專題29 數(shù)式圖及坐標(biāo)等規(guī)律探索問題-【真題匯編】2024年中考數(shù)學(xué)真題專題分類匯編練習(xí)（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題
1. （2024江蘇揚(yáng)州）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中記載了一列數(shù)：1，1，2，3，5，……，這一列數(shù)滿足：從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于它的前兩個(gè)數(shù)之和．則在這一列數(shù)的前2024個(gè)數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）
A. 676B. 674C. 1348D. 1350
【答案】D
【解析】將這一列數(shù)繼續(xù)寫下去，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律即可解答．
本題主要考查的是數(shù)字規(guī)律類問題，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】這一列數(shù)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以發(fā)現(xiàn)每3個(gè)數(shù)為一組，每一組前2個(gè)數(shù)為奇數(shù)，第3個(gè)數(shù)為偶數(shù)．
由于，
即前2024個(gè)數(shù)共有674組，且余2個(gè)數(shù)，
∴奇數(shù)有個(gè)．
故選：D
2. （2024山東煙臺(tái)）《周髀算經(jīng)》是中國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)理天文著作．書中記載這樣一道題：“今有女子不善織，日減功遲．初日織五尺，末日織一尺，今三十日織，問織幾何？”意思是：現(xiàn)有一個(gè)不擅長(zhǎng)織布的女子，織布的速度越來越慢，并且每天減少的數(shù)量相同．第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，天完工，問一共織了多少布？
A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺
【答案】C
【解析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，由題意可知每天減少的量一樣，由數(shù)的規(guī)律求和即可，讀懂題意，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意得，第一天織布尺，第天織布尺，
∴一共織布（尺），
故選：．
3. （2024四川德陽(yáng)）將一組數(shù)，按以下方式進(jìn)行排列：
則第八行左起第1個(gè)數(shù)是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．求出第七行共有28個(gè)數(shù)，從而可得第八行左起第1個(gè)數(shù)是第29個(gè)數(shù)，據(jù)此求解即可得．
由圖可知，第一行共有1個(gè)數(shù)，第二行共有2個(gè)數(shù)，第三行共有3個(gè)數(shù)，
歸納類推得：第七行共有個(gè)數(shù)，
則第八行左起第1個(gè)數(shù)是，
故選：C．
4. （2024云南?。┌匆欢ㄒ?guī)律排列的代數(shù)式：，，，，，，第個(gè)代數(shù)式
是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本題考查了數(shù)列的規(guī)律變化，根據(jù)數(shù)列找到變化規(guī)律即可求解，仔細(xì)觀察和總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
∵按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：，，，，，，
∴第個(gè)代數(shù)式是，
故選：．
5. （2024重慶市B）用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)菱形，第②個(gè)圖案中有5個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有8個(gè)菱形，第④個(gè)圖案中有11個(gè)菱形，…，按此規(guī)律，則第⑧個(gè)圖案中，菱形的個(gè)數(shù)是（）
A. 20B. 21C. 23D. 26
【答案】C
【解析】本題考查了圖形類的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．利用規(guī)律求解．通過觀察圖形找到相應(yīng)的規(guī)律，進(jìn)行求解即可．
【詳解】第①個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
第②個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
第③個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
第④個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
∴第個(gè)圖案中有個(gè)菱形，
∴第⑧個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)為，
故選：C．
6. （2024武漢市）如圖，小好同學(xué)用計(jì)算機(jī)軟件繪制函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱．若點(diǎn)，，，……，，都在函數(shù)圖象上，這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從開始依次增加，則的值是（）
A. B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】本題是坐標(biāo)規(guī)律題，求函數(shù)值，中心對(duì)稱的性質(zhì)，根據(jù)題意得出，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求，根據(jù)題意可得，，即可求解．
【詳解】∵這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從開始依次增加，
∴，
∴，
∴，而即，
∵，
當(dāng)時(shí)，，即，
∵關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)為，
即當(dāng)時(shí)，，
∴，
故選：D．
7. （2024四川內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，軸，垂足為點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)也落在直線上，如此下去，……，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．找出點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律以及旋轉(zhuǎn)過程中線段長(zhǎng)度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
通過求出點(diǎn)的坐標(biāo)，、、的長(zhǎng)度，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)逐步推導(dǎo)出后續(xù)點(diǎn)的位置和坐標(biāo)，然后結(jié)合圖形求解即可．
【詳解】軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入，
得：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，，
，
由旋轉(zhuǎn)可知，，，，
，，
，
．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
