初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級(jí)下冊(cè)3 平行線的性質(zhì)綜合訓(xùn)練題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc2182" 【題型1 平行線的判定與性質(zhì)的運(yùn)用（計(jì)算與證明）】 PAGEREF _Tc2182 \h 1
\l "_Tc23636" 【題型2 平行線的判定與性質(zhì)（書寫過程）】 PAGEREF _Tc23636 \h 2
\l "_Tc15721" 【題型3 平行線與三角尺（直角頂點(diǎn)在平行線上）】 PAGEREF _Tc15721 \h 5
\l "_Tc23203" 【題型4 平行線與三角尺（直角頂點(diǎn)不在平行線上）】 PAGEREF _Tc23203 \h 6
\l "_Tc32696" 【題型5 平行線的判定與性質(zhì)綜合（角度之間的數(shù)量關(guān)系）】 PAGEREF _Tc32696 \h 7
\l "_Tc8096" 【題型6 平行線的判定與性質(zhì)綜合（求定值）】 PAGEREF _Tc8096 \h 8
\l "_Tc16928" 【題型7 平行線的判定與性質(zhì)綜合（規(guī)律問題）】 PAGEREF _Tc16928 \h 10
\l "_Tc1257" 【題型8 平行線的性質(zhì)（折疊問題）】 PAGEREF _Tc1257 \h 12
\l "_Tc27360" 【題型9 平行線的應(yīng)用（轉(zhuǎn)角問題）】 PAGEREF _Tc27360 \h 14
\l "_Tc26225" 【題型10 平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)）】 PAGEREF _Tc26225 \h 15
【知識(shí)點(diǎn) 平行線的性質(zhì)】
1. 兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡單說成兩直線平行同位角相等.
2. 兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯(cuò)角相等.簡單說成兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等.
3. 兩條平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡單說成兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).
【題型1 平行線的判定與性質(zhì)的運(yùn)用（計(jì)算與證明）】
【例1】（2022·西藏·林芝市廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)D，E在AC上，點(diǎn)F，G分別在BC，AB上，且DG∥BC，∠1＝∠2．
(1)求證：DB∥EF；
(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度數(shù)．
【變式1-1】（2022·湖北·五峰土家族自治縣中小學(xué)教研培訓(xùn)中心七年級(jí)期末）已知：如圖，AE⊥BC,FG⊥BC，∠CEA=∠FGB，∠D=∠ABC+50°，∠CBD=70°．
(1)求證：AB∥CD；
(2)求∠C的度數(shù)．
【變式1-2】（2022·重慶·巴川初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠BAC的角平分線交BC于D，點(diǎn)F在BA的延長線上，點(diǎn)E在線段CD上，EF與AC相交于點(diǎn)G，且∠BDA+∠CEG=180°．
(1)求證：AD∥EF；
(2)若點(diǎn)H在FE的延長線上，且∠EDH＝∠C，則∠F與∠H相等嗎？請(qǐng)說明理由．
【變式1-3】（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽邏街第一初級(jí)中學(xué)三模）如圖，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．
(1)求證：EF∥AD；
(2)求證：∠BAC+∠AGD=180°．
【題型2 平行線的判定與性質(zhì)（書寫過程）】
【例2】（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，∠1=∠2，∠A=∠D．
求證：∠B=∠C．（請(qǐng)把下面證明過程補(bǔ)充完整）
證明：∵1=∠2（已知）
又∵∠1=∠3（____________）
∴∠2=∠3（____________）
∴AE∥FD（_____________）
∴∠A=∠_____（______________）
∵∠A=∠D（已知）
∴∠D=∠BFD（等量代換）
∴_____∥CD（__________________）
∴∠B=∠C（____________）
【變式2-1】（2022·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）閱讀并完成下面的證明過程：
已知：如圖，AB∥EF，∠1=∠2，BE、CE分別平分∠ABC和∠BCD，求證：BE⊥CE．
證明：∵BE、CE分別平分∠ABC和∠BCD．
∴∠ABE=∠EBC=12∠ABC
∠2=________=12∠BCD（角平分線定義）
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠ECD（）
∴EF∥CD（）
又∵AB∥EF（已知）
∴________________（）
∴∠ABC+∠BCD=180°（）
∴∠ABE+∠2=12∠ABC+∠BCD=90°，
又∵AB∥EF，
∴∠ABE=∠BEF（）
∴∠BEF+∠1=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥CE（）
【變式2-2】（2022·湖南·株洲景炎學(xué)校七年級(jí)期中）完成下面證明過程并寫出推理根據(jù)：
已知：如圖所示，∠BAP與∠APD互補(bǔ)，∠1=∠2．
求證：∠E=∠F．
證明：∵∠BAP與∠APD互補(bǔ)（已知），
即∠BAP+∠APD=180°，
∴____________∥_____________（_____________________），
∴∠BAP=∠APC（_____________________）．
又∵∠1=∠2，
∴∠BAP-∠1=∠APC-∠2（等式的性質(zhì)），
即∠3=∠4，
∴____________∥_____________（_____________________），
∴∠E=∠F（_____________________）．
【變式2-3】（2022·重慶·巴川初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期中）推理填空：完成下面的證明過程.
如圖，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠DEF，求證：.DE∥BC
證明：∵∠1+∠2=180°（）
∠2=∠3（_______________________________）
∴∠1+∠3=180°
∴______∥______（_____________________________）
∴∠B=______（________________________________）
∵∠B=∠DEF（已知）
∴∠DEF=_______ （_______________________）
∴DE∥BC（）
【題型3 平行線與三角尺（直角頂點(diǎn)在平行線上）】
【例3】（2022·遼寧·阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，含有30°角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)E、F放在一個(gè)長方形的對(duì)邊上，點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，∠EFG=30°，延長EG交CD于點(diǎn)P，如果∠3=65°，那么∠2的度數(shù)是（）
A．100°B．105°C．115°D．120°
【變式3-1】（2022·浙江·金華市第四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，下列結(jié)論：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠2；（3）∠2+∠4=90°；（4）∠4+∠5=180°，其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A．1B．2C．3D．4
【變式3-2】（2022·山東青島·七年級(jí)期中）將一塊直角三角板ABC按如圖方式放置，其中∠ABC=30°，A，B兩點(diǎn)分別落在直線m、n上，∠1=20°，添加下列哪一個(gè)條件可使直線m∥n（）
A．∠2=20°B．∠2=30°C．∠2=45°D．∠2=50°
【變式3-3】（2022·河南南陽·二模）小明把一副三角板按如圖所示方式擺放，直角邊CD與直角邊AB相交于點(diǎn)F，斜邊DE∥BC，∠B＝30°，∠E＝45°，則∠CFB的度數(shù)是（）
A．95°B．115°C．105°D．125°
【題型4 平行線與三角尺（直角頂點(diǎn)不在平行線上）】
【例4】（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，a∥b，一塊含45°的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)落在直線b上，若∠1=58°54'，則∠2的度數(shù)為（）
A．103°6'B．104°6'C．103°54'D．104°54'
【變式4-1】（2022·山西晉中·七年級(jí)期末）用一塊含60°角的直角三角板和一把直尺按圖中所示的方式放置，其中直尺的直角頂點(diǎn)與三角板的60°角頂點(diǎn)重合，直尺兩邊分別與三角板的兩條直角邊相交，若∠1=50°，則∠2的度數(shù)為（）
A．25°B．22.5°C．20°D．15°
【變式4-2】（2022·福建·莆田市城廂區(qū)南門學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AB∥CD，將一副直角三角板作如下擺放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列結(jié)論：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正確的是_______．
【變式4-3】（2022·山東淄博·期末）如圖所示，將一直角三角板放在AB，CD兩條平行線之間：
(1)圖甲中，容易求得∠1+∠2=90°，請(qǐng)直接寫出圖乙中∠1，∠2的數(shù)量關(guān)系；
(2)請(qǐng)問圖丙中∠1，∠2的數(shù)量關(guān)系是什么？并加以說明；
(3)請(qǐng)直接寫出圖丁中∠1，∠2的數(shù)量關(guān)系．
【題型5 平行線的判定與性質(zhì)綜合（角度之間的數(shù)量關(guān)系）】
【例5】（2022·黑龍江鶴崗·七年級(jí)期末）如圖①，AB∥CD，M為平面內(nèi)一點(diǎn)，若BM⊥MC，則易證∠ABM與∠DCM互余．
(1)如圖②，AB∥CD．點(diǎn)M在射線EA上運(yùn)動(dòng)，猜想點(diǎn)M在點(diǎn)A和D之間時(shí)，∠BMC與∠ABM、∠DCM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
(2)在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M在射線EA的其它位置上時(shí)（不與點(diǎn)E，A，D重合）請(qǐng)直接寫出∠BMC與∠ABM、∠DCM之間的數(shù)量關(guān)系．
【變式5-1】（2022·遼寧·興城市第二初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知，點(diǎn)A，點(diǎn)B分別在線段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．
(1)如圖1，求證：MN∥PQ；
(2)分別過點(diǎn)A和點(diǎn)C作直線AG、CH使AG∥CH，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的直角∠DBI的兩邊分別與直線CH，AG交于點(diǎn)F和點(diǎn)E，如圖2，試判斷∠CFB、∠BEG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(3)在（2）的條件下，若BD和AE恰好分別平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度數(shù)．（直接寫出答案）
【變式5-2】（2022·湖北·宜昌市第九中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，∠1=∠2，∠D=∠CMG．
(1)求證：AD∥NG；
(2)若∠A+∠DHG=180°，試探索：∠ANB，∠NBG，∠1的數(shù)量關(guān)系；
(3)在（2）的條件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度數(shù)．
【變式5-3】（2022·湖北·潛江市高石碑鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖1，AB∥CD，直線AE分別交AB、CD于點(diǎn)A、E．點(diǎn)F是直線AE上一點(diǎn)，連結(jié)BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP與EP交于點(diǎn)P．
(1)若點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，且BF⊥AE，求∠P的度數(shù)；
(2)若點(diǎn)F是直線AE上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)F與點(diǎn)A不重合)，請(qǐng)寫出∠P與∠AFB之間的數(shù)量關(guān)系并證明．
【題型6 平行線的判定與性質(zhì)綜合（求定值）】
【例6】（2022·湖南·株洲二中七年級(jí)期末）實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m、反射光線n與平面鏡a所夾的銳角∠1＝∠2．
(1)如圖2，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射．若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1＝50°，則∠2＝ °，∠3＝ °．
(2)請(qǐng)你猜想：當(dāng)射到平面鏡a上的光線m，經(jīng)過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行時(shí)，兩平面鏡a、b間的夾角∠3的大小是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出∠3，若不是定值，請(qǐng)說明理由．
(3)如圖3，兩面鏡子的夾角為α°（0＜α＜90），進(jìn)入光線與離開光線的夾角為β°（0＜β＜90）．試探索α與β的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【變式6-1】（2022·河北保定·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)M，N分別在直線AB,CD上，H為直線CD下方一點(diǎn)．
(1)如圖1，MH和NH相交于點(diǎn)H，求證：∠MHN=∠AMH?∠CNH．（溫馨提示：可過點(diǎn)H作AB的平行線）
(2)延長HN至點(diǎn)G，∠BMH的平分線ME和∠GND的平分線NE相交于點(diǎn)E，HM與CD相交于點(diǎn)F．
