專題2.2 有理數(shù)和數(shù)軸【九大題型】 【北師大版2024】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc9063" 【題型1 有理數(shù)的相關(guān)概念】  PAGEREF _Toc9063 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc3140" 【題型2 有理數(shù)的分類】  PAGEREF _Toc3140 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc24307" 【題型3 數(shù)軸的三要素及其畫法】  PAGEREF _Toc24307 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc2243" 【題型4 用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)】  PAGEREF _Toc2243 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc2221" 【題型5 利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】  PAGEREF _Toc2221 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc10251" 【題型6 數(shù)軸上兩點之間的距離】  PAGEREF _Toc10251 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc26382" 【題型7 數(shù)軸上的整點問題】  PAGEREF _Toc26382 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc9056" 【題型8 數(shù)軸中點的簡單移動】  PAGEREF _Toc9056 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc20553" 【題型9 應用數(shù)軸解決實際問題】  PAGEREF _Toc20553 \h 7  知識點1：有理數(shù)的相關(guān)概念 1）整數(shù)：正整數(shù)、、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。 2）分數(shù)：正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)。 正分數(shù)：像，0.24，等這樣的數(shù)叫作正分數(shù)； 負分數(shù)：像，－3.56等這樣的數(shù)叫作負分數(shù)； 有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以化為分數(shù)，所以它們也是分數(shù)。 3）有理數(shù)：可以寫成分數(shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)，即有理數(shù)都可以表示為（p、q均為整數(shù)，且p不為0）。 正有理數(shù)：可以寫成正分數(shù)的形式的數(shù)為正有理數(shù)； 負有理數(shù)：可以寫成負分數(shù)的形式的數(shù)為負有理數(shù)； 整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。 有理數(shù)的兩種分類： 【題型1 有理數(shù)的相關(guān)概念】 【例1】（23-24七年級下·上海黃浦·期中）下列說法正確的是（????） A．自然數(shù)就是非負整數(shù) B．正數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù) C．零是最小的有理數(shù) D．有最小的正整數(shù)，沒有最大的負整數(shù) 【變式1-1】（23-24七年級上·吉林長春·期末）下列說法中，錯誤的是（????） A．所有整數(shù)都是有理數(shù) B．所有小數(shù)都是有理數(shù) C．所有分數(shù)都是有理數(shù) D．π不是有理數(shù) 【變式1-2】（23-24七年級上·廣西賀州·期末）下列關(guān)于有理數(shù)的說法正確的是（　?。?A．有理數(shù)可分為正有理數(shù)和負有理數(shù)兩大類 B．正整數(shù)集合與負整數(shù)集合合在一起構(gòu)成整數(shù)集合 C．0既不屬于整數(shù)也不屬于分數(shù) D．整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù) 【變式1-3】（23-24七年級上·北京豐臺·階段練習）下列說法中： ①0是最小的整數(shù)； ②有理數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)； ③正整數(shù)、負整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)； ④非負數(shù)就是正數(shù)； ⑤?π2不僅是有理數(shù)，而且是分數(shù)； ⑥帶“?”號的數(shù)一定是負數(shù)； ⑦無限小數(shù)不都是有理數(shù)； ⑧正數(shù)中沒有最小的數(shù)，負數(shù)中沒有最大的數(shù)； 其中錯誤的說法的個數(shù)為（????） A．7個 B．6個 C．5個 D．4個 【題型2 有理數(shù)的分類】 【例2】（23-24七年級上·河北保定·期末）對于下列各數(shù)：?5，0，92，?0.2，10%，8，其中說法錯誤的是（????） A．?5，0，8都是整數(shù) B．分數(shù)有92，?0.2，10% C．正數(shù)有92，10%，8 D．?0.2是負有理數(shù)，但不是分數(shù) 【變式2-1】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）給出一個數(shù)-107.987及下列判斷： ①這個數(shù)不是分數(shù)，但是有理數(shù)； ②這個數(shù)是負數(shù)，也是分數(shù)； ③這個數(shù)不是有理數(shù)； ④這個數(shù)是負小數(shù)，也是負分數(shù). 