解得或（舍去），則，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故選C．
二、填空題
1. （2024江西省）觀察a，，，，…，根據(jù)這些式子的變化規(guī)律，可得第100個(gè)式子為______．
【答案】
【解析】此題考查了單項(xiàng)式規(guī)律探究．分別找出系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律，據(jù)此判斷出第n個(gè)式子是多少即可．
∵a，，，，…，
∴第n個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1；
∵第1個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)、第4個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)分別是1、2、3、4，…，
∴第n個(gè)式子是．
∴第100個(gè)式子是．
故答案為：．
2. （2024四川成都市）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)這個(gè)自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于的取法種數(shù)進(jìn)行了探究．發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，只有一種取法，即；當(dāng)時(shí)，有和兩種取法，即；當(dāng)時(shí)，可得；……．若，則的值為______；若，則的值為______．
【答案】 ①. 9 ②. 144
【解析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，理解題意，能夠從特殊到一般，得到當(dāng)n為偶數(shù)或奇數(shù)時(shí)的不同取法是解答的關(guān)鍵．先根據(jù)前幾個(gè)n值所對(duì)應(yīng)k值，找到變化規(guī)律求解即可．
【詳解】當(dāng)時(shí)，只有一種取法，則；
當(dāng)時(shí)，有和兩種取法，則；
當(dāng)時(shí)，有，，，四種取法，則；
故當(dāng)時(shí)，有，，，，，六種取法，則；
當(dāng)時(shí)，有，，，，，，，，九種取法，則；
依次類推，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，，
故答案為：9，144．
3. （2024四川德陽(yáng)）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，甲組同學(xué)給乙組同學(xué)出示了一個(gè)探究問題：把數(shù)字1至8分別填入如圖的八個(gè)圓圈內(nèi)，使得任意兩個(gè)有線段相連的圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對(duì)值不等于1．經(jīng)過探究后，乙組的小高同學(xué)填出了圖中兩個(gè)中心圓圈的數(shù)字a、b，你認(rèn)為a可以是______（填上一個(gè)數(shù)字即可）．
【答案】1##8
【解析】本題考查了數(shù)字規(guī)律，理解題意是解題的關(guān)鍵．由于兩個(gè)中心圓圈有6根連線，數(shù)字1至8，共有8個(gè)數(shù)字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一個(gè)數(shù)字填在中心位置，那么與其相鄰的2個(gè)數(shù)字均不能出現(xiàn)在與中心圓圈相連的6個(gè)圓圈中，否則不滿足任意兩個(gè)有線段相連的圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對(duì)值不等于1，故只剩下5個(gè)數(shù)字可選，不滿足6個(gè)空的圓圈需要填入，故中心圓圈只能是1或者8．
【詳解】兩個(gè)中心圓圈分別有6根連線，數(shù)字1至8，共有8個(gè)數(shù)字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一個(gè)數(shù)字填在中心位置，那么與其相鄰的2個(gè)數(shù)字均不能出現(xiàn)在與中心圓圈相連的6個(gè)圓圈中，故只剩下5個(gè)數(shù)字可選，不滿足6個(gè)空的圓圈需要填入．
位于兩個(gè)中心圓圈的數(shù)字a、b，只可能是1或者8．
故答案為：1（或8）．
4. （2024四川遂寧）在等邊三邊上分別取點(diǎn)，使得，連結(jié)三點(diǎn)得到，易得，設(shè)，則
如圖①當(dāng)時(shí)，
如圖②當(dāng)時(shí)，
如圖③當(dāng)時(shí)，
……
直接寫出，當(dāng)時(shí)，______．
【答案】##0.73
【解析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律性問題，首先根據(jù)已知求得比例為n時(shí)，，代入即可．
【詳解】根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，
故答案為：．
5. （2024四川達(dá)州）如圖，在中，，分別是內(nèi)角、外角的三等分線，且，，在中，，分別是內(nèi)角，外角的三等分線．且，，…，以此規(guī)律作下去．若．則______度．
【答案】
【解析】本題考查了三角形的外角定理，等式性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
先分別對(duì)運(yùn)用三角形的外角定理，設(shè)，則，，則，得到，，同理可求：，所以可得．
【詳解】如圖：
∵，，
∴設(shè)，，則，，
由三角形的外角的性質(zhì)得：，，
∴，
如圖：
同理可求：，
∴，
……，
∴，
即，
故答案：．
6. （2024四川眉山）已知（且），，則的值為______．
【答案】
【解析】此題考查了分式的混合運(yùn)算，利用分式的運(yùn)算法則計(jì)算得到每三個(gè)為一個(gè)循環(huán)，分別為，，，進(jìn)一步即可求出．
【詳解】，
，
，
，
，
，
……，
由上可得，每三個(gè)為一個(gè)循環(huán)，
，
．
故答案為：．
7. （2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如“花朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形OBC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C在第一象限，．將沿x軸正方向作無滑動(dòng)滾動(dòng)，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，稱點(diǎn)為第一個(gè)“花朵”的花心，點(diǎn)為第二個(gè)“花朵”的花心；……；按此規(guī)律，滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則最后一個(gè)“花朵”的花心的坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】本題考查了解直角三角形，等腰直角的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索．連接，求得，，，分別得到，，，，推導(dǎo)得到，滾動(dòng)一次得到，滾動(dòng)四次得到，滾動(dòng)七次得到，由此得到滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：連接，
由題意得，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
，
同理，
，
，
滾動(dòng)一次得到，滾動(dòng)四次得到，滾動(dòng)七次得到，
∴滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則時(shí)，，
故答案為：．
