專題2.7 有理數(shù)的乘除法【十大題型】 【北師大版2024】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc29337" 【題型1 利用有理數(shù)的乘法辨別符號】  PAGEREF _Toc29337 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc29585" 【題型2 利用有理數(shù)乘法運算律進行巧算】  PAGEREF _Toc29585 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc16565" 【題型3 倒數(shù)、絕對值、相反數(shù)的綜合求值】  PAGEREF _Toc16565 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc4683" 【題型4 有理數(shù)乘法的實際應用】  PAGEREF _Toc4683 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc20793" 【題型5 有理數(shù)的混合運算】  PAGEREF _Toc20793 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc2640" 【題型6 有理數(shù)四則運算的實際應用】  PAGEREF _Toc2640 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc2710" 【題型7 利用倒數(shù)法求解有理數(shù)的除法】  PAGEREF _Toc2710 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc8083" 【題型8 化簡分數(shù)】  PAGEREF _Toc8083 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc5600" 【題型9 與有理數(shù)乘除有關的新定義問題】  PAGEREF _Toc5600 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc28439" 【題型10 有理數(shù)四則運算中的分類討論思想的運用】  PAGEREF _Toc28439 \h 8  知識點1：有理數(shù)的乘法 1.有理數(shù)的乘法 有理數(shù)乘法法則：（下列法則中a、b為正有理數(shù)，c為任意有理數(shù)） 兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，積的絕對值兩乘數(shù)的絕對值的積。任何數(shù)同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理數(shù)乘法的運算步驟：先確定積的符號，再確定積的絕對值。 多個有理數(shù)相乘：幾個不是0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負數(shù)，即“奇負偶正”。幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0，那么積等于0。 多個有理數(shù)相乘的運算步驟：先用上面的方法確定符號，再將各乘數(shù)的絕對值相乘作為積的絕對值。 2.有理數(shù)乘法運算律 乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變。即：。 乘法結合律：一般地，有理數(shù)乘法中，三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變。 即：。 乘法分配律：一般地，有理數(shù)乘法中，一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別與這兩個數(shù)相乘，再把積相加。即：。 【題型1 利用有理數(shù)的乘法辨別符號】 【例1】（23-24七年級·浙江紹興·階段練習）4個有理數(shù)相乘，積的符號是負號，則這4個有理數(shù)中，負數(shù)有 (??????) A．1個或3個 B．1個或2個 C．2個或4個 D．3個或4個 【變式1-1】（23-24七年級·安徽合肥·階段練習）若a?b0，那么這兩個數(shù)（????） A．都是正數(shù) B．都是負數(shù) C．一正一負 D．符號不能確定 【變式1-2】（23-24七年級·重慶江津·階段練習）已知a>b>c，且a+b+c=0，那么乘積ac的值一定是（　?。?A．正數(shù) B．負數(shù) C．0 D．不能確定 【變式1-3】（23-24七年級·安徽宣城·期末）如圖，A，B兩點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是a，b，下列式子成立的是（　　） A．ab>0 B．a+b>0 C．