點(diǎn)2 向量的線性運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn)3 向量共線定理與基本定理
1、向量共線定理：如果，則，反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使.
2、三點(diǎn)共線定理：平面內(nèi)三點(diǎn)、、三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)。2
3、平面向量基本定理
（1）定義：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使
（2）基底：若不共線，我們把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．
（3）對(duì)平面向量基本定理的理解
= 1 \* GB3 ①基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可以作為基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
= 2 \* GB3 ②基底給定時(shí)，分解形式唯一．是被唯一確定的數(shù)值．
= 3 \* GB3 ③是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，
則當(dāng)與共線時(shí)，；當(dāng)與共線時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
= 4 \* GB3 ④由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量．
知識(shí)點(diǎn)4 平面向量的數(shù)量積
1、向量的夾角
（1）定義：已知兩個(gè)非零向量和，作，，則∠AOB就是向量與的夾角．
（2）范圍：設(shè)θ是向量與的夾角，則0°≤θ≤180°.
（3）共線與垂直：若θ＝0°，則與同向；若θ＝180°，則與反向；若θ＝90°，則與垂直．
2、平面向量的數(shù)量積
（1）定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為θ，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，
記作，即，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即.
（2）幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在的方向上的投影的乘積．
【注意】（1）數(shù)量積也等于的長度|b|與在方向上的投影的乘積，這兩個(gè)投影是不同的．
（2）在方向上的投影也可以寫成，投影是一個(gè)數(shù)量，可正可負(fù)可為0，取決于θ角的范圍．
3、向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)，是兩個(gè)非零向量，是單位向量，α是與的夾角，于是我們就有下列數(shù)量積的性質(zhì)：
（1）.
（2）.
（3），同向?；，反向?.
特別地或.
（4）若θ為，的夾角，則.
4、向量數(shù)量積的運(yùn)算律
（1） (交換律)．
（2） (結(jié)合律)．
（3） (分配律)．
【注意】對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c有，但對(duì)于向量，，而言，不一定成立，即不滿足向量結(jié)合律．這是因?yàn)楸硎疽粋€(gè)與c共線的向量，而表示一個(gè)與a共線的向量，而與不一定共線，所以不一定成立．
知識(shí)點(diǎn)5 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
1、向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表示
（1）已知，則，．
結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．
（2）若，則；
結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。
2、向量平行坐標(biāo)表示：已知，則向量，共線的充要條件是
3、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
已知非零向量，，與的夾角為θ.
重難點(diǎn)01 平面向量最值或范圍問題
1、定義法： = 1 \* GB3 ①利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系； = 2 \* GB3 ②運(yùn)用基本不等式求其最值問題； = 3 \* GB3 ③得出結(jié)論。
2、坐標(biāo)法： = 1 \* GB3 ①根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并推導(dǎo)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)； = 2 \* GB3 ②將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化； = 3 \* GB3 ③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解。
3、基底法： = 1 \* GB3 ①利用基底轉(zhuǎn)化向量； = 2 \* GB3 ②根據(jù)向量運(yùn)算化簡目標(biāo)； = 3 \* GB3 ③運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)等得出結(jié)論；
4、幾何意義法： = 1 \* GB3 ①結(jié)合條件進(jìn)行向量關(guān)系推導(dǎo)； = 2 \* GB3 ②利用向量之間的關(guān)系確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡； = 3 \* GB3 ③結(jié)合圖形，確定臨界位置的動(dòng)態(tài)分析求出范圍。
類型1 數(shù)量積的最值或范圍
【典例1】（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，點(diǎn)滿足，在平面中，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)（是中點(diǎn)），建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
因?yàn)樵诰匦沃?，，，，?br>所以動(dòng)點(diǎn)在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故設(shè)，
則,
，
其中銳角滿足，故的最大值為,故選：A.
【典例2】（2024·江西鷹潭·二模）在中，角所對(duì)應(yīng)的邊為,，，，是外接圓上一點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】A
【解析】如圖，設(shè)的外心為，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，
由，
因，故,而，
故當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)取等號(hào).故選：A.
類型2 模長的最值或范圍
【典例1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知向量，，，則的最小值為 .