其中正確判斷的序號是 ． 【變式2-2】（23-24七年級上·四川南充·階段練習）在?π3，3.1415，0，?0.333…，?227，2.010010001…中，非負數(shù)的個數(shù)（???） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【變式2-3】（23-24七年級上·寧夏吳忠·階段練習）把下列各數(shù)填入相應的大括號里：?7，3.5，?3.14，π，0，1317，0.03，?312，10，25%． 正有理數(shù)集合{????????? ?????…}； 非負整數(shù)集合{??? ??????????????…}； 整數(shù)集合{???????? ????????…}； 正分數(shù)集合{?????????? ??????…}． 知識點2：數(shù)軸 數(shù)軸定義：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。 原點、正方向和單位長度是數(shù)軸的三要素． 原點將數(shù)軸分為兩部分，其中正方向一側(cè)的部分叫數(shù)軸的正半軸，另一側(cè)的部分叫數(shù)軸的負半軸。 2）數(shù)軸的畫法 ①畫一條水平的直線（一般畫水平的數(shù)軸）； ②在這條直線上適當位置取一實心點作為原點； ③確定向右的方向為正方向，用箭頭表示； ④選取適當?shù)拈L度作單位長度，用細短線畫出，并對應標注各數(shù)，同時要注意同一數(shù)軸的單位長度要一致。 3）有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系 ①一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來。 ②數(shù)軸上的點并不全是有理數(shù)，如也可以在數(shù)軸上表示，但并不是有理數(shù)。 ③正有理數(shù)位于原點的右邊，負有理數(shù)位于原點的左邊。 ④與原點的距離是a（a>0），在數(shù)軸上可以是a（存在多解的情況）。 注：要確定在數(shù)軸上的具體位置，必須要距離+方向。 【題型3 數(shù)軸的三要素及其畫法】 【例3】（23-24七年級上·廣西百色·期末）下列數(shù)軸正確的是（????） A． B． C． D． 【變式3-1】（23-24七年級上·河北邯鄲·期中）已知小紅、小剛，小明、小穎四人自南向北依次站在同一直線上，如果把直線看作數(shù)軸，四人所在的位置如圖所示，則下列描述不正確的是（????） ???? A．數(shù)軸是以小明所在的位置為原點 B．數(shù)軸采用向北為正方向 C．小剛所在的位置對應的數(shù)有可能是?53 D．小穎和小紅間的距離為7 【變式3-2】（23-24七年級上·河北石家莊·階段練習）有關(guān)數(shù)軸的畫法，下列說法中，錯誤的是（????） A．原點位置可以是數(shù)軸上任意一點 B．一般情況下，取從左到右的方向為數(shù)軸的正方向 C．數(shù)軸的單位長度可根據(jù)實際需要任意選取 D．數(shù)軸上每兩個刻度之間的長度都等于1cm 【變式3-3】（23-24七年級上·江蘇泰州·期中）如圖1，點A、B、C是數(shù)軸上從左到右排列的三個點，分別對應的數(shù)為?5，b，3，某同學將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點A，發(fā)現(xiàn)點B對應刻度2.4cm，點C對齊刻度6.4cm，則數(shù)軸上點B所對應的數(shù)b為 ． 【題型4 用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)】 【例4】（2024·河南平頂山·一模）已知點P在數(shù)軸上，且到原點的距離大于2，寫出一個點P表示的負數(shù)： ． 【變式4-1】（2024·吉林長春·一模）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是2024，OA=OB，則點B表示的數(shù)是（????） A．2024 B．?2024 C．12024 D．?12024 【變式4-2】（2024·遼寧沈陽·二模）如圖，比數(shù)軸上的點A表示的數(shù)大1的數(shù)是（????） A．?1 B．0 C．1 D．2 【變式4-3】（23-24七年級上·江蘇淮安·期中）在數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離是4，那么a= ． 【題型5 利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】 【例5】（2024·廣東佛山·三模）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的位置如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（????） A．a(chǎn)0 C．a(chǎn)>0 D．a(chǎn)0），在數(shù)軸上可以是a（存在多解的情況）。 注：要確定在數(shù)軸上的具體位置，必須要距離+方向。 【題型3 數(shù)軸的三要素及其畫法】 【例3】（23-24七年級上·廣西百色·期末）下列數(shù)軸正確的是（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本題考查的是數(shù)軸．根據(jù)數(shù)軸定義：規(guī)定了正方向、原點、單位長度的直線叫做數(shù)軸，我們一般規(guī)定，數(shù)軸向右為正方向，單位長度必須一致，依據(jù)以上標準判斷即可． 【詳解】解：A、不正確，錯誤原因：數(shù)軸單位長度不一致； B、正確； C、不正確，錯誤原因：缺少正方向； D、不正確，錯誤原因：缺少了原點． 故選：A． 【變式3-1】（23-24七年級上·河北邯鄲·期中）已知小紅、小剛，小明、小穎四人自南向北依次站在同一直線上，如果把直線看作數(shù)軸，四人所在的位置如圖所示，則下列描述不正確的是（????） ???? A．