注意事項(xiàng)：
本試卷試題解答30道，共分成三個(gè)層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個(gè)題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．
一、解答題
1．（湖北省宜昌市第九中學(xué)2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）如圖，，．
(1)求證：；
(2)若，試探索：，，的數(shù)量關(guān)系；
(3)在（2）的條件下，若，，，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠D=∠ACM，等量代換得到∠CMG=∠ACM，于是得到結(jié)論．
（2）過B作交NG于P，由于，于是得到∠D=∠DHG，等量代換得到∠A+∠D=180°，得到，根據(jù)平行線的判定得到，由平行線的性質(zhì)得到∠PBG+∠1=180°，等量代換即可得到結(jié)論；
（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根據(jù)已知條件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC，
∴∠2=∠CFG，
∴，
∴∠D=∠ACM，
∵∠D=∠CMG，
∴∠CMG=∠ACM，
∴；
（2）解：∠NBG∠ANB+∠1=180°；
理由如下：過B作交NG于P，
∴∠ANB=∠NBP，
∵，
∴∠D=∠DHG，
∵∠A+∠DHG=180°，
∴∠A+∠D=180°，
∴，
又∵CM∥DH，
∴，
∴∠PBG+∠1=180°，
∵∠PBG=∠NBG∠NBP=∠NBG∠ANB，
∴∠NBG∠ANB+∠1=180°；
（3）解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，
∴∠PBG=80°，
∵∠NBG=130°，
∴∠ANB=∠NBP=50°，
∵∠ANB：∠BNG=2：1，
∴∠BNP=25°，
∴∠ANG=75°，
∴∠A=105°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
2．（山西省忻州市代縣2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖1，，點(diǎn)E為直線AB，CD外一點(diǎn)．
(1)若，，求出∠E的度數(shù)．
(2)如圖2，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上，連接BE，EF，若，EF平分，，求的度數(shù)：
(3)如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)F作，交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，延長(zhǎng)EF交CD于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作交CD于點(diǎn)I．當(dāng)FH平分時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先延長(zhǎng)BA，則易得，然后由兩直線平行，同位角相等，即可證得：∠E+∠C=90°；
（2）過點(diǎn)E作，易證， 再根據(jù)平行公理的推論可得，再證得，進(jìn)一步證明，即可得出∠BEF；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠HIF=∠BFI=∠B，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠CHF=∠IFG+∠HIF，然后根據(jù)已知條件和三角形外角定理即可求得∠CHF=∠BFE+∠B=（180°-∠BEF-∠B）+∠B=（180°-45°-∠B）+∠B=67.5°．
（1）
解：延長(zhǎng)BA交CE于點(diǎn)M，
∵，
∴
又∵，
∴
∴；
（2）
如圖，過點(diǎn)E作，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵EF平分，
∴，
∴；
（3）
∵∠CHF=∠IFH+∠HIF，∠IFH=∠IFG，
∴∠CHF=∠IFG+∠HIF，
∵ABCD，F(xiàn)IBE.，
∴∠HIF=∠BFI=∠B，
∴∠IFG=∠BFG-∠B，
∴∠CHF=∠IFG+∠HIF=（∠BFG-∠B）+∠B=∠BFG+∠B
∵∠BFG=∠BFE，
∴∠CHF=∠BFE+∠B
=（180°-∠BEF-∠B）+∠B
=（180°-45°-∠B）+∠B
=67.5°
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，三角形外角的性質(zhì)等，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（山東省日照市嵐山區(qū)2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）（1）閱讀下面材料：
已知：如圖1，，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接AE，CE，得到．求證：．
解答過程如下，并請(qǐng)你在括號(hào)內(nèi)填寫推理的依據(jù)：
過點(diǎn)E作，
則有（______）．
∵，
∴（______）．
∴（______）．
∴,
又∵
∴．
假若將具有圖1特征的圖形稱為“平行凸折線”，“平行凸折線”的性質(zhì)可以表述如下：
（2）已知：直線，點(diǎn)A，B在直線m上，點(diǎn)C，D在直線上，連接AD，BC，BE平分，DE平分，且BE，DE所在的直線交于點(diǎn)E．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，若，，請(qǐng)你結(jié)合（1）中“平行凸折線”的性質(zhì)，求的度數(shù)；