【答案】
【解析】，
所以.
當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：.
【典例2】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，若則的最小值為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】由可得
，
因，故時(shí)，，即的最小值為.故選：B．
類型3 向量夾角的最值或范圍
【典例1】（2024·廣東江門·二模）設(shè)向量，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】，令，則，
所以，
當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，且最小值為．
故答案為：
【典例2】（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知向量，滿足，若對(duì)任意模為的向量，均有，則向量的夾角的取值范圍為 .
【答案】
【解析】由，若對(duì)任意模為的向量，均有，
由三角不等式得，，因?yàn)橄蛄繛槿我饽榈南蛄浚?br>所以當(dāng)向量與向量夾角為時(shí)，上式也成立，設(shè)向量的夾角為.
，，
平方得到，即，
則，即，即，
同時(shí)，所以，
平方得到，即，
解得，即，，
綜上，又因?yàn)椋矗?br>向量的夾角的取值范圍.
故答案為：.
類型4 線性系數(shù)的最值或范圍
【典例1】（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）（多選）在中，為邊上一點(diǎn)且滿足，若為邊上一點(diǎn)，且滿足，，為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小值為1B．的最大值為
C．的最大值為12D．的最小值為4
【答案】BD
【解析】因?yàn)?，所以?br>又，
因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，
又，為正實(shí)數(shù)，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤，B正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD
【典例2】（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知正方形的邊長為2，中心為，四個(gè)半圓的圓心均為正方形各邊的中點(diǎn)（如圖），若在上，且，則的最大值為 ．
【答案】
【解析】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
又，
則，
，即
，解得，
,
因?yàn)椋瑒t，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值1，
則的最大值為.
故答案為：.
重難點(diǎn)02 運(yùn)用向量表示三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心
1、常見重心向量式：設(shè)O是?ABC的重心，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)
= 1 \* GB3 ①OA+OB+OC=0
= 2 \* GB3 ②PO=13PA+PB+PC
= 3 \* GB3 ③若AP=λAB+AC或OP=OA+λAB+AC，λ∈[0,+∞)，則P一定經(jīng)過三角形的重心
= 4 \* GB3 ④若AP=λABABsinB+ACACsinC或OP=OA+λABABsinB+ACACsinC，λ∈[0,+∞)則P一定經(jīng)過三角形的重心
2、常見垂心向量式：O是?ABC的垂心，則有以下結(jié)論：
= 1 \* GB3 ①OA?OB=OB?OC=OC?OA
= 2 \* GB3 ②OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2
= 3 \* GB3 ③動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λABABcsB+ACACcsC，λ∈0,+∞，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的垂心
3、常用外心向量式：O是?ABC的外心，
= 1 \* GB3 ①OA=OB=OC?OA2=OB2=OC2
= 2 \* GB3 ②OA+OB?AB=OB+OC?BC=OA+OC?AC=0
= 3 \* GB3 ③動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OB+OC2+λABABcsB+ACACcsC，λ∈0,+∞，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過?ABC的外心.
= 4 \* GB3 ④若OA+OB?AB=OB+OC?BC=OC+OA?CA=0，則O是?ABC的外心.
4、常見內(nèi)心向量式：P是?ABC的內(nèi)心，
= 1 \* GB3 ①ABPC+BCPA+CAPB=0（或aPA+bPB+cPC=0）
其中a，b，c分別是?ABC的三邊BC、AC、AB的長，
= 2 \* GB3 ②AP=λABAB+ACAC，λ[0,+∞)，則P一定經(jīng)過三角形的內(nèi)心。
【典例1】（2024·四川南充·三模）已知點(diǎn)P在所在平面內(nèi)，若，則點(diǎn)P是的（ ）
A．外心B．垂心C．重心D．內(nèi)心
【答案】D
【解析】在中，由，得，
即，由，同理得，
顯然，即與不重合，否則，同理，
則，即，，
于是平分，同理平分，
所以點(diǎn)P是的內(nèi)心.故選：D
【典例2】（23-24高三上·全國·專題練習(xí)）已知G，O，H在所在平面內(nèi)，滿足，，，則點(diǎn)G，O，H依次為的（ ）
A．重心，外心，內(nèi)心B．重心、內(nèi)心，外心
C．重心，外心，垂心D．外心，重心，垂心
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以?br>設(shè)AB的中點(diǎn)D，則，所以，
所以C，G，D三點(diǎn)共線，即G為的中線CD上的點(diǎn)，且，
所以G為的重心．
因?yàn)?，所以，所以O(shè)為的外心；
因?yàn)?，所以，即?br>所以，同理可得：，，所以H為的垂心.故選：C.