①如圖2，若∠BME=50°,∠END=30°，求∠MHN的度數(shù)；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，若∠BME的度數(shù)為x°，∠END的度數(shù)為y°，且x+y的值是一個(gè)定值，請(qǐng)問∠MHN的度數(shù)是否會(huì)隨x的變化而發(fā)生改變？若不變，求出∠MHN的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說明理由．
③如圖3，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，②中其他條件不變，請(qǐng)問∠MHN的度數(shù)是否會(huì)隨x的變化而發(fā)生改變？若不變，直接寫出∠MHN的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說明理由．
【變式6-2】（2022·福建龍巖·七年級(jí)期末）如圖1，點(diǎn)A、D分別在射線BM、CN線上，BM∥CN，BM⊥BC于點(diǎn)B，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，連接DE，∠1+∠2=90°．
(1)求證：AE⊥ED；
(2)求證：DE平分∠ADC；
(3)如圖2，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，試猜想∠F的值是否為定值，若是，請(qǐng)予以證明；若不是，請(qǐng)說明理由．
【變式6-3】（2022·天津河?xùn)|·七年級(jí)期中）直線MN與直線AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F，∠MEB與∠CFM互補(bǔ)
(1)如圖1，試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由．
(2)如圖2，∠BEF與∠EFD的平分線交于點(diǎn)P，EP的延長線與CD交于點(diǎn)G，H是MN上一點(diǎn)，且GH⊥EG，求證：PF∥GH．
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接PH，K是GH上一點(diǎn)，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，求證：∠HPQ的大小是定值．
【題型7 平行線的判定與性質(zhì)綜合（規(guī)律問題）】
【例7】（2022·遼寧·鞍山市第十四中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AB//CD，若按圖中規(guī)律繼續(xù)劃分下去，則∠1+∠2+?+∠n等于（）
A．n?1800B．2n?1800C．(n?1)?1800D．(n?1)2?1800
【變式7-1】（2022·湖南·邵陽市第六中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知直線AE，BF被直線AB所截，且AE//BF，AC1，BC1分別平分∠EAB，∠FBA；AC2，BC2分別平分∠BAC1和∠ABC1；AC3，BC3分別平分∠BAC2，∠ABC2…依次規(guī)律，得點(diǎn)Cn，則∠Cn的度數(shù)為（）
A．90?902nB．180?902n?1C．902n?1D．1802n
【變式7-2】（2022·山東·臨沂第六中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖（1）（2）（3）中，都滿足AB∥CD．
試求：（1）圖（1）中∠A＋∠C的度數(shù)，并說明理由．
（2）圖（2）中∠A＋∠APC＋∠C的度數(shù)，并說明理由．
（3）圖（3）中∠A＋∠AEF＋∠EFC＋∠C的度數(shù)，并簡要說明理由．
（4）按上述規(guī)律，∠A＋……＋∠C（共有n個(gè)角相加）的和為
【變式7-3】（2022·浙江·七年級(jí)階段練習(xí)）閱讀并探究下列問題.
（1）如圖①，將長方形紙片剪兩刀，其中AB∥CD，則∠2與∠1、∠3有何關(guān)系？請(qǐng)進(jìn)行證明.
（2）如圖②，將長方形紙片剪四刀，其中AB∥CD，則∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的關(guān)系為 .
（3）如圖③，將長方形紙片剪2016刀，其中AB∥CD，則共剪出個(gè)角.
若將剪出的角（∠A、∠C除外）分別用∠E1、∠E2、∠E3…表示，則被剪出的這些角的關(guān)系為 .
（4）如圖④，直線AB∥CD，∠EFA=∠HMN=x°，∠FGH=3x°，∠CNP=y°2x+y?102+x+y?72=0由上述結(jié)論求∠GHM的度數(shù).
【題型8 平行線的性質(zhì)（折疊問題）】
【例8】（2022·江西贛州·七年級(jí)期末）綜合與實(shí)踐：折紙中的數(shù)學(xué)
知識(shí)背景
我們?cè)谄吣昙?jí)上冊(cè)第四章《幾何圖形初步》中探究了簡單圖形折疊問題，并進(jìn)行了簡單的計(jì)算與推理．七年級(jí)下冊(cè)第五章我們學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)與判定，今天我們繼續(xù)探究：折紙中的數(shù)學(xué)﹣﹣長方形紙條的折疊與平行線．
知識(shí)初探
(1)如圖1，長方形紙條ABGH中，AB∥GH,AH∥BG，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝90°，將長方形紙條沿直線CD折上，點(diǎn)A落在A'處，點(diǎn)B落在B'處，B'C交AH于點(diǎn)E，若∠ECG＝70°，則∠CDE＝；
類比再探
(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上將∠HEC對(duì)折，點(diǎn)H落在直線EC上的H'處，點(diǎn)G落在G'處得到折痕EF，則折痕EF與CD有怎樣的位置關(guān)系？說明理由；
(3)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)G'作BG的平行線MN，請(qǐng)你猜想∠ECF和∠H'G'M的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【變式8-1】（2022·河南周口·七年級(jí)期中）如圖，已知四邊形紙片ABCD，∠B=∠D=90°，點(diǎn)E在AD邊上，把紙片按圖中所示的方式折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為CE．
（1）試判定AB與EF的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如果∠A=100°，求∠DEC的度數(shù)．
【變式8-2】（2022·河北保定·七年級(jí)期末）學(xué)習(xí)了平行線以后，小明想出了用紙折平行線的方法，他將一張如圖1所示的紙片，其中AD//BC，先按如圖2所示的方法折疊，折痕為MN；（MC'與AD相交于點(diǎn)P）然后按如圖3的方法折疊，折痕為PQ（A'P與C'M落在一條直線上）．
（1）在圖2的折疊過程中，若∠1=130°，求∠2的度數(shù)
（2）如圖3，小明認(rèn)為在折疊過程中，產(chǎn)生的折痕MN與PQ平行，請(qǐng)把小明的思考步驟補(bǔ)充完整．
由折疊可知，
∠C'MN=∠CMN=12∠CMC'；
∠A'PQ=∠APQ=12∠APA'；
∵AB//BC
∴∠APA'=∠CMC'；（ ① ）
∴ ② ＝ ③ （等量代換）
∴PQ//MN．（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
【變式8-3】（2022·廣東佛山·七年級(jí)期末）某公司技術(shù)人員用“沿直線AB折疊檢驗(yàn)塑膠帶兩條邊緣線a、b是否互相平行”．
（1）如圖1，測得∠1=∠2，可判定a∥b嗎？請(qǐng)說明理由；
（2）如圖2，測得∠1=∠2，且∠3=∠4，可判定a∥b嗎？請(qǐng)說明理由；
（3）如圖3，若要使a∥b，則∠1與∠2應(yīng)該滿足什么關(guān)系式？請(qǐng)說明理由．
【題型9 平行線的應(yīng)用（轉(zhuǎn)角問題）】
【例9】（2022·黑龍江·大慶市第五十一中學(xué)七年級(jí)期中）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，在與原方向相反的方向上平行行駛，則這兩次拐彎的角度應(yīng)為（）
A．第一次向右拐38°，第二次向左拐142°
B．第一次向左拐38°，第二次向右拐38°
C．第一次向左拐38°，第二次向左拐142°
D．第一次向右拐38°，第二次向右拐40°
【變式9-1】（2022·河北唐山·七年級(jí)期末）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進(jìn)，則兩次拐彎的角度可以是（）
A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°
【變式9-2】（2022·廣西防城港·七年級(jí)期末）如圖，防城港市的一條公路修到海邊時(shí)，需要拐彎繞海而過，如果第一次拐角是∠A=130°，第二次拐的角是∠B=160°，第三次拐的角是∠C，這時(shí)的道路恰好和第一次拐之前的道路平行，則∠C度數(shù)為______．
【變式9-3】（2022·廣東·廣州市第十六中學(xué)七年級(jí)期中）如圖所示，一條公路修到湖邊時(shí)，需要拐彎繞湖而過，第一次拐的角∠A=110°，第二次拐的角∠B=145°，則第三次拐的角∠C=__________時(shí)，道路CE才能恰好與AD平行．
【題型10 平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)）】
【例10】（2022·上海市市西初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）結(jié)合“愛市西，愛生活，會(huì)創(chuàng)新”的主題，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一款“地面霓虹探測燈”，增加美觀的同時(shí)也為行人的夜間行路帶去了方便．他的構(gòu)想如下：在平面內(nèi)，如圖1所示，燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ//MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．
（1）填空：∠ABP=______°；
（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)60秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？
（3）如圖2，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前，若射出的光束交于點(diǎn)C，過C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D，且∠ACD=120°，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，請(qǐng)?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說明理由．
【變式10-1】（2022·全國·九年級(jí)單元測試）（1）如圖1，將一副直角三角板按照如圖方式放置，其中點(diǎn)C、D、A、F在同一條直線上，兩條直角邊所在的直線分別為MN、PQ，∠BAC=30°，∠DEF=45°．AB與DE相交于點(diǎn)O，則∠BOE的度數(shù)是__________；
（2）將圖1中的三角板ABC和三角板DEF分別繞點(diǎn)B、F按各自的方向旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置，其中BA平分∠MBC，求∠PFA的度數(shù)；
（3）將如圖1位置的三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，速度為每秒10°，在此過程中，經(jīng)過_________秒邊AB與邊DE互相平行．
【變式10-2】（2022·河北·唐山市第十二中學(xué)七年級(jí)期中）嘉嘉和琪琪在用一副三角尺研究數(shù)學(xué)問題：一副三角尺分別有一個(gè)角為直角，其余角度如圖1所示，AB=DE，經(jīng)研究
發(fā)現(xiàn)
（1）如圖2，當(dāng)AB與DE重合時(shí)，∠CDF= °；
（2）如圖3，將圖2中△ABC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定度使得∠CEF=156°，則∠AED= °；
拓展
（3）如圖4，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)使得AC垂直DE于點(diǎn)G，此時(shí)AC與EF位置關(guān)系，此時(shí)∠AED= °；
探究
（4）如圖5，圖6繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，使得AC∥DF圖5中此時(shí)∠AED= °，圖6中此時(shí)∠AED= °．
【變式10-3】（2022·湖北武漢·七年級(jí)期中）如圖1，PQ∥MN，點(diǎn)A，B分別在MN，QP上，∠BAM=2∠BAN，射線AM繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即逆時(shí)針回轉(zhuǎn)，射線BP繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即逆時(shí)針回轉(zhuǎn)．射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，射線BP轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．
專題2.2 平行線的性質(zhì)【十大題型】
【北師大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2182" 【題型1 平行線的判定與性質(zhì)的運(yùn)用（計(jì)算與證明）】 PAGEREF _Tc2182 \h 1
\l "_Tc23636" 【題型2 平行線的判定與性質(zhì)（書寫過程）】 PAGEREF _Tc23636 \h 5
\l "_Tc15721" 【題型3 平行線與三角尺（直角頂點(diǎn)在平行線上）】 PAGEREF _Tc15721 \h 10
\l "_Tc23203" 【題型4 平行線與三角尺（直角頂點(diǎn)不在平行線上）】 PAGEREF _Tc23203 \h 12
\l "_Tc32696" 【題型5 平行線的判定與性質(zhì)綜合（角度之間的數(shù)量關(guān)系）】 PAGEREF _Tc32696 \h 18
\l "_Tc8096" 【題型6 平行線的判定與性質(zhì)綜合（求定值）】 PAGEREF _Tc8096 \h 24
\l "_Tc16928" 【題型7 平行線的判定與性質(zhì)綜合（規(guī)律問題）】 PAGEREF _Tc16928 \h 35
\l "_Tc1257" 【題型8 平行線的性質(zhì)（折疊問題）】 PAGEREF _Tc1257 \h 40
\l "_Tc27360" 【題型9 平行線的應(yīng)用（轉(zhuǎn)角問題）】 PAGEREF _Tc27360 \h 46
\l "_Tc26225" 【題型10 平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)）】 PAGEREF _Tc26225 \h 51
【知識(shí)點(diǎn) 平行線的性質(zhì)】
1. 兩條平行被第三條直線所截同位角相等.簡單說成兩直線平行同位角相等.