a?1b?1>0 D．a+1b?1>0 【題型2 利用有理數(shù)乘法運算律進行巧算】 【例2】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）計算：(?1×2)×(?12×32)×(?23×43)×(?34×54)×…×(?20212022×20232022)×(?20222023×20242023)． 【變式2-1】（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）計算1557×716，最簡便的方法是（　?。?A．15+57×716 B．16?27×716 C．1107×716 D．10+557×716 【變式2-2】（23-24七年級·全國·隨堂練習）用簡便方法計算： (1)?7.5×+25×?0.04； (2)?4120×1.25×?8． 【變式2-3】（23-24七年級·江蘇鹽城·階段練習）用簡便方法計算： (1)191718×?9； (2)0.618×97+3×0.618． 知識點2：倒數(shù) 1）倒數(shù)的概念：乘積是的兩個數(shù)互為倒數(shù)。 2）倒數(shù)的性質：（1）倒數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨一個數(shù)不能稱為倒數(shù)。（2）沒有倒數(shù)。（3）互為倒數(shù)的兩個數(shù)的乘積一定是，即，互為倒數(shù)，則；反之亦然． 3）求一個非零有理數(shù)的倒數(shù)，把它的分子和分母顛倒位置即可。 （1）非零整數(shù)可以看作分母為的分數(shù)后再求倒數(shù)；（2）帶分數(shù)一定要先化成假分數(shù)之后再求倒數(shù)。 【題型3 倒數(shù)、絕對值、相反數(shù)的綜合求值】 【例3】（23-24七年級·重慶·期末）?1.5的倒數(shù)的絕對值的相反數(shù)為 ． 【變式3-1】（23-24七年級·浙江·階段練習）甲、乙兩同學進行數(shù)字猜謎游戲，甲說：一個數(shù)a的相反數(shù)是它本身，乙說：一個數(shù)b的倒數(shù)也是它本身，則a-b= 【變式3-2】（23-24七年級·四川成都·期末）若a，b互為相反數(shù)，a+1的倒數(shù)是?14，則b的值為 ． 【變式3-3】（23-24七年級·內蒙古呼倫貝爾·期末）已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，m的絕對值等于4，p是數(shù)軸上原點表示的數(shù)． (1)分別直接寫出a+b，cd，m，p的值； (2)p?cd+a+bcd+m的值是多少？ 【題型4 有理數(shù)乘法的實際應用】 【例4】（23-24七年級·廣東廣州·開學考試）如圖，把A，B，C，D，E這五部分用四種不同的顏色著色，且相鄰的部分不能使用同一種顏色，不相鄰的部分可以使用同一種顏色．那么，這幅圖一共有 種不同的著色方法． ?? 【變式4-1】（23-24七年級·黑龍江大慶·期末）某商店將一種取暖器先提價20%，然后宣傳打八五折銷售，取暖器的現(xiàn)價（????） A．和原來一樣 B．比原來降了 C．比原來漲了 D．無法判斷 【變式4-2】（23-24·江西吉安·三模）《九章算術》是我國古代第一部數(shù)學專著，不僅最早提到分數(shù)問題，也首先記錄了“盈不足”等問題，在第七章“盈不足”中有這樣一個問題：“今有蒲生一日，長三尺．蒲生日自半”．其意思是“有蒲這種植物，蒲第一日長了3尺，以后蒲每日生長的長度是前一日生長的長度的一半”．根據題意，第三日蒲生長的長度為 尺． 【變式4-3】（23-24七年級·山東臨沂·期末）某公園門票價格如下表，有28名中學生游公園，則最少應付費 元．（游客只能在公園售票處購票） 知識點3：有理數(shù)的除法 1）有理數(shù)除法法則1：除以一個不等于的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。即：，()。 有理數(shù)除法法則2：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，且商的絕對值等于被除數(shù)的絕對值除以除數(shù)的絕對值的商。除以任何一個不等于的數(shù)，都得。 2）有理數(shù)除法的運算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。 有理數(shù)的乘除混合運算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。 【題型5 有理數(shù)的混合運算】 【例5】（23-24七年級·重慶九龍坡·階段練習）計算 (1)?25÷?13÷?325×523 (2)1÷?18+73÷15?23 【變式5-1】（23-24七年級·福建廈門·期中）下面是小明的計算過程，請仔細閱讀，并解答下面的問題． 計算：(?15)÷(13?3?32)×6 解：原式=(?15)÷(?256)×6……第一步 ?????