重難點(diǎn)03 奔馳定理及其應(yīng)用
1、奔馳定理：O是內(nèi)的一點(diǎn)，且x?OA+y?OB+z?OC=0，
則S?BOC:S?COA:S△AOB=x:y:z
2、證明過程：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，?BOC，?COA，?AOB的面積分別為SA，SB，SC，
求證：SA?OA+SB?OB+SC?OC=0.
延長OA與BC邊相交于點(diǎn)D，
則BDDC=S?ABDS?ACD=S?BODS?COD=S?ABD-S?BODS?ACD-S?COD=SCSB，
OD=DCBCOB+BDBCOC=SBSB+SCOB+SCSB+SCOC，
∵ODOA=SBODSBOA=SCODSCOA=SBOD+SCODSBOA+SCOA=SASB+SC，
∴OD=-SASB+SCOA，
∴-SASB+SCOA=SBSB+SCOB+SCSB+SCOC，
所以SA?OA+SB?OB+SC?OC=0.
（3）奔馳定理推論：x?OA+y?OB+z?OC=0，則
= 1 \* GB3 ①S?BOC:S?COA:S△AOB=x:y:z
= 2 \* GB3 ②S?BOCS?ABC=xx+y+z，S?AOCS?ABC=yx+y+z，S?AOBS?ABC=zx+y+z.
由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”．
（4）對(duì)于三角形面積比例問題，常規(guī)的作法一般是通過向量線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化出三角形之間的關(guān)系。但如果向量關(guān)系符合奔馳定理的形式，在選擇填空題當(dāng)中可以迅速的地得出正確答案。
【典例1】（23-24高三上·江西新余·期末）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）
A．若，則M為的重心
B．若M為的內(nèi)心，則
C．若M為的垂心，，則
D．若，，M為的外心，則
【答案】ABC
【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?br>取的中點(diǎn)，則，所以，
故三點(diǎn)共線，且，
同理，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，
所以M為的重心，A正確；
B選項(xiàng)，若M為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，
所以，即，B正確；
C選項(xiàng)，若M為的垂心，，則，
如圖，⊥，⊥，⊥，相交于點(diǎn)，
又，，即，
，即，
，即，
設(shè)，，，則，，，
因?yàn)?，，所以，即?br>同理可得，即，故，
，則，
故，
，則，
故，，
故，
同理可得，
故，C正確；
D選項(xiàng)，若，，M為的外心，則，
設(shè)的外接圓半徑為，
故，，
故，，，
所以，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
【典例2】（23-24高三上·河北保定·階段練習(xí)）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的標(biāo)志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則．設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，，，的面積分別為，，，若，則以下命題正確的有（ ）

A．
B．有可能是的重心
C．若為的外心，則
D．若為的內(nèi)心，則為直角三角形
【答案】AD
【解析】對(duì)于A，由奔馳定理可得，，
因?yàn)?，，不共線，所以，故A正確；
對(duì)于B，若是的重心，，
因?yàn)?，所以，即共線，故B錯(cuò)誤．
對(duì)于C，當(dāng)為的外心時(shí)，，
所以，
即，故C錯(cuò)誤．
對(duì)于D，當(dāng)為的內(nèi)心時(shí)，（為內(nèi)切圓半徑），
所以，所以，故D正確.故選：AD.