②如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，設(shè)，，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)（用含有，的式子表示）．
【答案】（1）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；平行線公理；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）①；②；
【分析】（1）過點(diǎn)E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明，即可得到結(jié)論成立；
（2）由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可求出答案；
（3）由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可求出答案．
【詳解】解：（1）過點(diǎn)E作，
則有（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．
∵，
∴（平行線公理）．
∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．
∴，
又∵，
∴．
故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；平行線公理；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；
（2）①根據(jù)題意，由（1）可知
∵，DE平分，
∴，
∴
∵，
∴，
∴,
∵BE平分，
∴；
②根據(jù)題意，如圖：
由（1）可知，，
∵BE平分，DE平分，，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，幾何圖形中角的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)及結(jié)合圖形進(jìn)行角的和差運(yùn)算．
4．（江蘇省江陰市周莊中學(xué)2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期3月限時(shí)作業(yè)數(shù)學(xué)試題）（1）光線從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時(shí)光線從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖1，光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線b，根據(jù)光學(xué)知識(shí)有∠1=∠2，∠3=∠4，請(qǐng)判斷光線a與光線b是否平行，并說明理由．
（2）光線照射到鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識(shí)，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，如圖2有一口井，已知入射光線a與水平線OC的夾角為42°，問如何放置平面鏡MN，可使反射光線b正好垂直照射到井底？（即求MN與水平線的夾角）
（3）如圖3，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和3度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t，在射線CD轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，是否存在某時(shí)刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時(shí)間t．
【答案】（1）平行；理由見解析；（2）MN與水平線的夾角為66°時(shí)，可使反射光線b正好垂直照射到井底；（3）t為5秒或95秒時(shí)，CD與AB平行
【分析】（1）根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠3與∠4的補(bǔ)角相等，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可判定；
（2）根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等可得∠1＝∠2，然后根據(jù)平角等于180°求出∠1的度數(shù)，再加上42°即可得解；
（3）①AB與CD在EF的兩側(cè)，分別表示出∠ACD與∠BAC，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等列式計(jì)算即可得解；
②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等列式計(jì)算即可得解；
③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等列式計(jì)算即可得解．
【詳解】解：（1）平行．理由如下：
如圖，∵∠3＝∠4，
∴∠5＝∠6，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠5＝∠2＋∠6，
∴．
（2）∵入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，
∴∠1＝∠2，
∵入射光線a與水平線OC的夾角為42°，b垂直照射到井底，
∴∠1＋∠2＝180°?42°?90°＝48°，
∴∠1＝×48°＝24°，
∴MN與水平線的夾角為：24°＋42°＝66°．
（3）存在．
AB與CD在EF的兩側(cè)時(shí)，如圖①所示：
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°?60°?3t＝120°?3t，
∠BAC＝110°?t，
要使，
則∠ACD＝∠BAF，
即120°?3t＝110°?t，
解得t＝5；
此時(shí)（180°?60°）÷3＝40，
∴0＜t＜40，
∴t＝5符合題意；
②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時(shí)，如圖所示：
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°?3t?60°＝300°?3t，
∠BAC＝110°?t，
要使，
則∠DCF＝∠BAC，
即300°?3t＝110°?t，
解得t＝95，
此時(shí)（360°?60°）÷3＝100，
∴40＜t＜100，
∴t＝95符合題意；
③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時(shí)，如圖所示：
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝3t?（180°?60°＋180°）＝3t?300°，
∠BAC＝t?110°，
要使，
則∠DCF＝∠BAC，
即3t?300°＝t?110°，
解得t＝95，
此時(shí)t＞110，
∵95＜110，
∴此情況不存在．
綜上所述，t為5秒或95秒時(shí)，CD與AB平行．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，光學(xué)原理，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（3）要注意分情況討論．
5．（河北省衡水市武邑縣武羅學(xué)校2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時(shí)，AB與CD的位置關(guān)系是______；
當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時(shí)，AB與CD的位置關(guān)系是______；
當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系并說明理由；
(2)【探究】如圖2，AB∥CD，M是AE上一點(diǎn)，∠AEC＝90°保持不變，移動(dòng)頂點(diǎn)E，使CE平分∠MCD，∠BAE與∠MCD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由，
(3)【拓展】如圖3，AB∥CD，P為線段AC上一定點(diǎn)，Q為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)Q不與點(diǎn)C重合．直接寫出∠CPQ+∠CQP與∠BAC的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由見解析
(2)∠BAE+∠MCD＝90°，理由見解析
(3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°
【分析】（1）由角平分線的定義得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，則∠BAC+∠ACD＝180°，可得結(jié)論AB∥CD；
（2）過點(diǎn)E作EF∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得答案；
（3）利用平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得答案．
【詳解】（1）解：當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時(shí)，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案為：AB∥CD；
當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時(shí)，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案為：AB∥CD；
當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠BAE+∠MCD＝90°，理由如下：
過點(diǎn)E作EF∥AB，如圖所示，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝∠MCD，
∴∠BAE+∠MCD＝90°；
（3）解：分兩種情況分類討論，
第一種情況如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：過點(diǎn)P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二種情況如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
綜上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵需要根據(jù)題意作出相關(guān)的輔助線，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，從圖形中尋找角之間的位置關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)從而判斷角之間的大小關(guān)系，同時(shí)注意運(yùn)用分類討論的思想方法．
6．（福建省福州市鼓樓區(qū)第十八中學(xué)2021-2022學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試卷）如圖1，直線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)），若．
(1)求證：；
(2)如圖2所示，點(diǎn)M、N在，之間，且位于E，F(xiàn)的異側(cè)，連，若，則，，三個(gè)角之間存在何種數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(3)如圖3所示，點(diǎn)M在線段上，點(diǎn)N在直線的下方，點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)（在E的左側(cè)），連接，，，若，，則請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量．
【答案】(1)見詳解
(2)，理由見詳解
(3)，理由見詳解
【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）過作，過作，設(shè)，，，，可得，即有，，，進(jìn)而有，，可得，，問題得解；
（3）連接PF，可得，設(shè)，則，，，根據(jù)，有，即有，即，根據(jù)，可得，即可得．
（1）
解：∵，，，
∴，
∴，
得證；
（2）
解：，理由如下：
過作，過作，
設(shè)，，，，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）
解：，理由如下：
連接PF，如圖3，
即有：，，
∴，
∵，，
∴設(shè)，則，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．
7．（陜西省漢中市鎮(zhèn)巴縣2021-2022學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷）如圖1，直線與直線、分別交于點(diǎn)E、F，．
(1)試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)如圖2，與的角平分線交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，點(diǎn)H是上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)P作，則與平行嗎？為什么？
【答案】(1)，見解析
(2)平行，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行即可得到結(jié)論；
（2）先求得，則，由即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：，
理由：∵，，
，
．
（2）解：由（1）知，，
．
，
，
，
即．
，
．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)，靈活應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)是解題解題的關(guān)鍵．
8．（海南省儋州市鑫源中學(xué)2021-2022學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）問題情境：如圖1，ABCD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過P作PEAB，通過平行線性質(zhì)來求∠APC．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度數(shù)為______度；
(2)問題遷移：如圖2，ABCD，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，記∠PAB＝α，∠PCD＝β，當(dāng)點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問∠APC與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；
(3)在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O、B、D三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出∠APC與α、β之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)110
(2)∠APC=α+β，理由見解析
(3)當(dāng)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=α-β；當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=β-α