2. 兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯(cuò)角相等.簡單說成兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等.
3. 兩條平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡單說成兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).
【題型1 平行線的判定與性質(zhì)的運(yùn)用（計(jì)算與證明）】
【例1】（2022·西藏·林芝市廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)D，E在AC上，點(diǎn)F，G分別在BC，AB上，且DG∥BC，∠1＝∠2．
(1)求證：DB∥EF；
(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)∠ADG＝40°
【分析】（1）利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可得證；
（2）先求出∠C，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可得解．
（1）
證明：∵DG∥BC，
∴∠1＝∠DBC．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DBC，
∴DB∥EF．
（2）
∵EF⊥AC，
∴∠CEF＝90°．
∵∠2＝∠1＝50°，
∴∠C＝90°－50°＝40°．
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠C＝40°．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2022·湖北·五峰土家族自治縣中小學(xué)教研培訓(xùn)中心七年級(jí)期末）已知：如圖，AE⊥BC,FG⊥BC，∠CEA=∠FGB，∠D=∠ABC+50°，∠CBD=70°．
(1)求證：AB∥CD；
(2)求∠C的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析
(2)∠C=30°
【分析】（1）先證明AE∥GF，可得∠EAB=∠FGB，再證明∠CEA=∠EAB，從而可得答案；
（2）由AB∥CD，可得∠D+∠CBD+∠ABC=180°，再把∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70° 代入進(jìn)行計(jì)算即可.
（1）
證明：∵AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，
∴AE∥GF，
∴∠EAB=∠FGB，
∵∠CEA=∠FGB，
∴∠CEA=∠EAB，
∴AB∥CD；
（2）
解：由（1）得，AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠ABC=180°，
∵∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°，
∴∠ABC+70°+∠ABC+50°=180°
∴∠ABC=30°，
∴∠C=∠ABC=30°．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，方程思想的應(yīng)用，掌握“平行線的判定與性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵.
【變式1-2】（2022·重慶·巴川初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠BAC的角平分線交BC于D，點(diǎn)F在BA的延長線上，點(diǎn)E在線段CD上，EF與AC相交于點(diǎn)G，且∠BDA+∠CEG=180°．
(1)求證：AD∥EF；
(2)若點(diǎn)H在FE的延長線上，且∠EDH＝∠C，則∠F與∠H相等嗎？請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)見詳解
(2)∠F=∠H，說明見詳解
【分析】（1）根據(jù)∠BDA+∠CEG=180°，∠DEF+∠CEG=180°，可得∠BDA=∠DEF，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可判定AD∥EF；
（2）根據(jù)∠EDH=∠C，可得DH∥AC，繼而得到∠H=∠EGC，由對(duì)頂角∠AGF=∠EGC，可得∠H=∠AGF，由（1）AD∥EF可得∠DAG=∠AGF，∠BAD=∠F，再因?yàn)锳D是∠BAC的角平分線，有∠DAG=∠BAD，即可證明∠F=∠H．
（1）
證明：∵∠BDA+∠CEG=180°，∠DEF+∠CEG=180°，
∴∠BDA=∠DEF，
∴AD∥EF．
（2）
解：∠F=∠H，理由如下：
∵∠EDH=∠C，
∴DH∥AC，
∴∠H=∠EGC，
∵∠AGF=∠EGC，
∴∠H=∠AGF，
∵AD∥EF，
∴∠DAG=∠AGF，∠BAD=∠F，
又∵AD是∠BAC的角平分線，
∴∠DAG=∠BAD，
∴∠F=∠H．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握并應(yīng)用平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽邏街第一初級(jí)中學(xué)三模）如圖，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．
(1)求證：EF∥AD；
(2)求證：∠BAC+∠AGD=180°．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)垂直得出∠EFB=∠ADB=90°，根據(jù)平行線的判定得出EF∥AD；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠BAD，由∠1=∠2得出∠2=∠BAD，根據(jù)平行線的判定得出DG∥BA，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解．
【詳解】（1）證明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFB=90°，∠ADB=90°（垂直的定義），
∴∠EFB=∠ADB（等量代換），
∴EF∥AD（同位角相等，兩直線平行）；
（2）證明：∵EF∥AD，
∴∠1=∠BAD（兩直線平行，同位角相等），
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠BAD（等量代換），
∴DG∥BA（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
∴∠BAC+∠AGD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
【題型2 平行線的判定與性質(zhì)（書寫過程）】
【例2】（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，∠1=∠2，∠A=∠D．
求證：∠B=∠C．（請(qǐng)把下面證明過程補(bǔ)充完整）
證明：∵1=∠2（已知）
又∵∠1=∠3（____________）
∴∠2=∠3（____________）
∴AE∥FD（_____________）
∴∠A=∠_____（______________）
∵∠A=∠D（已知）
∴∠D=∠BFD（等量代換）
∴_____∥CD（__________________）
∴∠B=∠C（____________）
【答案】對(duì)頂角相等；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；BFD；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；AB；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
【分析】先利用對(duì)頂角的性質(zhì)證明∠2=∠3，再證明AE∥FD，可證明∠A=∠BFD，可得∠D=∠BFD，再證明AB∥CD，從而可得答案．
【詳解】證明：∵1=∠2（已知）
又∵∠1=∠3（對(duì)頂角相等）
∴∠2=∠3（等量代換）
∴AE∥FD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
∴∠A=∠BFD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵∠A=∠D（已知）
∴∠D=∠BFD（等量代換）
∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
∴∠B=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
【點(diǎn)睛】本題考查的是對(duì)頂角的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練的利用平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明是解本題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2022·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）閱讀并完成下面的證明過程：
已知：如圖，AB∥EF，∠1=∠2，BE、CE分別平分∠ABC和∠BCD，求證：BE⊥CE．
證明：∵BE、CE分別平分∠ABC和∠BCD．
∴∠ABE=∠EBC=12∠ABC
∠2=________=12∠BCD（角平分線定義）
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠ECD（）
∴EF∥CD（）
又∵AB∥EF（已知）
∴________________（）
∴∠ABC+∠BCD=180°（）
∴∠ABE+∠2=12∠ABC+∠BCD=90°，
又∵AB∥EF，
∴∠ABE=∠BEF（）
∴∠BEF+∠1=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥CE（）
【答案】∠ECD；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；AB∥CD；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；垂直定義．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、平行線的判定以及垂直的定義進(jìn)行分析即可解答．
【詳解】證明：∵BE、CE分別平分∠ABC和∠BCD．
∴∠ABE=∠EBC=12∠ABC
∠2= ∠ECD =12∠BCD（角平分線定義）
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠ECD（等量代換）
∴EF∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
又∵AB∥EF（已知）
∴AB∥CD（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）
∴∠ABC+∠BCD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
∴∠ABE+∠2=12∠ABC+∠BCD=90°，
又∵AB∥EF，
∴∠ABE=∠BEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∴∠BEF+∠1=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥CE（垂直定義）．
故答案為：∠ECD；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；AB∥CD；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；垂直定義．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、垂直的定義等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（2022·湖南·株洲景炎學(xué)校七年級(jí)期中）完成下面證明過程并寫出推理根據(jù)：
已知：如圖所示，∠BAP與∠APD互補(bǔ)，∠1=∠2．
求證：∠E=∠F．
證明：∵∠BAP與∠APD互補(bǔ)（已知），
即∠BAP+∠APD=180°，
∴____________∥_____________（_____________________），
∴∠BAP=∠APC（_____________________）．
又∵∠1=∠2，
∴∠BAP-∠1=∠APC-∠2（等式的性質(zhì)），
即∠3=∠4，
∴____________∥_____________（_____________________），
∴∠E=∠F（_____________________）．
【答案】AB；CD；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；AE；FP；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，結(jié)合圖形完成填空即可求解．
【詳解】∵∠BAP與∠APD互補(bǔ)（已知），
即∠BAP+∠APD=180°，
∴AB ∥ CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），
∴∠BAP=∠APC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠BAP-∠1=∠APC-∠2（等式的性質(zhì)），
即∠3=∠4，
∴AE ∥ FP（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
∴∠E=∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
故答案為：AB；CD；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；AE；FP；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定進(jìn)行證明，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（2022·重慶·巴川初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期中）推理填空：完成下面的證明過程.