數(shù)軸是以小明所在的位置為原點 B．數(shù)軸采用向北為正方向 C．小剛所在的位置對應的數(shù)有可能是?53 D．小穎和小紅間的距離為7 【答案】C 【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義：包含原點、單位長度、正方向的直線叫做數(shù)軸，有理數(shù)的大小比較，數(shù)軸上兩點之間距離：右邊點表示的數(shù)減去左邊點表示的數(shù)，即可判斷． 【詳解】解：A.小明所在的位置表示數(shù)0，故此項結(jié)論正確； B.四人自南向北，且由南向北表示的數(shù)越來越大，所以向北為正方向，故此項結(jié)論正確； C.小剛所在的之位置對應的數(shù)在?3與?2之間，而?53在?2與?1之間，故此項結(jié)論錯誤； D.小穎和小紅間的距離為2??5=7，故此項結(jié)論正確； 故選：D． 【點睛】本題主要考查了數(shù)軸的定義，在數(shù)軸上比較兩數(shù)大小，數(shù)軸上兩點之間的距離，理解定義，能根據(jù)圖形提供的信息解題是解題的關(guān)鍵． 【變式3-2】（23-24七年級上·河北石家莊·階段練習）有關(guān)數(shù)軸的畫法，下列說法中，錯誤的是（????） A．原點位置可以是數(shù)軸上任意一點 B．一般情況下，取從左到右的方向為數(shù)軸的正方向 C．數(shù)軸的單位長度可根據(jù)實際需要任意選取 D．數(shù)軸上每兩個刻度之間的長度都等于1cm 【答案】D 【分析】數(shù)軸上原點的位置可以任意確定，單位長度也可以任意確定，取右方向為正方向；依據(jù)上述知識，對給出的選項進行判斷，即可得到答案． 【詳解】解：數(shù)軸上原點的位置可以任意確定，單位長度也可以任意確定，取右方向為正方向， 故選項D不正確． 故選：D． 【點睛】本題考查數(shù)軸，掌握數(shù)軸的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵． 【變式3-3】（23-24七年級上·江蘇泰州·期中）如圖1，點A、B、C是數(shù)軸上從左到右排列的三個點，分別對應的數(shù)為?5，b，3，某同學將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點A，發(fā)現(xiàn)點B對應刻度2.4cm，點C對齊刻度6.4cm，則數(shù)軸上點B所對應的數(shù)b為 ． 【答案】?2 【分析】由AC長度是6.4厘米求出數(shù)軸的單位長度是0.8厘米，再由AB的長度是2.4cm，即可求解． 【詳解】解：∵6.4÷3?(?5)=0.8cm， ∴數(shù)軸的單位長度是0.8厘米， ∵2.4÷0.8=3， ∴在數(shù)軸上A,B的距離是3個單位長度， ∴點B所對應的數(shù)b為?5+3=?2． 故答案為：?2． 【點睛】本題考查數(shù)軸的概念，關(guān)鍵是確定數(shù)軸上的單位長度是多少厘米． 【題型4 用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)】 【例4】（2024·河南平頂山·一模）已知點P在數(shù)軸上，且到原點的距離大于2，寫出一個點P表示的負數(shù)： ． 【答案】?3 【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，在數(shù)軸上表示有理數(shù)，根據(jù)“點P在數(shù)軸上，且到原點的距離大于2，還是負數(shù)”這三個條件，寫出一個即可作答．答案不唯一 【詳解】解：依題意，當點P在數(shù)軸的負半軸上，即點P表示為?3，滿足“到原點的距離大于2，還是負數(shù)” 故答案為：?3 【變式4-1】（2024·吉林長春·一模）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是2024，OA=OB，則點B表示的數(shù)是（????） A．2024 B．?2024 C．12024 D．?12024 【答案】B 【分析】本題考查數(shù)軸上點表示有理數(shù)，熟練掌握數(shù)軸上點的特征是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸的定義求解即可． 【詳解】解：∵數(shù)軸上點A表示的數(shù)是2024，OA=OB， ∴OB=2024， ∴點B表示的數(shù)是?2024， 故選：A． 【變式4-2】（2024·遼寧沈陽·二模）如圖，比數(shù)軸上的點A表示的數(shù)大1的數(shù)是（????） A．?1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)的加法計算，根據(jù)題意可得點A表示的數(shù)是?1，再根據(jù)有理數(shù)加法計算法則求解即可． 【詳解】解：由數(shù)軸可知，點A表示的數(shù)是?1， ∴比數(shù)軸上的點A表示的數(shù)大1的數(shù)是?1+1=0， 故選：A． 【變式4-3】（23-24七年級上·江蘇淮安·期中）在數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離是4，那么a= ． 【答案】±4 【分析】本題考查了數(shù)軸以及數(shù)軸上的點表示的數(shù)；根據(jù)數(shù)軸特點可直接得出答案． 【詳解】解：在數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離是4，那么a= ±4， 故答案為：±4． 【題型5 利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小】 【例5】（2024·廣東佛山·三模）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應的位置如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（????） A．a(chǎn)0 C．a(chǎn)>0 D．a(chǎn)

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