【分析】（1）過P作PEAB，通過平行線性質(zhì)求∠APC即可；
（2）過P作PEAB交AC于E，推出ABPEDC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）分兩種情況：P在BD延長(zhǎng)線上；P在DB延長(zhǎng)線上，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)P作PEAB，
∵ABCD，
∴PEABCD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案為：110．
（2）解：∠APC=α+β，
理由：如圖2，過P作PEAB交AC于E，
∵ABCD，
∴ABPECD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；
（3）解分兩種情況：當(dāng)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，過P作PE∥AB交AC于E，如圖所示，
∵ABCD，
∴ABPECD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠CPA=∠APE-∠CPE=α-β，
即∠CPA=α-β；
當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，過P作PEAB交AC于E，如圖所示，
∵ABCD，
∴ABPECD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠CPA=∠CPE-∠CPA=β-α，
即∠CPA=β-α．
綜上，當(dāng)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=α-β；當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPA=β-α．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．
9．（浙江省杭州市拱墅區(qū)杭州樹蘭中學(xué)2020-2021學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）小明同學(xué)在完成七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第1章的線上學(xué)習(xí)后，遇到了一些問題，請(qǐng)你幫他解決一下．
(1)如圖1，已知AB∥CD，則∠AEC＝∠BAE＋∠DCE成立嗎？請(qǐng)說明理由．
(2)如圖2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直線交于點(diǎn)E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度數(shù)．
【答案】(1)成立，理由見詳解
(2)45°
【分析】（1）過E點(diǎn)作，根據(jù)，可得，根據(jù)平行的性質(zhì)有∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，結(jié)合∠AEC=∠AEN+∠CEN，即可證明；
（2）根據(jù)，可得∠FAD=∠ADC，根據(jù)BE、DE分別平分∠ABC、∠ADC，即可求出∠ABE和∠CDE，再結(jié)合（1）的結(jié)論即可求解．
（1）
成立，理由如下：
過E點(diǎn)作，如圖，
∵，，
∴，
∴∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，
∵∠AEC=∠AEN+∠CEN，
∴∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，
結(jié)論得證；
（2）
∵，
∴∠FAD=∠ADC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴，，
∵∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，
∴，，
根據(jù)（1）的結(jié)論可知：∠BED＝∠ABE＋∠CDE，
∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE=20°+25°=45°，
即∠BED的度數(shù)為45°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)筑輔助線EN是解答本題的關(guān)鍵．
10．（江蘇省無錫市江陰市華士實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）長(zhǎng)江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況．如圖，燈A射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，且、滿足．假定這一帶長(zhǎng)江兩岸河堤是平行的，即，且．
(1)求a、b的值；
(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)20秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？
(3)如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)之前．若射出的光束交于點(diǎn)C，過C作交于點(diǎn)D，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)求出其取值范圍．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）根據(jù)，得，，即可求出，的值；
（2）設(shè)秒后，兩束燈光平行，①當(dāng)燈射線轉(zhuǎn)到之前；②當(dāng)燈射線轉(zhuǎn)到之后；根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求出兩束燈光互相平行的時(shí)間；
（3）設(shè)燈射線轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為秒，得，，根據(jù)，得；過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得；根據(jù)，得，即可得到和的數(shù)量關(guān)系．
（1）
解：∵
∴，
∴，
∴，
（2）
解：設(shè)秒后，兩束燈光平行
①當(dāng)燈射線轉(zhuǎn)到之前
∴
解得
②當(dāng)燈射線轉(zhuǎn)到之后
∴
解得
∴當(dāng)或秒后，兩束燈光互相平行．
（3）
解：設(shè)燈射線轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為秒
∴，
∵
∴
∴
過點(diǎn)作
∴
∴，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴∶=∶
∴∶=∶
∶=∶
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握：任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，；平行線的性質(zhì)．
11．（江蘇省鹽城市亭湖區(qū)毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）（1）（問題）如圖1，若ABCD，∠AEP＝40°，∠PFD＝120°，求∠EPF的度數(shù)．
（2）（問題遷移）如圖2，ABCD，點(diǎn)P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；
（3）（聯(lián)想拓展）如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝50°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，直接寫出∠G的度數(shù)．
【答案】（1）100°；（2）∠PFC＝∠PEA＋∠EPF；（3）25°
【分析】（1）如圖，過點(diǎn)P作PNAB，根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定可求解；
（2）過P點(diǎn)作PNAB，則PNCD，可得∠FPN＝∠PEA＋∠FPE，進(jìn)而可得∠PFC＝∠PEA＋∠FPE，即可求解；
（3）過點(diǎn)G作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：（1）解：如圖，過點(diǎn)P作PNAB，
∴∠1＝∠AEP，
∵∠AEP＝40°，
∴∠1＝40°，
∵ABCD，
∴PNCD，
∴∠2＋∠PFD＝180°，
∵∠PFD＝120°，
∴∠2＝180°?120°＝60°．
∴∠1＋∠2＝40°＋60°＝100°，
即∠EPF＝100°；
（2）∠PFC＝∠PEA＋∠EPF，理由如下：
如圖，過P點(diǎn)作PNAB，則PNCD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE＋∠EPF，
∴∠FPN＝∠PEA＋∠EPF，
∵PNCD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA＋∠EPF；
（3）如圖，過點(diǎn)G作AB的平行線GH．
∵GHAB，ABCD，
∴GHABCD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，
∴∠HGE＝∠AEG＝∠AEP，∠HGF＝∠CFG＝∠PFC，
由（2）可知，∠PFC＝∠EPF＋∠AEP，
∴∠HGF＝（∠EPF＋∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF?∠HGE＝（∠EPF＋∠AEP）?∠AEP＝∠EPF，
∵∠EPF＝50°，
∴∠EGF＝25°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
12．（江蘇省蘇州市景城中學(xué)2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）已知ABCD，點(diǎn)E在AB與CD之間．
(1)圖1中，試說明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；
(2)圖2中，∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F，請(qǐng)利用（1）的結(jié)論說明：∠BED＝2∠BFD．
(3)圖3中，∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫出∠BED與∠BFD之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)∠BED=∠ABE+∠CDE
(2)∠BED=2∠BFD
(3)∠BED=360°-2∠BFD
【分析】（1）圖1中，過點(diǎn)E作EGAB，則∠BEG=∠ABE，根據(jù)ABCD，EGAB，所以CDEG，所以∠DEG=∠CDE，進(jìn)而可得∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）圖2中，根據(jù)∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F，結(jié)合（1）的結(jié)論即可說明：∠BED=2∠BFD；
（3）圖3中，根據(jù)∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EGAB，則∠BEG+∠ABE=180°，因?yàn)锳BCD，EGAB，所以CDEG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再結(jié)合（1）的結(jié)論即可說明∠BED與∠BFD之間的數(shù)量關(guān)系．
（1）
解：如圖1中，過點(diǎn)E作EGAB，
則∠BEG=∠ABE，
因?yàn)锳BCD，EGAB，
所以CDEG，
所以∠DEG=∠CDE，
所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE，
即∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）
解：圖2中，因?yàn)锽F平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因?yàn)镈F平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2(∠ABF+∠CDF)，
由（1）得：因?yàn)锳BCD，
所以∠BED=∠ABE+∠CDE，
∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=2∠BFD．
（3）
解：∠BED=360°-2∠BFD．
圖3中，過點(diǎn)E作EGAB，
則∠BEG+∠ABE=180°，
因?yàn)锳BCD，EGAB，
所以CDEG，
所以∠DEG+∠CDE=180°，
所以∠BEG+∠DEG=360°-(∠ABE+∠CDE），
即∠BED=360°-(∠ABE+∠CDE)，
因?yàn)锽F平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因?yàn)镈F平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
∠BED=360°-2(∠ABF+∠CDF)，
由（1）得：因?yàn)锳BCD，
所以∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=360°-2∠BFD．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．
13．（廣東省東莞市松山湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷）請(qǐng)作答：
(1)圖，圖均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合，，，與相交于點(diǎn)，有一動(dòng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，連接，，記，．
①如圖，當(dāng)點(diǎn)在，兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系；
②如圖，當(dāng)點(diǎn)在，兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，與，之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)判斷并說明理由；
(2)當(dāng)點(diǎn)在，兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，若，的角平分線，相交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)①；②，理由見解析
(2)
【分析】（1）①過點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)即可得；
②過點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)即可得；
（2）先根據(jù)角平分線的定義可得，過點(diǎn)作，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)即可得．
（1）
解：①，理由如下：
如圖，過點(diǎn)作，如圖所示：
，
，
，
，
；
②，理由如下：
如圖，過點(diǎn)作，
，
，
，
，
．
（2）
解：，理由如下：
，分別平分，，
，，
如圖，過點(diǎn)作，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，過拐點(diǎn)作平行線，利用平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