如圖，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠DEF，求證：.DE∥BC
證明：∵∠1+∠2=180°（）
∠2=∠3（_______________________________）
∴∠1+∠3=180°
∴______∥______（_____________________________）
∴∠B=______（________________________________）
∵∠B=∠DEF（已知）
∴∠DEF=_______ （_______________________）
∴DE∥BC（）
【答案】已知；對(duì)頂角相等； AB； EF；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；∠EFC；兩直線平行，同位角相等；∠EFC；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
【分析】由于∠1＋∠2＝180°，∠2＝∠3，則∠1＋∠3＝180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得到AB∥EF，則利用平行線的性質(zhì)得∠B＝∠CFE，由于∠B＝∠DEF，所以∠DEF＝∠CFE，于是根據(jù)平行線的判定得到DE∥BC.
【詳解】證明：∵∠1＋∠2＝180°（已知）
∠2＝∠3（對(duì)頂角相等）
∴∠1＋∠3＝180°
∴AB∥EF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）
∴∠B＝∠EFC（兩直線平行，同位角相等）
∵∠B＝∠DEF（已知）
∴∠DEF＝∠EFC （等量代換）
∴DE∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【題型3 平行線與三角尺（直角頂點(diǎn)在平行線上）】
【例3】（2022·遼寧·阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，含有30°角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)E、F放在一個(gè)長方形的對(duì)邊上，點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，∠EFG=30°，延長EG交CD于點(diǎn)P，如果∠3=65°，那么∠2的度數(shù)是（）
A．100°B．105°C．115°D．120°
【答案】A
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到∠1=25°，根據(jù)平角的定義得到∠AEF=90°-∠1=65°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵∠D=90°，∠3=65°，
∴∠1=25°，
∵∠FEG=90°，
∴∠AEF=90°-∠1=65°，
∵AD∥BC，
∴∠2=180°-∠AEF=115°，
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余和平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是得出∠AEF與∠2互補(bǔ)．
【變式3-1】（2022·浙江·金華市第四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，下列結(jié)論：（1）∠1=∠2；（2）∠3=∠2；（3）∠2+∠4=90°；（4）∠4+∠5=180°，其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，及直角三角板的特殊性解答．
【詳解】解：∵紙條的兩邊平行，
∴（1）∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）；
（2）∠3=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；
（4）∠4+∠5=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）均正確；
又∵直角三角板與紙條下線相交的角為90°，
∴（3）∠2+∠4=90°，正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵．
【變式3-2】（2022·山東青島·七年級(jí)期中）將一塊直角三角板ABC按如圖方式放置，其中∠ABC=30°，A，B兩點(diǎn)分別落在直線m、n上，∠1=20°，添加下列哪一個(gè)條件可使直線m∥n（）
A．∠2=20°B．∠2=30°C．∠2=45°D．∠2=50°
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．
【詳解】解：由平行線的判定可知，當(dāng)∠2＝∠ABC＋∠1時(shí)，m∥n，
即∠2＝∠ABC＋∠1＝30°＋20°＝50°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【變式3-3】（2022·河南南陽·二模）小明把一副三角板按如圖所示方式擺放，直角邊CD與直角邊AB相交于點(diǎn)F，斜邊DE∥BC，∠B＝30°，∠E＝45°，則∠CFB的度數(shù)是（）
A．95°B．115°C．105°D．125°
【答案】A
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠D=45°，再由平行線的性質(zhì)得出∠BCF=45°，再由三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可．
【詳解】∵ΔCDE是直角三角形，∠E＝45°，
∴∠D=45°，
∵ DE∥BC，
∴∠BCF=∠D=45°，
∵∠B+∠BCF+∠BFC=180°,∠B=30°，
∴∠CFB=105°，
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【題型4 平行線與三角尺（直角頂點(diǎn)不在平行線上）】
【例4】（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，a∥b，一塊含45°的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)落在直線b上，若∠1=58°54'，則∠2的度數(shù)為（）
A．103°6'B．104°6'C．103°54'D．104°54'
【答案】A
【分析】設(shè)∠2的同位角為∠3，∠3的鄰補(bǔ)角為∠5，三角板的一個(gè)銳角為∠4，根據(jù)等腰三角板的特點(diǎn)可求出∠4，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出∠5，再根據(jù)平角的性質(zhì)即可求出∠3，進(jìn)而根據(jù)兩直線平行同位角相等即可求出∠2．
【詳解】設(shè)∠2的同位角為∠3，∠3的鄰補(bǔ)角為∠5，三角板的一個(gè)銳角為∠4，如圖，
∵直角三角板含一個(gè)45°的銳角，
∴該三角板為等腰三角形，
∴∠4=45°，
∵∠1=58°54′，
又∵在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°，
∴∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′，
∵∠3+∠5=180°，
∴∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′，
∵a∥b，
∴∠2=∠3，
∴∠2=103°54′，
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和等知識(shí)，掌握兩直線平行同位角相等是解答本題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（2022·山西晉中·七年級(jí)期末）用一塊含60°角的直角三角板和一把直尺按圖中所示的方式放置，其中直尺的直角頂點(diǎn)與三角板的60°角頂點(diǎn)重合，直尺兩邊分別與三角板的兩條直角邊相交，若∠1=50°，則∠2的度數(shù)為（）
A．25°B．22.5°C．20°D．15°
【答案】A
【分析】如圖，根據(jù)題意得到∠C=90°，AB∥DE，∠CDF=60°．先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠ABC=40°，再根據(jù)平行的性質(zhì)求出∠CDE=40°，即可求出∠2=20°．
【詳解】解：如圖，由題意得∠C=90°，AB∥DE，∠CDF=60°．
∵∠C=90°，∠1=50°，
∴∠ABC=180°-∠C-∠1=40°，
∵AB∥DE，
∴∠CDE=∠CBA=40°，
∵∠CDF=60°
∴∠2=∠CDF-∠CDE=20°．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，熟知兩個(gè)定理并理解題意得到已知條件是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2022·福建·莆田市城廂區(qū)南門學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AB∥CD，將一副直角三角板作如下擺放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列結(jié)論：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正確的是_______．
【答案】①②③④
【分析】①由題意得∠G=∠MPN=∠MPG=90°，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可判定GE∥MP；②由題意得∠EFG=30°，利用鄰補(bǔ)角即可求出∠EFN的度數(shù)；③過點(diǎn)F作FH⊥AB，可得FH∥CD，從而得到∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFN=105°，再利用平行線的性質(zhì)即可求出∠BEF；④利用角的計(jì)算可求出∠AEG=45°，從而可判斷．
【詳解】解：①∵∠G=∠MPN=∠MPG=90°，
∴GE∥MP，
故①正確；
②∵∠EFG=30°，
∴∠EFN=180°?30°=150°，
故②正確；
③過點(diǎn)F作EH∥AB，如圖，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠HFN=∠MNP=45°，
∴∠EFN=150°?45°=105°，
∵FH∥AB，
∴∠BEF=180°?105°=75°；
故③正確；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°?60°?75°=45°，
∴∠AEG=∠PMN=45°，
故④正確．
故答案為：①②③④．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟記平行線的判定條件與性質(zhì)并靈活運(yùn)用．
【變式4-3】（2022·山東淄博·期末）如圖所示，將一直角三角板放在AB，CD兩條平行線之間：
(1)圖甲中，容易求得∠1+∠2=90°，請(qǐng)直接寫出圖乙中∠1，∠2的數(shù)量關(guān)系；
(2)請(qǐng)問圖丙中∠1，∠2的數(shù)量關(guān)系是什么？并加以說明；
(3)請(qǐng)直接寫出圖丁中∠1，∠2的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)∠1＋∠2＝270°
(2)∠2－∠1＝90°；見解析
(3)∠1＝∠2＋90°
【分析】（1）過三角板的直角頂點(diǎn)作AB的平行線MN，得AB∥MN∥CD．根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得∠1，∠2的關(guān)系．
（2）過三角板的直角頂點(diǎn)作AB的平行線MN，得AB∥MN∥CD．根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，平角互補(bǔ)，即可得∠1，∠2的關(guān)系．
（3）過點(diǎn)O作AB的平行線MN，得AB∥MN∥CD，據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得∠1，∠2的關(guān)系．
（1）
如圖，過三角板的直角頂點(diǎn)作AB的平行線MN，得AB∥MN∥CD
∴∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°
又∵∠3+∠4=90°
∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°+180°
∴∠1+∠2=360°?90°=270°
∴∠1+∠2=270°．
（2）
如圖，過三角板的直角頂點(diǎn)作AB的平行線MN，得AB∥MN∥CD
∴∠1=∠3，∠2+∠4=180°
又∵∠3+∠4=90°
∴∠1+180°?∠2=90°
∴∠2?∠1=90°．
（3）
如圖，過點(diǎn)O作AB的平行線MN，得AB∥MN∥CD
∴∠MOC=∠2
∴∠1=90°+∠MOC
∴∠1=90°+∠2．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；平角互補(bǔ)．
【題型5 平行線的判定與性質(zhì)綜合（角度之間的數(shù)量關(guān)系）】
【例5】（2022·黑龍江鶴崗·七年級(jí)期末）如圖①，AB∥CD，M為平面內(nèi)一點(diǎn)，若BM⊥MC，則易證∠ABM與∠DCM互余．
(1)如圖②，AB∥CD．點(diǎn)M在射線EA上運(yùn)動(dòng)，猜想點(diǎn)M在點(diǎn)A和D之間時(shí)，∠BMC與∠ABM、∠DCM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
(2)在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M在射線EA的其它位置上時(shí)（不與點(diǎn)E，A，D重合）請(qǐng)直接寫出∠BMC與∠ABM、∠DCM之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)∠ABM+∠DCM=∠BMC，理由見解析