8. （2024黑龍江綏化）如圖，已知，，，，，，，…，依此規(guī)律，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)出一般性規(guī)律．根據(jù)題意可知個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個(gè)循環(huán)，的坐標(biāo)為，據(jù)此可求得的坐標(biāo)．
【詳解】解：∵，，，，，，，…，，
∴可知個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個(gè)循環(huán)，的坐標(biāo)為，
∵，
∴的坐標(biāo)為．
∴的坐標(biāo)為
故答案為：．
9. （2024四川廣安）已知，直線與軸相交于點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)作軸的平行線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形，等邊三角形，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】
直線直線可知，點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，由于是等邊三角形，可得點(diǎn)，把代入直線解析式即可求得的橫坐標(biāo)，可得，由于是等邊三角形，可得點(diǎn)；同理，，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得解，準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)與字母的序號(hào)之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵直線l：與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
過，，作軸交x軸于點(diǎn)M，軸交于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)N，

∵為等邊三角形，
∴
∴，
∴
∴，
當(dāng)時(shí)，，解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，，解得：，
∴；
而，
同理可得：的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，特殊圖形點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵.
三、解答題
1. （2024安徽?。?shù)學(xué)興趣小組開展探究活動(dòng)，研究了“正整數(shù)N能否表示為（均為自然數(shù)）”的問題．
（1）指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下（為正整數(shù)）：
按上表規(guī)律，完成下列問題：
（）（）（）；
（）______；
（2）興趣小組還猜測(cè)：像這些形如（為正整數(shù)）的正整數(shù)不能表示為（均為自然數(shù)）．師生一起研討，分析過程如下：
閱讀以上內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谇樾蔚臋M線上填寫所缺內(nèi)容．
【答案】（1）（），；（）；
（2）
【解析】【分析】（）（）根據(jù)規(guī)律即可求解；（）根據(jù)規(guī)律即可求解；
（）利用完全平方公式展開，再合并同類項(xiàng)，最后提取公因式即可；
本題考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
（）由規(guī)律可得，，
故答案為：，；
（）由規(guī)律可得，，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：假設(shè)，其中均為自然數(shù)．
分下列三種情形分析：
若均為偶數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)，
則為的倍數(shù)．
而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為偶數(shù)．
若均為奇數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)，
則為的倍數(shù)．
而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為奇數(shù)．
若一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則為奇數(shù)．
而是偶數(shù)，矛盾．故不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)．
由可知，猜測(cè)正確．
故答案為：．
2. （2024四川涼山）閱讀下面材料，并解決相關(guān)問題：
下圖是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)……第行有個(gè)點(diǎn)……
容易發(fā)現(xiàn)，三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)之和為10．
（1）探索：三角點(diǎn)陣中前8行點(diǎn)數(shù)之和為_____，前15行的點(diǎn)數(shù)之和為______，那么，前行的點(diǎn)數(shù)之和為______
（2）體驗(yàn)：三角點(diǎn)陣中前行的點(diǎn)數(shù)之和______（填“能”或“不能”）為500．
（3）運(yùn)用：某廣場(chǎng)要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？
【答案】（1）36；120；
（2）不能（3）一共能擺放20排．
【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圖形，總結(jié)規(guī)律，列式計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)前n行的點(diǎn)數(shù)和是500，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可判斷；
（2）先得到前n行的點(diǎn)數(shù)和是，再根據(jù)題意得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．
【小問1詳解】
解：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為，
前15行的點(diǎn)數(shù)之和為，
那么，前行的點(diǎn)數(shù)之和為；
故答案為：36；120；；
【小問2詳解】
解：不能，
理由如下：
由題意得，
得，
，
∴此方程無正整數(shù)解，
所以三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和不能是500；
故答案為：不能；
【小問3詳解】
解：同理，前行的點(diǎn)數(shù)之和為，
由題意得，
得，即，
解得或（舍去），
∴一共能擺放20排．
奇數(shù)
的倍數(shù)
表示結(jié)果
一般結(jié)論

______
假設(shè)，其中均自然數(shù)．
分下列三種情形分析：
若均為偶數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)，
則為的倍數(shù)．
而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為偶數(shù)．
若均為奇數(shù)，設(shè)，，其中均為自然數(shù)，
則______為的倍數(shù)．
而不是的倍數(shù)，矛盾．故不可能均為奇數(shù)．
若一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則為奇數(shù)．
而是偶數(shù)，矛盾．故不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)．
由可知，猜測(cè)正確．

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