14．（江蘇省宿遷市泗陽縣2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖1，被直線所截，點(diǎn)E是線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作，連接．
(1)與平行嗎？為什么？
(2)將線段沿著直線進(jìn)行平移，平移后得到的對(duì)應(yīng)線段記為線段，連接；
①當(dāng)線段在E點(diǎn)下方時(shí)，如圖2，若，求的度數(shù)．
②在整個(gè)平移的過程中，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．
【答案】(1)；理由見解析
(2)①∠DEG＝75°；②∠EGF的值為45°或90°
【分析】（1）結(jié)論：，延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)T．利用平行線的性質(zhì)以及判定證明即可；
（2）①過點(diǎn)E作，利用平行線的性質(zhì)求解即可；
②分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)F在線段BE上時(shí)，過點(diǎn)E作，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B的上方時(shí)，過點(diǎn)E作，分別利用平行線的性質(zhì)求解即可．
（1）
解：結(jié)論：．理由如下：
延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)T，如圖所示：
∵，
∴∠DTC＝∠A＝60°，
∵∠D＝60°，
∴∠D＝∠DTC，
∴．
（2）
①過點(diǎn)E作，
∵，
∴，
∴∠EGF＝∠KEG＝15°，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠DEK＋∠KEG＝75°．
②當(dāng)點(diǎn)F在線段BE上時(shí)，過點(diǎn)E作，如圖所示：
∵，
∴，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝60°?∠FGE，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝15°，
∴∠EGF＝45°；
當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B的上方時(shí)，過點(diǎn)E作，如圖所示：
∵，
∴，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠FGE?60°，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝30°，
∴∠EGF＝90°．
綜上所述，滿足條件的∠EGF的值為45°或90°．
【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平行線的判定和性質(zhì)，平移變換等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，屬于中考?？碱}型．
15．（江蘇省無錫市濱湖區(qū)2020-2021學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖①，已知直線ab，點(diǎn)O、C分別是直線a、b上的定點(diǎn)，點(diǎn)A從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OA的方向平移，點(diǎn)B從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB的方向平移，且始終滿足∠BCO＝∠BAO＝100°．
(1)求證：ABCO；
(2)如圖②，若OF平分∠BOC，點(diǎn)E是直線b上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
① 當(dāng)∠AOB＝30°，且△EOB中有兩個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，求∠EOF的度數(shù)；
② 當(dāng)∠EOB＝∠AOB，且∠BOC＝6∠EOF時(shí)，求∠ABO的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)①，，或；②或
【分析】（1）根據(jù)a∥b，可得∠OCB+∠AOC=180°，再由∠BCO=∠BAO=100°．得出∠AOC+∠OAB=180°即可判斷OC∥AB；
（2）①根據(jù)△EOB中有兩個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，分別有4種可能性，分別畫出相應(yīng)的圖形，依據(jù)角平分線，平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可；
②分點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)或左側(cè)兩種情況，設(shè)∠AOB=α，利用含有α的代數(shù)式表示∠BOC，∠EOF，列方程求解即可．
（1）
證明：∵
∴
∵，
∴，
∴．
（2）
解：①∵，
∴
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
1°，
∴．
∴
2°
∴．
3°（點(diǎn)E在點(diǎn)B的左側(cè)）
∴．
4°（點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)），
∵，
∴．
∴．
綜上的度數(shù)為，，或．
②設(shè)，則，
∴．
∵平分，
∴．
1°點(diǎn)F在點(diǎn)E右側(cè)，
，
∵，
∴，
∴．
2°點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)，
，
∵，
∴，．
∴．
綜上，的度數(shù)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握平行線的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理以及角角平分線的定義是正確解答的前提．
16．（浙江省寧波市海曙區(qū)部分校2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖①，，被直線所截，點(diǎn)D是線段上的點(diǎn)，過點(diǎn)D作，連接，.
(1)請(qǐng)說明；
(2)將線段沿著直線平移得到線段，連接．
①.如圖②，當(dāng)時(shí)，則的度數(shù)_____________；
②.在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)時(shí)，_____________．
【答案】(1)見解析
(2)①；②或120°
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，利用等量代換得到，即可證出；
（2）①過點(diǎn)D作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案；
②兩種情況，運(yùn)用類比的方法，當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，過點(diǎn)D作交AB于點(diǎn)F，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案；當(dāng)點(diǎn)P在線段DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)D作交AB于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案．
（1）證明：∵，∴，又∵，∴，∴．
（2）解：①解：過點(diǎn)D作，如圖所示：∵，∴，∴，，∵，∴∠EDQ=90°，∴，而，∴．故答案為：．②當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，過點(diǎn)D作交AB于點(diǎn)F，如圖所示：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P在線段DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)D作交AB于點(diǎn)，如圖所示：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；綜上所述：的度數(shù)為或．故答案為：或
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)并正確作出輔助線．
17．（湖南省岳陽市2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，已知和互為鄰補(bǔ)角，，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)C處（注：，）．
(1)如圖1，使三角板的短直角邊與射線重合，若，則_________．
(2)如圖2，將圖1中的三角板繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，試判斷此時(shí)與的位置關(guān)系，并說明理由．
(3)如圖3，將圖1中的三角板繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得，此時(shí)和滿足什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由．
(4)將圖1中的三角板繞點(diǎn)C以每秒5的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時(shí)，恰好與直線重合，求t的值（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)，理由見詳解
(3)
(4)或
【分析】（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，然后問題可求解；
（3）由選項(xiàng)的性質(zhì)可得，然后可得，則有，進(jìn)而分類討論求解即可；
（4）由題意可分當(dāng)射線CA與射線CF互為反向延長(zhǎng)線和當(dāng)射線CA與射線CF重合時(shí)，然后進(jìn)行分類討論求解即可．
(1)
解：由三角板的短直角邊與射線重合，且，可得：
；
故答案為；
(2)
解：，理由如下：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，
∴；
(3)
解：，理由如下：
由旋轉(zhuǎn)可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
若，則，即；
若，則，即；
∵，
∴不符合題意；
∴和滿足的關(guān)系是；
(4)
解：將圖1中的三角板繞點(diǎn)C以每秒5的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時(shí)，恰好與直線重合，
∴當(dāng)射線CA與射線CF互為反向延長(zhǎng)線，如圖，
則，
∴此時(shí)AC旋轉(zhuǎn)了，
∴；
當(dāng)射線CA與射線CF重合時(shí)，如圖所示：
則AC旋轉(zhuǎn)了，
∴；
綜上所述：AC恰好與直線CF重合時(shí)，t的值為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角的和差關(guān)系、平行線的判定及一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角的和差關(guān)系、平行線的判定及一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
18．（廣東省廣州市白云區(qū)2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，點(diǎn)，，，四點(diǎn)共線，點(diǎn)，，，四點(diǎn)共線．，相交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線與之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，．
(1)求證：；
(2)若平分，平分，請(qǐng)?zhí)剿鞑⒆C明和之間的數(shù)量關(guān)系；
(3)若，，（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論，并證明．
【答案】(1)證明見解析
(2)，證明見解析
(3)不成立；，證明見解析
【分析】（1）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得結(jié)論；
（2）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)以及角平分線的定義可得，，，，則，即可得到和之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)和已知條件，得出，，，，則，從而得到和之間的數(shù)量關(guān)系．
（1）證明：如圖，過點(diǎn)作，∴，∵，∴，∴，∴．
（2）解：，證明如下：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，由（1）知：，∴，∴，，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即，∵平分，平分，∴，，∴，∴．
（3）如圖，（2）中的結(jié)論不成立，正確的結(jié)論是，證明如下：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，由（2）得：，，∵，，∴，，∴，∴
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，平行公理的推論，角平分線的定義等知識(shí)．正確添加輔助線、熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．（江西省撫州市樂安縣2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知的三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和是180°，如圖是兩個(gè)三角板不同位置的擺放，其中，，．
(1)當(dāng)時(shí)，如圖①，求的度數(shù)．
(2)當(dāng)CD與CB重合時(shí)，如圖②，判斷DE與AC的位置關(guān)系，并說明理由．
(3)如圖③，當(dāng)?shù)扔赺_____度時(shí)，．（直接寫出答案）
【答案】(1)30°
(2)DE∥AC
(3)15
【分析】（1）根據(jù)AB∥DC，運(yùn)用平行線的性質(zhì)，求得∠DCB的度數(shù)；
（2）根據(jù)∠ABE+∠BAC=180°，運(yùn)用平行線的判定，得出DE∥AC；
（3）根據(jù)AB∥CE，求得∠ECB=30°，再根據(jù)∠DCE=45°，求得∠DCB的度數(shù)．
【詳解】（1）解：∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=180°-90°-60°=30°，
∵AB∥DC，
∴∠DCB=∠B=30°；
（2）解：DE∥AC．
當(dāng)CD與CB重合時(shí)，∠CDA=∠CBA=30°，
∴∠ADE=∠CDE+∠CDA=90°+30°=120°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABE+∠BAC=180°，
∴DE∥AC；
（3）解：當(dāng)AB∥CE時(shí)，∠B=∠ECB=30°，
又∵∠DCE=45°，
∴∠DCB=45°-30°=15°．
故答案為：15．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，解題時(shí)注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來得出角的數(shù)量關(guān)系．