(2)∠BMC=∠DCM-∠ABM或∠BMC=∠ABM-∠DCM．
【分析】（1）過M作MF∥AB，交BC于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DCM=∠FMC，可得∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC；
（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)M在E、A兩點(diǎn)之間時(shí)；當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長線上時(shí)；進(jìn)行討論可求∠BMC與∠ABM，∠DCM的數(shù)量關(guān)系．
（1）
解：∠ABM+∠DCM=∠BMC，理由如下：
如圖，過M作MF∥AB，交BC于F，則∠ABM=∠BMF，

又∵AB∥CD，
∴MF∥CD，
∴∠DCM=∠FMC，
∴∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC；
（2）
解：當(dāng)點(diǎn)M在E、A兩點(diǎn)之間時(shí)，如圖3，∠BMC=∠DCM-∠ABM；
過M作MF∥AB，交EC于F，則∠ABM=∠BMF，
又∵AB∥CD，
∴MF∥CD，
∴∠DCM=∠FMC，
∴∠BMC=∠CMF-∠BMF=∠DCM-∠ABM；
當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長線上時(shí)，如圖4，∠BMC=∠ABM-∠DCM．
過M作MF∥AB，交EC于F，則∠ABM=∠BMF，
又∵AB∥CD，
∴MF∥CD，
∴∠DCM=∠FMC，
∴∠BMC=∠BMF-∠CMF=∠ABM-∠DCM．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)建平行線，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答．解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．
【變式5-1】（2022·遼寧·興城市第二初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知，點(diǎn)A，點(diǎn)B分別在線段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．
(1)如圖1，求證：MN∥PQ；
(2)分別過點(diǎn)A和點(diǎn)C作直線AG、CH使AG∥CH，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)的直角∠DBI的兩邊分別與直線CH，AG交于點(diǎn)F和點(diǎn)E，如圖2，試判斷∠CFB、∠BEG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
(3)在（2）的條件下，若BD和AE恰好分別平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度數(shù)．（直接寫出答案）
【答案】(1)見解析
(2)∠CFB?∠BEG=90°，證明見解析
(3)∠CFB=130°
【分析】（1）過C作CE∥MN，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）過B作BR∥AG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，等量代換即可得到結(jié)論；
（3）過E作ES∥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，根據(jù)角平分線的定義得到∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．
（1）
解：如圖，過C作CE∥MN，
∴∠1=∠MAC，
∵∠2=∠ACB-∠1，
∴∠2=∠ACB-∠MAC，
∵∠ACB-∠MAC=∠CBP，
∴∠2=∠CBP，
∴CE∥PQ，
∴MN∥PQ；
（2）
如圖，過B作BR∥AG，
∵AG∥CH，
∴BR∥HF，
∴∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，
∵∠EBF=90°，
∴∠BEG=∠EBR=90°-∠RBF，
∴∠BEG=90°-∠RBF=90°-（180°-∠CFB），
∴∠CFB-∠BEG=90°；
（3）
如圖，過E作ES∥MN，
∵M(jìn)N∥PQ，
∴ES∥PQ，
∴∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，
∵BD和AE分別平分∠CBP和∠CAN，
∴∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，
∴∠CAE=∠AES，
∵∠EBD=90°，
∴∠EBQ+∠PBD=∠EBC+∠CBD=90°，
∴∠QBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠BES，
∴∠AEB=∠AES+∠BES=∠CAE+∠EBC=12360°?∠ACB，
∵∠ACB=80°，
∴∠AEB=140°，
∴∠BEG=40°，
∵∠CFB-∠BEG=90°，
∴∠CFB=130°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2022·湖北·宜昌市第九中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，∠1=∠2，∠D=∠CMG．
(1)求證：AD∥NG；
(2)若∠A+∠DHG=180°，試探索：∠ANB，∠NBG，∠1的數(shù)量關(guān)系；
(3)在（2）的條件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)∠NBG+∠1?∠ANB=180°
(3)∠A=105°
【分析】（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到CM∥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D=∠ACM，等量代換得到∠CMG=∠ACM，于是得到結(jié)論．
（2）過B作BP∥AN交NG于P，由于AD∥NG，于是得到∠D=∠DHG，等量代換得到∠A+∠D=180°，得到AN∥DH，根據(jù)平行線的判定得到BP∥CM，由平行線的性質(zhì)得到∠PBG+∠1=180°，等量代換即可得到結(jié)論；
（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根據(jù)已知條件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到結(jié)論．
（1）
證明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC，
∴∠2=∠CFG，
∴CM∥DE，
∴∠D=∠ACM，
∵∠D=∠CMG，
∴∠CMG=∠ACM，
∴AD∥NG；
（2）
解：∠NBG?∠ANB+∠1=180°；
理由如下：過B作BP∥AN交NG于P，
∴∠ANB=∠NBP，
∵AD∥NG，
∴∠D=∠DHG，
∵∠A+∠DHG=180°，
∴∠A+∠D=180°，
∴AN∥DH，
又∵CM∥DH，
∴BP∥CM，
∴∠PBG+∠1=180°，
∵∠PBG=∠NBG?∠NBP=∠NBG?∠ANB，
∴∠NBG?∠ANB+∠1=180°；
（3）
解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，
∴∠PBG=80°，
∵∠NBG=130°，
∴∠ANB=∠NBP=50°，
∵∠ANB：∠BNG=2：1，
∴∠BNP=25°，
∴∠ANG=75°，
∴∠A=105°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2022·湖北·潛江市高石碑鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖1，AB∥CD，直線AE分別交AB、CD于點(diǎn)A、E．點(diǎn)F是直線AE上一點(diǎn)，連結(jié)BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP與EP交于點(diǎn)P．
(1)若點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，且BF⊥AE，求∠P的度數(shù)；
(2)若點(diǎn)F是直線AE上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)F與點(diǎn)A不重合)，請(qǐng)寫出∠P與∠AFB之間的數(shù)量關(guān)系并證明．
【答案】(1)45°
(2)當(dāng)F點(diǎn)在A點(diǎn)上方時(shí)，∠BPE＝12∠AFB，當(dāng)F點(diǎn)在A點(diǎn)下方時(shí)，∠BPE＝90°﹣12∠AFB
【分析】（1）過點(diǎn)P作PQ∥AB，過點(diǎn)F作FH∥AB，由平行線的性質(zhì)得∠ABP+∠CEP＝∠BPE，∠ABF+∠CEF＝∠BFE，再由垂直定義和角平分線定義求得結(jié)果；
（2）分三種情況：點(diǎn)F在EA的延長線上時(shí)，點(diǎn)F在線段AE上時(shí)，點(diǎn)F在AE的延長線上時(shí)，分別進(jìn)行探究便可．
（1）
解：過點(diǎn)P作PQ∥AB，過點(diǎn)F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PQ∥FH，
∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，∠ABF＝∠BFH，∠CEF＝∠EFH，
∴∠ABP+∠CEP＝∠BPQ+∠EPQ＝∠BPE，∠ABF+∠CEF＝∠BFH+∠EFH＝∠BFE，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF+∠CEF＝∠BFE＝90°，
∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，
∴∠ABP+∠CEP＝12（∠ABF+∠CEF）＝45°，
∴∠BPE＝45°；
（2）
①當(dāng)點(diǎn)F在EA的延長線上時(shí)，∠BPE＝12∠AFB，理由如下：
如備用圖1，
過點(diǎn)P作PQ∥AB，過點(diǎn)F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PQ∥FH，
∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，∠ABF＝∠BFH，∠CEF＝∠EFH，
∴∠CEP﹣∠ABP＝∠EPQ﹣∠BPQ＝∠BPE，∠CEF﹣∠ABF＝∠EFH﹣∠BFH＝∠BFE，
∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，
∴∠CEP﹣∠ABP＝12（∠CEF﹣∠ABF）＝12∠BFE＝∠AFB，
∴∠BPE＝12∠AFB；
②當(dāng)點(diǎn)F在線段AE上（不與A點(diǎn)重合）時(shí)，∠BPE＝90°﹣12∠AFB；理由如下：
如備用圖2，
過點(diǎn)P作PQ∥AB，過點(diǎn)F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PQ∥FH，
∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，∠ABF＝∠BFH，∠CEF＝∠EFH，
∴∠ABP+∠CEP＝∠BPQ+∠EPQ＝∠BPE，∠ABF+∠CEF＝∠BFH+∠EFH＝∠BFE，
∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，
∴∠ABP+∠CEP＝12（∠ABF+∠CEF），
∴∠BPE＝12∠BFE
∴∠BFE＝180°﹣∠AFB，
∴∠BPE＝90°﹣12∠AFB；
③當(dāng)點(diǎn)F在AE的延長線上時(shí)，∠BPE＝90°﹣12∠AFB，理由如下：如備用圖3，
過點(diǎn)P作PQ∥AB，過點(diǎn)F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PQ∥FH，
∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，180°﹣∠ABF＝∠BFH，∠AEC＝∠EFH，
∴∠CEP+∠ABP＝∠EPQ+∠BPQ＝∠BPE，∠BFH﹣∠EFH＝180°﹣∠ABF﹣∠AEC＝∠AFB，
∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，
∴∠CEP+∠ABP＝12（∠AEC+∠ABF）＝12（180°﹣∠AFB），
∴∠BPE＝90°﹣12∠AFB；
綜上，當(dāng)E點(diǎn)在A點(diǎn)上方時(shí)，∠BPE＝12∠AFB，當(dāng)E點(diǎn)在A點(diǎn)下方時(shí)，∠BPE＝90°﹣12∠AFB．
【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)：兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同位角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及角平分線的性質(zhì)，在相交線問題中通常作平行線利用平行線的性質(zhì)解答，將角度轉(zhuǎn)化由此求出答案．解題中運(yùn)用分類思想解答問題．
【題型6 平行線的判定與性質(zhì)綜合（求定值）】
【例6】（2022·湖南·株洲二中七年級(jí)期末）實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m、反射光線n與平面鏡a所夾的銳角∠1＝∠2．