重難點(diǎn)04 極化恒等式及其應(yīng)用
1、極化恒等式：
2、平行四邊形模式：平行四邊形ABCD，O是對(duì)角線交點(diǎn)．則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)[|AC|2－|BD|2]．
3、三角形模式：在△ABC中，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．
【典例1】（23-24高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的四分之一，即如圖所示，，我們稱為極化恒等式. 已知在中，是中點(diǎn)，，，則（ ）
A．B．16C．D．8
【答案】A
【解析】由題設(shè)，可以補(bǔ)形為平行四邊形，
由已知得．故選：A．
【典例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）四邊形中，M是上的點(diǎn)，，,若N是線段上的動(dòng)點(diǎn)，的取值范圍是 .
【答案】
【解析】M是上的點(diǎn)且C、D兩點(diǎn)在以為直徑的圓上，
且圓心為M，是等腰直角三角形，
所以
又，
所以，
在等腰直角中,點(diǎn)M到線段MN上的一點(diǎn)N的距離最大值為1,
取最小值時(shí),N為的中點(diǎn),此時(shí)，
，所以.
故答案為：
一、解決向量概念問題的關(guān)鍵點(diǎn)
1、相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．
2、共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．
3、相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量．
4、向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談．
5、非零向量與的關(guān)系：是方向上的單位向量，因此單位向量與方向相同．
6、向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能．但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大小．
7、在解決向量的概念問題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：①不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；②考慮零向量是否也滿足條件．
【典例1】（2023·湖南長沙·一模）（多選）下列說法不正確的是（ ）
A．若 ，則與的方向相同或者相反
B．若，為非零向量，且 ，則與共線
C．若 ，則存在唯一的實(shí)數(shù) 使得
D．若 是兩個(gè)單位向量，且 ，則
【答案】ACD
【解析】對(duì)A，若為零向量時(shí)，與的方向不確定，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，分別表示，方向上的單位向量，根據(jù)題意可知B正確；
對(duì)C，若為零向量，不為零向量時(shí)，不存在實(shí)數(shù) 使得 ，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，由，
所以，故D錯(cuò)誤.故選：ACD
【典例2】（2023高三·全國·專題練習(xí)）（多選）下列命題正確的是（ ）
A．若都是單位向量，則.
B．“”是“”的必要不充分條件
C．若都為非零向量，則使＋＝成立的條件是與反向共線
D．若，則
【答案】BCD
【解析】對(duì)A，都是單位向量，則模長相等，但方向不一定相同，所以得不到，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”，
所以“”是“”的必要不充分條件，B正確；
對(duì)C，因?yàn)榕c反向共線，且，都為單位向量，則＋＝，C正確；
對(duì)D，若，則，D正確，故選:BCD.
二、平面向量共線定理的應(yīng)用
1、證明向量共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使，則與非零向量共線；
2、證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使，與有公共點(diǎn)A，則A，B，C三點(diǎn)共線；
3、求參數(shù)的值：利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值
【典例1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知向量，是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且，，，則（ ）
A．、、三點(diǎn)共線B．、、三點(diǎn)共線
C．、、三點(diǎn)共線D．、、三點(diǎn)共線
【答案】C
【解析】對(duì)A，因?yàn)?，，不存在?shí)數(shù)使得，
故、、三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，因?yàn)?，，不存在?shí)數(shù)使得，
故、、三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，因?yàn)?，，則，
故、、三點(diǎn)共線，故C正確；
對(duì)D，因?yàn)?，?br>不存在實(shí)數(shù)使得，故、、三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤.故選：C
【典例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）在中，M，N分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，線段AM，BN交于點(diǎn)D，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解法一：因?yàn)镸，N分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，可由三角形重心的性質(zhì)知.
解法二：設(shè)，
則，
又由B，D，N三點(diǎn)共線，可知，解得，
所以，故，故選：C.
三、平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路
1、應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．
2、用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．
【典例1】（2024·山西呂梁·三模）已知等邊的邊長為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】在中，取為基底，
則，
因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，,所以，
所以.故選：B.
【典例2】（23-24高三下·黑龍江大慶·階段練習(xí)）四邊形ABCD中，，且，若，則 ．
【答案】2
【解析】如圖，由可得且，
易得,則有
于是, 因，
故得由，解得：.
故答案為：2.