20．（江蘇省南通市如皋市2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，中，，BD平分交的邊AC于點(diǎn)D，E為直線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)E向直線AC的右邊作射線EF，使，作的平分線EG交射線BD于點(diǎn)G．
(1)如圖1，，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，求的度數(shù)；
(2)若，
①如圖2，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，求的度數(shù)（用含有的式子表示）；
②點(diǎn)E在直線AC上滑動(dòng)，當(dāng)存在時(shí)，其度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)說明理由；若變化，請(qǐng)直接用含的式子表示的度數(shù)．
【答案】(1)65°
(2)①；②變化，或
【分析】(1)過G作交AB于點(diǎn)M，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，可得，，據(jù)此即可求得；
(2)①過G作交AB于點(diǎn)M，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，可得，，據(jù)此即可求得；②根據(jù)(1)和①即可解答．
(1)
解：如圖1，過G作交AB于點(diǎn)M．
∵，
∴，
∴，．
∵BD平分，，
∴．
∵，
∴．
∵EG平分，
∴．
∴．
(2)
解：①如圖2，過G作交AB于點(diǎn)M．
∵，
∴．
∵BD平，EG平分，
∴ ，．
∴．
②變化；
當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的上方時(shí)，方法同(1)可得，，
當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的下方時(shí)，方法同①可得，，
故當(dāng)存在時(shí)，其度數(shù)發(fā)生變化，度數(shù)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，作出輔助線和采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．
21．（河北省保定市高陽縣2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）如圖1，已知，點(diǎn)，分別在射線和上，在內(nèi)部作射線，，使平行于．
(1)如圖1，若，求的度數(shù)；
(2)小穎發(fā)現(xiàn)，在內(nèi)部，無論如何變化，的值始終為定值，請(qǐng)你結(jié)合圖2求出這一定值；
(3)①如圖3，把圖1中的改為，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；
②如圖4，已知，點(diǎn)，分別在射線，上，在與內(nèi)部作射線，，使平行于，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)
(2)
(3)①，②
【分析】（1）過點(diǎn)作，可以求出，結(jié)合，可以得到，即可求出的度數(shù)；
（2）過點(diǎn)作，結(jié)合已知可以得出，進(jìn)而得到，即可求出，的值；
（3）①根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的圖形，結(jié)合平行線的性質(zhì)和判定即可得到與之間的數(shù)量關(guān)系；
②根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的圖形，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，結(jié)合平行線的性質(zhì)與判定即可正確解答．
【詳解】（1）過點(diǎn)作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2）過點(diǎn)作
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
（3）①
②
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平行線模型，根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)的圖形，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
22．（北京市第十九中學(xué)2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷）如圖，直線，點(diǎn)A為直線a上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為直線a、b之間的定點(diǎn)，點(diǎn)C為直線上的定點(diǎn)．
(1)當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到圖1所示位置時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)之間的數(shù)量關(guān)系為 ；
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，作等邊，平分，交直線a于點(diǎn)M，平分，交直線b于點(diǎn)N，將繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，且始終在的內(nèi)部時(shí)，的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值，若變化，說明理由；
(3)點(diǎn)F為直線a上一點(diǎn)，使得，的平分線交直線a于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)A在直線a上運(yùn)動(dòng)時(shí)（A，B，C三點(diǎn)不共線），探究并直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．（本問中的角均為小于180°的角）
【答案】(1)∠ABC＝∠DAB+∠BCE；
(2)不變化，；
(3)∠ECB＝2∠FBG或，理由見解析．
【分析】（1）過點(diǎn)B作，根據(jù)兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等解答；
（2）根據(jù)角平分線的定義得到，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案；
（3）分點(diǎn)F在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)和點(diǎn)F在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)兩種情況求解．
【詳解】（1）解：作BH∥a，如圖1：
則，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）的值不變化，理由如下：
如圖2：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
由（1）得，
∴；
（3）當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，如圖3：
，理由如下：
∵，
由（1）知，
∵的平分線交直線a于點(diǎn)G，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，如圖4，
，理由如下：
∵的平分線交直線a于點(diǎn)G，
∴．
∵，，
∴．
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴．
綜上可知，與之間的數(shù)量關(guān)系為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，掌握平行線的性質(zhì)定理、三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（黑龍江省哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校2022—2023學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期11月份線上教學(xué)問題診斷數(shù)學(xué)試題）如圖，直線、被所截，直線分別交、于、兩點(diǎn)，．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，、分別為夾在、中的兩條直線，，求證：；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，為上一點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，連接，，平分交于點(diǎn)，，，，，求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）只需要證明即可證明；
（2）先由平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)而證明，即可證明；
（3）如圖所示，過點(diǎn)N作直線，則，設(shè)，先證明，再由平行線的性質(zhì)得到，，由，得到，則，，進(jìn)而求出，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，從而求出，再由平分，得到，最后根據(jù)，即可得到 ．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如圖所示，過點(diǎn)N作直線，則，設(shè)，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．
24．（北京市海淀區(qū)三帆中學(xué)2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（6月份））已知直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線上，．點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)（不與E重合），連接，和的平分線所在直線交于點(diǎn)H．
(1)如圖1，若，點(diǎn)P在射線上．則當(dāng)時(shí)，
；
(2)如圖2，若，點(diǎn)P在射線上．
①補(bǔ)全圖形；
②探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
(3)如圖3，若，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系（用含α的式子表示）．
【答案】(1)25
(2)①見解析；②，見解析
(3)或
【分析】（1）根據(jù)圖形1，由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可；
（2）①先根據(jù)（1）中作法補(bǔ)全圖形；②根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理得出與的數(shù)量關(guān)系；
（3）分點(diǎn)P在射線上和點(diǎn)P在射線上兩種情況，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：∵，點(diǎn)P在射線上，，
∴，
∴，
∵、分別平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：25；
（2）①若，點(diǎn)P在射線上，
補(bǔ)全圖形，如圖所示：
②與的數(shù)量關(guān)系是，證明如下：
∵，
∴，
∵分別平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）若，則與的數(shù)值關(guān)系是：
或．
點(diǎn)P在射線上時(shí)，
∵，
∴，
∴，
∵分別平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
點(diǎn)P在射線上時(shí)，
∵，
∴，
∵分別平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
綜上所述，與的數(shù)值關(guān)系是或．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，關(guān)鍵是對(duì)這些知識(shí)的掌握和運(yùn)用．
25．（江蘇省鹽城初級(jí)中學(xué)中校區(qū)2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，直角三角形與直角三角形的斜邊在同一直線上，，平分，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記為，在旋轉(zhuǎn)過程中：
(1)如圖，，當(dāng)______時(shí)，，當(dāng)______時(shí)，；
(2)如圖，，當(dāng)頂點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)（不包含邊界），邊、分別交、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，
①此時(shí)的度數(shù)范圍是______．
②與度數(shù)的和是否變化？若不變，求出與的度數(shù)和；若變化，請(qǐng)說明理由：______．
(3)如圖，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，邊與射線有交點(diǎn)，邊與射線有交點(diǎn)，則與有什么關(guān)系______．
(4)如圖，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，邊與射線有交點(diǎn)，邊與射線有交點(diǎn)、請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出其他可能位置，并寫出與的關(guān)系______．
【答案】(1)，
(2)①；②不變，
(3)
(4)圖見解析，
【分析】（1）當(dāng)時(shí)， ，得出，即可得出結(jié)果；當(dāng)時(shí)，，得出，即可得出結(jié)果；
（2）①由已知得出，，推出，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，解得，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，即可得出結(jié)果；
②連接，由三角形內(nèi)角和定理得出，則，由三角形內(nèi)角和定理得出，即，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和與外角定理用與表示和便可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)題意作圖，并仿照（3）的方法便可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：，
當(dāng)時(shí)，，
，
；
當(dāng)時(shí)，，
，，
，
，
故答案為：，；
（2）解：，平分，
，，
，
當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，
解得：，
當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，，
當(dāng)頂點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，；
故答案為：；
與度數(shù)的和不變，.
理由如下：
連接，如圖所示：