(1)如圖2，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射．若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1＝50°，則∠2＝ °，∠3＝ °．
(2)請(qǐng)你猜想：當(dāng)射到平面鏡a上的光線m，經(jīng)過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行時(shí)，兩平面鏡a、b間的夾角∠3的大小是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出∠3，若不是定值，請(qǐng)說明理由．
(3)如圖3，兩面鏡子的夾角為α°（0＜α＜90），進(jìn)入光線與離開光線的夾角為β°（0＜β＜90）．試探索α與β的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)100；90；
(2)90°
(3)2α+β=180°
【分析】（1）根據(jù)平面鏡反射光線的規(guī)律得∠1=∠4=50°，再利用平角的定義得∠5=80°，然后利用平行線的性質(zhì)計(jì)算出∠2=100°，則∠6=40°，再利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算∠3；
（2）當(dāng)∠3=90°時(shí)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠4+∠6=90°，則2∠4+2∠6=180°，利用平角的定義得到∠2+∠5=180°，然后根據(jù)平行線的判定得到m∥n；
（3）由（1）可得，∠5=180°-2∠2，∠6=180°-2∠3，再根據(jù)∠2+∠3=180°-∠α，即可得出∠β=180°-∠5-∠6=2（∠2+∠3）-180°=2（180°-∠α）-180°=180°-2∠α．
（1）
解：如圖：
∵∠1=∠4=50°，
∴∠5=180°-2×50°=80°，
∵m∥n
∴∠2+∠5=180°，
∴∠2=100°，
∴∠6=12（180°-∠2）=40°，
∴∠3=180°-∠4-∠6=90°；
故答案為：100，90；
（2）
當(dāng)∠3=90°時(shí)，m∥n
理由如下：
∵∠3=90°，
∴∠4+∠6=90°，
∴2∠4+2∠6=180°，
∴∠2+∠5=180°，
∴m∥n；
（3）
解：如圖3，
由（1）可得，∠5=180°-2∠2，∠6=180°-2∠3，
∵∠2+∠3=180°-∠α，
∴∠β=180°-∠5-∠6=2（∠2+∠3）-180°=2（180°-∠α）-180°=180°-2∠α，
∴α與β的數(shù)量關(guān)系為：2α+β=180°，
故答案為：2α+β=180°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，解題時(shí)注意：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
【變式6-1】（2022·河北保定·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)M，N分別在直線AB,CD上，H為直線CD下方一點(diǎn)．
(1)如圖1，MH和NH相交于點(diǎn)H，求證：∠MHN=∠AMH?∠CNH．（溫馨提示：可過點(diǎn)H作AB的平行線）
(2)延長HN至點(diǎn)G，∠BMH的平分線ME和∠GND的平分線NE相交于點(diǎn)E，HM與CD相交于點(diǎn)F．
①如圖2，若∠BME=50°,∠END=30°，求∠MHN的度數(shù)；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)N左側(cè)時(shí)，若∠BME的度數(shù)為x°，∠END的度數(shù)為y°，且x+y的值是一個(gè)定值，請(qǐng)問∠MHN的度數(shù)是否會(huì)隨x的變化而發(fā)生改變？若不變，求出∠MHN的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說明理由．
③如圖3，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，②中其他條件不變，請(qǐng)問∠MHN的度數(shù)是否會(huì)隨x的變化而發(fā)生改變？若不變，直接寫出∠MHN的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)①20°；②不變，180°?2(x°+y°)；③不變，2(x°+y°)?180°
【分析】（1）過點(diǎn)H作HQ∥AB．可得HQ∥CD，從而得到∠AMH=∠MHQ,∠CNH=∠NHQ，即可求證；
（2）①根據(jù)∠BME=50°,∠END=30°，可得∠BMH=100°，∠GND=60°，從而得到∠AMH=180°?∠BMH=80°，∠CNH=60°．再由∠MHN=∠AMH?∠CNH，即可求解；②根據(jù)題意可得∠AMH=180°?2x°，∠CNH=2y°，再由∠MHN=∠AMH?∠CNH，即可求解；③過點(diǎn)H作OH∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可證得∠MHN=∠OHM?∠OHN=∠BMH?∠DNH．從而得到∠MHN=2x°+2y°?180°=2(x°+y°)?180°，即可求解．
（1）
證明：如圖，過點(diǎn)H作HQ∥AB．
∵HQ∥AB且AB∥CD，
∴HQ∥CD，
∴∠AMH=∠MHQ,∠CNH=∠NHQ，
∴∠MHN=∠MHQ?∠NHQ=∠AMH?∠CNH；
（2）
解：①M(fèi)E平分∠BMH,∠BME=50°，
∴∠BMH=100°，
∵NE平分∠DNG，∠DNE=30°，
∴∠GND=60°，
∴∠AMH=180°?∠BMH=80°，∠CNH=60°．
由（1）可知：∠MHN=∠AMH?∠CNH=80°?60°=20°．
∴∠MHN=20°；
②∵M(jìn)E平分∠BMH，∠BME=x°，
∴∠BMH=2x°，
∵NE平分∠DNG，∠DNE=y°，
∴∠GND=2y°，
∴∠AMH=180°?2x°，∠CNH=2y°，
∴∠MHN=180°?2x°?2y°=180°?2(x°+y°)．
∵x+y為一個(gè)定值，
∴∠MHN不會(huì)隨x的變化而發(fā)生改變，度數(shù)為180°?2(x°+y°)；
③不變，∠MHN的度數(shù)為2(x°+y°)?180°．理由如下：
如圖，過點(diǎn)H作OH∥AB，
∴∠BMH=∠OHM，
∵AB∥CD，
∴OH∥CD，
∴∠DNH=∠OHN，
∴∠MHN=∠OHM?∠OHN=∠BMH?∠DNH．
∵M(jìn)E平分∠BMH,∠BME=x°，
∴∠BMH=2x°
∵NE平分∠DNG，∠DNE=y°，
∴∠GND=2y°，
∴∠DNH=180°?2y°，
∴∠MHN=2x°?(180°?2y°)，
∴∠MHN=2x°+2y°?180°=2(x°+y°)?180°．
∵x+y為一個(gè)定值，
∴∠MHN不會(huì)隨x的變化而改變．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，有關(guān)角平分線的計(jì)算，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定，利用類比思想解答是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2022·福建龍巖·七年級(jí)期末）如圖1，點(diǎn)A、D分別在射線BM、CN線上，BM∥CN，BM⊥BC于點(diǎn)B，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，連接DE，∠1+∠2=90°．
(1)求證：AE⊥ED；
(2)求證：DE平分∠ADC；
(3)如圖2，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，試猜想∠F的值是否為定值，若是，請(qǐng)予以證明；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)∠F為定值，∠F=135°，理由見解析
【分析】（1）過點(diǎn)E作EG∥BM，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，得出∠AED=∠1+∠2，即可求解．
（2）根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得出∠BAD+∠CDA=180°，再將各個(gè)角代入計(jì)算，得出(∠1+∠2)+(∠1+∠5)=180°，∠5=∠2，即可求解．
（3）過點(diǎn)F作FH∥BM，∠AFH=α，∠DFH=β，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠α+∠β=∠6+∠7，由于∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，所以∠α+∠β=12(180°?∠1)+12(180°?∠2)，即可求解．
（1）證明：如圖1，過點(diǎn)E作EG∥BM，則∠1=∠3，∵BM∥CN，∴EG∥CN，∴∠4=∠2，∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥ED．
（2）證明：∵ AE平分∠BAD，∴∠BAD=2∠1，∵BM∥CN，∴∠BAD+∠CDA=180°，∴2∠1+∠CDA，=2∠1+∠2+∠5=180°，=(∠1+∠2)+(∠1+∠5)=180°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠5=90°，∴∠5=∠2，∴DE平分∠ADC．
（3）∠F為定值．證明：如圖2，過點(diǎn)F作FH∥BM，設(shè)∠AFH=α，∠DFH=β，∵BM∥CN，∴FH∥CN，∴∠α+∠β=∠6+∠7，∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，∴∠α+∠β=12(180°?∠1)+12(180°?∠2)=180°?12(∠1+∠2) =180°?45°=135°，∴∠F=∠α+∠β=135°，∴∠F為定值，∠F=135°，故答案為：∠F=135°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查垂線、角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂垂線的概念和角平分線的性質(zhì)及角的和差計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)．
【變式6-3】（2022·天津河?xùn)|·七年級(jí)期中）直線MN與直線AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F，∠MEB與∠CFM互補(bǔ)
(1)如圖1，試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由．
(2)如圖2，∠BEF與∠EFD的平分線交于點(diǎn)P，EP的延長線與CD交于點(diǎn)G，H是MN上一點(diǎn)，且GH⊥EG，求證：PF∥GH．
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接PH，K是GH上一點(diǎn)，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，求證：∠HPQ的大小是定值．
【答案】(1)平行；理由見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行，即可判斷直線AB與直線CD平行；
（2）先根據(jù)兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，再根據(jù)∠BEF與∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P，可得∠EPF=90°，進(jìn)而證明PF∥GH；
（3）根據(jù)角平分線定義，及角的和差計(jì)算即可求得∠HPQ的度數(shù)．
（1）
解：結(jié)論：AB∥CD；理由如下：
∵∠MEB與∠CFM互補(bǔ)，∠MEB=∠AEF，
∴∠AEF與∠CFM互補(bǔ)，
∴AB∥CD．
（2）
∵EG平分∠BEF，
∴∠PEF=12∠BEF，
又∵FP平分∠EFD，
∴∠EFP=12∠EFD，
由（1）知AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∴∠PEF+∠EFP=90°，
∴∠EPF=90°，
又∵GH⊥EG，
∴∠HGP=90°，
∴∠EPF=∠HGP，
∴PF∥GH．
（3）
證明：∵FP∥HG，
∴∠FPH=∠PHK，
∵∠PHK=∠HPK，
∴∠FPH=∠HPK，
∴∠HPK=12∠FPK，
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK=12∠EPK，
∴∠HPQ=∠QPK-∠HPK
=12∠EPK-12∠FPK
=12（∠EPK-∠FPK）
=12∠EPF
=12×90°
=45°
即∠HPQ的大小是定值．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)、余角和補(bǔ)角，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角．
【題型7 平行線的判定與性質(zhì)綜合（規(guī)律問題）】
【例7】（2022·遼寧·鞍山市第十四中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AB//CD，若按圖中規(guī)律繼續(xù)劃分下去，則∠1+∠2+?+∠n等于（）
A．n?1800B．2n?1800C．(n?1)?1800D．(n?1)2?1800
【答案】A
【分析】根據(jù)第1個(gè)圖形∠1+∠2=180°，第2個(gè)圖形∠1+∠2+∠3=2×180°，第，3個(gè)圖形∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°…，進(jìn)而得出答案．
【詳解】（1）∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）；