四、平面向量數(shù)量積的求解方法
1、定義法求平面向量的數(shù)量積
（1）方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí)，可利用定義法求解，即
（2）適用范圍：已知或可求兩個(gè)向量的模和夾角。
2、基底法求平面向量的數(shù)量積
（1）方法依據(jù)：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個(gè)向量分別用這組基底表示出來，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量級(jí)的運(yùn)算律和定義求解。
（2）適用范圍：直接利用定義法求數(shù)量積不可行時(shí)，可將已知模和夾角的兩個(gè)不共線的向量作為基底，采用“基底法”求解。
3、坐標(biāo)法求平面向量的數(shù)量積
（1）方法依據(jù)：當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，
即若，，則；
（2）適用范圍： = 1 \* GB3 ①已知或可求兩個(gè)向量的坐標(biāo)； = 2 \* GB3 ②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積。
【典例1】（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測）已知向量，，（分別為正交單位向量），則（ ）
A．B．1C．6D．
【答案】B
【解析】因?yàn)榉謩e為正交單位向量，所以，，
所以，故選：B.
【典例2】（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）已知邊長為1的正方形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】邊長為1的正方形ABCD，，，
，，
所以.故選：D.
五、解決有關(guān)垂直問題
兩個(gè)非零向量垂直的充要條件： = 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②若，，則.
【典例1】（2024·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以?br>所以即，故，故選：D.
【典例2】（2024·西藏·模擬預(yù)測）已知向量，．若，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】由題意得，．
，因?yàn)椋?br>所以，所以，所以，解得．故選：A．
六、求向量模的常用方法
1、定義法：利用及，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；
2、坐標(biāo)法：當(dāng)向量有坐標(biāo)或適合建坐標(biāo)系時(shí)，可用模的計(jì)算公式；
3、幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
【典例1】（2024·山東菏澤·二模）已知向量，且，則的值是（ ）
A．B．C．D．6
【答案】D
【解析】因?yàn)?，即，化簡，整理得?br>則，解得.故選：D
【典例2】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，，則（ ）
A．5B．C．6D．8
【答案】B
【解析】由，，，得，則，
因此，所以．故選：B
七、平面向量的夾角問題
求解兩個(gè)非零向量之間的夾角的步驟：
第一步，由坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積；
第二步，分別求出這兩個(gè)向量的模；
第三步，根據(jù)公式求出這兩個(gè)向量夾角的余弦值，其中，；
第四步，根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍及其夾角的余弦值，求出兩個(gè)向量的夾角.
【典例1】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）若，，，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以?br>又，所以，解得，
所以，
設(shè)與的夾角為，
所以，又，所以.故選：A
【典例2】（2024·河北·模擬預(yù)測）平面四邊形中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)槠矫嫠倪呅沃校c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，
所以，
所以，
由可得：，
兩邊同時(shí)平方可得：，
所以，解得：，
所以.故選：A.
八、投影向量及其應(yīng)用
設(shè)向量是向量在向量上的投影向量，則有，則
【典例1】（2024·山東青島·二模）已知向量，，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依題意，，
所以在上的投影向量為.故選：A
【典例2】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)在直線上，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，則，
則在上的投影向量為.故選：C

易錯(cuò)點(diǎn)1 平面向量的概念模糊，尤其是零向量
點(diǎn)撥：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反向量、向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、向量的模、夾角等等。
【典例1】（23-24高三上·全國·專題練習(xí)）（多選）下列說法中正確的是（ ）
A．零向量與任一向量平行B．方向相反的兩個(gè)非零向量不一定共線
C．單位向量是模為的向量D．方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，零向量的方向是任意的，零向量與任一向量平行，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B，根據(jù)共線向量的定義，可知方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C，根據(jù)單位向量的定義，可知C項(xiàng)正確；
對(duì)于D，方向相同且模相等的兩個(gè)向量相等，
因此方向相反的兩個(gè)非零向量一定不相等，D項(xiàng)正確．故選：ACD．
易錯(cuò)點(diǎn)2 忽視兩個(gè)向量成為基底的條件
點(diǎn)撥：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，，使。在平面向量知識(shí)體系中，基本定理是基石，共線向量定理是重要工具。考生在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)，務(wù)必要注意這兩個(gè)定理的作用和成立條件。
【典例1】（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的是（ ）
A．和B． 和
C． 和D． 和
【答案】C
【解析】對(duì)A：不存在實(shí)數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；
對(duì)B：不存在實(shí)數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；
對(duì)C：對(duì) 和，因?yàn)槭遣还簿€的兩個(gè)非零向量，
且存在實(shí)數(shù)，使得，故和共線，不可作基底；
對(duì)D：不存在實(shí)數(shù)，使得，故和不共線，可作基底.故選：C.