在中，
，
，
在中，
，
即，
；
（3），
，
，
故答案為：；
（4）如圖，同（3）可得．

故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，合理選擇三角形旋轉(zhuǎn)后利用三角形內(nèi)角和定理列等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
26．（浙江省溫州市永嘉縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖1，直線，△ABE的頂點(diǎn)E在AB與CD之間.
(1)若，．
①當(dāng)∠CDE=2∠EDM時(shí)，求∠BED的度數(shù).
②如圖2，作出∠CDE的角平分線DF，當(dāng)DF平行于△ABE中的一邊時(shí)，求∠BED的度數(shù).
(2)如圖3，∠CDE的角平分線DF交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連結(jié)BF，當(dāng)∠ABH=2∠HBF，時(shí)，求∠CDE的度數(shù).
【答案】(1)①；②；
(2)
【分析】（1）①過點(diǎn)E在作，分別利用鄰角互補(bǔ)求得和，再利用平行線的性質(zhì)即可求解；
②分兩種情況：（i）當(dāng)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，利用先鄰角互補(bǔ)求得，再利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義求得的度數(shù)，進(jìn)而求得，最后利用①的結(jié)論即可求解；（ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖所示，類似（i）的求解方法可求得；
（2）設(shè)與交于點(diǎn)，如圖所示，且設(shè)∠ABH=∠HBF=2x，∠CDF=∠EDF=y，則，在中，，即，
由（1）小題可得 ，再利用已知，即可得到，求得，進(jìn)而得到的度數(shù)．
（1）
①如圖，過點(diǎn)E在作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴；
∵，，
∴，
∴；
②分兩種情況：（i）當(dāng)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖所示，