（2）過點(diǎn)E作一條直線EF平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）過點(diǎn)E、F作EM、FN平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠1+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠4=180°；
∴∠1+∠2+3+∠4=540°；
（4）中，根據(jù)上述規(guī)律，顯然作（n-1）條輔助線，運(yùn)用（n-1）次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．即可得到n個(gè)角的和是180°（n-1）．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確得出圖中變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
【變式7-1】（2022·湖南·邵陽市第六中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知直線AE，BF被直線AB所截，且AE//BF，AC1，BC1分別平分∠EAB，∠FBA；AC2，BC2分別平分∠BAC1和∠ABC1；AC3，BC3分別平分∠BAC2，∠ABC2…依次規(guī)律，得點(diǎn)Cn，則∠Cn的度數(shù)為（）
A．90?902nB．180?902n?1C．902n?1D．1802n
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，求得∠C1,∠C2,∠C3,∠C4,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求得∠Cn的度數(shù)．
【詳解】∵ AE//BF
∴ ∠EAB+∠ABF=180°
∵ AC1，BC1分別平分∠EAB，∠FBA；
∴∠AC1B=180°?∠C1AB?∠C1BA=180°?12∠EAB?12ABF
=180°?12(∠ABF+∠EAB)
=180°?90°=90°
∠C2=180°?∠C2AB?∠C2BA=180°?(12∠EAB+12∠C1AB)?(12∠ABF+12∠C1BA)
=180°?12(∠C1AB+∠C1BA+∠ABF+∠EAB)
=180°?34(∠ABF+∠EAB)
=180°?45°
=180°?12∠C1
∴ ∠C2=180°?12∠C1
同理可得∠C3=180°?12∠C2
∠C4=180°?12∠C3
……
發(fā)現(xiàn)規(guī)律：∠Cn=180°?90°2n?1
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2022·山東·臨沂第六中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖（1）（2）（3）中，都滿足AB∥CD．
試求：（1）圖（1）中∠A＋∠C的度數(shù)，并說明理由．
（2）圖（2）中∠A＋∠APC＋∠C的度數(shù)，并說明理由．
（3）圖（3）中∠A＋∠AEF＋∠EFC＋∠C的度數(shù)，并簡要說明理由．
（4）按上述規(guī)律，∠A＋……＋∠C（共有n個(gè)角相加）的和為
【答案】（1）180°，理由見解析；（2）360°，理由見解析；（3）540°，理由見解析；（4）180°（n-1）
【分析】（1）據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠A+∠C=180°；
（2）沿P作一條平行AB、CD的平行線PM，由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠A+∠APM=180°，∠MPC+∠C=180°，故∠A+∠APC+∠C=360°；
（3）根據(jù)第二題，同理可得∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°；
（4）由以上規(guī)律，有兩個(gè)角時(shí)，和為180°；有三個(gè)角時(shí)和為360°；有四個(gè)角時(shí)和為540°…故可得有n個(gè)角時(shí)，和為180°（n-1）．
【詳解】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠A+∠C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）；
（2）過點(diǎn)P作一條直線PM平行于AB，
∵AB∥CD，
∵AB∥PM，
∴CD∥PM∥AB，
∴∠A+∠APM=180°，∠MPC+∠C=180°，
∴∠A+∠APC+∠C=360°；
（3）分別過點(diǎn)E、F作EM、FN平行于AB，
∵AB∥CD，
∵AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°；
∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°；
（4）由以上規(guī)律，有兩個(gè)角時(shí)，和為180°；
有三個(gè)角時(shí)和為360°；
有四個(gè)角時(shí)和為540°…
故可得有n個(gè)角時(shí)，和為180°（n-1）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，并考查學(xué)生通過計(jì)算總結(jié)規(guī)律的能力，是一道好題．
【變式7-3】（2022·浙江·七年級(jí)階段練習(xí)）閱讀并探究下列問題.
（1）如圖①，將長方形紙片剪兩刀，其中AB∥CD，則∠2與∠1、∠3有何關(guān)系？請(qǐng)進(jìn)行證明.
（2）如圖②，將長方形紙片剪四刀，其中AB∥CD，則∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的關(guān)系為 .
（3）如圖③，將長方形紙片剪2016刀，其中AB∥CD，則共剪出個(gè)角.
若將剪出的角（∠A、∠C除外）分別用∠E1、∠E2、∠E3…表示，則被剪出的這些角的關(guān)系為 .
（4）如圖④，直線AB∥CD，∠EFA=∠HMN=x°，∠FGH=3x°，∠CNP=y°2x+y?102+x+y?72=0由上述結(jié)論求∠GHM的度數(shù).
【答案】（1）∠1+∠3=∠2，證明見解析；（2）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4；（3）2017，∠A+∠C+∠E2+∠E4+…+∠E2014=∠E1+∠E3+…+∠E2015．（4）48°．
【分析】（1）過E點(diǎn)作EF∥AB，則EF∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠AEF=∠1，∠CEF=∠3，即有∠2=∠1+∠3；
（2）分別過E、G、F分別作EM∥AB，GN∥AB，F(xiàn)P∥AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同（1）一樣易得到∠2+∠4=∠1+∠3+∠5；
（3）綜合（1）（2）易得開口向左的角的度數(shù)的和等于開口向右的角的度數(shù)的和．
（4）利用（3）的結(jié)論得到∠BFG+∠GHM+∠MND=∠FGH+∠HMN，易計(jì)算出∠GHM．
【詳解】（1）∠1+∠3=∠2，
理由如下：如下圖①，過點(diǎn)E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，
∴∠1=∠AEF，∠3=∠CEF，
∴∠1+∠3=∠AEF+∠CEF=∠AEC，
（2）如上圖②，分別過E、G、F分別作EM∥AB，GN∥AB，F(xiàn)P∥AB，
同（1）的證明方法一樣可得：∠1+∠3+∠5=∠2+∠4，
故答案為∠1+∠3+∠5=∠2+∠4；
（3）規(guī)律：將長方形紙片剪2016刀，其中AB∥CD，則共剪出2017個(gè)角．
若將剪出的角（∠A、∠C除外）分別用∠E1、∠E2、∠E3…表示，則被剪出的這些角的關(guān)系為∠A+∠C+∠E2+∠E4+…+∠E2014=∠E1+∠E3+…+∠E2015．
故答案為2017，∠A+∠C+∠E2+∠E4+…+∠E2014=∠E1+∠E3+…+∠E2015．
（4）由，|2x+y-102|+x+y?72 =0，得x=30°，y=42°，
在題圖④中，由（3）的結(jié)論得，∠BFG+∠GHM+∠MND=∠FGH+∠HMN，
∴30°+∠GHM+42°=90°+30°，
∴∠GHM=48°．
【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于注意掌握輔助線的作法，注意規(guī)律：開口向左的角的度數(shù)的和等于開口向右的角的度數(shù)的和．
【題型8 平行線的性質(zhì)（折疊問題）】
【例8】（2022·江西贛州·七年級(jí)期末）綜合與實(shí)踐：折紙中的數(shù)學(xué)
知識(shí)背景
我們?cè)谄吣昙?jí)上冊(cè)第四章《幾何圖形初步》中探究了簡單圖形折疊問題，并進(jìn)行了簡單的計(jì)算與推理．七年級(jí)下冊(cè)第五章我們學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)與判定，今天我們繼續(xù)探究：折紙中的數(shù)學(xué)﹣﹣長方形紙條的折疊與平行線．
知識(shí)初探
(1)如圖1，長方形紙條ABGH中，AB∥GH,AH∥BG，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝90°，將長方形紙條沿直線CD折上，點(diǎn)A落在A'處，點(diǎn)B落在B'處，B'C交AH于點(diǎn)E，若∠ECG＝70°，則∠CDE＝；
類比再探
(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上將∠HEC對(duì)折，點(diǎn)H落在直線EC上的H'處，點(diǎn)G落在G'處得到折痕EF，則折痕EF與CD有怎樣的位置關(guān)系？說明理由；
(3)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)G'作BG的平行線MN，請(qǐng)你猜想∠ECF和∠H'G'M的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)55°
(2)EF∥CD，理由見解析
(3)∠ECF+∠H'G'M=90°，理由見解析
【分析】（1）先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠BCD=∠ECD，再根據(jù)平角的定義可得∠BCD=55°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得；
（2）先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠BCD=∠ECD=12∠BCE，∠HEF=∠CEF=12∠HEC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BCE=∠HEC，從而可得∠ECD=∠CEF，然后根據(jù)平行線的判定即可得出結(jié)論；
（3）過點(diǎn)H'作H'O∥MN于O，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠H'G'M=∠OH'G'，再根據(jù)平行公理推論可得H'O∥BG，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ECF=∠EH'O，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠EH'G'=∠H=90°，從而可得∠EH'O+∠OH'G'=90°，最后根據(jù)等量代換即可得出結(jié)論．
（1）
解：由折疊的性質(zhì)得：∠BCD=∠ECD，
∵∠ECG=70°，∠ECG+∠BCD+∠ECD=180°，
∴∠BCD=∠ECD=180°?70°2=55°，
∵AH∥BG，
∴∠CDE=∠BCD=55°，
故答案為：55°．
（2）
解：EF∥CD，理由如下：
由折疊的性質(zhì)得：∠BCD=∠ECD=12∠BCE，∠HEF=∠CEF=12∠HEC，
∵AH∥BG，
∴∠BCE=∠HEC，
∴∠ECD=∠CEF，
∴EF∥CD．
（3）
解：∠ECF+∠H'G'M=90°，理由如下：
如圖，過點(diǎn)H'作H'O∥MN于O，
∴∠H'G'M=∠OH'G'，
又∵M(jìn)N∥BG，
∴H'O∥BG，
∴∠ECF=∠EH'O，
由折疊的性質(zhì)得：∠EH'G'=∠H=90°，
∴∠EH'O+∠OH'G'=90°，
∴∠ECF+∠H'G'M=90°．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行公理推論等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式8-1】（2022·河南周口·七年級(jí)期中）如圖，已知四邊形紙片ABCD，∠B=∠D=90°，點(diǎn)E在AD邊上，把紙片按圖中所示的方式折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為CE．
（1）試判定AB與EF的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如果∠A=100°，求∠DEC的度數(shù)．
【答案】（1）AB//EF；（2）50°．
【分析】（1）根據(jù)方式折疊可得∠BFE=90°，結(jié)合∠B=90°，利用同位角相等兩直線平行即可得證；
（2）由EF與EF//AB平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠DEF=∠A=100°，由折疊得到∠DEC=∠FEC，即可求出∠DEC的度數(shù)．
【詳解】解：（1）AB//EF，理由為：
∵∠D=∠EFC，∠B=∠D=90°，
∴∠FEC=∠B，
AB//EF；
（2）∵EF//AB，
∴∠DEF=∠A=100°，
∵∠DEC=∠FEC，
∴∠DEC=12∠DEF=12×100°=50°．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的基礎(chǔ)，由折疊的性質(zhì)得出∠D=∠EFC是解題關(guān)鍵．