=(?15)÷(?25)……第二步 ?????=?35……第三步 解答過程是否有錯，若有，錯在第幾步？錯誤原因是什么？最后請寫出正確的過程． 【變式5-2】（23-24七年級·吉林白城·階段練習）計算：?45×214+?14×45?112×?45． 【變式5-3】（23-24七年級·河北石家莊·階段練習）老師布置了一道練習：計算?16÷14?13×12． 嘉嘉和淇淇的解答過程如下： (1)①嘉嘉解題過程中開始出現(xiàn)錯誤的是第______步； ②淇淇解題過程中開始出現(xiàn)錯誤的是第______步． (2)把正確的解題過程寫出來． (3)計算：?24×34+16?58÷14． 【題型6 有理數(shù)四則運算的實際應用】 【例6】（23-24七年級·山東威?！て谥校庀蠼y(tǒng)計資料表明：高山上的溫度每升高100米，平均氣溫下降0.6℃．已知山腳的溫度是8℃． (1)若這座山的高度是2千米，求山頂?shù)臏囟龋?(2)小明在上山過程中看到溫度計上的讀數(shù)是?1℃，此時他距山腳有多高？ 【變式6-1】（23-24七年級·貴州銅仁·階段練習）某服裝公司2017年四個季度的盈虧情況如下：第一季度平均每月虧損1.5萬元，第二季度在全體員工的努力下，平均每月盈利2萬元，第三季度平均每月盈利1.7萬元，第四季度平均每月虧損2.9萬元，那么這個公司2017年平均每月盈虧情況如何？ 【變式6-2】（23-24七年級·四川成都·期中）小張第一次用180元購買了8套兒童服裝，以一定價格出售.如果以每套兒童服裝80元的價格為標準，超出的記作整數(shù)，不足的記作負數(shù)，記錄如下（單位：元）： +12,?13,+15,+11,?17,?11,0,?13. 請通過計算說明： （1）小張賣完這8套兒童服裝后是盈利還是虧損？盈利（或虧損）了多少錢？ （2）每套兒童服裝的平均售價是多少元？ （3）小張第二次用第一次的進價再次購買900元的兒童服裝，如果他預計第二次每套服裝的平均售價75元，按他的預計第二次售價可獲利多少元？ 【變式6-3】（23-24七年級·四川成都·期中）居民生活中使用天然氣實行階梯式計價，用戶每月用氣量在20立方米及以內的為第一級基數(shù)，按一級用氣價格收?。怀^20立方米且不超過30立方米的部分為第二級氣量基數(shù)，按一級用氣價格的1.5倍收?。撼^30立方米的部分為第三級氣量基數(shù)，按一級用氣價格的1.8倍收?。疄楣?jié)約用氣量，小明記錄了1－7月份他家每月1號的氣表讀數(shù)． （1）直接寫出小明家1月份的用氣量____________立方米及1－6月平均每月用氣量為_______立方米． （2）已知小明家2月份的氣費為36元，試求他家6月份需交氣費多少元？ （3）7月份放暑假后，小明的爺爺、奶奶及表哥來到家里和小明一起生活，并多次請客，用氣量明顯增加，比6月份多用氣12立方米，試求小明家7月份需交納氣費多少元？ 【題型7 利用倒數(shù)法求解有理數(shù)的除法】 【例7】（23-24七年級·遼寧鞍山·階段練習）閱讀下列材料，并解答問題： 材料一：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，如ab和ba，即若設a÷b=x，則b÷a=1x； 材料二：分配律：a+bc=ac+bc； 利用上述材料，請用簡便方法計算：?160÷13?14+112． 【變式7-1】（23-24七年級·吉林長春·階段練習）我們學過了乘法分配律，但是在做除法運算時就不能使用分配律．對于下面這道計算題：?142÷16?27+23?314，小明有了自己的想法，小明的做法是：先求原式的倒數(shù)：16?27+23?314÷?142=16?27+23?314×(?42)=?16×42+27×42?23×42+314×42＝﹣7+12﹣28+9＝﹣14，所以原式＝﹣114請你仿照以上小明的做法計算：?124÷1?112?38+712 【變式7-2】（23-24七年級·全國·隨堂練習）閱讀材料，回答問題． 計算：?115÷15?13． 解：方法一：原式=?115÷315?515=?115÷?215=12． 方法二：原式的倒數(shù)為：15?13÷?115=15?13×?15=15×?15?13×?15=?3+5=2 故原式=12． 用適當?shù)姆椒ㄓ嬎悖?130÷23?110+16?25． POPA． 例如：當點P是線段OA的中點時，因為PO=PA，所以P=1． 如圖，點P1,P2,P3為數(shù)軸上三個點，點P1表示的數(shù)為?14，點P2表示的數(shù)與點P1表示的數(shù)互為相反數(shù)，點P3表示的數(shù)為2． ?? (1)點P2表示的數(shù)為：___________； (2)求P1,P2,P3的值，比較P1,P2,P3的大小，并用“0，c0 B．a+b>0 C．a?1b?1>0 D．a+1b?1>0 【答案】B 【分析】先根據數(shù)軸確定a，b的取值范圍，再逐一判定即可解答． 【詳解】解：由數(shù)軸可得：?1

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