∵，，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴由①得；
（ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖所示，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴；
∴由①得；
（2）
解：設(shè)與交于點(diǎn)，如圖所示，設(shè)∠ABH=∠HBF=2x，∠CDF=∠EDF=y，則，
∵，
∴，
∴在中，
，
即，
由（1）小題可得 ，
∵，
∴．
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)以及角平分線的有關(guān)計(jì)算，熟練掌握已經(jīng)學(xué)過的性質(zhì)和定理，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
27．（江蘇省泰州中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)、靖江外國(guó)語學(xué)校2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題）新定義：在中，若存在一個(gè)內(nèi)角是另外一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱為n倍角三角形．例如，在中，，可知，所以為2倍角三角形．
(1)在中，，則為 倍角三角形．
(2)已知：在圖中直線被直線EF所截交點(diǎn)分別為E、F，，與的平分線交于點(diǎn)G，若是6倍角三角形，求．
(3)圖中平分，平分，問是幾倍角三角形，為什么？
(4)在中，，若既可以是一個(gè)2倍角三角形，又可以是一個(gè)3倍角三角形，求∠A的度數(shù)．
【答案】(1)3
(2)或或或
(3)是2倍角三角形，理由見解析
(4)或或
【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)即可得到答案；
（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義求出，則，然后分四種情況討論求解即可；
（3）根據(jù)平角的定義求出，再根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)求出，則，由此即可得到結(jié)論；
（4）分當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，三種情況利用三角形內(nèi)角和定理討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵在中，，
∴，
∴，
∴為3倍角三角形，
故答案為：3；
（2）解：∵，
∴，
∵分別是的角平分線，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，則，
∴；
當(dāng)時(shí)，則，
∴；
當(dāng)，則，
∴；
當(dāng)，則，
∴；
綜上所述，的度數(shù)為或或或；
（3）解：是2倍角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵分別是的角平分線，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是2倍角三角形；
（4）解：∵在中，，若既可以是一個(gè)2倍角三角形，又可以是一個(gè)3倍角三角形，
∴當(dāng)時(shí)，∵，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，同理可求得；
當(dāng)時(shí)，同理可求得；
綜上所述，的度數(shù)為或或；
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
28．（浙江省金華市義烏市稠州中學(xué)教育集團(tuán)2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，直線PQMN，一副直角三角板△ABC、△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．
(1)若△DEF如圖1擺放，當(dāng)ED平分∠PEF時(shí)，則∠DFM= ．
(2)若圖2中△ABC固定，將△DEF沿著AC方向平移，邊DF與直線PQ相交于點(diǎn)G，作∠FGQ和∠GFA的角平分線GH、FH相交于點(diǎn)H（如圖3），求∠GHF的度數(shù)．
(3)若圖2中△DEF固定，（如圖4）將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，1分鐘轉(zhuǎn)半圈，旋轉(zhuǎn)至AC與直線AN首次重合的過程中，當(dāng)線段BC與△DEF的一條邊平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)的時(shí)間．（單位必須化成秒）
【答案】(1)30°
(2)67.5°
(3)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為10s或30s或40s時(shí)，線段與的一條邊平行．
【分析】（1）利用角平分線定義及平行線性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（2）分別過點(diǎn)，作FLMN，HRPQ，利用平行線性質(zhì)和角平分線定義即可得出答案；
（3）設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，由題意旋轉(zhuǎn)速度為1分鐘轉(zhuǎn)半圈，即每秒轉(zhuǎn)，分三種情況：①當(dāng)BCDE時(shí)，②當(dāng)BCEF時(shí)，③當(dāng)BCDF時(shí)，分別求出旋轉(zhuǎn)角度后，列方程求解即可．
（1）
解：∵平分，，
∴，
∵PQMN，，
∴，
，
∴．
故答案為：30°
（2）
解：如圖3，分別過點(diǎn)，作FLMN，HRPQ，
∴，，
∵FLMN，HRPQ，PQMN，
∴FLPQHR，，
∴，，
∵，
∴，
∵和的角平分線、相交于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴∠QGF＝180°－∠GFL＝75°，
∴，
∴；
（3）
解：設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，由題意旋轉(zhuǎn)速度為1分鐘轉(zhuǎn)半圈，即每秒轉(zhuǎn)，
分三種情況：
當(dāng)BCDE時(shí)，如圖5，
此時(shí)ACDF，
，
，
解得：；
②當(dāng)BCEF時(shí)，如圖6，
∵BCEF，
，
，
，
解得：；
③當(dāng)BCDF時(shí)，如圖7，
延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，
，
，
，
，
，
，
解得：，
綜上所述，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為10s或30s或40s時(shí)，線段與的一條邊平行．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線性質(zhì)及判定，角平分線定義，平移的性質(zhì)等，添加輔助線，利用平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
29．（浙江省金華市義烏市稠州中學(xué)教育集團(tuán)2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題）如圖1，已知，B在MN上，C在PQ上，A在B的左側(cè)，D在C的右側(cè)，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直線DE，BE交于點(diǎn)E，∠CBN＝120°．
(1)若∠ADQ＝100°，求∠BED的度數(shù)；
(2)在圖1中過點(diǎn)D作∠ADQ的角平分線與直線BE相交于點(diǎn)F，如圖2，試探究∠DEB與∠DFE的關(guān)系；
(3)若改變線段AD的位置，使得點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)，其他條件不變，若∠ADQ＝n°，過點(diǎn)D作∠PDA的角平分線與直線BE相交于點(diǎn)G，求∠BED+∠DGE的和是多少度？（用含n的代數(shù)式表示）
【答案】(1)70°
(2)∠DEB+∠DFE＝90°
(3)∠BED+∠DGE＝330°﹣n°或∠BED+∠DGE＝90°
【分析】（1）如圖1中，延長(zhǎng)DE交MN于H．利用∠BED＝∠EHB+∠EBH，即可解決問題；
（2）根據(jù)角平分線以及鄰補(bǔ)角的定義得∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝（∠ADC+∠ADQ）＝90°，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可得出結(jié)論；
（3）分3種情形討論即可解決問題．
（1）
解：如圖1中，延長(zhǎng)DE交MN于H．
∵∠ADQ＝100°，DE平分∠ADC，
∴∠PDH＝∠PDA＝（180°﹣100°）＝40°，
∵，
∴∠EHB＝∠PDH＝40°，
∵∠CBN＝120°，EB平分∠ABC，
∴∠EBH＝∠ABC＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝70°.
（2）
解：如圖，
∵DE平分∠ADC，DF平分∠ADQ，
∴∠ADE＝∠ADC，∠ADF＝∠ADQ，
∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝（∠ADC+∠ADQ）＝90°，
∴∠DEB+∠DFE＝90°.
（3）
解：分3種情形
如圖，當(dāng)點(diǎn)E在直線MN與直線PQ之間時(shí)．延長(zhǎng)DE交MN于H．
∵PQ∥MN，
∴∠QDH＝∠DHA＝∠ADQ＝n°，
∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝180°﹣n°+30°＝210°﹣n°，
∵∠ADQ＝n°，DG平分∠PDA，
∴∠ADG＝∠ADP，
∴∠GDH＝∠ADP+∠ADQ＝90°，
∴∠BED＝90°+∠DGE，
∴∠DGE＝210°﹣n°﹣90°＝120°﹣n°，
∴∠BED+∠DGE＝210°﹣n°+120°﹣n°＝330°﹣n°；
當(dāng)點(diǎn)E在直線MN的下方時(shí)，如圖，設(shè)DE交MN于H．
∵∠HBE＝∠ABG＝30°，∠ADH＝∠CDH＝n°，
又∵∠DHB＝∠HBE+∠HEB，
∴∠BED＝n°﹣30°，
∵∠GDH＝∠ADP+∠ADQ＝90°，
∴∠DGE＝90°﹣∠BED＝90°﹣（n°﹣30°）＝120°﹣n°，
∴∠BED+∠DGE＝n°﹣30°+120°﹣n°＝90°；
當(dāng)點(diǎn)E在PQ上方時(shí)，
∵∠GDF＝∠ADP+∠ADQ＝90°，
∴∠DGE+∠BED＝90°，
綜上所述，∠BED+∠DGE＝330°﹣n°或∠BED+∠DGE＝90°．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
30．（北京市第三十九中學(xué)2021一2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷）“一帶一路”讓中國(guó)和世界聯(lián)系更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖所示，燈A射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒，燈轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．
(1)填空：______；
(2)若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射線到達(dá)之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？
(3)若兩燈同時(shí)開始轉(zhuǎn)動(dòng)，兩燈射出的光束交于點(diǎn)，且，則在燈射線到達(dá)之前，轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為______秒．
【答案】(1)60
(2)秒或秒
(3)或
【分析】（1）設(shè)，則，根據(jù)，可列出關(guān)于x的等式，解出x即可求解；
（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，根據(jù)，可得；當(dāng)時(shí)，根據(jù)，可得 ；
（3）分類討論當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，畫出圖形，分別根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合題意構(gòu)建方程解決問題即可．
（1）
設(shè)，則，
∵，即，
∴，
∴．
故答案為：60；
（2）
設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，兩燈的光束互相平行，
由題意可知，．
當(dāng)時(shí)，如圖，
，
．
，
，
．
，
解得 ；
當(dāng)時(shí)，如圖，
，
．
，
，
．
∵，
∴，
，
解得 ．
綜上所述，當(dāng)30秒或110秒時(shí)，兩燈的光束互相平行；
（3）
設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒，
當(dāng)時(shí)，
過點(diǎn)作，