【變式8-2】（2022·河北保定·七年級(jí)期末）學(xué)習(xí)了平行線以后，小明想出了用紙折平行線的方法，他將一張如圖1所示的紙片，其中AD//BC，先按如圖2所示的方法折疊，折痕為MN；（MC'與AD相交于點(diǎn)P）然后按如圖3的方法折疊，折痕為PQ（A'P與C'M落在一條直線上）．
（1）在圖2的折疊過程中，若∠1=130°，求∠2的度數(shù)
（2）如圖3，小明認(rèn)為在折疊過程中，產(chǎn)生的折痕MN與PQ平行，請(qǐng)把小明的思考步驟補(bǔ)充完整．
由折疊可知，
∠C'MN=∠CMN=12∠CMC'；
∠A'PQ=∠APQ=12∠APA'；
∵AB//BC
∴∠APA'=∠CMC'；（ ① ）
∴ ② ＝ ③ （等量代換）
∴PQ//MN．（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
【答案】（1）25°；（2）①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；②∠A'PQ；③∠C'MN
【分析】（1）根據(jù)折疊、平行和互補(bǔ)的性質(zhì)可以得解；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行解答．
【詳解】解：（1）∵∠1=130°，∴∠C'MC=180°?∠1=50°．
由折疊可知∠C'MN=∠CMN=12×50°=25°．
∵AD∥BC，∴∠2=∠CMN=25°．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
（2）由折疊可知，
∠C'MN=∠CMN=12∠CMC'；
∠A'PQ=∠APQ=12∠APA'；
∵AB//BC
∴∠APA'=∠CMC'；（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∴∠A'PQ＝∠C'MN（等量代換）
∴PQ//MN．（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
故答案為：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；②∠A'PQ；③ ∠C'MN；
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)以及折疊的綜合應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定、折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【變式8-3】（2022·廣東佛山·七年級(jí)期末）某公司技術(shù)人員用“沿直線AB折疊檢驗(yàn)塑膠帶兩條邊緣線a、b是否互相平行”．
（1）如圖1，測得∠1=∠2，可判定a∥b嗎？請(qǐng)說明理由；
（2）如圖2，測得∠1=∠2，且∠3=∠4，可判定a∥b嗎？請(qǐng)說明理由；
（3）如圖3，若要使a∥b，則∠1與∠2應(yīng)該滿足什么關(guān)系式？請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）a∥b（2）能（3）∠1+2∠2=180°
【分析】（1）根據(jù)平行線的判定得出即可；
（2）求出∠1和∠4的度數(shù)，再根據(jù)平行線的判定推出即可；
（3）根據(jù)折疊得出∠3=∠4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1+∠3+∠4=180°，∠2=∠4，即可得出答案．
【詳解】（1）a∥b，
理由是：∵∠1=∠2，
∴a∥b（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；
（2）能，
理由是：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
∴∠1=∠2=90°，∠3=∠4=90°，
∴∠1=∠4，
∴a∥b；
（3）∠1+2∠2=180°，
理由是：根據(jù)折疊得：∠3=∠4，
∵a∥b，
∴∠1+∠3+∠4=180°，∠2=∠4，
∴∠1+2∠2=180°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能熟練地運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
【題型9 平行線的應(yīng)用（轉(zhuǎn)角問題）】
【例9】（2022·黑龍江·大慶市第五十一中學(xué)七年級(jí)期中）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，在與原方向相反的方向上平行行駛，則這兩次拐彎的角度應(yīng)為（）
A．第一次向右拐38°，第二次向左拐142°
B．第一次向左拐38°，第二次向右拐38°
C．第一次向左拐38°，第二次向左拐142°
D．第一次向右拐38°，第二次向右拐40°
【答案】B
【詳解】A. 如圖：
∵∠1=38°,∠2=142°，
∴∠3=180°?∠2=38°，
∴∠4=∠1+∠3=76°≠∠1，
∴AB與CD不平行；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B. 如圖：
∵∠1=∠2=38°，
∴AB∥CD，且方向相同；故本選項(xiàng)正確；
C. 如圖：
∵∠2=142°，
∴∠3=180°?∠2=38°，
∵∠1=38°，
∴∠1=∠2，
∴AB∥CD，但方向相反；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D. 如圖：
∵∠2=40°，
∴∠3=180°?∠2=140°≠∠1，
∴AB與CD不平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B.
【變式9-1】（2022·河北唐山·七年級(jí)期末）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進(jìn)，則兩次拐彎的角度可以是（）
A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°
【答案】B
【分析】兩次拐彎后，行駛方向與原來相同，說明兩次拐彎后的方向是平行的．對(duì)題中的四個(gè)選項(xiàng)提供的條件，運(yùn)用平行線的判定進(jìn)行判斷，能判定兩直線平行者即為正確答案．
【詳解】A、如圖1：∵∠1=40°，∠2=140°，
∴AB與CD不平行；
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、如圖2：∵∠1=40°，∠2=40°，
∴∠1=∠2，
∴AB與CD平行；
故本選項(xiàng)正確；
C、如圖3：∵∠1=40°，∠2=140°，
∴∠1≠∠2，
∴AB不平行CD；
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、如圖4：∠1=40°，∠2=40°，
∴∠3=140°，
∴∠1≠∠3，
∴AB與CD不平行；
故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選B．
【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
【變式9-2】（2022·廣西防城港·七年級(jí)期末）如圖，防城港市的一條公路修到海邊時(shí)，需要拐彎繞海而過，如果第一次拐角是∠A=130°，第二次拐的角是∠B=160°，第三次拐的角是∠C，這時(shí)的道路恰好和第一次拐之前的道路平行，則∠C度數(shù)為______．
【答案】150°
【分析】法一：過B作BD∥AE，運(yùn)用平行線性質(zhì)及已知條件，可得∠ABD=∠A=130°，BD∥CF，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可以求出∠C的度數(shù)．
法二：延長AB、FC，交于點(diǎn)D，運(yùn)用平行線性質(zhì)及已知條件，可得∠A=∠BDC=130°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，求得∠BCD=180°?∠CBD?∠BDC=30°，從而求得∠BCF．
【詳解】解：法一，如圖，過B作BD∥AE，
∵BD∥AE，∠A=130°，
∴∠ABD=∠A=130°．
∵BD∥AE，CF∥AE，
∴BD∥CF．
∵∠ABC=160°，∠ABD=130°，
∴∠DBC=∠ABC?∠ABD=160°?130°=30°．
∵BD∥CF，
∴∠DBC+∠C=180°，
∵∠DBC=30°，
∴∠C=180°?∠DBC=150°．
法二，如圖，延長AB、FC，交于點(diǎn)D，
∵AE∥CD，∠A=130°，
∴∠A=∠BDC=130°．
∵∠ABC=160°，
∴∠CBD=180°?∠ABC=20°，
在△CBD中，
∵∠CBD=20°，∠BDC=130°，
∴∠BCD=180°?∠CBD?∠BDC=30°，
∴∠BCF=180°?∠BCD=150°．
故答案為：150°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
【變式9-3】（2022·廣東·廣州市第十六中學(xué)七年級(jí)期中）如圖所示，一條公路修到湖邊時(shí)，需要拐彎繞湖而過，第一次拐的角∠A=110°，第二次拐的角∠B=145°，則第三次拐的角∠C=__________時(shí)，道路CE才能恰好與AD平行．
【答案】145°##145度
【分析】首先過點(diǎn)B作BF∥AD，由AD∥CE，即可得BF∥AD∥CE，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得∠C的大?。?br>【詳解】過點(diǎn)B作BF∥AD，
∵AD∥CE，
∴BF∥AD∥CE，
∴∠1=∠A=110°,∠2+∠C=180°，
∵∠B=∠1+∠2=145°，
∴∠2=35°，
∴∠C=145°．
故答案為145°．
【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線．
【題型10 平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)）】
【例10】（2022·上海市市西初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）結(jié)合“愛市西，愛生活，會(huì)創(chuàng)新”的主題，某同學(xué)設(shè)計(jì)了一款“地面霓虹探測燈”，增加美觀的同時(shí)也為行人的夜間行路帶去了方便．他的構(gòu)想如下：在平面內(nèi)，如圖1所示，燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ//MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．
（1）填空：∠ABP=______°；
（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)60秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？
（3）如圖2，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前，若射出的光束交于點(diǎn)C，過C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D，且∠ACD=120°，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，請(qǐng)?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）120；（2）A燈轉(zhuǎn)動(dòng)100秒，兩燈的光束互相平行；（3）在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化，且有∠BAC=2∠BCD，理由見解析．
【分析】（1）先根據(jù)角的倍差求出∠BAM的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得；
（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，先求出兩個(gè)臨界位置：燈B射線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BA、燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN，再分三種情況，分別利用平行線的性質(zhì)列出等式求解即可得；
（3）先根據(jù)角的和差求出∠BAC=2t?120°,∠ABC=120°?t，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠BCA=180°?t，然后根據(jù)角的和差可得∠BCD=t?60°，由此即可得．
【詳解】（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM:∠BAN=2:1
∴∠BAM=23×180°=120°,∠BAN=13×180°=60°
∵PQ//MN
∴∠ABP=∠BAM=120°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
故答案為：120；
（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒
燈B射線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ所需時(shí)間為1801=180（秒），燈B射線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BA所需時(shí)間為1201=120（秒）
燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN所需時(shí)間為1802=90（秒）
則t的取值范圍為0

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