【典例2】（23-24高三上·福建·階段練習(xí)）（多選）下列各組向量中，可以作為所有平面向量的一個(gè)基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】ACD
【解析】易知能作為基底的兩個(gè)平面向量不能共線，
因?yàn)椋?，?br>則選項(xiàng)A、C、D中兩個(gè)向量均不共線，而B項(xiàng)中，則B錯(cuò)誤.故選：ACD
易錯(cuò)點(diǎn)3 錯(cuò)誤使用向量平行的等價(jià)條件
點(diǎn)撥：對(duì)于，，，若是使用，容易忽略0這個(gè)解.考生解題過程中要注意等價(jià)條件的完備性。
【典例1】（2024·青海海西·模擬預(yù)測）已知向量，，若，則（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】B
【解析】若，有，解得．故選：B．
【典例2】（2024·陜西渭南·二模）已知向量，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若，則，解得或2，
故“”是“”的充分不必要條件.故選：A
易錯(cuò)點(diǎn)4 混淆向量數(shù)量積運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果
點(diǎn)撥：向量的數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果依舊為向量，而數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果為實(shí)數(shù)，兩者要區(qū)分開。尤其使用數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)不可約公因式。
【典例1】（23-24高三上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）（多選）下列關(guān)于向量，，的運(yùn)算，一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】A：由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可以判斷本選項(xiàng)一定成立；
B：與共線，與共線，而與不一定共線，
所以不一定成立，因此本選項(xiàng)不一定成立；
C：，所以本選項(xiàng)一定成立；
D：當(dāng) 時(shí)，，所以本選項(xiàng)不一定成立，故選：AC
【典例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）（多選）設(shè)是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列命題中的真命題是（ ）
A．
B．
C．不與垂直
D．
【答案】BD
【解析】由于是不共線的向量，因此的結(jié)果應(yīng)為向量，故A錯(cuò)誤；
由于不共線，故構(gòu)成三角形，因此B正確；
由于，故C中兩向量垂直，故C錯(cuò)誤；
根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算可以得，故D是正確的.故選：BD.
易錯(cuò)點(diǎn)5 確定向量夾角時(shí)忽略向量的方向
點(diǎn)撥：錯(cuò)誤理解向量的夾角，在使用求解時(shí)，特別注意，要共起點(diǎn)才能找夾角，否則使用的可能是其補(bǔ)角造成錯(cuò)誤。
【典例1】（23-24高三下·河北滄州·期中）已知是邊長為4的正三角形，則（ ）
A．8B．C．D．
【答案】C
【解析】正的邊長為4，則.故選：C
易錯(cuò)點(diǎn)6 忽視兩向量夾角的取值范圍
點(diǎn)撥：向量的夾角范圍是從，解題時(shí)易忽略夾角為0和夾角為的情況。
【典例1】（23-24高三上·山東聊城·期末）已知向量，，若與所成的角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍： .
【答案】
【解析】與所成的角為鈍角即且與不平行，
即，
所以.
故答案為：.
【典例2】（23-24高三上·全國·專題練習(xí)）已知，為互相垂直的單位向量，，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】且
【解析】因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，且與不同向，
所以，
因?yàn)?，為互相垂直的單位向量，所以，，?br>所以，可得，
當(dāng)與同向時(shí)，，即，
可得，可得，此時(shí)不滿足與的夾角為銳角，
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為且.向量運(yùn)算
定義
法則(或幾何意義)
運(yùn)算律
加法
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

交換律：；
結(jié)合律：
減法
求與的相反向量的和的運(yùn)算
數(shù)乘
求實(shí)數(shù)λ與向量的積的運(yùn)算
，
當(dāng)λ>0時(shí)，與的方向相同；
當(dāng)λ

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