，
，
，，
，
，，
又，
∴，
解得：，
∴，此時(shí)與共線，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，同的圖可得，
則，
解得：；
如圖中，當(dāng)時(shí)，

同可知．
因?yàn)榇藭r(shí)，
，
解得：．
綜上可知，t的值為100或140．
故答案為：100或140．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，平行公理及推論，一元一次方程的應(yīng)用．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．若，E為AB，CD之間一點(diǎn)，則有

相關(guān)試卷

北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題2.8平行線的性質(zhì)與判定大題專練(壓軸篇，重難點(diǎn)培優(yōu))(原卷版+解析)：

這是一份北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題2.8平行線的性質(zhì)與判定大題專練(壓軸篇，重難點(diǎn)培優(yōu))(原卷版+解析)，共81頁。試卷主要包含了8平行線的性質(zhì)與判定大題專練，5°等內(nèi)容，歡迎下載使用。

北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題2.7平行線的性質(zhì)與判定大題專練(拔高篇，重難點(diǎn)培優(yōu))(原卷版+解析)：

這是一份北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題2.7平行線的性質(zhì)與判定大題專練(拔高篇，重難點(diǎn)培優(yōu))(原卷版+解析)，共46頁。試卷主要包含了7平行線的性質(zhì)與判定大題專練等內(nèi)容，歡迎下載使用。

北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題2.6平行線的性質(zhì)與判定大題專練(基礎(chǔ)篇，重難點(diǎn)培優(yōu))(原卷版+解析)：

這是一份北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題2.6平行線的性質(zhì)與判定大題專練(基礎(chǔ)篇，重難點(diǎn)培優(yōu))(原卷版+解析)，共29頁。試卷主要包含了6平行線的性質(zhì)與判定大題專練等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

數(shù)學(xué)3 平行線的性質(zhì)習(xí)題

數(shù)學(xué)3 平行線的性質(zhì)習(xí)題
北師大版七年級(jí)下冊(cè)3 平行線的性質(zhì)習(xí)題

北師大版七年級(jí)下冊(cè)3 平行線的性質(zhì)習(xí)題
北師大版七年級(jí)下冊(cè)3 平行線的性質(zhì)復(fù)習(xí)練習(xí)題

北師大版七年級(jí)下冊(cè)3 平行線的性質(zhì)復(fù)習(xí)練習(xí)題
初中數(shù)學(xué)北師大版七年級(jí)下冊(cè)3 平行線的性質(zhì)課堂檢測(cè)

初中數(shù)學(xué)北師大版七年級(jí)下冊(cè)3 平行線的性質(zhì)課堂檢測(cè)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

3 平行線的性質(zhì)

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部